位相空間

定義

位相空間の定義

同値な定義が割とあるので一通り示しておくが，基本は開集合系で定義する．

位相空間

位相空間(topological space)とは，以下の2つのデータからなる．

集合 $𝑋$
以下のいずれかのデータを持つ:
- 位相(topology)もしくは開集合系と呼ばれる冪集合の部分集合 $𝒪 \subset 2^{𝑋}$
- 閉集合系と呼ばれる冪集合の部分集合 $𝒪^{c} \subset 2^{𝑋}$
- $𝑋$ の部分集合の閉包(clousure)をとる操作 $cl : 2^{𝑋} \to 2^{𝑋}$
- $𝑋$ の部分集合の内部(interior)をとる操作 $int : 2^{𝑋} \to 2^{𝑋}$
- $𝑋$ の部分集合の外部(exterior)をとる操作 $ext : 2^{𝑋} \to 2^{𝑋}$
- $𝑋$ の部分集合の境界(boundary)をとる操作 $\partial : 2^{𝑋} \to 2^{𝑋}$
- $𝑋$ の部分集合の導（来）集合(derived set)をとる操作 $-^{*} : 2^{𝑋} \to 2^{𝑋}$
- $𝑋$ の各元の近傍(neighbourhood)をとる操作 $𝑁 : 𝑋 \to 2^{𝑋}$
- 有向点族の収束(convergence of nets)
- フィルターの収束(convergence of filters)

それぞれに対し，本質的に等価な以下の条件を満たす．

開集合系の公理

$\emptyset, 𝑋 \in 𝒪$
$\forall 𝑛 \in ℕ$ に対して以下を満たす $\forall 𝑖 \in ℕ_{\leq 𝑛}, 𝑂_{𝑖} \in 𝒪 \Rightarrow ⋂_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑂_{𝑖} \in 𝒪$
任意の集合 $𝛬$ に対して以下を満たす $\forall 𝜆 \in 𝛬, 𝑂_{𝜆} \in 𝒪 \Rightarrow ⋃_{𝜆 \in 𝛬} 𝑂_{𝑖} \in 𝒪$

閉集合系の公理

$\emptyset, 𝑋 \in 𝒪^{c}$
$\forall 𝑛 \in ℕ$ に対して以下を満たす $\forall 𝑖 \in ℕ_{\leq 𝑛}, 𝑂_{𝑖} \in 𝒪^{c} \Rightarrow ⋃_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑂_{𝑖} \in 𝒪^{c}$
任意の集合 $𝛬$ に対して以下を満たす $\forall 𝜆 \in 𝛬, 𝑂_{𝜆} \in 𝒪^{c} \Rightarrow ⋂_{𝜆 \in 𝛬} 𝑂_{𝑖} \in 𝒪^{c}$

閉包作用素の公理

$cl (\emptyset) = \emptyset$
${cl}^{2} = cl$
$\forall 𝐴 \in 𝑋, 𝐴 \subset cl (𝐴)$
$\forall 𝐴, 𝐵 \in 𝑋, cl (𝐴 \cup 𝐵) = cl (𝐴) \cup cl (𝐵)$

内部作用素の公理

$int (𝑋) = 𝑋$
${int}^{2} = int$
$\forall 𝐴 \in 𝑋, 𝐴 \supset int (𝐴)$
$\forall 𝐴, 𝐵 \in 𝑋, int (𝐴 \cap 𝐵) = int (𝐴) \cap int (𝐵)$

外部作用素の公理

$ext (\emptyset) = 𝑋$
$\forall 𝐴 \in 𝑋, ext (𝑋 ∖ ext (𝐴)) = ext (𝐴)$
$\forall 𝐴 \in 𝑋, 𝐴 \cap ext (𝐴) = \emptyset$
$\forall 𝐴, 𝐵 \in 𝑋, ext (𝐴 \cup 𝐵) = ext (𝐴) \cap ext (𝐵)$

