Lie代数

嘘じゃないよ

定義

Lie代数と準同型

Lie代数

体 $𝕂$ を与える．

$𝕂$ 上のLie代数(Lie algebra)とは，以下のデータからなる．

$𝕂$ -線型空間 $𝔤$
Lie括弧(Lie bracket)（または括弧積）と呼ばれる $𝐴$ 上の $𝕂$ -双線型写像 $[\cdot, \cdot] : 𝔤 Π 𝔤 \to 𝔤$

これらは以下を満たす：

Lie括弧は交代性を満たす．つまり， $\forall 𝑥 \in 𝔤, [𝑥, 𝑥] = 0$
Lie括弧はJacobi恒等式を満たす．つまり， $\forall 𝑥, 𝑦, 𝑧 \in 𝔤, [𝑥, [𝑦, 𝑧]] + [𝑦, [𝑧, 𝑥]] + [𝑧, [𝑥, 𝑦]] = 0$

Lie括弧の反交換律

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与えると，以下を満たす． $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔤, [𝑥, 𝑦] = - [𝑦, 𝑥]$

証明

$0 = [𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦] = [𝑥, 𝑥] + [𝑥, 𝑦] + [𝑦, 𝑥] + [𝑦, 𝑦] = [𝑥, 𝑦] + [𝑦, 𝑥]$

準同型

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤, 𝔥$

を与える．

以下の条件を満たす $𝕂$ -線型写像 $𝑓 : 𝔤 \to 𝔥$ を（Lie代数）準同型(homomorphism)と呼ぶ． $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔤, 𝑓 ([𝑥, 𝑦]) = [𝑓 (𝑥), 𝑓 (𝑦)]$

同型

全単射なLie代数準同型を（Lie代数）同型(isomorphism)と呼ぶ．
同型の始域と終域のことも互いに同型(isomorphism)と呼ぶ．

同型の逆射

Lie代数同型の逆写像もLie代数同型．

証明

体 $𝕂$ 上のLie代数 $𝔤, 𝔥$ と同型 $𝑓 : 𝔤 \to 𝔥$ に対し，逆写像 $𝑓^{- 1} : 𝔥 \to 𝔤$ は線型写像の逆写像なので線型写像であり， $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔥, 𝑓^{- 1} ([𝑥, 𝑦]) = 𝑓^{- 1} ([𝑓 \circ 𝑓^{- 1} (𝑥), 𝑓 \circ 𝑓^{- 1} (𝑦)]) = 𝑓^{- 1} \circ 𝑓 ([𝑓^{- 1} (𝑥), 𝑓^{- 1} (𝑦)]) = [𝑓^{- 1} (𝑥), 𝑓^{- 1} (𝑦)]$ を満たすので準同型． $𝑓^{- 1} : 𝔥 \to 𝔤$ は全単射なので同型となる．

Lie代数の圏

対象を全てのLie代数の集まり
射を全ての準同型の集まり

とする圏をLie代数の圏と呼び， ${𝐋𝐢𝐞𝐀𝐥𝐠}_{𝕂}$ と表す．

Lie代数の圏は亜代数

Lie代数の圏は $𝕂$ -亜代数（ $𝕂$ -線型圏）をなす．

反対Lie代数

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ の反対Lie括弧(opposite Lie bracket)とは，以下で定義されるLie括弧のこと： ${[𝑥, 𝑦]}^{op} ≔ [𝑦, 𝑥] = - [𝑥, 𝑦]$
$𝔤$ の反対Lie代数(opposite Lie algebra) $𝔤^{op}$ とは，Lie代数 $(𝔤, {[\cdot, \cdot]}^{op})$ のこと．

反変準同型・同型

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤, 𝔥$

を与える．

写像 $𝑓 : 𝔤^{op} \to 𝔥$ が

準同型となるとき，反変準同型や反準同型(antihomomorphism)と呼ぶ．
同型となるとき，反変同型や反同型(antiisoomorphism)と呼ぶ．

包絡代数とPBW定理

交換子

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の結合代数 $𝐴$

を与える．

交換子(commutator)と呼ばれる $𝐴$ 上の二項演算 $[𝑥, 𝑦] ≔ 𝑥 𝑦 - 𝑦 𝑥$ を定義すると， $𝐴$ は交換子をLie括弧とするLie代数をなす．

このとき，結合代数準同型はLie代数準同型に写るから，結合代数の圏からLie代数の圏への函手をなす．

特にこの函手は左随伴を持つ．これにより任意のLie代数に対し，結合代数的な積を（同型を除いて）一意的に定めることができる：

包絡代数

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ 上のテンソル代数 $(𝑇 (𝔤), 𝑖_{𝑇})$
${𝑥 \otimes 𝑦 - 𝑦 \otimes 𝑥 - [𝑥, 𝑦] | 𝑥, 𝑦 \in 𝔤}$ で生成される $𝑇 (𝔤)$ の両側イデアル $𝐽$

を与える．

$𝔤$ 上の（普遍）包絡代数((universal) enveloping algebra)とは，以下のデータの組のこと

商結合代数 $𝑈 (𝔤) ≔ 𝑇 (𝔤) ∕ 𝐽$
標準射影 $𝑝 : 𝑇 (𝔤) \to 𝑈 (𝔤)$ に対して定まる線型写像 $𝑖 ≔ 𝑝 \circ 𝑖_{𝑇} : 𝔤 \to 𝑈 (𝔤)$

包絡代数の普遍性

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の包絡代数 $(𝑈 (𝔤), 𝑖)$

を与えると，これらは以下を満たす：

$𝑈 (𝔤)$ を交換子をLie括弧とするLie代数とみなすと， $𝑖$ はLie代数準同型： $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔤, 𝑖 ([𝑥, 𝑦]) = 𝑖 (𝑥) 𝑖 (𝑦) - 𝑖 (𝑦) 𝑖 (𝑥)$
（包絡代数の普遍性）
- 任意の $𝕂$ -単位的結合代数 $𝐴$
- 任意のLie代数準同型 $𝑓 : 𝔤 \to 𝐴$
に対し，以下を満たす単位的代数準同型 𝑓‾ : 𝑈 ⁡ (𝔤) → 𝐴 が一意的に存在する： 𝑓 = 𝑓‾ ∘ 𝑖 つまり，以下の図式を可換にする：

証明

$𝑝 : 𝑇 (𝔤) \to 𝑈 (𝔤)$ を標準射影とすると， $𝑖 ([𝑥, 𝑦]) = 𝑝 (𝑥 \otimes 𝑦) - 𝑝 (𝑦 \otimes 𝑥) = 𝑝 (𝑥) 𝑝 (𝑦) - 𝑝 (𝑦) 𝑝 (𝑥) = 𝑖 (𝑥) 𝑖 (𝑦) - 𝑖 (𝑦) 𝑖 (𝑥)$
テンソル代数の普遍性より，単位的代数準同型 $𝑓^{'} : 𝑇 (𝔤) \to 𝐴$ が一意的に存在し， $𝑓 = 𝑓^{'} \circ 𝑖_{T}$ を満たす．さらに商結合代数の普遍性より， $𝑓^{'} = \overline{𝑓} \circ 𝑝$ と分解できる．

テンソル代数はフィルター付き代数なので，包絡代数もフィルター付き代数．よってこれらは自然に次数付き代数を誘導する．

Poincaré–Birkhoff–Witt (PBW) 定理

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ 上の包絡代数 $𝑈 (𝔤)$

を与えると，以下は可換結合代数同型：

$𝑈 (𝔤)$ の誘導する次数付き代数 $gr 𝑈 (𝔤)$
$𝔤$ 上の対称代数 $𝑆 (𝔤)$

証明

PBW基底

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ 上の包絡代数 $𝑈 (𝔤)$
$𝔤$ の全順序付き基底 $𝑋$

を与えると，以下は $𝑈 (𝔤)$ の基底をなす： ${𝑥_{1} \dots 𝑥_{𝑛} | 𝑥_{1} \leq \dots \leq 𝑥_{𝑛}}$

包絡代数は余可換三角Hopf代数

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ 上の包絡代数 $𝑈 (𝔤)$

を与え，

余双線型写像 $𝛥 : 𝑈 (𝔤) \to 𝑈 (𝔤) \otimes 𝑈 (𝔤)$ を $𝑥 \in 𝔤$ に対し， $𝛥 (𝑥) ≔ 𝑥 \otimes 1 + 1 \otimes 𝑥$ を単位的結合代数的に拡張したものとして定義したもの
$𝜀 ≔ 0_{𝑈 (𝔤), 𝕂} : 𝑈 (𝔤) \to 𝕂, 𝑥 \mapsto 0$
$𝑆 : 𝑈 (𝔤) \to 𝑈 (𝔤)$ を $𝑥 \in 𝔤$ に対し， $𝑆 (𝑥) ≔ - 𝑥$ 反変単位的結合代数的に拡張したものとして定義したもの
$𝑅 ≔ 1 \otimes 1 \in 𝑈 (𝔤) \otimes 𝑈 (𝔤)$

と定義すると， $(𝑈 (𝔤), 𝑚, 𝜂, 𝛥, 𝜀, 𝑆, 𝑅)$ は余可換三角 Hopf代数

証明

$𝛥, 𝜀$ が単位的代数準同型になることは，定義より明らか．よって， $(𝑈 (𝔤), 𝑚, 𝜂, 𝛥, 𝜀)$ は双単位的双結合双代数
余可換性は自明．
$\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対し， $(id \otimes 𝑆) \circ 𝛥 (𝑥) = 𝑥 \otimes 1 - 1 \otimes 𝑥$ $(𝑆 \otimes id) \circ 𝛥 (𝑥) = 1 \otimes 𝑥 - 𝑥 \otimes 1$ となるから， $𝑚 \circ (id \otimes 𝑆) \circ 𝛥 = 𝑚 \circ (𝑆 \otimes id) \circ 𝛥 = 0_{𝑈 (𝔤), 𝑈 (𝔤)} = 𝜂 \circ 𝜀$ となる．つまり $(𝑈 (𝔤), 𝑚, 𝜂, 𝛥, 𝜀)$ はHopf代数
$𝑅 = 𝑅^{- 1}$ は単位的代数の単位元なので，余可換性と $(𝛥 \otimes {id}_{𝐴}) (𝑅) = ({id}_{𝐴} \otimes 𝛥) (𝑅) = 1 \otimes 1 \otimes 1$ より， $(𝑈 (𝔤), 𝑚, 𝜂, 𝛥, 𝜀, 𝑅)$ は三角 Hopf代数．

Lie代数の演算

直積Lie代数

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数の集合 ${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与える．

{ 𝔤𝜆 } 𝜆∈𝛬 の直積(direct poduct)とは，以下のデータのこと：
- 線型空間の直積 $\prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝔤_{𝜆}$ に，Lie括弧を以下で定義することで得られるLie代数： $[{(𝑥_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬}, {(𝑦_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬}] ≔ {([𝑥_{𝜆}, 𝑦_{𝜆}])}_{𝜆 \in 𝛬}$
- Lie代数準同型 $𝜋_{𝜆} : \prod_{𝜆^{'} \in 𝛬} 𝔤_{𝜆^{'}} \to 𝔤_{𝜆}, {(𝑥_{𝜆^{'}})}_{𝜆^{'} \in 𝛬} \mapsto 𝑥_{𝜆}$
Lie代数 $𝔥$ を始域とするLie代数準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝔥 \to 𝔤_{𝜆}}$ の直積(direct poduct)とは，Lie代数準同型 $\prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝑓_{𝜆} : 𝔥 \to \prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝔤_{𝜆}, 𝑥 \mapsto {(𝑓_{𝜆} (𝑥))}_{𝜆 \in 𝛬}$ のこと．

直積の普遍性

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数の集合 ${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$
Lie代数 $𝔥$ を始域とするLie代数準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝔥 \to 𝔤_{𝜆}}$

を与えると，以下を満たすLie代数準同型 $𝑓 : 𝔥 \to \prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝔤_{𝜆}$ は直積 $\prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝑓_{𝜆}$ に限られる： $\forall 𝜆 \in 𝛬, 𝜋_{𝜆} \circ 𝑓 = 𝑓_{𝜆}$

直和Lie代数

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数の集合 ${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与える．

{ 𝔤𝜆 } 𝜆∈𝛬 の直和(direct sum)とは，以下のデータのこと：
- 線型空間の直和 $\underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝔤_{𝜆}$ に，Lie括弧を以下で定義することで得られるLie代数： $[{(𝑥_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬}, {(𝑦_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬}] ≔ {([𝑥_{𝜆}, 𝑦_{𝜆}])}_{𝜆 \in 𝛬}$
- Lie代数準同型 $𝜄_{𝜆} : 𝔤_{𝜆} \to \underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝔤_{𝜆}, 𝑥 \mapsto {(𝑥_{𝜆^{'}} ≔ {\begin{matrix} 𝑥 & 𝜆^{'} = 𝜆 \\ 0 & 𝜆^{'} \neq 𝜆 \end{matrix})}_{𝜆^{'} \in 𝛬}$
Lie代数 $𝔥$ を終域とするLie代数準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝔤_{𝜆} \to 𝔥}$ の直和(direct sum)とは，Lie代数準同型 $\underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑓_{𝜆} : \underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝔤_{𝜆} \to 𝔥, {(𝑥_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬} \mapsto \sum_{𝜆 \in 𝛬} 𝑓_{𝜆} (𝑥_{𝜆})$ のこと．

直和の普遍性

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数の集合 ${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$
Lie代数 $𝔥$ を終域とするLie代数準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝔤_{𝜆} \to 𝔥}$

を与えると，以下を満たすLie代数準同型 $𝑓 : \underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝔤_{𝜆} \to 𝔥$ は直和 $\underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑓_{𝜆}$ に限られる： $\forall 𝜆 \in 𝛬, 𝑓 \circ 𝜄_{𝜆} = 𝑓_{𝜆}$

線型空間の場合と同様，添字集合 $𝛬$ が有限なら，直積と直和は線型同型である：

双積Lie代数

体 $𝕂$
有限集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数の集合 ${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与える．

${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ の双積(biproduct)とは，以下のデータのこと：

${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ の直積Lie代数（同じことだが直和Lie代数） $⨁_{𝜆 \in 𝛬} 𝔤_{𝜆}$
Lie代数準同型 $𝜋_{𝜆} : ⨁_{𝜆^{'} \in 𝛬} 𝔤_{𝜆^{'}} \to 𝔤_{𝜆}, {(𝑥_{𝜆^{'}})}_{𝜆^{'} \in 𝛬} \mapsto 𝑥_{𝜆}$
Lie代数準同型 $𝜄_{𝜆} : 𝔤_{𝜆} \to ⨁_{𝜆 \in 𝛬} 𝔤_{𝜆}, 𝑥 \mapsto {(𝑥_{𝜆^{'}} ≔ {\begin{matrix} 𝑥 & 𝜆^{'} = 𝜆 \\ 0 & 𝜆^{'} \neq 𝜆 \end{matrix})}_{𝜆^{'} \in 𝛬}$

