位相空間

束論Level 2（知らんけど）

定義

位相空間の定義

同値な定義が割とあるので一通り示しておくが，基本は開集合系で定義する．

位相空間

位相空間(topological space)とは，以下の2つのデータからなる．

集合 $𝑋$
以下のいずれかのデータを持つ:
- 位相(topology)もしくは開集合系と呼ばれる $𝑋$ 冪集合の部分集合 $𝒪 \subset 2^{𝑋}$
- 閉集合系と呼ばれる $𝑋$ の冪集合の部分集合 $𝒪^{c} \subset 2^{𝑋}$
- $𝑋$ の部分集合の閉包(clousure)をとる操作 $cl : 2^{𝑋} \to 2^{𝑋}$
- $𝑋$ の部分集合の内部(interior)をとる操作 $int : 2^{𝑋} \to 2^{𝑋}$
- $𝑋$ の部分集合の外部(exterior)をとる操作 $ext : 2^{𝑋} \to 2^{𝑋}$
- $𝑋$ の部分集合の境界(boundary)をとる操作 $\partial : 2^{𝑋} \to 2^{𝑋}$
- $𝑋$ の部分集合の導（来）集合(derived set)をとる操作 $-^{*} : 2^{𝑋} \to 2^{𝑋}$
- $𝑋$ の各元の近傍系(neighbourhood system)をとる操作 $𝑁 : 𝑋 \to 2^{2^{𝑋}}$
- 有向点族の収束(convergence of nets)
- フィルターの収束(convergence of filters)

それぞれに対し，本質的に等価な以下の条件を満たす．

開集合系の公理

$\emptyset, 𝑋 \in 𝒪$
$\forall 𝑛 \in ℕ$ に対して以下を満たす $\forall 𝑖 \in ℕ_{\leq 𝑛}, 𝑂_{𝑖} \in 𝒪 \Rightarrow ⋂_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑂_{𝑖} \in 𝒪$
任意の集合 $𝛬$ に対して以下を満たす $\forall 𝜆 \in 𝛬, 𝑂_{𝜆} \in 𝒪 \Rightarrow ⋃_{𝜆 \in 𝛬} 𝑂_{𝑖} \in 𝒪$

閉集合系の公理

$\emptyset, 𝑋 \in 𝒪^{c}$
$\forall 𝑛 \in ℕ$ に対して以下を満たす $\forall 𝑖 \in ℕ_{\leq 𝑛}, 𝑂_{𝑖} \in 𝒪^{c} \Rightarrow ⋃_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑂_{𝑖} \in 𝒪^{c}$
任意の集合 $𝛬$ に対して以下を満たす $\forall 𝜆 \in 𝛬, 𝑂_{𝜆} \in 𝒪^{c} \Rightarrow ⋂_{𝜆 \in 𝛬} 𝑂_{𝑖} \in 𝒪^{c}$

閉包作用素の公理

$cl (\emptyset) = \emptyset$
${cl}^{2} = cl$
$\forall 𝐴 \in 𝑋, 𝐴 \subset cl (𝐴)$
$\forall 𝐴, 𝐵 \in 𝑋, cl (𝐴 \cup 𝐵) = cl (𝐴) \cup cl (𝐵)$

内部作用素の公理

$int (𝑋) = 𝑋$
${int}^{2} = int$
$\forall 𝐴 \in 𝑋, 𝐴 \supset int (𝐴)$
$\forall 𝐴, 𝐵 \in 𝑋, int (𝐴 \cap 𝐵) = int (𝐴) \cap int (𝐵)$

外部作用素の公理

$ext (\emptyset) = 𝑋$
$\forall 𝐴 \in 𝑋, ext (𝑋 ∖ ext (𝐴)) = ext (𝐴)$
$\forall 𝐴 \in 𝑋, 𝐴 \cap ext (𝐴) = \emptyset$
$\forall 𝐴, 𝐵 \in 𝑋, ext (𝐴 \cup 𝐵) = ext (𝐴) \cap ext (𝐵)$

境界作用素の公理

$\partial (\emptyset) = \emptyset$
$\forall 𝐴 \in 𝑋, \partial^{2} (𝐴) \subset \partial (𝐴)$
$\forall 𝐴 \in 𝑋, \partial (𝐴) = \partial (𝑋 ∖ 𝐴)$
$\forall 𝐴, 𝐵 \in 𝑋, 𝐴 \subset 𝐵 \Rightarrow \partial 𝐴 \subset 𝐵 \cup \partial 𝐵$
$\forall 𝐴, 𝐵 \in 𝑋, \partial (𝐴 \cup 𝐵) \subset \partial (𝐴) \cup \partial (𝐵)$

