Virasoro代数

共形場理論でよく使われる，特別なLie代数．

定義

Virasoro代数

$ℂ$ -線型空間 $𝔙𝔦𝔯 ≔ ⨁_{𝑛 \in ℤ} ℂ 𝐿_{𝑛} \oplus ℂ 𝑐$ であって，Lie括弧が $[𝐿_{𝑚}, 𝐿_{𝑛}] = (𝑚 - 𝑛) 𝐿_{𝑚 + 𝑛} + \frac{1}{12} (𝑚^{3} - 𝑚) 𝛿_{𝑚 + 𝑛, 0} 𝑐$ $[𝔙𝔦𝔯, 𝑐] = {0}$ で定義される無限次元Lie代数をVirasoro代数(Virasoro algebra)と呼ぶ．

Virasoro代数の三角分解

Virasoro代数は以下の三角分解を持つ． $𝔙𝔦𝔯 = {𝔙𝔦𝔯}^{+} \oplus {𝔙𝔦𝔯}^{0} \oplus {𝔙𝔦𝔯}^{-}$ ${𝔙𝔦𝔯}^{\pm} ≔ ⨁_{\pm 𝑛 \in ℤ_{> 0}} ℂ 𝐿_{𝑛}$ ${𝔙𝔦𝔯}^{0} ≔ ℂ 𝐿_{𝑛} \oplus ℂ 𝑐$

よって，Virasoro代数の最高ウェイト加群を考え得るが，その中で最も（圏の意味かは不明）普遍的なものを定義しよう．

Verma加群

$(𝑧, ℎ) \in ℂ^{2}$ ( $≃ {({𝔙𝔦𝔯}^{0})}^{*}$ )に対し， ${𝔙𝔦𝔯}^{\geq} ≔ {𝔙𝔦𝔯}^{+} \oplus {𝔙𝔦𝔯}^{0}$ -加群 $ℂ_{𝑧, ℎ} ≔ ℂ 𝟙_{𝑧, ℎ}$ を $𝑐 ▶ 𝟙_{𝑧, ℎ} ≔ 𝑧 𝟙_{𝑧, ℎ}$ $𝐿_{0} ▶ 𝟙_{𝑧, ℎ} ≔ ℎ 𝟙_{𝑧, ℎ}$ ${𝔙𝔦𝔯}^{+} ▶ 𝟙_{𝑧, ℎ} ≔ 0$ で定義する．誘導加群 $𝑀 (𝑧, ℎ) ≔ {Ind}_{𝑈 ({𝔙𝔦𝔯}^{\geq})}^{𝑈 (𝔙𝔦𝔯)} ℂ_{𝑧, ℎ} = 𝑈 (𝔙𝔦𝔯) \otimes_{𝑈 ({𝔙𝔦𝔯}^{\geq})} ℂ_{𝑧, ℎ}$ を最高ウェイト $(𝑧, ℎ)$ のVerma加群(Verma module)と呼ぶ．

次に，Fock加群を導入する．

Fock加群

Virasoro代数 $𝔙𝔦𝔯$ とその三角分解に対し， atode Fock加群と呼ぶ．

atode