双積の基本性質

体 $𝕂$
有限集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数の集合 ${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$
${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ の双積 $(⨁_{𝜆 \in 𝛬} 𝔤_{𝜆}, {𝜋_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}, {𝜄_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$

を与えると，以下が成り立つ：

$(⨁_{𝜆 \in 𝛬} 𝔤_{𝜆}, {𝜋_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$ は ${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ の直積
$(⨁_{𝜆 \in 𝛬} 𝔤_{𝜆}, {𝜄_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$ は ${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ の直和
$\forall 𝜆 \in 𝛬, 𝜋_{𝜆} \circ 𝜄_{𝜆} = {id}_{𝔤_{𝜆}}$

等化子

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤, 𝔤^{'}$
準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝔤 \to 𝔤^{'}}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与える．

${𝑓_{𝜆} : 𝔤 \to 𝔤^{'}}_{𝜆 \in 𝛬}$ の等化子(equalizer)とは，以下のデータのこと：

写像の集合の等化子 $eq ({𝑓_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$
Lie代数準同型となる包含写像 $𝜄 : eq ({𝑓_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}) \to 𝔤$

等化子の基本性質

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤, 𝔤^{'}$
準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝔤 \to 𝔤^{'}}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与えると，等化子 $(eq ({𝑓_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}), 𝑖)$ に対し，

$eq ({𝑓_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$ は $𝔤$ の部分Lie代数
𝑖 は準同型

等化子の普遍性

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤, 𝔤^{'}$
準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝔤 \to 𝔤^{'}}_{𝜆 \in 𝛬}$
等化子 $(eq ({𝑓_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}), 𝑖)$

を与えると，

$eq ({𝑓_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$ の部分Lie代数 $𝔥$
準同型 $𝑔 : 𝔥 \to 𝔤$ で，以下を満たすもの： $\forall 𝜆, 𝜆^{'} \in 𝛬, 𝑓_{𝜆} \circ 𝑔 = 𝑓_{𝜆^{'}} \circ 𝑔$

に対し，以下を満たす Lie代数準同型 $𝑓 : 𝔥 \to eq ({𝑓_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$ は，自然な包含写像 $𝜄^{'} : 𝔥 \to eq ({𝑓_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$ に限られる： $𝜄 \circ 𝑓 = 𝑔$

余等化子

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤, 𝔤^{'}$
準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝔤 \to 𝔤^{'}}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与える．

${𝑓_{𝜆} : 𝔤 \to 𝔤^{'}}_{𝜆 \in 𝛬}$ の余等化子(coequalizer)とは，以下のデータのこと：

余等化子の普遍性

引き戻し

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$ とLie代数の集合 ${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$
準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝔤_{𝜆} \to 𝔤}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与える．

${𝑓_{𝜆} : 𝔤_{𝜆} \to 𝔤}_{𝜆 \in 𝛬}$ の引き戻し(pullback)とは，以下のデータのこと：

写像の集合の引き戻し $pull ({𝑓_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$
準同型 $𝜋_{𝜆} : pull ({𝑓_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}) \to 𝔤_{𝜆}, {(𝑥_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬} \mapsto 𝑥_{𝜆}$

同型定理

零Lie代数

体 $𝕂$ を与える．

零線型空間 ${0}$ は，Lie括弧として唯一 $[0, 0] = 0$ を持ち得る．これを定義とするLie代数 ${0}$ を自明なLie代数(trivial Lie algebra)や零Lie代数(zero Lie algebra)と呼ぶ．

同型定理

Lie代数の圏の部分対象，正規対象，商対象を確認し，同型定理を示す．

部分Lie代数

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

部分集合 $𝔥 \subset 𝔤$ で， $𝔤$ と同じ演算に関してLie代数となるものを， $𝔤$ の部分Lie代数(Lie subalgebra)と呼ぶ．つまり以下を満たす： $𝔥 + 𝔥, 𝕂 𝔥, [𝔥, 𝔥] \subset 𝔥$

生成系

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の部分集合 $𝑋$

を与える．

は $𝑋$ を含む $𝔤$ の部分Lie代数のなかで最小．これを $𝑋$ で生成される部分Lie代数と呼ぶ．
特に $𝔤$ に一致するとき， $𝑋$ を $𝔤$ の生成系(generator)と呼ぶ．

イデアル

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ のイデアル(ideal)とは，部分集合 $𝔦 \subset 𝔤$ であって，以下を満たすものを言う：

$𝔦$ は $𝔤$ の部分線型空間
$[𝔤, 𝔦] \subset 𝔦$

自明なイデアル

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

${0}, 𝔤 \subset 𝔤$ は $𝔤$ のイデアルとなる．これらを $𝔤$ の自明なイデアル(trivial ideal)と呼ぶ．
それ以外を非自明(nontrivial)と呼ぶ．

正規閉包

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の部分集合 $𝑋$

を与える．

$𝑋$ の正規閉包(normal closure)とは， $𝔤$ のイデアル $ncl (𝑋)$ であって，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすもののこと：

$ncl (𝑋)$ は $𝑋$ を含む最小のイデアル
$ncl (𝑋) = {span}_{𝕂} {𝑋} \cup ⋃_{𝑛 \in ℕ} {(ad 𝔤)}^{𝑛} 𝑋$

正規化Lie代数

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の部分集合 $𝑋$

を与える．

$𝑋$ で生成される部分Lie代数を $𝔥$ としたときのを $𝑋$ の正規化Lie代数(normalizer)と呼ぶ．

$𝑁_{𝔤} (𝑋)$ は， $𝔥$ がイデアルとなるようなもののうち，最大なもの．
$𝑁_{𝔤} (𝑋) = {𝑥 \in 𝔤 | [𝑥, 𝔥] \subset 𝔥}$

商Lie代数

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ のイデアル $𝔦$

を与える．

$𝔤$ の $𝔦$ で割った商Lie代数(quotient Lie algebra)とは，商線型空間 $𝔤 ∕ 𝔦$ に，以下でLie括弧を定義したLie代数のこと： $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔤, [𝑥 + 𝔦, 𝑦 + 𝔦] ≔ [𝑥, 𝑦] + 𝔦$

同型定理

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与えると，以下が成り立つ．

- 任意の $𝕂$ 上のLie代数 $𝔥$
- 任意の準同型 $𝑓 : 𝔤 \to 𝔥$
に対し，
- $𝑓$ の核 $𝑓^{- 1} (0_{𝔥})$ は $𝔤$ のイデアル
- $𝑓$ の像 $𝑓 (𝔤)$ は $𝔥$ の部分Lie代数
- 任意の $𝔤$ のイデアル $𝔦$ に対し， $𝔦 \subset \ker 𝑓$ を満たすとき，以下を満たす： $\exists! \overline{𝑓} : 𝔤 ∕ 𝔦 \to 𝔥, \overline{𝑓} \circ 𝑝 = 𝑓$ つまり以下の図式を可換にする：特に，自然な同型 $𝔤 ∕ \ker 𝑓 ≅ 𝑓 (𝔤)$ が存在する．
任意の𝔤のイデアル 𝔦⊂𝔧 に対し，
- $𝔧 ∕ 𝔦$ は $𝔤 ∕ 𝔦$ のイデアル
- 自然な同型 $(𝔤 ∕ 𝔦) ∕ (𝔧 ∕ 𝔦) ≅ 𝔤 ∕ 𝔧$ が成り立つ
任意の𝔤のイデアル 𝔦,𝔧 に対し，
- $𝔦 + 𝔧, 𝔦 \cap 𝔧$ は $𝔤$ のイデアル
- 自然な同型 $(𝔦 + 𝔧) ∕ 𝔧 ≅ 𝔦 ∕ (𝔦 \cap 𝔧)$ が成り立つ

可換性

可換

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝑥, 𝑦 \in 𝔤$ が $[𝑥, 𝑦] = 0$ を満たすとき， $𝑥, 𝑦$ は互いに可換(Abelian)と呼ぶ．
$[𝔤, 𝔤] = 0$ を満たすとき， $𝔤$ を可換(Abelian)と呼ぶ．

自由可換Lie代数

体 $𝕂$ を与える．

$𝕂$ -線型空間 $𝑉$ 上の可換Lie代数(commutative Lie algebra)とは，以下で定義されるLie代数のこと：

$𝕂$ -線型空間 $𝑉$
Lie括弧 $[\cdot, \cdot] : 𝑉 Π 𝑉 \to 𝑉, [𝑥, 𝑦] = 0$

可換Lie代数準同型

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝕂$ 上の可換Lie代数 $𝔥$
$𝕂$ -線型写像 $𝑓 : 𝔤 \to 𝔥$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝑓 ([𝔤, 𝔤]) = 0$ を満たすならば，Lie代数準同型．
$𝔤$ も可換ならば， $𝑓$ はLie代数準同型．

証明

Lie代数準同型の定義より明らか．

可換Lie代数の普遍性

可換Lie代数の圏，つまり

対象を全ての可換Lie代数
射を全ての可換Lie代数準同型

とする圏と，線型空間の圏は自然同値．

中心化代数・中心

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の部分集合 $𝑋$

を与える．

$𝑋$ の中心化代数(centralizer)とは，以下の $𝔤$ の部分Lie代数のこと： $𝑍_{𝔤} (𝑋) ≔ {𝑥 \in 𝔤 | [𝑥, 𝑋] = {0}}$
$𝔤$ の中心(center)とは，以下の $𝔤$ のイデアルのこと： $𝑍 (𝔤) ≔ 𝑍_{𝔤} (𝔤) = {𝑧 \in 𝔤 | [𝑧, 𝔤] = {0}}$
$𝔤$ が無中心(centerless)であるとは，中心が零Lie代数であることを言う： $𝑍 (𝔤) = {0}$

部分Lie代数，イデアルになることの証明

$𝔤$ の部分線型空間となることは明らか． $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝑍_{𝔤} (𝑋)$ に対し，反交換律とJacobi恒等式より， $[[𝑥, 𝑦], 𝑋] \subseteq [𝑥, [𝑦, 𝑋]] + [𝑦, [𝑋, 𝑥]] = 0$ より，部分Lie代数となる．
$[𝔤, 𝑍 (𝔤)] = 0 \subseteq 𝑍 (𝔤)$

トーラス

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ の有限次元(?)部分線型空間 $𝔥$ が

$𝔤$ のトーラス(torus)とは，部分Lie代数 $𝔥$ で， $𝔥$ 上可換なもの，あるいは同じことだが自分自身を $𝔥$ の中心とする，つまり $𝑍_{𝔥} (𝔥) = 𝔥$ を満たすものをと呼ぶ．
トーラスのうち極大，あるいは同じことだが $𝔥$ の中心化代数が $𝔥$ に一致するもの，つまり $𝑍_{𝔤} (𝔥) = 𝔥$ を満たすものを極大トーラス(maximal torus)と呼ぶ．

単純性

単純Lie代数

Lie代数のうち，（自明な）イデアルをちょうど2つ持つものを，単純(simple)と呼ぶ．
単純Lie代数の直和で表されるLie代数を，半単純(semisimple)（歴史的には簡約Lie代数(reductive Lie algebra)）と呼ぶ．

1次元Lie代数

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与えると，以下は同値：

$𝔤$ は1次元
$𝔤$ は可換かつ単純
$𝔤$ は中心が非零かつ単純

証明

$𝔤$ が1次元のとき，Lie括弧の交代性より明らかに可換．また，イデアルは自明に， ${0}$ と $𝔤$ しかないので，単純．
可換Lie代数の中心は自分自身であり，単純Lie代数は非零でなので，可換な単純Lie代数は中心が非零．
単純Lie代数の中心は零または自分自身．また，中心の部分線型空間はイデアルなので，単純Lie代数の中心は0または1次元．よって，中心が非零な単純Lie代数は1次元

無中心単純・半単純Lie代数

体 $𝕂$ を与えると，以下が成り立つ：

𝕂上の単純Lie代数𝔤に対し，以下は同値：
- $𝔤$ は無中心
- $𝔤$ は可換
- $𝔤$ は1次元でない
𝕂上の半単純Lie代数𝔤に対し，以下は同値：
- $𝔤$ は無中心
- $𝔤$ は無中心な単純Lie代数の直和．

証明

1次元Lie代数の性質より自明．

無中心単純Lie代数のことを単に単純Lie代数と呼ぶことが多いのだが，Lie代数の圏の単純対象を指す用語としては現代的ではないので，ここでは無中心と明記することにする．

極大イデアルの商Lie代数

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ のイデアル $𝔦$

を与える．

以下は同値：
- $𝔦$ が（極大）イデアルかつ極大部分Lie代数
- $𝔦$ による商Lie代数 $𝔤 ∕ 𝔦$ が1次元Lie代数
以下は同値：
- $𝔦$ が極大イデアルかつ極大でない部分Lie代数
- $𝔦$ による商Lie代数 $𝔤 ∕ 𝔦$ が無中心単純Lie代数

証明

一般に， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ とイデアル $𝔦$ に対して， $[𝕂 𝑥 + 𝔦, 𝕂 𝑥 + 𝔦] = [𝕂 𝑥 + 𝔦, 𝔦] \subset 𝔦$ を満たすから， $𝕂 𝑥 + 𝔦$ は $𝔤$ の部分Lie代数． $𝔦$ が極大部分Lie代数のとき， $𝑥 \in 𝔤 ∖ 𝔦$ と取れ，そのとき $𝕂 𝑥 + 𝔦 = 𝔤$ となることが必要．ゆえに， $𝔤 ∕ 𝔦$ は1次元Lie代数．
𝔤∕𝔦が無中心単純Lie代数または1次元Lie代数であることを示せばよい．対偶を示す．
- $𝔦$ が極大イデアルでない，つまり $𝔤$ のイデアル $𝔧$ で $𝔦 ⊊ 𝔧 ⊊ 𝔤$ を満たすものが存在したとすると，同型定理より $𝔤 ∕ 𝔦$ はイデアル $𝔧 ∕ 𝔦$ を持つ．よって，無中心単純Lie代数でも1次元可換Lie代数でもない．
- $𝔤 ∕ 𝔦$ が無中心単純Lie代数でも1次元可換Lie代数でもないとすると，非自明な部分Lie代数 ${0} ⊊ 𝔥 ⊊ 𝔤 ∕ 𝔦$ が存在する．このとき， $𝔦 ⊊ 𝔥 + 𝔦 ⊊ 𝔤$ より $𝔦$ は極大イデアルではない．

Lie代数の拡大

体 $𝕂$ を与える．

$𝕂$ -Lie代数 $𝔢$ が $𝕂$ -Lie代数 $𝔤$ の $𝕂$ -Lie代数 $𝔥$ による拡大(extension)であるとは，以下の短完全列を持つことを言う： $0 ↪ 𝔥 \overset{𝑖}{↪} 𝔢 \overset{𝑠}{↠} 𝔤 ↠ 0$

