Lie代数

交換子

• 体$𝕂$
• $𝕂$上の結合代数$𝐴$

を与える．

交換子(commutator)と呼ばれる$𝐴$上の二項演算 $\left[𝑥,𝑦\right]≔𝑥𝑦-𝑦𝑥$ を定義すると，$𝐴$は交換子をLie括弧とするLie代数をなす．

包絡代数

• 体$𝕂$
• $𝕂$上のLie代数$𝔤$

を与える．

$𝔤$の（普遍）包絡代数((universal) enveloping algebra)とは，以下の2つのデータからなる

• $𝕂$上の（単位的）結合代数 $𝑈\left(𝔤\right)$
• Lie代数準同型 $𝑖:𝔤\to 𝑈\left(𝔤\right)$ で，以下を満たすもの，

これらは以下を満たす：

• $$\forall 𝑥,𝑦\in 𝔤,𝑖\left(\left[𝑥,𝑦\right]\right)=𝑖\left(𝑥\right)𝑖\left(𝑦\right)-𝑖\left(𝑦\right)𝑖\left(𝑥\right)$$
• （普遍性）任意の（単位的）$𝕂$-結合代数$𝐴$および上式を満たす任意の線型写像 $𝑓:𝑉\to 𝐴$ に対して，以下の図式を可換にする$𝕂$-代数の準同型 $𝑓:𝑈\left(𝑉\right)\to 𝐴$ が一意的に存在する

直積Lie代数

• 体$𝕂$
• 集合$𝛬$
• $𝕂$上のLie代数の集合 ${\left\{{𝔤}_{𝜆}\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$

を与える．

• ${\left\{{𝔤}_{𝜆}\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$ の直積(direct poduct)とは，以下のデータのこと：
  • 線型空間の直積 $\prod _{𝜆\in 𝛬}{𝔤}_{𝜆}$ に，Lie括弧を以下で定義することで得られるLie代数： $$\left[{\left({𝑥}_{𝜆}\right)}_{𝜆\in 𝛬},{\left({𝑦}_{𝜆}\right)}_{𝜆\in 𝛬}\right]≔{\left(\left[{𝑥}_{𝜆},{𝑦}_{𝜆}\right]\right)}_{𝜆\in 𝛬}$$
  • Lie代数準同型 $${𝜋}_{𝜆}:\prod _{{𝜆}^{\prime }\in 𝛬}{𝔤}_{{𝜆}^{\prime }}\to {𝔤}_{𝜆},{\left({𝑥}_{{𝜆}^{\prime }}\right)}_{{𝜆}^{\prime }\in 𝛬}\mapsto {𝑥}_{𝜆}$$
• Lie代数 $𝔥$を始域とするLie代数準同型の集合 ${\left\{{𝑓}_{𝜆}:𝔥\to {𝔤}_{𝜆}\right\}}_{}$ の直積(direct poduct)とは，Lie代数準同型 $$\prod _{𝜆\in 𝛬}{𝑓}_{𝜆}:𝔥\to \prod _{𝜆\in 𝛬}{𝔤}_{𝜆},𝑥\mapsto {\left({𝑓}_{𝜆}\left(𝑥\right)\right)}_{𝜆\in 𝛬}$$ のこと．

直和Lie代数

• 体$𝕂$
• 集合$𝛬$
• $𝕂$上のLie代数の集合 ${\left\{{𝔤}_{𝜆}\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$

