位相空間

定義

位相空間の定義

同値な定義が割とあるので一通り示しておくが，基本は開集合系で定義する．

位相空間

位相空間(topological space)とは，以下の2つのデータからなる．

  • 集合𝑋
  • 以下のいずれかのデータを持つ:
    • 位相(topology)もしくは開集合系と呼ばれる𝑋冪集合の部分集合 𝒪 ⊂ 2 𝑋
    • 閉集合系と呼ばれる𝑋の冪集合の部分集合 𝒪 c ⊂ 2 𝑋
    • 𝑋の部分集合の閉包(clousure)をとる操作 cl : 2 𝑋 → 2 𝑋-
    • 𝑋の部分集合の内部(interior)をとる操作 int : 2 𝑋 → 2 𝑋
    • 𝑋の部分集合の外部(exterior)をとる操作 ext : 2 𝑋 → 2 𝑋
    • 𝑋の部分集合の境界(boundary)をとる操作 ∂ : 2 𝑋 → 2 𝑋
    • 𝑋の部分集合の導（来）集合(derived set)をとる操作 - ∗ : 2 𝑋 → 2 𝑋
    • 𝑋の各元の近傍(neighbourhood)をとる操作 𝑁 : 𝑋 → 2 𝑋
    • 有向点族の収束(convergence of nets)
    • フィルターの収束(convergence of filters)

それぞれに対し，本質的に等価な以下の条件を満たす．

開集合系の公理
  • ∅ , 𝑋 ∈ 𝒪
  • ∀ ⁡ 𝑛 ∈ ℕ に対して以下を満たす ∀ ⁡ 𝑖 ∈ ℕ ≤ 𝑛 , 𝑂 𝑖 ∈ 𝒪 ⇒ ⋂ 𝑖 = 1 𝑛 𝑂 𝑖 ∈ 𝒪
  • 任意の集合𝛬に対して以下を満たす ∀ ⁡ 𝜆 ∈ 𝛬 , 𝑂 𝜆 ∈ 𝒪 ⇒ ⋃ 𝜆 ∈ 𝛬 𝑂 𝑖 ∈ 𝒪
閉集合系の公理
  • ∅ , 𝑋 ∈ 𝒪 c
  • ∀ ⁡ 𝑛 ∈ ℕ に対して以下を満たす ∀ ⁡ 𝑖 ∈ ℕ ≤ 𝑛 , 𝑂 𝑖 ∈ 𝒪 c ⇒ ⋃ 𝑖 = 1 𝑛 𝑂 𝑖 ∈ 𝒪 c
  • 任意の集合𝛬に対して以下を満たす ∀ ⁡ 𝜆 ∈ 𝛬 , 𝑂 𝜆 ∈ 𝒪 c ⇒ ⋂ 𝜆 ∈ 𝛬 𝑂 𝑖 ∈ 𝒪 c
閉包作用素の公理
  • cl ⁡ ( ∅ ) = ∅
  • cl 2 = cl
  • ∀ ⁡ 𝐴 ∈ 𝑋 , 𝐴 ⊂ cl ⁡ ( 𝐴 )
  • ∀ ⁡ 𝐴 , 𝐵 ∈ 𝑋 , cl ⁡ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) = cl ⁡ ( 𝐴 ) ∪ cl ⁡ ( 𝐵 )
内部作用素の公理
  • int ⁡ ( 𝑋 ) = 𝑋
  • int 2 = int
  • ∀ ⁡ 𝐴 ∈ 𝑋 , 𝐴 ⊃ int ⁡ ( 𝐴 )
  • ∀ ⁡ 𝐴 , 𝐵 ∈ 𝑋 , int ⁡ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = int ⁡ ( 𝐴 ) ∩ int ⁡ ( 𝐵 )
外部作用素の公理
  • ext ⁡ ( ∅ ) = 𝑋
  • ∀ ⁡ 𝐴 ∈ 𝑋 , ext ⁡ ( 𝑋 ∖ ext ⁡ ( 𝐴 ) ) = ext ⁡ ( 𝐴 )
  • ∀ ⁡ 𝐴 ∈ 𝑋 , 𝐴 ∩ ext ⁡ ( 𝐴 ) = ∅
  • ∀ ⁡ 𝐴 , 𝐵 ∈ 𝑋 , ext ⁡ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) = ext ⁡ ( 𝐴 ) ∩ ext ⁡ ( 𝐵 )
境界作用素の公理
  • ∂ ⁡ ( ∅ ) = ∅
  • ∀ ⁡ 𝐴 ∈ 𝑋 , ∂ 2 ⁡ ( 𝐴 ) ⊂ ∂ ⁡ ( 𝐴 )
  • ∀ ⁡ 𝐴 ∈ 𝑋 , ∂ ⁡ ( 𝐴 ) = ∂ ⁡ ( 𝑋 ∖ 𝐴 )
  • ∀ ⁡ 𝐴 , 𝐵 ∈ 𝑋 , 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇒ ∂ ⁡ 𝐴 ⊂ 𝐵 ∪ ∂ ⁡ 𝐵
  • ∀ ⁡ 𝐴 , 𝐵 ∈ 𝑋 , ∂ ⁡ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ⊂ ∂ ⁡ ( 𝐴 ) ∪ ∂ ⁡ ( 𝐵 )
導来集合の公理
近傍の公理
網の収束の公理
フィルターの収束の公理
点・開集合・閉集合・内点・外点・境界点・集積点