短完全列の定義より $𝔤 ≅ 𝔢 ∕ im 𝑖 = 𝔢 ∕ \ker 𝑠$

特別なLie代数の拡大

体 $𝕂$
Lie代数 $𝔤, 𝔥$
$𝔤$ の $𝔥$ による拡大 $𝔢$

を与える．

拡大が自明(trivial)であるとは， $𝔤$ のイデアル $𝔦$ が存在し，以下を満たすことを言う： $𝔢 = 𝔦 + \ker 𝑠$
拡大が分裂(split)するとは， $𝔤$ の部分Lie代数 $𝔦$ が存在し，以下を満たすことを言う： $𝔢 = 𝔦 + \ker 𝑠$
拡大が中心的(central)であるとは， $\ker 𝑠$ が $𝔢$ の中心 $𝑍 (𝔢)$ に含まれることを言う： $\ker 𝑠 \subseteq 𝑍 (𝔢)$

普遍中心拡大

線型Lie代数

線型変換の集合 $end (𝑉)$ は単位的結合代数だったから，交換子をLie括弧とするLie代数をなす：

一般線型Lie代数・線型Lie代数

体 $𝕂$
$𝕂$ -線型空間 $𝑉$

を与える．

𝑉上の一般線型代数(general linear algebra) 𝔤𝔩 ⁡ (𝑉) とは，
- 線型変換の集合 $end (𝑉)$
- 交換子
の組によるLie代数のこと．
一般線型代数の部分Lie代数のことを線型Lie代数(linear Lie algebra)と呼ぶ．
$𝑛 \in ℕ_{0}$ に対し， $𝔤𝔩 (𝑛, 𝕂) ≔ 𝔤𝔩 (𝕂^{𝑛})$ とも表す．
以下を $𝔤𝔩 (𝑛, 𝕂)$ の標準基底(standard basis)と呼ぶ： ${𝑒_{𝑖, 𝑗} ≔ {(𝛿_{𝑖, 𝑎} 𝛿_{𝑗, 𝑏})}_{𝑎, 𝑏 \in 𝑛}}_{𝑖, 𝑗 \in 𝑛}$

特殊線型Lie代数

体 $𝕂$
有限次元 $𝕂$ -線型空間 $𝑉$

を与える．

特殊線型Lie代数(special linear Lie algebra)とは，以下で定義される線型Lie代数のこと： $𝔰𝔩 (𝑉) ≔ {𝑥 \in 𝔤𝔩 (𝑉) | tr (𝑥) = 0}$
$𝑛 \in ℕ_{0}$ に対し， $𝔰𝔩 (𝑛, 𝕂) ≔ 𝔰𝔩 (𝕂^{𝑛})$ とも表す．
$𝔤𝔩 (𝑛, 𝕂)$ の標準基底 ${𝑒_{𝑖, 𝑗}}_{𝑖, 𝑗 \in 𝑛}$ を用いて定義される以下の集合を $𝔰𝔩 (𝑛, 𝕂)$ の標準基底(standard basis)と呼ぶ： ${𝑒_{𝑖, 𝑗}}_{𝑖 \neq 𝑗 \in 𝑛} \cup {𝑒_{𝑖, 𝑖} - 𝑒_{𝑖 + 1, 𝑖 + 1}}_{𝑖 \in 𝑛 - 1}$

Lie代数となることの証明

跡の線型性と巡回性より直ちに成り立つ．

特殊直交Lie代数

体 $𝕂$
有限次元 $𝕂$ -線型空間 $𝑉$
行列 $(\begin{matrix} 1 \\ 𝟙_{𝑛} \\ 𝟙_{𝑛} \end{matrix})$ または $(\begin{matrix} 𝟙_{𝑛} \\ 𝟙_{𝑛} \end{matrix})$ で定まる非退化双線型形式 $𝑓$

を与える．

特殊直交Lie代数(special linear Lie algebra)とは，以下で定義される線型Lie代数のこと： $𝔰𝔬 (𝑉) ≔ {𝑥 \in 𝔤𝔩 (𝑉) | \forall 𝑣, 𝑤 \in 𝑉, 𝑓 (𝑥 (𝑣), 𝑤) = - 𝑓 (𝑣, 𝑥 (𝑤))}$
$𝑛 \in ℕ_{0}$ に対し， $𝔰𝔬 (𝑛, 𝕂) ≔ 𝔰𝔬 (𝕂^{𝑛})$ とも表す．

Lie代数となることの証明

シンプレクティックLie代数

体 $𝕂$
有限次元 $𝕂$ -線型空間 $𝑉$
行列 $(\begin{matrix} 𝟙_{𝑛} \\ - 𝟙_{𝑛} \end{matrix})$ で定まる非退化双線型形式 $𝑓$

を与える．

シンプレクティックLie代数(symplectic Lie algebra)とは，以下で定義される線型Lie代数のこと： $𝔰𝔭 (𝑉) ≔ {𝑥 \in 𝔤𝔩 (𝑉) | \forall 𝑣, 𝑤 \in 𝑉, 𝑓 (𝑥 (𝑣), 𝑤) = - 𝑓 (𝑣, 𝑥 (𝑤))}$
$𝑛 \in ℕ_{0}$ に対し， $𝔰𝔭 (𝑛, 𝕂) ≔ 𝔰𝔭 (𝕂^{𝑛})$ とも表す．

Lie代数となることの証明

自己準同型

自己準同型・同型

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ 上の準同型のことを，自己準同型(endomorphism)と呼ぶ．自己準同型の集合を $end 𝔤$ と書く．
$𝔤$ 上の同型のことを，自己同型(automorphism)と呼ぶ．自己同型の集合を $aut 𝔤$ と書く．
$𝔤$ 上の反変準同型のことを，反変自己準同型(antiendomorphism)と呼ぶ．
$𝔤$ 上の反変同型のことを，反変自己同型(antiautomorphism)と呼ぶ．

内部微分

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝑥 \in 𝔤$ に対し， $ad 𝑥 ≔ [𝑥, -] \in der 𝔤$ を $𝔤$ の内部微分(inner derivation)と呼ぶ．

内部微分は微分

- 内部微分は微分
- 微分は線型変換
- 体 $𝕂$
- $𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
を与えると，
- $ad 𝔤$ はLie代数
- $ad : 𝔤 \to ad 𝔤$ はLie代数準同型
- 以下は部分Lie代数の増大列となる： $ad 𝔤 \subset der 𝔤 \subset 𝔤𝔩 𝔤$

証明

- Jacobi恒等式とLie括弧の反交換律より， $\forall 𝑥, 𝑧, 𝑤 \in 𝔤$ に対して $ad 𝑥 ([𝑧, 𝑤]) = - [𝑤, [𝑥, 𝑧]] - [𝑧, [𝑤, 𝑥]] = [[𝑥, 𝑧], 𝑤] + [𝑧, [𝑥, 𝑤]] = [ad 𝑥 (𝑧), 𝑤] + [𝑧, ad 𝑥 (𝑤)]$ を満たすから，内部微分は微分．
- 微分は定義より線型変換．
- $ad 𝔤$ が線型空間となるのは．Lie括弧の双線型性より明らか．また，Lie括弧の反交換律とJacobi恒等式より， $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔤$ に対して， $[ad 𝑥, ad 𝑦] = [𝑥, [𝑦, -]] - [𝑦, [𝑥, -]] = - [-, [𝑥, 𝑦]] = ad [𝑥, 𝑦]$ を満たすから，内部微分の集合 $ad 𝔤$ はLie代数をなし， $ad$ はLie代数準同型となる．
- 一般に，微分代数 $der 𝔤$ ，一般線型代数 $𝔤𝔩 𝔤$ はLie代数である．

可解・冪零

可解Lie代数

導来Lie代数

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ の導来Lie代数(derived Lie algebra)とは， $𝔤$ のイデアル $[𝔤, 𝔤]$ のこと．
$𝐷 : {(2^{𝔤})}^{Π 2} \to 2^{𝔤}, (𝑋, 𝑌) \mapsto [𝑋, 𝑌]$ とすると， $𝔤$ の導来列(derived series)とは，以下の導来Lie代数の列のこと： $𝔤 = 𝐷^{0} 𝔤 \supset 𝐷^{1} 𝔤 \supset 𝐷^{2} 𝔤 \supset \dots$

導来Lie代数の基本性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与えると， $𝔤$ の導来Lie代数 $[𝔤, 𝔤]$ の商Lie代数 $𝔤 ∕ [𝔤, 𝔤]$ は可換．

証明

まず，導来Lie代数がイデアルとなることは， $[𝔤, [𝔤, 𝔤]] \subset [𝔤, 𝔤]$ より自明．
その商Lie代数は， $[𝔤 + [𝔤, 𝔤], 𝔤 + [𝔤, 𝔤]] \subset [𝔤, 𝔤]$ より可換．

可解

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝐷 : {(2^{𝔤})}^{Π 2} \to 2^{𝔤}, (𝑋, 𝑌) \mapsto [𝑋, 𝑌]$

を与える．

$𝔤$ が可解(solvable)であるとは，導来列が有限で $0$ になって止まること．つまり， $\exists 𝑛 \in ℕ_{0}, 𝐷^{𝑛} 𝔤 = {0}$ を満たす．

可解性の基本性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与えると，以下が成り立つ：

𝔤が可解ならば，以下も可解：
- 任意の $𝔤$ の部分Lie代数，イデアル
- 任意のLie代数準同型 $𝑓 : 𝔤 \to 𝔥$ の像 $𝑓 (𝔤)$
- 任意の $𝔤$ のイデアル $𝔦$ に対する商Lie代数 $𝔤 ∕ 𝔦$
$𝔤$ のイデアル $𝔦$ と商Lie代数 $𝔤 ∕ 𝔦$ が共に可解ならば， $𝔤$ も可解．
$𝔤$ のイデアル $𝔦, 𝔧$ が共に可解ならば，イデアル $𝔦 \cap 𝔧, 𝔦 + 𝔧$ も可解．

証明

$𝐷 : {(2^{𝔤})}^{Π 2} \to 2^{𝔤}, (𝑋, 𝑌) \mapsto [𝑋, 𝑌]$ とする．

- $𝔤$ の部分Lie代数 $𝔥$ に対し， $𝐷^{𝑛} 𝔥 \subset 𝐷^{𝑛} 𝔤$ となることから明らか．
- $𝑓 (𝐷^{𝑛} 𝔤) = [𝑓 (𝐷^{𝑛 - 1} 𝔤), 𝑓 (𝐷^{𝑛 - 1} 𝔤)] = 𝐷_{𝔥} (𝑓 (𝐷^{𝑛 - 1} 𝔤)) = 𝐷_{𝔥}^{𝑛} (𝑓 (𝔤))$ より， $𝔤$ が冪零ならば， $𝑓 (𝔤)$ も冪零．
- 商Lie代数への標準射影 $𝔤 \to 𝔤 ∕ 𝔦$ は全射だから， $𝔤$ が冪零なら $𝔤 ∕ 𝔦$ も冪零．
$𝔤 ∕ 𝔦$ が可解なので， $\exists 𝑛 \in ℕ_{0}, 𝐷^{𝑛} 𝔤 \subset 𝔦$ となる． $𝔦$ も可解だから， $\exists 𝑚 \in ℕ_{0}, 𝐷^{𝑛 + 𝑚} 𝔤 \subset 𝐷^{𝑚} 𝔦 = {0}$ となり， $𝔤$ も可解．
- $𝔦 \cap 𝔧$ は可解Lie代数 $𝔦$ のイデアルなので可解．
- 同型定理より， $(𝔦 + 𝔧) ∕ 𝔧 ≃ 𝔦 ∕ (𝔦 \cap 𝔧)$ となるが，右辺とイデアル $𝔧$ が可解なので， $𝔦 + 𝔧$ も可解．

根基

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ の部分集合 $𝔯$ が根基(radical)であるとは，最大可解イデアルであることを言う．つまり， $𝔯$ は全ての可解イデアルを含む．

冪零Lie代数

冪零

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の部分Lie代数

を与える．

$𝔤$ の部分Lie代数 $𝔥$ が冪零(nilpotent)であるとは，イデアルの減少列 $𝔥 = {(ad 𝔥)}^{0} \supset {(ad 𝔥)}^{1} \supset {(ad 𝔥)}^{2} \supset \dots$ が有限で $0$ になって止まることを言う．つまり，以下を満たす： $\exists 𝑛 \in ℕ_{0}, {(ad 𝔥)}^{𝑛} = {0}$

冪零性の基本性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与えると，以下が成り立つ：

冪零Lie代数ならば可解Lie代数．
𝔤が冪零Lie代数ならば，以下も冪零Lie代数：
- 任意の $𝔤$ の部分Lie代数，イデアル
- 任意のLie代数準同型 $𝑓 : 𝔤 \to 𝔥$ の像 $𝑓 (𝔤)$
- 任意の $𝔤$ のイデアル $𝔦$ に対する商Lie代数 $𝔤 ∕ 𝔦$
$𝔤$ が冪零Lie代数ならば， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対し， $ad 𝑥 \in 𝔤𝔩 𝔤$ は線型変換として冪零．
𝔤 の中心 𝑍 ⁡ (𝔤) に対し，
- $𝑍 (𝔤)$ は冪零Lie代数．
- 商Lie代数 $𝔤 ∕ 𝑍 (𝔤)$ が冪零Lie代数ならば， $𝔤$ も冪零Lie代数．
- $𝔤$ が非零な冪零Lie代数ならば， $𝑍 (𝔤)$ も非零．

証明

定義より自明．
- $𝔤$ の部分Lie代数 $𝔥$ に対し， ${(ad 𝔥)}^{𝑛} 𝔥 \subset {(ad 𝔤)}^{𝑛} 𝔤$ となることから明らか．
- $𝑓 ({(ad 𝔤)}^{𝑛} 𝔤) = [𝑓 (𝔤), 𝑓 ({(ad 𝔤)}^{𝑛 - 1} 𝔤)] = ad (𝑓 (𝔤)) (𝑓 ({(ad 𝔤)}^{𝑛 - 1} 𝔤)) = {(ad (𝑓 (𝔤)))}^{𝑛} (𝑓 (𝔤))$ より， $𝔤$ が冪零ならば， $𝑓 (𝔤)$ も冪零．
- 商Lie代数への標準射影 $𝔤 \to 𝔤 ∕ 𝔞$ は全射だから， $𝔤$ が冪零なら $𝔤 ∕ 𝔞$ も冪零．
定義より自明．
- 定義より自明．
- 仮定より， $\exists 𝑛 \in ℕ_{0}, {(ad 𝔤)}^{𝑛} 𝔤 \subset Z (𝔤)$ なので，中心の定義より ${(ad 𝔤)}^{𝑛 + 1} 𝔤 = [𝔤, {(ad 𝔤)}^{𝑛} 𝔤] \subset [𝔤, Z (𝔤)] = {0}$ となるから冪零．
- 仮定より， $\exists 𝑛 \in ℕ, {(ad 𝔤)}^{𝑛 - 1} 𝔤 \neq {0}, {(ad 𝔤)}^{𝑛} 𝔤 = [𝔤, {(ad 𝔤)}^{𝑛 - 1} 𝔤] = {0}$ となるから， ${0} \neq {(ad 𝔤)}^{𝑛 - 1} \subset 𝑍 (𝔤)$ ．

内部微分の冪零性

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元線型空間 $𝑉 \neq 0$
一般線型代数 $𝔤𝔩 (𝑉)$

