位相空間

定義

位相空間

位相空間(topological space)とは，以下の2つのデータからなる．

集合 $𝑋$
位相(topology)と呼ばれる冪集合の部分集合 $𝒪 \subset 2^{𝑋}$

これらは以下を満たす．

$\emptyset, 𝑋 \in 𝒪$
$\forall 𝑛 \in ℕ$ に対して以下を満たす $\forall 𝑖 \in ℕ_{\leq 𝑛}, 𝑂_{𝑖} \in 𝒪 \Rightarrow ⋂_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑂_{𝑖} \in 𝒪$
任意の集合 $𝛬$ に対して以下を満たす $\forall 𝜆 \in 𝛬, 𝑂_{𝜆} \in 𝒪 \Rightarrow ⋃_{𝜆 \in 𝛬} 𝑂_{𝑖} \in 𝒪$

開集合

位相空間 $(𝑋, 𝒪)$ を与える．

$𝒪$ の元のことを開集合(open set)と呼ぶ．
$𝑂 \in 𝑋$ で， $𝑋 ∖ 𝑂$ が開集合となるものを閉集合(closed set)と呼ぶ．

De Morganの法則より，位相空間は閉集合を用いても定義可能：

閉集合系による位相空間

位相空間(topological space)とは，以下の2つのデータからなる．

集合 $𝑋$
閉集合系 $𝒪^{c} \subset 2^{𝑋}$

これらは以下を満たす．

$\emptyset, 𝑋 \in 𝒪^{c}$
$\forall 𝑛 \in ℕ$ に対して以下を満たす $\forall 𝑖 \in ℕ_{\leq 𝑛}, 𝑂_{𝑖} \in 𝒪^{c} \Rightarrow ⋃_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑂_{𝑖} \in 𝒪^{c}$
任意の集合 $𝛬$ に対して以下を満たす $\forall 𝜆 \in 𝛬, 𝑂_{𝜆} \in 𝒪^{c} \Rightarrow ⋂_{𝜆 \in 𝛬} 𝑂_{𝑖} \in 𝒪^{c}$