を与える．

• ${\left\{{𝔤}_{𝜆}\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$ の直和(direct sum)とは，以下のデータのこと：
  • 線型空間の直和 $\coprod _{𝜆\in 𝛬}{𝔤}_{𝜆}$ に，Lie括弧を以下で定義することで得られるLie代数： $$\left[{\left({𝑥}_{𝜆}\right)}_{𝜆\in 𝛬},{\left({𝑦}_{𝜆}\right)}_{𝜆\in 𝛬}\right]≔{\left(\left[{𝑥}_{𝜆},{𝑦}_{𝜆}\right]\right)}_{𝜆\in 𝛬}$$
  • Lie代数準同型 $${𝜄}_{𝜆}:{𝔤}_{𝜆}\to \coprod _{𝜆\in 𝛬}{𝔤}_{𝜆},𝑥\mapsto {\left({𝑥}_{{𝜆}^{\prime }}≔\{\begin{array}{cc}𝑥& {𝜆}^{\prime }=𝜆\\ 0& {𝜆}^{\prime }\ne 𝜆\end{array}\right)}_{{𝜆}^{\prime }\in 𝛬}$$
• Lie代数 $𝔥$を終域とするLie代数準同型の集合 ${\left\{{𝑓}_{𝜆}:{𝔤}_{𝜆}\to 𝔥\right\}}_{}$ の直和(direct sum)とは，Lie代数準同型 $$\coprod _{𝜆\in 𝛬}{𝑓}_{𝜆}:\coprod _{𝜆\in 𝛬}{𝔤}_{𝜆}\to 𝔥,{\left({𝑥}_{𝜆}\right)}_{𝜆\in 𝛬}\mapsto \sum _{𝜆\in 𝛬}{𝑓}_{𝜆}\left({𝑥}_{𝜆}\right)$$ のこと．

双積Lie代数

• 体$𝕂$
• 有限集合$𝛬$
• $𝕂$上のLie代数の集合 ${\left\{{𝔤}_{𝜆}\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$

を与える．

${\left\{{𝔤}_{𝜆}\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$ の双積(biproduct)とは，以下のデータのこと：

• ${\left\{{𝔤}_{𝜆}\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$ の直積Lie代数（同じことだが直和Lie代数） $\underset{𝜆\in 𝛬}{⨁}{𝔤}_{𝜆}$
• Lie代数準同型 $${𝜋}_{𝜆}:\underset{{𝜆}^{\prime }\in 𝛬}{⨁}{𝔤}_{{𝜆}^{\prime }}\to {𝔤}_{𝜆},{\left({𝑥}_{{𝜆}^{\prime }}\right)}_{{𝜆}^{\prime }\in 𝛬}\mapsto {𝑥}_{𝜆}$$
• Lie代数準同型 $${𝜄}_{𝜆}:{𝔤}_{𝜆}\to \underset{𝜆\in 𝛬}{⨁}{𝔤}_{𝜆},𝑥\mapsto {\left({𝑥}_{{𝜆}^{\prime }}≔\{\begin{array}{cc}𝑥& {𝜆}^{\prime }=𝜆\\ 0& {𝜆}^{\prime }\ne 𝜆\end{array}\right)}_{{𝜆}^{\prime }\in 𝛬}$$

等化子

• 体$𝕂$
• 集合$𝛬$
• $𝕂$上のLie代数 $𝔤,{𝔤}^{\prime }$
• 準同型の集合 ${\left\{{𝑓}_{𝜆}:𝔤\to {𝔤}^{\prime }\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$

を与える．

${\left\{{𝑓}_{𝜆}:𝔤\to {𝔤}^{\prime }\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$ の等化子(equalizer)とは，以下のデータのこと：

• 写像の集合の等化子 $\mathrm{eq}\left({\left\{{𝑓}_{𝜆}\right\}}_{𝜆\in 𝛬}\right)$
• Lie代数準同型となる包含写像 $𝜄:\mathrm{eq}\left({\left\{{𝑓}_{𝜆}\right\}}_{𝜆\in 𝛬}\right)\to 𝔤$

余等化子

• 体$𝕂$
• 集合$𝛬$
• $𝕂$上のLie代数 $𝔤,{𝔤}^{\prime }$
• 準同型の集合 ${\left\{{𝑓}_{𝜆}:𝔤\to {𝔤}^{\prime }\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$

を与える．

${\left\{{𝑓}_{𝜆}:𝔤\to {𝔤}^{\prime }\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$ の余等化子(coequalizer)とは，以下のデータのこと：

引き戻し

• 体$𝕂$
• 集合$𝛬$
• $𝕂$上のLie代数 $𝔤$ とLie代数の集合 ${\left\{{𝔤}_{𝜆}\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$
• 準同型の集合 ${\left\{{𝑓}_{𝜆}:{𝔤}_{𝜆}\to 𝔤\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$

を与える．

${\left\{{𝑓}_{𝜆}:{𝔤}_{𝜆}\to 𝔤\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$ の引き戻し(pullback)とは，以下のデータのこと：