を与えると， $𝑥 \in 𝔤𝔩 (𝑉)$ が冪零ならば，その内部微分 $ad 𝑥 \in 𝔤𝔩 (𝑉)$ も冪零．

証明

仮定より， $\exists 𝑛 \in ℕ_{0}, 𝑥^{𝑛} = 0$ を満たす．ここで， $𝑥$ による左移動 $𝑥 \circ - \in end (𝔤𝔩 (𝑉))$ と右移動 $- \circ 𝑥 \in end (𝔤𝔩 (𝑉))$ は，結合則より可換．よって， $\begin{matrix} {(ad 𝑥)}^{2 𝑛 - 1} & = & {((𝑥 \circ -) - (- \circ 𝑥))}^{2 𝑛 - 1} \\ = & \sum_{𝑘 = 0}^{2 𝑛 - 1} {(- 1)}^{𝑘} (\begin{matrix} 2 𝑛 - 1 \\ 𝑘 \end{matrix}) {(𝑥 \circ -)}^{𝑘} {(- \circ 𝑥)}^{2 𝑛 - 𝑘 - 1} \\ = & \sum_{𝑘 = 0}^{2 𝑛 - 1} {(- 1)}^{𝑘} (\begin{matrix} 2 𝑛 - 1 \\ 𝑘 \end{matrix}) (𝑥^{𝑘} \circ -) (- \circ 𝑥^{2 𝑛 - 𝑘 - 1}) \\ = & \sum_{𝑘 = 0}^{𝑛 - 1} {(- 1)}^{𝑘} (\begin{matrix} 2 𝑛 - 1 \\ 𝑘 \end{matrix}) (𝑥^{𝑘} \circ -) 0 + \sum_{𝑘 = 𝑛}^{2 𝑛 - 1} {(- 1)}^{𝑘} (\begin{matrix} 2 𝑛 - 1 \\ 𝑘 \end{matrix}) 0 (- \circ 𝑥^{2 𝑛 - 𝑘 - 1}) \\ = & 0 \end{matrix}$

自由・忘却随伴

自由Lie代数

体 $𝕂$ を与える．

𝕂-線型空間 𝑉 上の自由Lie代数(free Lie algebra)とは，以下のデータのこと：
- $𝕂$ -線型空間 $𝑉$ $\underset{𝑛 \in ℤ}{∐} 𝑉^{⨿ 𝑛}$
- を線型に拡張したもの．
集合 $𝑋$ 上の自由Lie代数(free Lie algebra)とは， $𝑋$ 上の自由線型空間 $𝕂^{𝑋}$ 上の自由Lie代数のこと．

自由Lie代数の普遍性

体 $𝕂$
$𝕂$ -線型空間 $𝑉$
$𝑉$ 上の自由Lie代数 $𝔙$
包含写像 $𝑖 : 𝑉 \to 𝔙$

を与えると，以下を満たす：

任意の $𝕂$ -Lie代数 $𝔤$
任意の $𝕂$ -線型写像 $𝑓 : 𝑉 \to 𝔤$

に対し，Lie代数準同型 $\overline{𝑓} : 𝔙 \to 𝔤$ が一意的に存在し，以下を満たす： $\overline{𝑓} \circ 𝑖 = 𝑓$ つまり，以下の図式を可換にする：

証明

$chottomendo-$ とすると，より， $\overline{𝑓}$ はLie代数準同型となる．特に， $\overline{𝑓} \circ 𝑖 = 𝑓$ を満たす．

可換図式を満たすLie代数準同型 $\overline{𝑓}, {\overline{𝑓}}^{'}$ に対し，自然同型

他にも $𝕂$ -代数上の自由Lie代数など，様々あるが，流石に省略する．

基本関係式

体 $𝕂$
集合 $𝑋$
$𝑋$ 上の自由Lie代数 $FreeLieAlg (𝑋)$
部分集合 $𝐴 \subset FreeLieAlg (𝑋)$

を与える．

（ $𝑋$ を生成系とし，） $𝐴$ を基本関係式(fundamental relation)とするLie代数とは， $𝐴$ の正規閉包 $ncl (𝐴)$ で割った商Lie代数 $FreeLieAlg (𝑋) ∕ ncl (𝐴)$ のこと．

未整理

不変形式

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ 上の対称双線型形式 $(,) : 𝔤 Π 𝔤 \to 𝕂$ が不変形式(invariant form)であるとは，以下を満たすことを言う： $\forall 𝑥, 𝑦, 𝑧 \in 𝔤, ([𝑥, 𝑦], 𝑧) = (𝑥, [𝑦, 𝑧])$

Lie代数上の加群・表現

$𝔤$ -加群と準同型

Lie代数上の加群・表現

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ 上の加群(module over $𝔤$ )，または $𝔤$ -加群( $𝔤$ -module)とは，以下の組のこと：
- $𝕂$ -線型空間 $𝑉$
- 双線型写像 $: 𝔤 Π 𝑉 \to 𝑉$ であって，以下を満たすもの： $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔤, \forall 𝑣 \in 𝑉, [𝑥, 𝑦] 𝑣 = 𝑥 (𝑦 𝑣) - 𝑦 (𝑥 𝑣)$
𝔤の表現(representation)とは，以下の組のこと：
- $𝕂$ -線型空間 $𝑉$ 上の一般線型Lie代数 $𝔤𝔩 (𝑉)$
- $𝕂$ -Lie代数準同型 $𝜌 : 𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝑉)$

これらは以下の対応によって同じ構造を持つ：

$𝔤$ -加群 $𝑉$ に対し， $𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝑉), 𝑥 \mapsto (𝑣 \mapsto 𝑥 𝑣)$ は表現．
表現 $𝜌$ に対し， $𝔤 Π 𝑉 \to 𝑉, (𝑥, 𝑣) \mapsto 𝜌 (𝑥) 𝑣$ は $𝔤$ -加群．

包絡代数上の加群との一対一対応

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の包絡代数 $(𝑈 (𝔤), 𝑖)$

を与えると，

Lie代数 $𝔤$ 上の加群
単位的結合代数 $𝑈 (𝔤)$ 上の加群

は一対一対応．

証明

包絡代数の普遍性より，任意の $𝔤$ の表現 $𝜌 : 𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝑉)$ に対し，一意的な単位的代数準同型 $\overline{𝜌} : 𝑈 (𝔤) \to 𝔤𝔩 (𝔤) = end (𝔤)$ が存在し， $𝜌 = \overline{𝜌} \circ 𝑖$ を満たす．
逆に，任意の $𝑈 (𝔤)$ の表現 $\overline{𝜌} : 𝑈 (𝔤) \to end (𝔤)$ に対し，これはLie代数準同型でもあるので， $\overline{𝜌} \circ 𝑖 : 𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝑉)$ は $𝔤$ の表現．

以上の操作は， $𝜌 \mapsto \overline{𝜌} \mapsto \overline{𝜌} \circ 𝑖 = 𝜌$ となっているので全単射．

随伴表現

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

内部微分はLie代数準同型であったから， $ad : 𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝔤), 𝑥 \mapsto ad 𝑥$ は表現となる．これを随伴表現(adjoint representation)と呼ぶ．

抽象Jordan分解

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝑥 \in 𝔤$ の抽象Jordan分解()とは， $𝑠, 𝑛 \in 𝔤$ であって， $ad 𝑠, ad 𝑛 \in end 𝔤$ がJordan-Chevalley分解となるものを言う．

忠実表現

単射な表現のことを忠実(faithful)と呼ぶ．

$𝔤$ -加群・表現準同型

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群 $𝑉, 𝑊$
$𝑉, 𝑊$ それぞれに対応する表現 $𝜌_{𝑉}, 𝜌_{𝑊}$

を与える．

線型写像 𝑓 : 𝑉→𝑊 が $𝔤$ -加群の準同型(homomorphism of $𝔤$ -module)（または表現の準同型(homomorphism of representation)）であるとは，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすことを言う：
- $\forall 𝑥 \in 𝔤, \forall 𝑣 \in 𝑉, 𝑓 (𝑥 𝑣) = 𝑥 𝑓 (𝑣)$
- $\forall 𝑥 \in 𝔤, 𝑓 \circ 𝜌_{𝑉} (𝑥) = 𝜌_{𝑊} (𝑥) \circ 𝑓$
全単射な準同型を同型(isomorphism)と呼ぶ．

Killing形式

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ のKilling形式(Killing form)とは，以下の対称な双線型形式のこと： $𝜅 : 𝔤 Π 𝔤 \to 𝕂, (𝑥, 𝑦) \mapsto tr (ad (𝑥) \circ ad (𝑦))$

部分Lie代数上の加群・商Lie代数上の加群

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群 $𝑉$ と対応する表現 $𝜌 : 𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝑉)$

を与える．

$𝔤$ の部分Lie代数 $𝔥$ が誘導する $𝔥$ -加群() とは，包含写像 $𝑖 : 𝔥 ↪ 𝔤$ に対する表現 $𝜌 \circ 𝑖 : 𝔥 \to 𝔤𝔩 (𝑉)$ のこと．
$𝔤$ のイデアル $𝔦$ であって， $𝔦 \subseteq \ker 𝜌$ を満たすものによる商Lie代数 $𝔤 ∕ 𝔦$ が誘導する $𝔤 ∕ 𝔦$ -加群() とは，商Lie代数の普遍性により定まる表現 $\overline{𝜌} : 𝔤 ∕ 𝔦 \to 𝔤𝔩 (𝑉)$ のこと．

随伴表現の加群準同型

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤, 𝔥$
Lie代数準同型 $𝑓 : 𝔤 \to 𝔥$
$𝔤, 𝔥$ それぞれの随伴表現 ${ad}_{𝔤} : 𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝔤), {ad}_{𝔥} : 𝔥 \to 𝔤𝔩 (𝔥)$

を与えると，以下が成り立つ：

${ad}_{𝔥} \circ 𝑓 : 𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝔥)$ は $𝔤$ -加群
$𝑓$ は ${ad}_{𝔤}$ から ${ad}_{𝔥} \circ 𝑓$ への $𝔤$ -加群準同型

証明

$𝑓, {ad}_{𝔥}$ はLie代数準同型なので， ${ad}_{𝔥} \circ 𝑓$ もLie代数準同型．よって， $𝔤$ -加群
Lie代数準同型の定義より， $\forall 𝑥, 𝑣 \in 𝔤, 𝑓 ({ad}_{𝔤} 𝑥 (𝑣)) = {[𝑓 (𝑥), 𝑓 (𝑣)]}_{𝔥} = ({ad}_{𝔥} \circ 𝑓 (𝑥)) (𝑓 (𝑣))$ $𝑓$ は $𝔤$ -加群準同型．

加群の圏の極限

$𝔤$ -加群の直和

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群の集合 ${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与える．

{ 𝑉𝜆 } 𝜆∈𝛬 の直和(direct sum)とは，以下のデータのこと：
- 以下で定まる $𝔤$ -加群：
  - 直和線型空間 $\underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑉_{𝜆}$
  - 左 $𝔤$ -作用 $: 𝔤 Π \underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑉_{𝜆} \to \underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑉_{𝜆}, (𝑥, {(𝑣_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬}) \mapsto {(𝑥 𝑣_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬}$
- $𝔤$ -加群準同型 $𝜄_{𝜆} : 𝑉_{𝜆} \to \underset{𝜆^{'} \in 𝛬}{∐} 𝑉_{𝜆^{'}}, 𝑣 \mapsto {(𝑣_{𝜆^{'}} ≔ {\begin{matrix} 𝑣 & 𝜆^{'} = 𝜆 \\ 0 & 𝜆^{'} \neq 𝜆 \end{matrix})}_{𝜆^{'} \in 𝛬}$
$𝔤$ -加群 $𝑊$ を終域とする $𝔤$ -加群準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝑉_{𝜆} \to 𝑊}_{𝜆 \in 𝛬}$ の直和(direct sum)とは，以下の $𝔤$ -加群準同型のこと： $\underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑓_{𝜆} : \underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑉_{𝜆} \to 𝑊, {(𝑣_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬} \mapsto \sum_{𝜆 \in 𝛬} 𝑓_{𝜆} (𝑣_{𝜆})$

直和の普遍性

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤 -$ 加群の集合 ${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$
$𝔤$ -加群 $𝑊$ を終域とする $𝔤$ -加群準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝑉_{𝜆} \to 𝑊}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与えると，以下を満たす $𝔤$ -加群準同型 $𝑓 : \underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑉_{𝜆} \to 𝑊$ は直和 $\underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑓_{𝜆}$ に限られる： $\forall 𝜆 \in 𝛬, 𝑓 \circ 𝜄_{𝜆} = 𝑓_{𝜆}$

同型定理

部分 $𝔤$ -加群・部分表現

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群 $𝑉$
$𝑉$ に対応する表現 $𝜌$

を与える．

部分線型空間 $𝑊 \subset 𝑉$ が部分 $𝔤$ -加群( $𝔤$ -submodule)（または部分表現(subrepresentation)）であるとは，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすことを言う：

$𝔤 𝑊 \subset 𝑊$
$𝜌 (𝔤) (𝑊) \subset 𝑊$

商 $𝔤$ -加群・商表現

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群 $𝑉$
$𝑉$ の部分 $𝔤$ -加群 $𝑊$ と対応する表現 $𝜌$

を与える．

商線型空間 $𝑉 ∕ 𝑊$ が商 $𝔤$ -加群()（または商表現(quotient representation)）であるとは，以下の同値な定義で定まる左作用に関する $𝔤$ -加群のこと：

各 $𝑥 \in 𝔤, 𝑣 + 𝑊 \in 𝑉 ∕ 𝑊$ に対し， $𝑥 (𝑣 + 𝑊) ≔ 𝑥 + 𝑊$
各 $𝑥 \in 𝔤$ に対し，標準射影 $𝑝 : 𝑉 \to 𝑉 ∕ 𝑊$ を合成した表現 $𝑝 \circ 𝜌 (𝑥)$

商加群の普遍性

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群 $𝑉$
$𝑉$ の部分 $𝔤$ -加群 $𝑊$ とその商 $𝔤$ -加群 $𝑉 ∕ 𝑊$

を与えると，

任意の $𝔤$ -加群 $𝑈$
任意の $𝔤$ -加群準同型 $𝑓 : 𝑉 \to 𝑈$

に対し，以下を満たす $𝔤$ -加群準同型 $\overline{𝑓} : 𝑉 ∕ 𝑊 \to 𝑈$ は，のみ： $\overline{𝑓} \circ 𝜋 = 𝑓$

$𝔤$ -加群同型定理

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与えると，以下が成り立つ：

- $𝔤$ -加群 $𝑉, 𝑊$
- 加群準同型 $𝑓 : 𝑉 \to 𝑊$
に対し，
- $\ker 𝑓$ は $𝑉$ の部分 $𝔤$ -加群
- $im 𝑓$ は $𝑊$ の部分 $𝔤$ -加群
- 商 $𝔤$ -加群 $𝑉 ∕ \ker 𝑓$ は $im 𝑓$ と同型．