導来集合の公理

$\emptyset^{*} = \emptyset$
$\forall 𝑥 \in 𝑋, 𝑥 \notin {𝑥}^{*}$
$𝐴^{**} \subset 𝐴 \cup 𝐴^{*}$
${(𝐴 \cup 𝐵)}^{*} = 𝐴^{*} \cup 𝐵^{*}$

近傍系の公理

$\forall 𝑥 \in 𝑋, \forall 𝑈 \in 𝑁 (𝑥), 𝑥 \in 𝑈$
$\forall 𝑥 \in 𝑋, \forall 𝑈 \in 𝑁 (𝑥), \forall 𝑈^{'} \subset 𝑋, (𝑈 \subset 𝑈^{'} \Rightarrow 𝑈^{'} \in 𝑁 (𝑥))$
$\forall 𝑥 \in 𝑋, \forall 𝑈, 𝑈^{'} \in 𝑁 (𝑥), 𝑈 \cap 𝑈^{'} \in 𝑁 (𝑥)$
$\forall 𝑥 \in 𝑋, \forall 𝑈 \in 𝑁 (𝑥), \exists 𝑉 \in 𝑁 (𝑥), (𝑉 \subset 𝑈, \forall 𝑦 \in 𝑉, 𝑈 \in 𝑁 (𝑦))$

網の収束の公理

フィルターの収束の公理

点・開集合・閉集合・内点・外点・境界点・集積点

位相空間 $(𝑋, 𝒪)$ を与える．

$𝑋$ の元を点(point)と呼ぶ．
開集合系 $𝒪$ の元のことを開集合(open set)と呼ぶ．
閉集合系 $𝒪^{c}$ の元のことを閉集合(closed set)と呼ぶ．
$\forall 𝐴 \subset 𝑋$ に対し， $𝐴$ の内部 $int (𝐴)$ の元のことを $𝐴$ の内点(interior point)と呼ぶ．
$\forall 𝐴 \subset 𝑋$ に対し， $𝐴$ の外部 $ext (𝐴)$ の元のことを $𝐴$ の外点(exterior point)と呼ぶ．
$\forall 𝐴 \subset 𝑋$ に対し， $𝐴$ の境界 $\partial (𝐴)$ の元のことを $𝐴$ の境界点(boundary point)と呼ぶ．
$\forall 𝐴 \subset 𝑋$ に対し， $𝐴$ の導集合 $𝐴^{*}$ の元のことを $𝐴$ の集積点(accumulation point)と呼ぶ．
$\forall 𝑥 \in 𝑋$ に対し， $𝑥$ の近傍系 $𝑁 (𝑥)$ の元のことを $𝑥$ の近傍(neighbourhood)と呼ぶ．

位相空間の公理の等価性

位相空間の各公理は，以下のような対応により本質的に等価：

$𝒪$ が開（閉）集合系の公理を満たす⇔ $𝒪$ の補集合の集合 $𝒪^{c}$ が閉（開）集合系の公理を満たす
開集合系 $𝒪$ について， $𝑁 : 𝑋 \to 2^{2^{𝑋}}, 𝑥 \mapsto {𝑈 \in 2^{𝑋} | \exists 𝑉 \in 𝒪, (𝑥 \in 𝑉, 𝑈 \subset 𝑉)}$ は $𝑥$ の近傍系の公理を満たす．
$int (2^{𝑋}), ext (2^{𝑋})$ は開集合系の公理を満たし， $cl (2^{𝑋})$ は閉集合系の公理を満たす．
$\forall 𝐴 \subset 𝑋$ に対し， $𝐴$ を含む最大の開集合を取る操作 $int$ は，内部の公理を満たす．
$\forall 𝐴 \subset 𝑋$ に対し， $𝑋 ∖ 𝐴$ を含む最大の開集合を取る操作 $ext$ は，外部の公理を満たす．
$\forall 𝐴 \subset 𝑋$ に対し， $𝐴$ を含む最小の閉集合を取る操作 $cl$ は，閉包の公理を満たす．
$cl ∖ int, cl ∖ ext$ は境界作用素 $\partial$ の公理を満たす．
$id \cup -^{*}$ は閉包作用素 $cl$ の公理を満たす．