位相空間 ( 𝑋 , 𝒪 ) を与える．

  • 𝑋の元を点(point)と呼ぶ．
  • 開集合系𝒪の元のことを開集合(open set)と呼ぶ．
  • 閉集合系𝒪cの元のことを閉集合(closed set)と呼ぶ．
  • ∀⁡𝐴⊂𝑋に対し，𝐴の内部int⁡(𝐴)の元のことを𝐴の内点(interior point)と呼ぶ．
  • ∀⁡𝐴⊂𝑋に対し，𝐴の外部ext⁡(𝐴)の元のことを𝐴の外点(exterior point)と呼ぶ．
  • ∀⁡𝐴⊂𝑋に対し，𝐴の境界∂⁡(𝐴)の元のことを𝐴の境界点(boundary point)と呼ぶ．
  • ∀⁡𝐴⊂𝑋に対し，𝐴の導集合𝐴∗の元のことを𝐴の集積点(accumulation point)と呼ぶ．

位相空間の公理の等価性

位相空間の各公理は，以下のような対応により本質的に等価：

  • 𝒪が開（閉）集合系の公理を満たす⇔𝒪の補集合の集合𝒪cが閉（開）集合系の公理を満たす
  • ∀⁡𝐴⊂𝑋に対し，𝐴を含む最小の閉集合を取る操作clは，閉包の公理を満たす．
  • ∀⁡𝐴⊂𝑋に対し，𝐴を含む最大の開集合を取る操作intは，内部の公理を満たす．
  • ∀⁡𝐴⊂𝑋に対し，𝐴を含まない最大の開集合を取る操作extは，外部の公理を満たす．
  • cl∖intは境界の公理を満たす．

条件の同値性の証明

  • 開集合系，閉集合系による定義の同値性は，de Morganの法則より成り立つ．

位相空間の各種作用素の性質

位相空間 ( 𝑋,𝒪 ) を与えると，以下が成り立つ：

連続写像

同値な定義が位相空間の同値な定義の数だけあるので，再び一通り示しておく．

連続写像

位相空間 ( 𝑋 , 𝒪 𝑋 ) , ( 𝑌 , 𝒪 𝑌 ) を与える．

写像𝑓:𝑋→𝑌が以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすとき，𝑓を連続(continuous)と呼ぶ：

  • ∀ ⁡ 𝑂 ∈ 𝒪 𝑌 , 𝑓 − 1 ⁡ ( 𝑂 ) ∈ 𝒪 𝑋
  • ∀ ⁡ 𝑂 ∈ 𝒪 𝑌 c , 𝑓 − 1 ⁡ ( 𝑂 ) ∈ 𝒪 𝑋 c

同相写像

位相空間 ( 𝑋 , 𝒪 𝑋 ) , ( 𝑌 , 𝒪 𝑌 ) を与える．

写像𝑓:𝑋→𝑌が以下を満たすとき，𝑓を同相(homeomorphism)と呼ぶ：

  • 𝑓が連続
  • 𝑓が全単射
  • 𝑓の逆写像𝑓−1:𝑌→𝑋が連続

𝑋と𝑌のことも同相(homeomorphic)と呼び，𝑋≃𝑌と表す．

空位相空間

空集合∅は，その冪集合{∅}を位相とする位相空間となる．これを空位相空間(empty topological space)と呼ぶ．

部分・商

相対位相・部分空間

を与える．

  • 𝒪 𝑌 ≔ 𝒪∩𝑌 = { 𝑂∩𝑌 | 𝑂∈𝒪 } は𝑌上の位相を定める．これを相対位相(relative topology)と呼ぶ．
  • 位相空間 ( 𝑌 , 𝒪 𝑌 ) を ( 𝑋 , 𝒪 ) の部分位相空間(topological subspace)と呼ぶ．

商位相空間

を与える．

  • 𝒪 𝑋 ∕ ∼ ≔ 𝜋 − 1 ⁡ ( 𝒪 ) = { 𝑂⊂𝑋∕∼ | 𝑂∈𝒪 } は𝑌上の位相を定める．これを商位相(quotient topology)と呼ぶ．
  • 位相空間 ( 𝑋∕∼ , 𝒪 𝑋∕∼ ) を ( 𝑋 , 𝒪 ) の∼による商位相空間(quotient topological space)と呼ぶ．

位相空間の分類

分離公理

位相空間 ( 𝑋 , 𝒪 ) を与える．

  • 𝑋が𝑇1空間であるとは，
  • 𝑋が𝑇2空間（Hausdorff空間）であるとは，

コンパクト性

連結性