単純性

単純加群

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤 -$ 加群が単純(simple)であるとは，その部分加群が $0$ と自分自身のちょうど二つであることを言う．
$𝔤 -$ 加群が半単純(semisimple)であるとは，単純加群の直和で表されることを言う．

既約（分解不能）表現

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤 -$ 加群が既約(indecomposable)であるとは，非自明な部分加群の直和で表されないことを言う．
$𝔤 -$ 加群が完全可約(completely decomposable)であるとは，既約加群の直和で表されることを言う．
$𝔤 -$ 加群が可約(decomposable)であるとは，非自明な部分表現の直和で表されることを言う．

単純ならば既約

単純ならば既約
半単純ならば完全可約
完全可約ならば可約

コンパクト加群は半単純

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群 $𝑉$

を与える．

$𝑉$ の部分単純加群で生成される完備束が $𝑉$ を含み，かつコンパクトなとき(?)， $𝑉$ は半単純 $𝔤$ -加群．

証明

仮定より，有限集合 $𝛬$ 上の単純な $𝑉$ の部分 $𝔤$ -加群の族 ${𝑊_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ が存在し， $𝑉 = \sum_{𝜆 \in 𝛬} 𝑊_{𝜆}$ を満たす． $𝛬$ の部分集合 $𝛬^{'}$ であって， $𝛬^{'}$ に関する和が直和となるもののうち，極大なものを一つとると， $𝑉 = \sum_{𝜆 \in 𝛬 ∖ 𝛬^{'}} 𝑊_{𝜆} + ⨁_{𝜆 \in 𝛬^{'}} 𝑊_{𝜆} = ⨁_{𝜆 \in 𝛬^{'}} 𝑊_{𝜆}$ を満たす．つまり， $𝑉$ は半単純 $𝔤$ -加群

Schurの補題

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤 -$ 加群 $𝑉, 𝑊$
非零な $𝔤$ -加群準同型 $𝑓 : 𝑉 \to 𝑊$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝑉$ が単純 $𝔤$ -加群ならば， $𝑓$ は単射．
$𝑊$ が単純 $𝔤$ -加群ならば， $𝑓$ は全射．

証明

加群同型定理より， $\ker 𝑓$ は $𝑉$ の部分 $𝔤$ -加群だが， $𝑉$ が単純 $𝔤$ -加群なので， $\ker 𝑓 = 0, 𝑉$ ．仮定より， $\ker 𝑓 = 𝑉$ ．つまり単射．
加群同型定理より， $im 𝑓$ は $𝑊$ の部分 $𝔤$ -加群だが， $𝑊$ が単純 $𝔤$ -加群なので， $im 𝑓 = 0, 𝑊$ ．仮定より， $im 𝑓 = 𝑊$ ．つまり全射．

代数閉体上のSchurの補題

代数閉体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
有限次元単純 $𝔤 -$ 加群 $𝑉$
$𝔤$ -加群自己準同型 $𝑓 : 𝑉 \to 𝑉$

を与えると， $𝑓$ はスカラー倍： $\exists 𝜆 \in 𝕂, 𝑓 = 𝜆 {id}_{𝑉}$

証明

Schurの補題より， $𝑓$ は加群同型か零． $𝑉$ が有限次元なので，必ず固有値 $𝜆 \in 𝕂$ を持つ．このとき， $𝑓 - 𝜆 {id}_{𝑉} : 𝑉 \to 𝑉$ もまた $𝔤 -$ 加群準同型だが，固有値の定義より， $\det (𝑓 - 𝜆 {id}_{𝑉}) = 0$ よって， $𝑓 - 𝜆 {id}_{𝑉} = 0 \Leftrightarrow 𝑓 = 𝜆 {id}_{𝑉}$

代数閉体上の可換Lie代数上の有限次元単純表現

代数閉体 $𝕂$
$𝕂$ 上の可換Lie代数 $𝔤$

を与えると，任意の有限次元単純 $𝔤 -$ 加群 $𝑉$ は1次元．

証明

$𝔤 -$ 加群 $𝑉$ の対応する表現を $𝜌 : 𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝑉)$ とする． $𝔤$ が可換なので， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対し， $\forall 𝑦 \in 𝔤, \forall 𝑣 \in 𝑉, 𝜌 (𝑥) (𝑦 𝑣) = 𝜌 (𝑥) 𝜌 (𝑦) 𝑣 = 𝑦 (𝜌 (𝑥) 𝑣)$ より， $𝜌 (𝑥) : 𝑉 \to 𝑉$ は $𝔤$ -加群準同型．よって，代数閉体上のSchurの補題より， $𝑓 (𝑥)$ はスカラー倍．よって， $\forall 𝑣 \in 𝑉$ に対する $𝕂 𝑣$ は部分 $𝔤$ -加群． $𝑉$ は単純 $𝔤$ -加群なので， $\forall 𝑣 \in 𝑉, 𝕂 𝑣 = 0, 𝑉 \Leftrightarrow \dim 𝑉 = 0, 1$ となる．単純 $𝔤$ -加群は定義より非零なので， $\dim 𝑉 = 1$ となる．

三角分解を持つLie代数

可換Lie代数のウェイト加群

可換Lie代数のウェイト

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の可換Lie代数 $𝔤$
$𝔤$ の表現 $(𝑉, 𝜌)$
$𝔤$ の双対線型空間 $𝔤^{*}$

を与える．

$𝜌$ のウェイト(weight) $𝜆 \in 𝔤^{*}$ のウェイトベクトル(weight vector)とは， $𝑣 \in 𝑉 ∖ 0$ であって， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対し，固有値 $𝜆 (𝑥)$ の固有ベクトルとなるもののこと．つまり，以下を満たすもののこと： $\forall 𝑥 \in 𝔤, 𝜌 (𝑥) 𝑣 = 𝜆 (𝑥) 𝑣$
$𝜌$ のウェイト $𝜆$ のウェイト空間(weight space)とは，ウェイトベクトルと零ベクトルの集合がなす $𝕂$ -線型空間のこと： $𝑉_{𝜆} ≔ {𝑣 \in 𝑉 | \forall 𝑥 \in 𝔤, 𝜌 (𝑥) 𝑣 = 𝜆 (𝑥) 𝑣}$
$𝑉$ がウェイト空間の直和になるとき， $𝑉$ をウェイト加群(weight module)と呼ぶ．

可換Lie代数のウェイト空間の基本性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の可換Lie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群 $𝑉$ と対応する表現 $𝜌$

を与えると，以下が成り立つ：

ウェイト空間の和は直和．
- $𝔤$ -加群 $𝑊$
- $𝔤$ -加群準同型 $𝑓 : 𝑉 \to 𝑊$
- $𝜆 \in 𝔤^{*}$ に対する $𝑉, 𝑊$ それぞれのウェイト空間 $𝑉_{𝜆}, 𝑊_{𝜆}$
- $𝑉, 𝑊$ それぞれのウェイトの集合 $Wt (𝑉), Wt (𝑊) \subseteq 𝔤^{*}$
を与えると，
- $𝑉_{𝜆}$ の $𝑓$ による像 $𝑓 (𝑉_{𝜆})$ は $𝑊_{𝜆}$ の部分線型空間．
- $𝑉$ がウェイト加群ならば， $𝑓$ の像 $𝑓 (𝑉)$ もウェイト加群： $𝑓 (𝑉) = ⨁_{𝜆 \in Wt (𝑉)} 𝑓 (𝑉_{𝜆})$
特に，𝑓 が全射ならば，
- $𝑓 (𝑉_{𝜆}) = 𝑊_{𝜆}$
- $𝑉$ がウェイト加群ならば， $𝑊$ もウェイト加群： $𝑊 = ⨁_{𝜆 \in Wt (𝑉)} 𝑓 (𝑉_{𝜆})$
𝑉 がウェイト加群ならば，
- $𝑉$ の任意の部分 $𝔤$ -加群はウェイト加群．
- $𝑉$ の任意の商 $𝔤$ -加群はウェイト加群．
- $𝑉$ のウェイト $𝜆 \in 𝔤^{*}$ のウェイト空間 $𝑉_{𝜆}$ が有限次元ならば，部分 $𝔤$ -加群 $𝑊$ とその商 $𝔤$ -加群 $𝑉 ∕ 𝑊$ に対し，以下が成り立つ： $\dim 𝑉_{𝜆} = \dim 𝑊_{𝜆} + \dim {(𝑉 ∕ 𝑊)}_{𝜆}$
𝑉 がウェイト加群ならば，以下はウェイト加群：
- $𝔤$ の任意の部分Lie代数が誘導する加群
- $𝔤$ のイデアル $𝔦$ であって， $𝔦 \subseteq \ker 𝜌$ を満たすものに対し，商Lie代数 $𝔤 ∕ 𝔦$ が誘導する加群 $\overline{𝜌} : 𝔤 ∕ 𝔦 \to 𝔤𝔩 (𝑉)$

証明

ウェイト $𝜆, 𝜆^{'} \in 𝔤^{*}$ に対し，共通のウェイトベクトル $𝑣 \in 𝑉_{𝜆} \cap 𝑉_{𝜆^{'}} ∖ {0}$ をとると， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対し， $𝑥 𝑣 = 𝜆 (𝑥) = 𝜆^{'} (𝑥) \Leftrightarrow (𝜆 (𝑥) - 𝜆^{'} (𝑥)) 𝑣 = 0$ となるから， $𝑣 \neq 0$ より $𝜆 = 𝜆^{'}$ となる．
- $𝔤$ -加群準同型の定義より， $\forall 𝜆 \in 𝔤^{*}, \forall 𝑣 \in 𝑉_{𝜆}, \forall 𝑥 \in 𝔤, 𝑥 𝑓 (𝑣) = 𝑓 (𝑥 𝑣) = 𝜆 (𝑥) 𝑓 (𝑣)$ を満たすので， $𝑓 (𝑉_{𝜆}) \subseteq 𝑊_{𝜆}$ となる．
- $𝔤$ -加群同型定理より， $𝑓$ の像 $𝑓 (𝑉)$ は $𝑊$ の部分 $𝔤$ -加群． $𝑉$ がウェイト加群ならば， $𝑓 (𝑉) = 𝑓 (⨁_{𝜆 \in 𝔤^{*}} 𝑉_{𝜆}) = ⨁_{𝜆 \in 𝔤^{*}} 𝑓 (𝑉_{𝜆})$ より $𝑓 (𝑉)$ もウェイト加群．
- $𝑓$ が全射ならば， $𝑊 = 𝑓 (𝑉)$ はウェイト加群．
𝑊 を 𝑉 の部分 $𝔤$ -加群とする．
- $𝑊 = 𝑊 \cap 𝑉 = ⨁_{𝜆 \in 𝔤^{*}} 𝑊 \cap 𝑉_{𝜆}$ より， $𝑊$ はウェイト加群．
- 標準射影 $𝑝 : 𝑉 \to 𝑉 ∕ 𝑊$ は全射な $𝔤$ -加群準同型なので， $𝑉 ∕ 𝑊$ はウェイト加群．
- $𝑉_{𝜆}$ が有限次元ならば， $𝑊_{𝜆} = 𝑉_{𝜆} \cap 𝑊, {(𝑉 ∕ 𝑊)}_{𝜆} = 𝑝 (𝑉_{𝜆})$ も有限次元．特に，全射な $𝔤$ -加群準同型から自然に定まる加群準同型 $𝑝_{𝜆} : 𝑉_{𝜆} \to {(𝑉 ∕ 𝑊)}_{𝜆}$ の核は $𝑊_{𝜆}$ なので， $𝑉_{𝜆} ∕ 𝑊_{𝜆} ≃ {(𝑉 ∕ 𝑊)}_{𝜆}$ となる．よって特に， $\dim 𝑉_{𝜆} = \dim 𝑊_{𝜆} + \dim {(𝑉 ∕ 𝑊)}_{𝜆}$
- ウェイト加群の定義より自明．
- $𝔦 \subseteq \ker 𝜌$ より，任意のウェイト $𝜆 \in 𝔤^{*} = {hom}_{𝕂} (𝔤, 𝕂)$ に対し， $𝔦 \subseteq \ker 𝜆$ となる．よって，商線型空間の普遍性より以下を満たす： $\forall 𝜆 \in 𝔤^{*}, \exists! \overline{𝜆} \in {(𝔤 ∕ 𝔦)}^{*}, \forall 𝑥 \in 𝔤, \forall 𝑣 \in 𝑉_{𝜆}, \overline{𝜌} (𝑥 + 𝔦) 𝑣 = 𝜌 (𝑥) 𝑣 = 𝜆 (𝑥) 𝑣 = \overline{𝜆} (𝑥 + 𝔦) 𝑣$

可換Lie代数上のウェイト加群準同型

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の可換Lie代数 $𝔤$
ウェイト $𝔤$ -加群 $𝑉, 𝑊$
線型写像 $𝑓 : 𝑉 \to 𝑊$

を与えると，以下は同値：

$𝑓$ は $𝔤$ -加群準同型
$𝑓$ はウェイトを保つ： $\forall 𝑥 \in 𝔤, \forall 𝜆 \in 𝔤^{*}, \forall 𝑣 \in 𝑉_{𝜆}, 𝑥 𝑓 (𝑣) = 𝜆 (𝑥) 𝑓 (𝑣)$

証明

いずれの場合でも， $𝑓$ は線型写像なので， $\forall 𝑥 \in 𝔤, 𝜆 \in 𝔤^{*}, \forall 𝑣 \in 𝑉_{𝜆}, 𝜆 (𝑥) 𝑓 (𝑣) = 𝑓 (𝑥 𝑣)$ が成り立つ． $𝑓$ が加群 $𝔤$ -準同型ならば， $𝑓 (𝑥 𝑣) = 𝑥 𝑓 (𝑣)$ が言え，逆に， $𝑥 𝑓 (𝑣) = 𝜆 (𝑥) 𝑓 (𝑣)$ が成り立つならば， $𝑓$ は加群 $𝔤$ -準同型．

可換Lie代数上の有限次元ウェイト加群

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元可換Lie代数 $𝔤$
$𝔤$ の基底 $𝑋$
$𝔤$ の有限次元表現 $(𝑉, 𝜌)$

を与えると，以下は同値：

$𝜌$ はウェイト加群
$\forall 𝑥 \in 𝑋$ に対し， $𝑥$ の $𝑉$ への作用 $𝜌 (𝑥)$ は対角化可能で，その固有値は全て $𝕂$ に含まれる．

