多元環・代数

多元環と代数に英語でalgebraだが，可換環上の多元環，体上の代数と使い分けてみる．

定義

多元環

可換環𝑅を与える．

𝑅上の多元環（または代数）(algebra)とは，以下のデータからなる．

  • 𝑅-加群𝐴
  • 𝐴上の二項演算 ⋅ : 𝐴 × 𝐴 → 𝐴

これらは以下の条件を満たす．

  • ⋅は𝑅-双線型．つまり以下を満たす： ∀ ⁡ 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝑟 , ∀ ⁡ 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ∈ 𝑅 , [ 𝑎 ⁢ 𝑥 + 𝑏 ⁢ 𝑦 , 𝑧 ] = 𝑎 ⁢ [ 𝑥 , 𝑧 ] + 𝑏 ⁢ [ 𝑦 , 𝑧 ] ∀ ⁡ 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝑟 , ∀ ⁡ 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ∈ 𝑅 , [ 𝑥 , 𝑎 ⁢ 𝑦 + 𝑏 ⁢ 𝑧 ] = 𝑎 ⁢ [ 𝑥 , 𝑦 ] + 𝑏 ⁢ [ 𝑥 , 𝑧 ]

準同型

を与える．

𝑅-多元環の準同型(homomorphism)とは，写像 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 であって以下を満たすもの：

  • 𝑓は𝑅-線型写像
  • ∀ ⁡ 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝐴 , 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ⁢ 𝑦 ) = 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) ⁢ 𝑓 ⁡ ( 𝑦 )

𝐴から𝐵への自己準同型全体の集合を hom ⁡ ( 𝐴 , 𝐵 ) と表す．

同型

全単射な準同型を同型(isomorphism)と呼ぶ．

自己準同型

自己準同型・同型

を与える．

  • 𝐴上の準同型のことを，自己準同型(endomorphism)と呼ぶ．自己準同型の集合をend⁡𝐴と書く．
  • 𝐴上の同型のことを，自己同型(automorphism)と呼ぶ．自己同型の集合をaut⁡𝐴と書く．

微分多元環

微分多元環

を与える．

𝐴上の微分とは，（𝑅-加群𝐴としての）線型変換 𝑑 : 𝐴 → 𝐴 であって以下を満たすもの：

Leibniz則
𝑑 ⁡ ( 𝑥 ⁢ 𝑦 ) = 𝑥 ⁢ 𝑑 ⁡ ( 𝑦 ) + 𝑑 ⁡ ( 𝑥 ) ⁢ 𝑦

𝐴の微分全体がなす集合をder⁡𝐴と書き，これはLie環をなす．