• 写像の集合の引き戻し $\mathrm{pull}\left({\left\{{𝑓}_{𝜆}\right\}}_{𝜆\in 𝛬}\right)$
• 準同型 ${𝜋}_{𝜆}:\mathrm{pull}\left({\left\{{𝑓}_{𝜆}\right\}}_{𝜆\in 𝛬}\right)\to {𝔤}_{𝜆},{\left({𝑥}_{𝜆}\right)}_{𝜆\in 𝛬}\mapsto {𝑥}_{𝜆}$

一般線型代数・部分Lie代数

• 体$𝕂$
• $𝕂$-線型空間$𝑉$

を与える．

• $𝑉$上の一般線型代数(general linear algebra) $\mathrm{𝔤𝔩}\left(𝑉\right)$ とは，
  • 線型変換の集合 $\mathrm{end}\left(𝑉\right)$
  • 交換子
  の組によるLie代数のこと．
• 一般線型代数の部分Lie代数のことを線型Lie代数(linear Lie algebra)と呼ぶ．

自己準同型・同型

• 体$𝕂$
• $𝕂$上のLie代数$𝔤$

を与える．

• $𝔤$上の準同型のことを，自己準同型(endomorphism)と呼ぶ．自己準同型の集合を$\mathrm{end}𝔤$と書く．
• $𝔤$上の同型のことを，自己同型(automorphism)と呼ぶ．自己同型の集合を$\mathrm{aut}𝔤$と書く．
• $𝔤$上の反変準同型のことを，反変自己準同型(antiendomorphism)と呼ぶ．
• $𝔤$上の反変同型のことを，反変自己同型(antiautomorphism)と呼ぶ．

内部微分

• 体$𝕂$
• $𝕂$上のLie代数$𝔤$

を与える．

$𝑥\in 𝔤$に対し， $$\mathrm{ad}𝑥≔\left[𝑥,-\right]\in \mathrm{der}𝔤$$ を$𝔤$の内部微分(inner derivation)と呼ぶ．

自由Lie代数

体$𝕂$を与える．

$𝕂$-線型空間$𝑉$上の自由Lie代数(free Lie algebra)とは，以下のデータからなる：

• $𝕂$-線型空間$𝑉$ $$\coprod _{𝑛\in \mathbb{Z}}{𝑉}^{⨿𝑛}$$
• を線型に拡張したもの．

Lie代数上の加群・表現

• 体$𝕂$
• $𝕂$上のLie代数$𝔤$

を与える．

• $𝔤$上の加群(module over $𝔤$)，または$𝔤$-加群($𝔤$-module)とは，以下の組のこと：
  • $𝕂$-線型空間$𝑉$
  • 双線型写像 $:𝔤\Pi 𝑉\to 𝑉$ であって，以下を満たすもの： $$\forall 𝑥,𝑦\in 𝔤,\forall 𝑣\in 𝑉,\left[𝑥,𝑦\right]𝑣=𝑥\left(𝑦𝑣\right)-𝑦\left(𝑥𝑣\right)$$
• $𝔤$の表現(representation)とは，以下の組のこと：
  • $𝕂$-線型空間$𝑉$
  • $𝕂$-Lie代数準同型 $𝜌:𝔤\to \mathrm{𝔤𝔩}\left(𝑉\right)$

これらは以下の対応によって同じ構造を持つ：

• $𝔤$-加群 $𝑉$ に対し， $𝔤\to \mathrm{𝔤𝔩}\left(𝑉\right),𝑥\mapsto \left(𝑣\mapsto 𝑥𝑣\right)$ は表現．
• 表現 $𝜌$ に対し， $𝔤\Pi 𝑉\to 𝑉,\left(𝑥,𝑣\right)\mapsto 𝜌\left(𝑥\right)𝑣$ は$𝔤$-加群．

随伴表現

• 体$𝕂$
• $𝕂$上のLie代数$𝔤$

を与える．

内部微分はLie代数準同型であったから， $\mathrm{ad}:𝔤\to \mathrm{𝔤𝔩}\left(𝔤\right),𝑥\mapsto \mathrm{ad}𝑥$ は表現となる．これを随伴表現(adjoint representation)と呼ぶ．