証明

$𝜌$ がウェイト加群のとき， $𝜌 (𝑥)$ が対角化可能なのは明らか．
逆に，𝜌⁡(𝑥) が対角化可能なとき，𝜌 がウェイト加群であることを dim⁡𝔤 の帰納法で示す．
- $\dim 𝔤 = 1$ のときは明らか．
- 一般の $\dim 𝔤$ に対し， $𝑥 \in 𝑋$ を固定すると，仮定より， $𝑉 = ⨁_{𝑐 \in 𝕂} 𝑉_{𝑐} ({𝑉_{𝑐} ≔ 𝑣 \in 𝑉 | 𝑥 𝑣 = 𝑐 𝑣})$ を満たす． $𝔤^{'} ≔ ⨁_{𝑦 \in 𝑋 ∖ 𝑥} (𝕂 𝑦)$ とすると， $\forall 𝑐 \in 𝕂, \forall 𝑣 \in 𝑉_{𝑐}, \forall 𝑦 \in 𝔤^{'}, 𝑥 𝑦 𝑣 = 𝑦 𝑥 𝑣 = 𝑐 𝑦 𝑣$ なので，各 $𝑉_{𝑐}$ は部分 $𝔤^{'}$ -加群である． $\dim 𝔤^{'} = \dim 𝔤 - 1$ なので，帰納法の仮定よりウェイト空間分解を持つ： $𝑉_{𝑐} = ⨁_{𝜇 \in {𝔤^{'}}^{*}} 𝑉_{𝑐, 𝜇} (𝑉_{𝑐, 𝜇} ≔ {𝑣 \in 𝑉 | 𝑥 𝑣 = 𝑐 𝑣})$ よって， $𝜆 \in 𝔤^{*}$ を $𝜆 (𝑥) = 𝑐, {𝜆 |}_{𝔤^{'}} = 𝜇$ を線型に拡張したものとして定義すると， $𝑉_{𝜆} ≔ 𝑉_{𝑐, 𝜇}$ によって $𝑉$ はウェイト空間分解される．

ウェイト加群・トーラスとルート

ウェイト

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ のトーラス $𝔤_{0}$
$𝔤$ -加群 $𝑉$ と対応する表現 $𝜌$

を与える．

$𝔤_{0}$ に関する $𝜌$ のウェイト(weight)とは， $𝔤_{0}$ -加群 $𝑉$ のウェイト $𝜆 \in {𝔤_{0}}^{*}$ のこと．
$𝔤_{0}$ に関する $𝜌$ のウェイト $𝜆$ のウェイトベクトル(weight vector)とは， $𝔤_{0}$ -加群 $𝑉$ のウェイトベクトル $𝑣 \in 𝑉$ のこと．
$𝔤_{0}$ に関する $𝜌$ のウェイト $𝜆$ のウェイト空間(weight space)とは， $𝔤_{0}$ -加群 $𝑉$ のウェイト空間 $𝑉_{𝜆} \subset 𝑉$ のこと．
$𝔤$ -加群 $𝑉$ がウェイト加群(weight module)であるとは， $𝔤_{0}$ -加群としてウェイト加群であることを言う．つまり， $𝕂$ -線型空間 $𝑉$ がウェイト空間の直和に分解される： $𝑉 = \underset{𝜆 \in {𝔤_{0}}^{*}}{∐} 𝑉_{𝜆}$

ウェイト空間の基本性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ のトーラス $𝔤_{0}$
$𝔤$ -加群 $𝑉$ と対応する表現 $𝜌$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝔤_{0}$ に関するウェイト空間の和は直和．
- $𝔤$ -加群 $𝑊$
- $𝔤$ -加群準同型 $𝑓 : 𝑉 \to 𝑊$
- $𝜆 \in {𝔤_{0}}^{*}$ と対する $𝑉, 𝑊$ それぞれの $𝔤_{0}$ に関するウェイト空間 $𝑉_{𝜆}, 𝑊_{𝜆}$
- $𝑉, 𝑊$ それぞれのウェイトの集合 $Wt (𝑉), Wt (𝑊) \subseteq {𝔤_{0}}^{*}$
を与えると，
- $𝑉_{𝜆}$ の $𝑓$ による像 $𝑓 (𝑉_{𝜆})$ は $𝑊_{𝜆}$ の部分線型空間．
- $𝑉$ が $𝔤_{0}$ に関するウェイト加群ならば， $𝑓$ の像 $𝑓 (𝑊)$ も $𝔤_{0}$ に関するウェイト加群： $𝑓 (𝑉) = ⨁_{𝜆 \in Wt (𝑉)} 𝑓 (𝑉_{𝜆})$
特に，𝑓 が全射ならば，
- $𝑓 (𝑉_{𝜆}) = 𝑊_{𝜆}$
- $𝑉$ が $𝔤_{0}$ に関するウェイト加群ならば， $𝑊$ も $𝔤_{0}$ に関するウェイト加群： $𝑊 = ⨁_{𝜆 \in Wt (𝑉)} 𝑓 (𝑉_{𝜆})$ 特に， $Wt (𝑊) \subseteq Wt (𝑉)$
𝑉 が 𝔤0 に関するウェイト加群ならば，
- $𝑉$ の任意の部分 $𝔤$ -加群は $𝔤_{0}$ に関するウェイト加群．
- $𝑉$ の任意の商 $𝔤$ -加群は $𝔤_{0}$ に関するウェイト加群．
- $𝑉$ のウェイト $𝜆 \in 𝔤^{*}$ のウェイト空間 $𝑉_{𝜆}$ が有限次元ならば， $𝑉$ の部分 $𝔤$ -加群 $𝑊$ とその商 $𝔤$ -加群 $𝑉 ∕ 𝑊$ に対し，以下が成り立つ： $\dim 𝑉_{𝜆} = \dim 𝑊_{𝜆} + \dim {(𝑉 ∕ 𝑊)}_{𝜆}$
𝑉 が 𝔤0 に関するウェイト加群ならば，
- $𝔤$ の部分Lie代数 $𝔥$ に対し， $𝔥$ が誘導する加群は $𝔤_{0} \cap 𝔥$ に関するウェイト加群．
- $𝔤$ のイデアル $𝔦$ であって， $𝔦 \subseteq \ker 𝜌$ を満たすものに対し，商Lie代数 $𝔤 ∕ 𝔦$ が誘導する加群は， $𝔤_{0} ∕ (𝔤_{0} \cap 𝔦)$ に関するウェイト加群．

証明

可換Lie代数のウェイト空間の基本性質の証明と同様．

ウェイト加群準同型

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ のトーラス $𝔤_{0}$
$𝔤_{0}$ に関するウェイト $𝔤$ -加群 $𝑉, 𝑊$
線型写像 $𝑓 : 𝑉 \to 𝑊$

を与えると，以下は同値：

$𝑓$ は $𝔤$ -加群準同型
$𝑓$ は $𝔤_{0}$ に関するウェイトを保つ： $\forall 𝑥 \in 𝔤, \forall 𝜆 \in 𝔤^{*}, \forall 𝑣 \in 𝑉_{𝜆}, 𝑥 𝑓 (𝑣) = 𝜆 (𝑥) 𝑓 (𝑣)$

証明

可換Lie代数上のウェイト加群準同型の場合と同様．

ウェイト加群の指標

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ のトーラス $𝔤_{0}$
$𝔤_{0}$ に関するウェイト $𝔤$ -加群 $𝑉 = \sum_{𝜆 \in 𝔤_{0}^{*}} 𝑉_{𝜆}$ で全てのウェイト空間が有限次元なもの．

を与える．

$𝑉$ の指標(character)とは，以下の $ℕ_{0}$ 値の形式的冪級数のこと： $ch 𝑉 ≔ \sum_{𝜆 \in 𝔤_{0}^{*}} (\dim 𝑉_{𝜆}) 𝑒^{𝜆}$

ルート

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ のトーラス $𝔤_{0}$

を与える．

$𝔤_{0}$ に関する随伴表現 $ad$ のウェイトのことをルート(root)と呼ぶ．
$𝔤_{0}$ に関する随伴表現 $ad$ のウェイト空間のことをルート空間(root space)と呼ぶ．
$𝔤_{0}$ に関する随伴表現 $ad$ により， $𝔤$ がルート空間の直和になるとき，これを（ $𝔤_{0}$ に関する） $𝔤$ のルート空間分解(root space decomposition)と呼ぶ： $𝔤 = ⨁_{𝛼 \in {𝔤_{0}}^{*}} 𝔤_{𝜆}$

ルート空間分解を持つLie代数の表現

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ のトーラス $𝔤_{0}$

を与え， $𝔤$ は $𝔤_{0}$ に関するルート空間分解を持つとすると，以下が成り立つ：

- $𝔤_{0} \subseteq 𝔤_{𝜆 = 0}$
- 特に，以下は同値：
  - $𝔤_{0} = 𝔤_{𝜆 = 0}$
  - $𝔤_{0}$ は極大トーラス．
任意の $𝔤$ のイデアルに対し，商Lie代数 $𝔤 ∕ 𝔦$ は $𝔤_{0} ∕ (𝔤_{0} \cap 𝔦)$ に関するルート空間分解を持つ： $𝔤 ∕ 𝔦 = ⨁_{𝜆 \in {(𝔤_{0} ∕ (𝔤_{0} \cap 𝔦))}^{*}} {(𝔤 ∕ 𝔦)}_{𝜆}$
- 任意の $𝔤$ -加群 $𝑉$
- 任意の $𝑉$ のウェイト $𝜆 \in {𝔤_{0}}^{*}$ のウェイト空間 $𝑉_{𝜆}$
- 任意のルート $𝛼 \in {𝔤_{0}}^{*}$ とそれぞれのルート空間 $𝔤_{𝛼}$
に対し，以下が成り立つ： 𝔤𝛼 ⁡ 𝑉𝜆 ⊆ 𝑉 𝜆+𝛼
任意のルート $𝛼, 𝛽 \in {𝔤_{0}}^{*}$ とそれぞれのルート空間 $𝔤_{𝛼}, 𝔤_{𝛽}$ に対し，以下が成り立つ： $𝔤_{𝛼} 𝔤_{𝛽} \subseteq 𝔤_{𝛼 + 𝛽}$

証明

いろいろな定義より自明．
標準射影 $𝑝 : 𝔤 \to 𝔤 ∕ 𝔦$ はLie代数準同型なので， ${ad}_{𝔤 ∕ 𝔦} \circ 𝑝 : 𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝔤 ∕ 𝔦)$ は $𝔤$ -加群であり， $𝑝$ は ${ad}_{𝔤}$ からの加群準同型となる．ウェイト空間の基本性質より，これは $𝔤_{0}$ に関するウェイト空間分解を持つ： $𝔤 ∕ 𝔦 = ⨁_{𝜆 \in {𝔤_{0}}^{*}} {(𝔤 ∕ 𝔦)}_{𝜆}$ $𝔦 = \ker 𝑝 \subseteq \ker {ad}_{𝔤 ∕ 𝔦} \circ 𝑝$ より， ${ad}_{𝔤 ∕ 𝔦} \circ 𝑝$ は部分Lie代数が誘導する加群を持つが，これは商Lie代数の普遍性より一意的に定まるので， ${ad}_{𝔤 ∕ 𝔦}$ である．ウェイト空間の基本性質より， ${ad}_{𝔤 ∕ 𝔦}$ は $𝔤_{0} ∕ (𝔤_{0} \cap 𝔦)$ に関するルート空間分解を持つ．
$\forall 𝑣 \in 𝑉_{𝜆}, \forall 𝑥 \in 𝔤_{𝛼}, \forall ℎ \in 𝔤_{0}, ℎ (𝑥 𝑣) = 𝑥 (ℎ 𝑣) + 𝛼 (𝑥) 𝑥 𝑣 = 𝜆 (𝑥) 𝑥 𝑣 + 𝛼 (𝑥) 𝑥 𝑣 = (𝜆 + 𝛼) (𝑥) (𝑥 𝑣)$
ルートは随伴表現のウェイトのことだったので明らか．

$𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ の有限次元表現

部分Lie代数が $2$ 次元の特殊線型Lie代数 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ となった場合に備えて（？），その表現を考える．基本的には性質の良い有限次元表現を考える．

$𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ の標準基底

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の $2$ 次元特殊線型Lie代数 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$
$𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ の標準基底 ${ℎ_{+} ≔ 𝑒_{0, 1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}), ℎ_{-} ≔ 𝑒_{1, 0} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}), ℎ ≔ ℎ_{0} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})}$

を与えると，以下が成り立つ： $[ℎ, ℎ_{+}] = 2 ℎ_{+}, [ℎ, ℎ_{-}] = - 2 ℎ_{-}, [ℎ_{+}, ℎ_{-}] = ℎ$

2次元特殊線型Lie代数の有限次元単純加群

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の $2$ 次元特殊線型Lie代数 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$
$𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ の標準基底 ${ℎ_{+} ≔ 𝑒_{0, 1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}), ℎ_{-} ≔ 𝑒_{1, 0} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}), ℎ ≔ ℎ_{0} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})}$
$𝕂$ 上の2変数多項式環 $𝕂 [𝑥, 𝑦]$

を与えると，以下が成り立つ：

線型写像 $𝜌 : 𝔰𝔩 (2, 𝕂) \to 𝔤𝔩 (𝕂 [𝑥, 𝑦])$ を $𝜌 (ℎ) ≔ - 𝑥 \partial_{𝑥} + 𝑦 \partial_{𝑦}, 𝜌 (ℎ_{+}) ≔ 𝑦 \partial_{𝑥}, 𝜌 (ℎ_{-}) ≔ 𝑥 \partial_{𝑦}$ を線型に拡張したものとして定義すると， $𝜌$ はLie代数準同型．つまり， $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ の表現．
𝑛 次斉次多項式空間を 𝑉 ⁡ (𝑛) ≔ span𝕂 ⁡ { 𝑥𝑖 ⁢ 𝑦 𝑛−𝑖 | 𝑖 ∈ 𝑛+1 } とする．
- $\forall 𝑛 \in ℕ_{0}$ に対し， $𝑉 (𝑛)$ は $𝕂 [𝑥, 𝑦]$ の部分 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群．
- $char 𝕂 = 0$ の $\forall 𝑛 \in ℕ_{0}$ または， $\forall 𝑛 < char 𝕂$ に対し， $𝑉 (𝑛)$ は単純 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群
- $𝕂$ の標数が $0$ のとき，任意の単純 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群は，ある $𝑛 \in ℕ_{0}$ に対する $𝑉 (𝑛)$ と $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群同型．
線型写像 $𝑓 : 𝔰𝔩 (2, 𝕂) \to 𝑉 (2)$ を $ℎ_{-} \mapsto 𝑥^{2}, ℎ \mapsto 2 𝑥 𝑦, ℎ_{+} \mapsto - 𝑦^{2}$ 線型に拡張したものとして定義したものは，随伴表現から $𝑉 (2)$ への加群準同型．特に， $char 𝕂 \neq 2$ のとき，加群同型．