境界作用素の公理

$\partial (\emptyset) = \emptyset$
$\forall 𝐴 \in 𝑋, \partial^{2} (𝐴) \subset \partial (𝐴)$
$\forall 𝐴 \in 𝑋, \partial (𝐴) = \partial (𝑋 ∖ 𝐴)$
$\forall 𝐴, 𝐵 \in 𝑋, 𝐴 \subset 𝐵 \Rightarrow \partial 𝐴 \subset 𝐵 \cup \partial 𝐵$
$\forall 𝐴, 𝐵 \in 𝑋, \partial (𝐴 \cup 𝐵) \subset \partial (𝐴) \cup \partial (𝐵)$

導来集合の公理

近傍の公理

網の収束の公理

フィルターの収束の公理

点・開集合・閉集合

位相空間 $(𝑋, 𝒪)$ を与える．

$𝑋$ の元を点(point)と呼ぶ．
$𝒪$ の元のことを開集合(open set)と呼ぶ．
$𝒪^{c}$ の元のことを閉集合(closed set)と呼ぶ．

位相空間の公理の等価性

位相空間の各公理は，以下のような対応により本質的に等価：

$𝒪$ が開（閉）集合系の公理を満たす⇔ $𝒪$ の補集合の集合 $𝒪^{c}$ が閉（開）集合系の公理を満たす

条件の同値性の証明

開集合系，閉集合系による定義の同値性は，de Morganの法則より成り立つ．

連続写像

同値な定義が位相空間の同値な定義の数だけあるので，再び一通り示しておく．

連続写像

位相空間 $(𝑋, 𝒪_{𝑋}), (𝑌, 𝒪_{𝑌})$ を与える．

写像 $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ が以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすとき， $𝑓$ を連続(continuous)と呼ぶ：

$\forall 𝑂 \in 𝒪_{𝑌}, 𝑓^{- 1} (𝑂) \in 𝒪_{𝑋}$
$\forall 𝑂 \in 𝒪_{𝑌}^{c}, 𝑓^{- 1} (𝑂) \in 𝒪_{𝑋}^{c}$

同相写像

位相空間 $(𝑋, 𝒪_{𝑋}), (𝑌, 𝒪_{𝑌})$ を与える．

写像 $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ が以下を満たすとき， $𝑓$ を同相(homeomorphism)と呼ぶ：

$𝑓$ が連続
$𝑓$ が全単射
$𝑓$ の逆写像 $𝑓^{- 1} : 𝑌 \to 𝑋$ が連続

$𝑋$ と $𝑌$ のことも同相(homeomorphic)と呼び， $𝑋 ≃ 𝑌$ と表す．

空位相空間

空集合 $\emptyset$ は，その冪集合 ${\emptyset}$ を位相とする位相空間となる．これを空位相空間(empty topological space)と呼ぶ．

部分・

相対位相・部分空間

位相空間 $(𝑋, 𝒪)$
部分集合 $𝑌 \subset 𝑋$

を与える．

$𝒪_{𝑌} ≔ 𝒪 \cap 𝑌 = {𝑂 \cap 𝑌 | 𝑂 \in 𝒪}$ は $𝑌$ 上の位相を定める．これを相対位相(relative topology)と呼ぶ．
位相空間 $(𝑌, 𝒪_{𝑌})$ を $(𝑋, 𝒪)$ の部分位相空間(topological subspace)と呼ぶ．

商位相空間

位相空間 $(𝑋, 𝒪)$
$𝑋$ 上の同値関係 $\sim$
$\sim$ による標準射影 $𝜋 : 𝑋 \to 𝑋 ∕ \sim$

を与える．

$𝒪_{𝑋 ∕ \sim} ≔ 𝜋^{- 1} (𝒪) = {𝑂 \subset 𝑋 ∕ \sim | 𝑂 \in 𝒪}$ は $𝑌$ 上の位相を定める．これを商位相(quotient topology)と呼ぶ．
位相空間 $(𝑋 ∕ \sim, 𝒪_{𝑋 ∕ \sim})$ を $(𝑋, 𝒪)$ の $\sim$ による商位相空間(quotient topological space)と呼ぶ．