忠実表現

単射な表現のことを忠実(faithful)と呼ぶ．

$𝔤$-加群・表現準同型

• 体$𝕂$
• $𝕂$上のLie代数$𝔤$
• $𝔤$-加群$𝑉,𝑊$
• $𝑉,𝑊$ それぞれに対応する表現 ${𝜌}_{𝑉},{𝜌}_{𝑊}$

を与える．

• 線型写像 $𝑓:𝑉\to 𝑊$ が$𝔤$-加群の準同型(homomorphism of $𝔤$-module)（または表現の準同型(homomorphism of representation)）であるとは，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすことを言う：
  • $\forall 𝑥\in 𝔤,\forall 𝑣\in 𝑉,𝑓\left(𝑥𝑣\right)=𝑥𝑓\left(𝑣\right)$
  • $\forall 𝑥\in 𝔤,𝑓\circ {𝜌}_{𝑉}\left(𝑥\right)={𝜌}_{𝑊}\left(𝑥\right)\circ 𝑓$
• 全単射な準同型を同型(isomorphism)と呼ぶ．

Killing形式

• 体$𝕂$
• $𝕂$上のLie代数$𝔤$

を与える．

$𝔤$ のKilling形式(Killing form)とは，以下の対称な双線型形式のこと： $$𝜅:𝔤\Pi 𝔤\to 𝕂,\left(𝑥,𝑦\right)\mapsto \mathrm{tr}\left(\mathrm{ad}\left(𝑥\right)\circ \mathrm{ad}\left(𝑦\right)\right)$$

$𝔤$-加群の直和

• 体$𝕂$
• 集合$𝛬$
• $𝕂$上のLie代数 $𝔤$
• $𝔤$-加群の集合 ${\left\{{𝑉}_{𝜆}\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$

を与える．

• ${\left\{{𝑉}_{𝜆}\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$ の直和(direct sum)とは，以下のデータのこと：
  • 以下で定まる$𝔤$-加群：
    • 直和線型空間 $\coprod _{𝜆\in 𝛬}{𝑉}_{𝜆}$
    • 左$𝔤$-作用 $$:𝔤\Pi \coprod _{𝜆\in 𝛬}{𝑉}_{𝜆}\to \coprod _{𝜆\in 𝛬}{𝑉}_{𝜆},\left(𝑥,{\left({𝑣}_{𝜆}\right)}_{𝜆\in 𝛬}\right)\mapsto {\left(𝑥{𝑣}_{𝜆}\right)}_{𝜆\in 𝛬}$$
  • $𝔤$-加群準同型 $${𝜄}_{𝜆}:{𝑉}_{𝜆}\to \coprod _{{𝜆}^{\prime }\in 𝛬}{𝑉}_{{𝜆}^{\prime }},𝑣\mapsto {\left({𝑣}_{{𝜆}^{\prime }}≔\{\begin{array}{cc}𝑣& {𝜆}^{\prime }=𝜆\\ 0& {𝜆}^{\prime }\ne 𝜆\end{array}\right)}_{{𝜆}^{\prime }\in 𝛬}$$
• $𝔤$-加群 $𝑊$ を終域とする$𝔤$-加群準同型の集合 ${\left\{{𝑓}_{𝜆}:{𝑉}_{𝜆}\to 𝑊\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$ の直和(direct sum)とは，以下の$𝔤$-加群準同型のこと： $$\coprod _{𝜆\in 𝛬}{𝑓}_{𝜆}:\coprod _{𝜆\in 𝛬}{𝑉}_{𝜆}\to 𝑊,{\left({𝑣}_{𝜆}\right)}_{𝜆\in 𝛬}\mapsto \sum _{𝜆\in 𝛬}{𝑓}_{𝜆}\left({𝑣}_{𝜆}\right)$$