証明

$[𝜌 (ℎ), 𝜌 (ℎ_{\pm})] = 𝑦 \partial_{𝑥} + 𝑦 \partial_{𝑥} = \pm 2 𝜌 (ℎ_{\pm}) = 𝜌 ([ℎ, ℎ_{\pm}])$ $[𝜌 (ℎ_{+}), 𝜌 (ℎ_{-})] = 𝑦 \partial_{𝑦} - 𝑥 \partial_{𝑥} = 𝜌 (ℎ) = 𝜌 ([ℎ_{+}, ℎ_{-}])$
- $\forall 𝑖 \in 𝑛 + 1$ に対し， $\begin{matrix} ℎ (𝑥^{𝑖} 𝑦^{𝑛 - 𝑖}) & = & (𝑛 - 2 𝑖) 𝑥^{𝑖} 𝑦^{𝑛 - 𝑖} \\ ℎ_{+} (𝑥^{𝑖} 𝑦^{𝑛 - 𝑖}) & = & {\begin{matrix} 𝑖 𝑥^{𝑖 - 1} 𝑦^{𝑛 - 𝑖 + 1} & 𝑖 \neq 0 \\ 0 & 𝑖 = 0 \end{matrix} \\ ℎ_{-} (𝑥^{𝑖} 𝑦^{𝑛 - 𝑖}) & = & {\begin{matrix} (𝑛 - 𝑖) 𝑥^{𝑖 + 1} 𝑦^{𝑛 - 𝑖 - 1} & 𝑖 \neq 𝑛 \\ 0 & 𝑖 = 𝑛 \end{matrix} \end{matrix}$ となるから， $𝑉 (𝑛)$ は部分 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群．
- $𝑉 (𝑛)$ の非零な部分 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群 $𝑊$ の非零なベクトル $𝑣 \in 𝑊 ∖ 0$ を取り，これを $𝑉 (𝑛)$ の基底で展開する： $𝑣 = \sum_{𝑖 \in 𝑛 + 1} 𝑐_{𝑖} 𝑥^{𝑖} 𝑦^{𝑛 - 𝑖}$ $𝑣 \neq 0$ より， $𝑚 \in 𝑛 + 1$ を $𝑐_{𝑚} \neq 0$ となるものの最大値に取れ， ${ℎ_{+}}^{𝑚} 𝑣 = 𝑐_{𝑚} 𝑚! 𝑦^{𝑛}$ より， $𝑦^{𝑛} \in 𝑊$ となる．よって， ${span}_{𝕂} {{ℎ_{-}}^{𝑖} 𝑦^{𝑛} | 𝑖 \in ℕ} = {span}_{𝕂} {𝑥^{𝑖} 𝑦^{𝑛 - 𝑖} | 𝑖 \in 𝑛 + 1} = 𝑉 (𝑛) \subseteq 𝑊$ が必要．よって， $𝑊 = 𝑉 (𝑛)$
- $𝑊$ を有限次元 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群とし，対応する表現を $𝜌$ とする．また， $𝕂$ の代数閉包を $\overline{𝕂}$ とすると， $𝔰𝔩 (2, 𝕂), 𝑊$ より自然な $\overline{𝕂}$ 上のLie代数 $𝔰𝔩 (2, \overline{𝕂}), \overline{𝑊}$ が誘導され，自然なLie代数準同型 $\overline{𝜌} : 𝔰𝔩 (2, \overline{𝕂}) \to \overline{𝑊}$ が誘導される．つまり， $\overline{𝑊}$ は $𝔰𝔩 (2, \overline{𝕂})$ -加群となる． $\overline{𝕂}$ は代数閉体なので， $\exists 𝑐 \in \overline{𝕂}$ に対し，固有値 $𝑐$ の固有ベクトル $𝑤 \in 𝑊 \subseteq \overline{𝑊}$ が存在する．
${\begin{matrix} 𝜌 (ℎ) 𝑓 (ℎ_{\pm}) & = & \pm 2 𝑓 (ℎ_{\pm}) \\ 𝜌 (ℎ) 𝑓 (ℎ) & = & 0 \end{matrix}$ より，ウェイトを保っているので， $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群準同型． $char 𝕂 \neq 2$ のとき，明らかに全単射なので， $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群同型

標数 $0$ の体上の $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ の有限次元加群は半単純

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上の $2$ 次元特殊線型Lie代数 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$
$𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ の標準基底 ${ℎ_{+} ≔ 𝑒_{0, 1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}), ℎ_{-} ≔ 𝑒_{1, 0} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}), ℎ ≔ ℎ_{0} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})}$

を与える．

証明

有限次元 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群 $𝑉$ を与える． $𝑉$ は有限次元なので，極大部分 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群の有限鎖 $0 = 𝑉^{0} \subset 𝑉^{1} \subset \dots \subset 𝑉^{𝑟} = 𝑉$ が取れる． $𝑖 \in 𝑟$ に対し， $𝑉^{}$ が半単純 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群となることを数学的帰納法で示す．

まず， $𝑉^{0} = 0$ は（ $0$ 個の単純加群の直和なので）半単純．

次に， $𝑖 \in 𝑟 - 1$ に対し， $𝑉^{𝑖}$ が半単純加群となるとき， $𝑣 \in 𝑉^{𝑖 + 1} ∖ 𝑉^{𝑖}$ をとり， $𝑊 = 𝑈 (𝔰𝔩 (2, 𝕂)) 𝑣$ とすると， $𝑊$ は単純． $𝑉^{𝑖} \cap 𝑊$ は $𝑊$ の部分加群なので， $𝑉^{𝑖} \cap 𝑊 = 𝑊, 0$ だが， $𝑣 \notin 𝑉^{𝑖}$ より， $𝑉^{𝑖} \cap 𝑊 = 0$ となる．よって， $𝑉^{𝑖} \subset 𝑉^{𝑖} \oplus 𝑊 \subseteq 𝑉^{𝑖 + 1}$ だが， $𝑉^{𝑖}$ は $𝑉^{𝑖 + 1}$ の極大部分加群だったから， $𝑉^{𝑖 + 1} = 𝑉^{𝑖} \oplus 𝑊$ となる． $𝑉^{𝑖}$ は帰納法の仮定より半単純加群なので， $𝑉^{𝑖 + 1}$ も半単純．

三角分解を持つLie代数とVerma加群

三角分解

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

𝔤の三角分解(triangular decomposition)とは，以下のデータからなる：
- 非零な部分Lie代数 $𝔤_{-}, 𝔤_{0}, 𝔤_{+} \subset 𝔤$
- 単純ルート(simple root)と呼ばれる $𝔤_{0}^{*}$ の線型独立な元の集合 ${𝛼_{𝑗}}_{𝑗 \in 𝐽}$
- 自己同型 $𝜎 : 𝔤^{op} \to 𝔤$
これらは以下を満たす：
- $𝔤_{0}$ は $𝔤$ のトーラス．つまり，有限次元可換な部分Lie代数．
- $𝔤 = 𝔤_{-} \oplus 𝔤_{0} \oplus 𝔤_{+}$
- $[𝔤_{0}, 𝔤_{+}] \subset 𝔤_{+}$
- $𝔤_{+}$ は， $𝔤_{0}$ に関する $𝛼 ≁ 0$ のルート空間分解を持ち，そのルートを集めたものは $⨁_{𝑗 \in 𝐽} ℕ 𝛼_{𝑗}$ に含まれる．
- $𝜎 (𝔤_{+}) = 𝔤_{-}, {𝜎 |}_{𝔥} = - {id}_{𝔥}, 𝜎^{2} = {id}_{𝔤}$
$𝛬 ≔ ⨁_{𝑗 \in 𝐽} ℤ 𝛼_{𝑗}$ をルート格子(root lattice)と呼ぶ．
$𝛬_{+} ≔ ⨁_{𝑗 \in 𝐽} ℕ 𝛼_{𝑗}$ の元を正ルート(positive root)と呼ぶ．
$- 𝛬_{+}$ の元を負ルート(negative root)と呼ぶ．

三角分解の基本性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の三角分解 $((𝔤_{-}, 𝔤_{0}, 𝔤_{+}), {𝛼_{𝑗}}_{𝑗 \in 𝐽}, 𝜎)$

を与えると，以下を満たす：

$[𝔤_{0}, 𝔤_{-}] \subset 𝔤_{-}$
$𝔤_{-}$ は， $𝔤_{0}$ に関する $𝛼 \neq 0$ のルート空間分解を持つ．
任意のルート $𝛼 \in 𝛬_{+}$ に対し， $𝔤_{-}^{- 𝛼} = 𝜎 𝔤_{+}^{𝛼}$

最高ウェイト加群

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の三角分解 $((𝔤_{-}, 𝔤_{0}, 𝔤_{+}), {𝛼_{𝑗}}_{𝑗 \in 𝐽}, 𝜎)$
$𝔤$ -加群 $𝑉$

を与える．

$𝑉$ が最高ウェイト(highest weight) $𝜆 \in {𝔤_{0}}^{*}$ の最高ウェイト加群(highest weight module)であるとは，最高ウェイトベクトル(highest weight vector)と呼ばれるウェイト $𝜆$ のウェイト空間の元 $𝑣 \in 𝑉_{𝜆} ∖ 0$ が存在し，以下を満たすことを言う：

$𝑉 = 𝑈 (𝔤) 𝑣$
$𝔤_{+} 𝑣 = 0$

Verma加群

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の三角分解 $({𝔤_{\pm}, 𝔤_{0}}, {𝛼_{𝑗}}_{𝑗 \in 𝐽}, 𝜎)$

を与える．

最高ウェイト $𝜆 \in 𝔤_{0}^{*}$ のVerma加群(Verma module)とは，以下のデータのこと： $𝑀 (𝜆) ≔$

Verma加群の基本性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の三角分解 $({𝔤_{\pm}, 𝔤_{0}},)$
ウェイト $𝜆 \in {𝔤_{0}}^{*}$ のVerma加群 $𝑀 (𝜆)$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝑈 (𝔤_{-}) \to 𝑀 (𝜆), 𝑥 \mapsto 𝑥 \overline{1}$ は線型同型．
$𝑀 (𝜆)$ は最高ウェイト $𝜆$ ．最高ウェイトベクトル $\overline{1}$ の最高ウェイト加群．
任意のウェイト $𝜆$ の最高ウェイト $𝔤$ -加群は，ある $𝑀 (𝜆)$ のある商加群と加群同型．
$𝑀 (𝜆)$ は最大真部分加群 $𝐾 (𝜆)$ を持つ．
単純な最高ウェイト加群は， $𝑀 (𝜆)$ の商加群 $𝐿 (𝜆) ≔ 𝑀 (𝜆) ∕ 𝐾 (𝜆)$ に同型．

証明

以上より， $\overline{1} \neq 0$ である．最高ウェイトベクトルになることは明らか．
$𝑉$ を最高ウェイト $𝜆$ ，最高ウェイトベクトル $𝑣 \in 𝑉$ の最高ウェイト加群とする．線型写像を $𝑓 : 𝑈 (𝔤) \to 𝑉, 𝑥 \mapsto 𝑥 𝑣$ と定義すると， $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔤, 𝑓 (𝑥 𝑦) = 𝑥 𝑦 𝑣 = 𝑥 𝑓 (𝑣)$ より， $𝑈 (𝔤)$ を $𝔤$ -加群と見ることにより，加群準同型となる． $𝑓 (ℎ - 𝜆 (ℎ)) = ℎ 𝑣 - 𝜆 (ℎ) 𝑣 = 0, 𝑓 (𝔤_{+}) = 𝔤_{+} 𝑣 = 0$ より， $\sum_{ℎ \in 𝔤_{0}} 𝑈 (𝔤) (ℎ - 𝜆 (ℎ)) + 𝑈 (𝔤) 𝔤_{+} \subseteq \ker 𝑓$ なので，商加群の普遍性より，加群準同型 $\overline{𝑓} : 𝑀 (𝜆) \to 𝑉, 𝑥 \mapsto 𝑥 𝑣$ が定義される．特に， $\overline{𝑓} (𝑀 (𝜆)) = 𝑓 (𝑈 (𝔤)) = 𝑈 (𝔤) 𝑣 = 𝑉$ より $\overline{𝑓}$ は全射なので，加群同型定理より $𝑉 ≃ 𝑀 (𝜆) ∕ \ker \overline{𝑓}$ ．
最高ウェイト加群は $𝑣$ で生成されるから， $𝑉 (𝜆)$ の真部分加群は， $𝑉_{𝜆} = 𝕂 𝑣$ を含まない．ゆえに，全ての部分加群の和も， $𝑉_{𝜆}$ を含まないから，真部分加群．これは当然， $𝐾 (𝜆)$
極大部分加群で割った商加群は，単純加群であることと，既に示したVerma加群の基本性質より自明．

標準形式とWeyl群

三角分解を持つLie代数には，もはや $𝔤_{+} \oplus 𝔤_{-}$ が可換なものすら含まれる．もう少し非自明で扱いやすいLie代数を考える．

標準形式

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の三角分解 $({𝔤_{\pm}, 𝔤_{0}}, {𝛼_{𝑗}}_{𝑗 \in 𝐽}, 𝜎)$
$𝔤_{0}^{*}$ の $𝑉$ の部分線型空間 $𝐸 ≔ \sum_{𝑗 \in 𝐽} 𝕂 𝛼_{𝑗}$
$𝔤$ のルートの集合 $𝛥$

を与える．

標準形式(standard form)とは，𝐸 上の双線型形式 (,) : 𝐸Π𝐸 → 𝕂 であって，以下を満たすものを言う：
𝛼∈𝛥 が，
- $(𝛼, 𝛼) > 0$ を満たすものを，実ルート(real root)と呼ぶ．
- $(𝛼, 𝛼) \leq 0$ を満たすものを，虚ルート(imaginary root)と呼ぶ．
- 実ルート $𝛼 \in 𝛥$ に対し， $𝛼^{\lor} ≔ \frac{2}{(𝛼, 𝛼)} 𝛼$ を $𝛼$ の余ルート(coroot)と呼ぶ．
- 実ルートの集合を $𝛥_{re}$ と表す．
- 虚ルートの集合を $𝛥_{im}$ と表す．

Weyl群

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の三角分解 $({𝔤_{\pm}, 𝔤_{0}}, {𝛼_{𝑗}}_{𝑗 \in 𝐽}, 𝜎)$
$𝔤$ の標準形式 $(,) : 𝔤_{0}^{*} Π 𝔤_{0}^{*} \to 𝕂$ と，それに対する実ルートの集合 $𝛥_{re}$

を与える．

$𝔤$ のWeyl群(Weyl group) $𝑊$ とは，以下のように，写像の合成を積として生成される $𝔤_{0}^{*}$ 上の線型写像からなる群のこと： $𝑊 ≔ ⟨ {𝜎_{𝛼} : 𝜆 \mapsto 𝜆 - (𝜆, 𝛼^{\lor}) 𝛼 = 𝜆 - 2 \frac{(𝜆, 𝛼)}{(𝛼, 𝛼)} 𝛼}_{𝛼 \in 𝛥_{re}} ⟩$

Weyl群の性質

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の三角分解 $({𝔤_{\pm}, 𝔤_{0}}, {𝛼_{𝑗}}_{𝑗 \in 𝐽}, 𝜎)$
$𝔤$ の標準形式 $(,) : 𝔤_{0}^{*} Π 𝔤_{0}^{*} \to 𝕂$ と，それに対する実ルートの集合 $𝛥_{re}$
$𝔤$ のWeyl群 $𝑊$