条件の同値性の証明

開集合系，閉集合系による定義の同値性は，de Morganの法則より成り立つ．

位相空間の各種作用素の性質

位相空間 $(𝑋, 𝒪)$ を与えると，以下が成り立つ：

位相空間の生成系

位相空間を構成する他の方法を紹介する．同値な定義と呼んでいたが，

開基

位相空間 $(𝑋, 𝒪)$ を与える．

部分集合 $ℬ \subset 𝒪$ が開基(open base)であるとは，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに）全てを満たすことを言う：

基本近傍系

基本近傍系()と呼ぶ．

閉基も書くだけ書いておいていい気はする

可算空間

可算な基本近傍系を少なくとも1つ持つ位相空間を第1可算空間(first-countable space)と呼ぶ．
可算な開基を少なくとも1つ持つ位相空間を第2可算空間(second-countable space)と呼ぶ．

連続写像

同値な定義が位相空間の同値な定義の数だけあるので，再び一通り示しておく．

連続写像

位相空間 $(𝑋, 𝒪_{𝑋}), (𝑌, 𝒪_{𝑌})$ を与える．

写像 $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ が以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすとき， $𝑓$ を連続(continuous)と呼ぶ：

$\forall 𝑂 \in 𝒪_{𝑌}, 𝑓^{- 1} (𝑂) \in 𝒪_{𝑋}$
$\forall 𝑂 \in 𝒪_{𝑌}^{c}, 𝑓^{- 1} (𝑂) \in 𝒪_{𝑋}^{c}$
$\forall 𝐴 \in 2^{𝑋}, 𝑓 ({cl}_{𝑋} (𝐴)) \subset {cl}_{𝑌} (𝑓 (𝐴))$
$\forall 𝐵 \in 2^{𝑌}, {cl}_{𝑋} (𝑓^{- 1} (𝐵)) \subset 𝑓^{- 1} ({cl}_{𝑌} (𝐵))$
$\forall 𝐵 \in 2^{𝑌}, 𝑓^{- 1} ({int}_{𝑌} (𝐵)) \subset {int}_{𝑋} (𝑓^{- 1} (𝐵))$
$\forall 𝐴 \in 2^{𝑋}, 𝑓 (𝐴^{*}) \subset {𝑓 (𝐴)}^{*} \cup 𝑓 (𝐴)$

条件の同値性の証明

位相空間の圏

位相空間の圏(category of topological spaces) $𝐓𝐨𝐩$ とは，以下で定まる圏のこと：

対象を全ての位相空間
射を全ての連続写像

同相写像

位相空間 $(𝑋, 𝒪_{𝑋}), (𝑌, 𝒪_{𝑌})$ を与える．

連続写像 $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ が以下を満たすとき， $𝑓$ を同相(homeomorphism)と呼ぶ：

$𝑓$ が全単射
$𝑓$ の逆写像 $𝑓^{- 1} : 𝑌 \to 𝑋$ が連続

$𝑋$ と $𝑌$ のことも同相(homeomorphic)と呼び， $𝑋 ≃ 𝑌$ と表す．

位相空間の演算

直積空間

集合 $𝛬$
位相空間の集合 ${(𝑋_{𝜆}, 𝒪_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与える．

{ ( 𝑋𝜆 , 𝒪𝜆 ) } 𝜆∈𝛬 の直積空間(product space)とは，以下のデータのこと：
- 集合の直積 $\prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝑋_{𝜆}$ に，以下の位相を入れたもの：
- 集合の直積における射影の集合 ${𝜋_{𝜆} : \prod_{𝜆^{'} \in 𝛬} 𝑋_{𝜆^{'}} \to 𝑋_{𝜆}, {(𝑥_{𝜆})}_{𝜆^{'} \in 𝛬} \to 𝑥_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$

直和空間

集合 $𝛬$
位相空間の集合 ${(𝑋_{𝜆}, 𝒪_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与える．

${(𝑋_{𝜆}, 𝒪_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬}$ の直和空間(direct sum)とは，