ウェイト

• 体$𝕂$
• $𝕂$上の可換Lie代数$𝔤$
• $𝔤$の表現 $\left(𝑉,𝜌\right)$
• $𝔤$の双対線型空間 ${𝔤}^{\ast }$

を与える．

• $𝜌$に関するウェイト(weight)とは，$𝜆\in {𝔤}^{\ast }$のこと．
• （$𝜌$に関する）ウェイト$𝜆$のウェイトベクトル(weight vector)とは， $𝑣\in 𝑉$であって， $\forall 𝑥\in 𝔤$ に対し，固有値 $𝜆\left(𝑥\right)$ の固有ベクトルとなるもののこと．つまり，以下を満たすもののこと： $$\forall 𝑥\in 𝔤,𝜌\left(𝑥\right)𝑣=𝜆\left(𝑥\right)𝑣$$
• （$𝜌$に関する）ウェイト$𝜆$のウェイト空間(weight space)とは，ウェイトベクトルの集合がなす$𝕂$-線型空間のこと： $${𝑉}_{𝜆}≔\left\{𝑣\in 𝑉|\forall 𝑥\in 𝔤,𝜌\left(𝑥\right)𝑣=𝜆\left(𝑥\right)𝑣\right\}$$

ウェイト加群

• 体$𝕂$
• $𝕂$上のLie代数$𝔤$
• $𝔤$の部分Lie代数 $𝔥$
• $𝔥$の双対線型空間 ${𝔥}^{\ast }$

を与える．

$𝔤$-加群 $𝑉$ がウェイト加群(weight module)であるとは，$𝕂$-線型空間 $𝑉$ がウェイト空間の直和に分解されることを言う： $$𝑉=\coprod _{𝜆\in {𝔥}^{\ast }}{𝑉}_{𝜆}$$

ルート

随伴表現のウェイトのことをルート(root)と呼ぶ．

ルート空間分解

• Lie代数$𝔤$
• $𝔤$の極大トーラス$𝔥$

を与える．

$𝔤$の$𝔥$に対するルート空間分解(root space decomposition)とは以下のデータからなる：

• $𝔥$のルート格子(root lattice)と呼ばれる$𝔥$の双対線型空間 ${𝔥}^{\ast }$ の部分集合 $𝛬\subset {𝔥}^{\ast }\setminus \left\{0\right\}$
• $𝔥$のルート空間(root space)と呼ばれる$𝔤$の部分空間の集合 ${\left\{{𝔤}_{𝛼}≔\left\{𝑥\in 𝔤\right|\forall ℎ\in 𝔥,\left[ℎ,𝑥\right]=𝛼\left(ℎ\right)𝑥\}\right\}}_{𝛼\in 𝛬\cup \left\{0\right\}}$

これらは以下を満たす：

• ルート空間の直和が$𝔤$に等しい，つまり以下を満たす： $$𝔤={𝔤}_0\oplus \underset{𝛼\in 𝛬}{⨁}{𝔤}_{𝛼}$$

$𝛼\in 𝛬$ を$𝔤$の$𝔥$に対するルート(root)と呼ぶ．また，極大トーラスの定義より ${𝔤}_0=𝔥$ である．

三角分解

• 体$𝕂$
• $𝕂$上のLie代数$𝔤$

を与える．

$𝔤$の三角分解(triangular decomposition)とは，以下のデータからなる．

• 非零な部分Lie代数 ${𝔤}_{-},{𝔤}_0,{𝔤}_{+}\subset 𝔤$
• ${{𝔤}_0}^{\ast }$ の和に関する自由な部分半群 ${𝛬}_{+}\subset {{𝔤}_0}^{\ast }$
• ${{𝔤}_0}^{\ast }$ の基底 ${\left\{{𝛼}_{𝑗}\in {𝛬}_{+}\right\}}_{𝑗\in 𝐽}$
• 反変自己同型 $𝜎:{𝔤}^{\mathrm{op}}\to 𝔤$

これらは以下を満たす：

• ${𝔤}_0$ は可換
• $𝔤={𝔤}_{-}\oplus {𝔤}_0\oplus {𝔤}_{+}$
• $\left[{𝔤}_0,{𝔤}_{+}\right]\subset {𝔤}_{+}$
• ${𝔤}_{+}$ は， ${𝔤}_0$ に関する$𝛼\nsim 0$のルート空間分解を持ち，そのルートを集めたものは ${𝛬}^{+}$ に等しい．
• $\underset{𝑗\in 𝐽}{⨁}\mathbb{N}{𝛼}_{𝑗}={𝛬}_{+}$
• $𝜎\left({𝔤}_{+}\right)={𝔤}_{-},{𝜎|}_{𝔥}={\mathrm{id}}_{𝔥},{𝜎}^2={\mathrm{id}}_{𝔤}$