部分・商

位相空間の圏は余正則であることを確認する節になる予定．

相対位相・部分空間

位相空間 $(𝑋, 𝒪)$
部分集合 $𝑌 \subset 𝑋$

を与える．

$𝒪_{𝑌} ≔ 𝒪 \cap 𝑌 = {𝑂 \cap 𝑌 | 𝑂 \in 𝒪}$ は $𝑌$ 上の位相を定める．これを相対位相(relative topology)と呼ぶ．
位相空間 $(𝑌, 𝒪_{𝑌})$ を $(𝑋, 𝒪)$ の部分位相空間(topological subspace)と呼ぶ．

商位相空間

位相空間 $(𝑋, 𝒪)$
$𝑋$ 上の同値関係 $\sim$
$\sim$ による標準射影 $𝜋 : 𝑋 \to 𝑋 ∕ \sim$

を与える．

$𝒪_{𝑋 ∕ \sim} ≔ 𝜋^{- 1} (𝒪) = {𝑂 \subset 𝑋 ∕ \sim | 𝑂 \in 𝒪}$ は $𝑌$ 上の位相を定める．これを商位相(quotient topology)と呼ぶ．
位相空間 $(𝑋 ∕ \sim, 𝒪_{𝑋 ∕ \sim})$ を $(𝑋, 𝒪)$ の $\sim$ による商位相空間(quotient topological space)と呼ぶ．

空位相空間

空集合 $\emptyset$ は，その冪集合 ${\emptyset}$ を位相とする位相空間となる．これを空位相空間(empty topological space)と呼ぶ．

位相空間の分類

分離公理

位相空間 $(𝑋, 𝒪)$ を与える．

$𝑋$ が $𝑇_{1}$ 空間であるとは，以下を満たすことを言う： $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝑋, \exists 𝑈 \in 𝑁 (𝑦), 𝑥 \notin 𝑁$
$𝑋$ が $𝑇_{2}$ 空間（Hausdorff空間）であるとは，以下を満たすことを言う： $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝑋, \exists 𝑈 \in 𝑁 (𝑥), \exists 𝑉 \in 𝑁 (𝑦), 𝑈 \cap 𝑉 = \emptyset$
その他たくさんです．

コンパクト性

コンパクト

位相空間 $(𝑋, 𝒪)$ を与える．

$𝑋$ の部分集合 $𝐴 \subset 𝑋$ がコンパクト(compact)であるとは，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすことを言う：

任意の開被覆は有限被覆を持つ： $\forall 𝒞 \subset 𝒪$ に対し， $𝐴 \subset ⋃_{𝑆 \in 𝐶}$ 有限部分集合 $𝒞 \subset 𝒪$

連結性

連結空間

位相空間 $(𝑋, 𝒪)$ を与える．

$(𝑋, 𝒪)$ の部分空間 $(𝐴, 𝒪_{𝐴})$ が

連結(connected)であるとは，空でない2つの開集合の非交和にならないことを言う．
弧状連結(path-connected)であるとは，2点 $\forall 𝑥 𝑦 \in 𝐴$ が $𝐴$ 上の連続曲線で結ばれることを言う．つまり，連続写像 $𝜑 : [0, 1] \to 𝐴$ であって， $𝜑 (𝑥) = 0, 𝜑 (𝑦) = 1$ を満たすものが存在する．

自由・忘却・余自由随伴

忘却函手

位相空間の圏 $𝐓𝐨𝐩$ から集合の圏 $𝐒𝐞𝐭$ への忘却函手(forgetful functor)とは，以下の対応による函手のこと：

位相空間 $(𝑋, 𝒪)$ に，集合 $𝑋$ を対応させる．
連続写像 $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ に，写像 $𝑓$ を対応させる．

離散空間

集合 $𝑋$ を与える．

位相空間 $(𝑋, 2^{𝑋})$ のことを，離散空間(discrete space)と呼ぶ．

離散空間の普遍性

集合 $𝑋$
$𝑋$ 上の離散空間 $(𝑋, 2^{𝑋})$

を与えると，任意の位相空間 $(𝑌, 𝒪)$ に対し，任意の写像 $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ は連続．

密着空間

集合 $𝑋$ を与える．

位相空間 $(𝑋, {\emptyset, 𝑋})$ のことを，密着空間(indiscrete space)と呼ぶ．

密着空間の普遍性

集合 $𝑋$
$𝑋$ 上の密着空間 $(𝑋, {\emptyset, 𝑋})$

を与えると，任意の位相空間 $(𝑌, 𝒪)$ に対し，任意の写像 $𝑓 : 𝑌 \to 𝑋$ は連続．

参考文献

高間俊至，微分幾何学ノート