を与えると，以下が成り立つ：

$\forall 𝜎 \in 𝑊$ に対し， $𝜎^{2} = {id}_{𝔤_{0}^{*}}$
$𝑊$ は群．
$(,)$ は $𝑊$ 不変．

証明

$\forall 𝜆 \in 𝔤_{0}^{*}$ に対し， $𝜎_{𝛼}^{2} (𝜆) = 𝜆 - 2 \frac{(𝜆, 𝛼)}{(𝛼, 𝛼)} 𝛼 + 2 \frac{(𝜆, 𝛼)}{(𝛼, 𝛼)} \frac{(𝛼, 𝛼)}{(𝛼, 𝛼)} 𝛼 = 𝜆$
明らか．
$\forall 𝜆, 𝜆^{'} \in 𝔤_{0}^{*}$ と $\forall 𝛼 \in 𝛥_{re}$ に対し， $(𝜎_{𝛼} (𝜆), 𝜎_{𝛼} (𝜆^{'})) = (𝜆, 𝜆^{'}) + 2 \frac{2 (𝜆, 𝛼) (𝜆^{'}, 𝛼) - (𝜆, 𝛼) (𝜆^{'}, 𝛼) - (𝜆, 𝛼) (𝛼, 𝜆^{'})}{{(𝛼, 𝛼)}^{2}} = (𝜆, 𝜆^{'})$

標準不変形式

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の三角分解 $({𝔤_{\pm}, 𝔤_{0}}, {𝛼_{𝑗}}_{𝑗 \in 𝐽}, 𝜎)$
$𝔤_{0}^{*}$ の部分線型空間 $𝐸 ≔ \sum_{𝑗 \in 𝐽} 𝕂 𝛼_{𝑗}$

を与える．

𝔤 の標準不変形式(standard invariant form)とは，𝔤 上の（対称）双線型形式 𝜅 : 𝔤Π𝔤 → 𝕂 であって，以下を満たすものを言う：
- $𝜅$ は $𝔤$ 上の不変形式
- $𝜅$ は非退化．つまり，以下を満たす： $\forall 𝜆 \in 𝔤_{0}^{*}, \exists! 𝑡_{𝜆} \in 𝔤_{0}, 𝜅 (𝑡_{𝜆}, \cdot) = 𝜆 (\cdot)$
$𝜅$ の誘導する（線型）同型とは， $𝔤_{0}^{*} \to 𝔤_{0}, 𝜆 \mapsto 𝑡_{𝜆}$ のこと．

標準不変形式の性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の三角分解 $({𝔤_{\pm}, 𝔤_{0}}, {𝛼_{𝑗}}_{𝑗 \in 𝐽}, 𝜎)$
$𝔤_{0}^{*}$ の部分線型空間 $𝐸 ≔ \sum_{𝑗 \in 𝐽} 𝕂 𝛼_{𝑗}$

を与えると，以下が成り立つ：

$\forall 𝛼, 𝛽 \in 𝔤_{0}^{*}$ と $\forall 𝑥 \in 𝔤_{𝛼}, \forall 𝑦 \in 𝔤_{𝛽}, \forall ℎ \in 𝔤_{0}$ に対し，以下を満たす： $𝜅 ([𝑥, 𝑦], ℎ) = 𝛿_{𝛼 + 𝛽} 𝛼 (ℎ) 𝜅 (𝑥, 𝑦)$
$\forall 𝛼 \in 𝔤_{0}^{*}$ に対し，以下を満たす： $[𝔤_{𝛼}, 𝔤_{- 𝛼}] \subseteq 𝕂 𝑡_{𝛼}$

証明

$𝜅$ は不変形式なので， $𝜅 ([𝑥, 𝑦], ℎ) = 𝜅 (𝑥, [𝑦, ℎ]) = - 𝛽 (ℎ) 𝜅 (𝑥, 𝑦)$ Lie括弧の反交換律より， $𝜅 ([𝑥, 𝑦], ℎ) = 𝛼 (ℎ) 𝜅 (𝑥, 𝑦)$ も成り立つ． $𝜆 \in 𝔤_{0}^{*}$ に対し， $\ker 𝜆 = 0 \Leftrightarrow 𝜆 = 0$ より， $𝛼 \neq - 𝛽$ のとき， $𝜅 ([𝑥, 𝑦], ℎ) = 0$ となる．
ゆえに， $\forall 𝑥 \in 𝔤_{𝛼}, \forall 𝑦 \in 𝔤_{- 𝛼}$ に対し， $𝜅 ([𝑥, 𝑦], ℎ) = 𝛼 (ℎ) 𝜅 (𝑥, 𝑦) = 𝜅 (𝑡_{𝛼}, ℎ) 𝜅 (𝑥, 𝑦)$ となる． $𝜅$ の双線型性と $𝔤_{0}$ 上の非退化性より， $[𝑥, 𝑦] = 𝜅 (𝑥, 𝑦) 𝑡_{𝛼}$

可積分表現

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の三角分解 $(𝔤_{-}, 𝔤_{0}, 𝔤_{+}, {𝛼_{𝑗}}_{𝑗 \in 𝐽}, 𝛬, 𝜎)$

を与える．

$𝔤$ -加群 $𝑉$ が可積分(interable)とは， $\forall 𝑗 \in 𝐽$ と $\forall ℎ^{+} \in 𝔤_{𝛼_{𝑗}} ∖ {0}$ に対し， $ℎ^{-} ≔ 𝜎 (ℎ^{+}), ℎ ≔ [ℎ^{+}, ℎ^{-}]$ とする．（ $ℎ$ 零になり得ない? これ）これより定まる部分Lie代数 $𝔞 ≔ 𝕂 ℎ^{-} \oplus 𝕂 ℎ \oplus 𝕂 ℎ^{+}$ が $\forall 𝑣 \in 𝑉$ に対して， $𝑈 (𝛼) 𝑣$ が有限次元となることを言う．

可積分表現の基本性質

を与える．

証明

$𝑉$ の部分線型空間を $𝑊 ≔ ⨁_{𝑘 \in ℤ} 𝑉_{𝜆 + 𝑘 𝛼_{𝑗}}$ とすると，これは部分 $𝔞$ -加群となる．ここで，部分 $𝔞$ -加群の昇鎖 ${𝑊^{𝑖}}$ を $𝑊^{0} = 0$ とし，また， $𝑤_{𝑖} \in 𝑊 ∖ 𝑊^{𝑖}$ を一つ取ったものに対する $𝑊^{𝑖} ≔ 𝑊^{𝑖 + 1} + 𝑈 (𝔞) 𝑤_{𝑖}$ と定義する．各 $𝑊^{𝑖}$ は可積分 $𝔞$ -加群なので，単純加群．特に， $\dim {(𝑊^{𝑖})}_{𝜀} = 1$ となる．ゆえに昇鎖は $0 = 𝑊^{0} \subset 𝑊^{1} \subset \dots \subset 𝑊^{\dim 𝑉_{0} + \dim 𝑉_{1}} = 𝑊$ なる有限鎖となるから， $𝑊$ は有限次元．
${ℎ_{\pm}, ℎ}$ は $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ の標準基底の交換関係を満たすから， $𝜆 (ℎ)$ は整数．

BGG圏 $𝒪$

BGG圏

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の部分Lie代数 $𝔥$
$𝔥$ の双対線型空間 $𝔥^{*}$

を与える．

BGG（Bernstein-Gel’fand-Gel’fand）圏(BGG category) $𝒪$ とは，対象を $𝔤$ -加群であって，以下の全てを満たすものの集まりとする， $𝔤$ -加群の圏の充満部分圏のこと：

$𝑈 (𝔤)$ に関して有限生成
$𝔥$ に関するウェイト加群
局所的に $𝔤_{+}$ の作用に関して有限： $\forall 𝑣 \in 𝑉$ に対し， $𝑉$ の部分線型空間 $𝑈 (𝔤_{+}) 𝑣$ は有限次元．

BGG圏の基本性質

を与えると，以下が成り立つ：

全てのウェイト空間は有限次元．
有限集合 $\exists 𝛬^{'} \subset 𝔥^{*}$ に対し，ウェイト空間の次元が $0$ でないウェイトの集合は， $\underset{𝜆 \in 𝛬^{'}}{∐} (𝜆 - 𝛬_{+})$ に含まれる．
$𝒪$ はNoether圏
$𝒪$ は部分加群，商加群，直和を取る操作に対して閉じる．
$𝒪$ はAbel圏
$𝑈 (𝔤)$ の中心 $𝑍 (𝑈 (𝔤))$ の作用に対して（局所的に?）有限： $\forall 𝑣 \in 𝑀$ に対し， $𝑍 (𝑈 (𝔤)) 𝑣$ は有限次元．
$𝑈 (𝔤^{-})$ -加群として有限生成．

Kac-Moody代数

生成系と基本関係式を使った定義されるため，抽象的に感じるかもしれないが，有限次元半単純Lie代数の一般化になっている．

Cartan行列とKac-Moddy代数の定義

Cartan行列

$𝑛 \in ℕ$ を与える．

$𝑛$ 次のCartan行列(Cartan matrix)とは，整数成分の $𝑛$ 次正方行列 $𝐴 = {(𝑎_{𝑖, 𝑗})}_{𝑖, 𝑗 \in 𝑛}$ であって，以下を満たすものを言う：

$\forall 𝑖 \in 𝑛, 𝑎_{𝑖, 𝑖} = 2$
$\forall 𝑖 \neq 𝑗 \in 𝑛, 𝑎_{𝑖, 𝑗} \in - ℕ_{0}$
$\forall 𝑖, 𝑗 \in 𝑛, 𝑎_{𝑖, 𝑗} = 0 \Leftrightarrow 𝑎_{𝑗, 𝑖} = 0$

基本ルート系

体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$
$𝑛$ 次のCartan行列 $𝐴$

を与える．

𝐴 をCartan行列とする基本ルート系(fundamental root system) 𝛷とは，以下のデータからなる：
- 可換Lie代数 $𝔤_{0}$
- 線型独立な部分集合 ${ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛} \subset 𝔤_{0}$
- $𝔤_{0}$ の双対空間 ${𝔤_{0}}^{*}$ の線型独立な部分集合 ${𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛} \subset 𝔥^{*}$
これらは以下を満たす： ( 𝛼𝑗 ⁡ ( ℎ𝑖 ) ) 𝑖,𝑗 ∈ 𝑛 = 𝐴
基本ルート系が既約(irreducible)であるとは，以下を満たすことを言う：
- Cartan行列 $𝐴$ がCartan行列の直和で表されない
- $\dim 𝔤_{0} = 2 𝑛 - rank (𝐴)$

基本ルート系の基本性質

体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$
$𝑛$ 次のCartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $(𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$

を与えると，以下が成り立つ：

$\dim 𝔤_{0} \geq 2 𝑛 - rank (𝐴)$
$\dim 𝔤_{0} = 2 𝑛 - rank (𝐴)$ を満たす基本ルート系は同型を除いて一意的に存在する．
$𝔤_{0}$ の $2 𝑛 - rank (𝐴)$ 次元部分線型空間 $𝔤_{0}^{'}$ であって， $(𝔤_{0}^{'}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {{𝛼_{𝑖} |}_{𝔤_{0}^{'}}}_{𝑖 \in 𝑛})$ が基本ルート系となるものが存在する．

証明

$𝔥 ≔ {span}_{𝕂} {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}$ とする．

${span}_{𝕂} {{𝛼_{𝑖} |}_{𝔥}}_{𝑖 \in 𝑛}$ の次元は $rank (𝐴)$ なので， ${𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}$ が線型独立となるには， $\dim 𝔤_{0} \geq \dim 𝔥 + (𝑛 - rank (𝐴)) = 2 𝑛 - rank (𝐴)$ が必要．
存在については明らか． $(𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}^{'}}_{𝑖 \in 𝑛})$ も基本ルート系であるとする．直和分解 $𝔤_{0} = 𝔥 + 𝑈$ を一つ固定する． ${{𝛼_{𝑖} |}_{𝑈}}_{𝑖 \in 𝑛}, {{𝛼_{𝑖}^{'} |}_{𝑈}}_{𝑖 \in 𝑛}$ は線型独立なので，直積 $𝜙 ≔ {𝛼_{1} |}_{𝑈} Π \dots Π {𝛼_{𝑛} |}_{𝑈} : 𝑈 \to 𝕂^{𝑛}, 𝜙^{'} ≔ {𝛼_{1}^{'} |}_{𝑈} Π \dots Π {𝛼_{𝑛}^{'} |}_{𝑈} : 𝑈 \to 𝕂^{𝑛}$ は単射． $𝜙 (𝑈) = 𝜙^{'} (𝑈)$ なので（?） ${(𝜙^{'})}^{- 1} \circ 𝜙 : 𝑈 \to 𝑈$ が定義され，これは線型同型．よって，線型同型 $𝑓 ≔ {id}_{𝔥} \oplus ({(𝜙^{'})}^{- 1} \circ 𝜙) : 𝔤_{0} \to 𝔤_{0}$ に対して， $\forall 𝑖 \in 𝑛, 𝛼_{𝑖}^{'} \circ 𝑓 = 𝛼_{𝑖}$ を満たす．
自明

Chevalley関係式

体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$
$𝑛$ 次のCartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $(𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
有限集合 ${ℎ_{𝑖}^{\pm}}_{𝑖 \in 𝑛}$

を与える．

線型空間 $𝔤_{0} \oplus {span}_{𝕂} {ℎ_{𝑖}^{+}}_{𝑖 \in 𝑛} \oplus {span}_{𝕂} {ℎ_{𝑖}^{-}}_{𝑖 \in 𝑛}$ で生成される自由Lie代数に対し，Chevalley関係式(Chevalley relation)とは，以下のデータのこと：

$\forall ℎ, ℎ^{'} \in 𝔤_{0}, [ℎ, ℎ^{'}] = 0$
$\forall ℎ \in 𝔤_{0}, \forall 𝑖 \in 𝑛, [ℎ, ℎ_{𝑖}^{+}] = 𝛼_{𝑖} (ℎ) ℎ_{𝑖}^{+}$
$\forall ℎ \in 𝔤_{0}, \forall 𝑖 \in 𝑛, [ℎ, ℎ_{𝑖}^{-}] = - 𝛼_{𝑖} (ℎ) ℎ_{𝑖}^{-}$
$\forall 𝑖, 𝑗 \in 𝑛, [ℎ_{𝑖}^{+}, ℎ_{𝑗}^{-}] = 𝛿_{𝑖, 𝑗} ℎ_{𝑖}$

Chevalley関係式の基本性質

体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$
$𝑛$ 次のCartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
$𝛷$ に関するChevalley関係式を基本関係式とするLie代数 $\tilde{𝔤}$
$𝔤_{0}$ で生成系される $\tilde{𝔤}$ の部分Lie代数 ${\tilde{𝔤}}_{0}$

を与えると，以下が成り立つ：

𝔤∼ 上の自己同型 𝜃∼ : 𝔤∼ → 𝔤∼ が，以下をLie代数的に拡張したものとして定義される：
- $\forall ℎ \in {\tilde{𝔤}}_{0}, \tilde{𝜃} (ℎ) = - ℎ$
- $\forall 𝑖 \in 𝑛, \tilde{𝜃} (ℎ_{𝑖}^{+}) = ℎ_{𝑖}^{-}$
- $\forall 𝑖 \in 𝑛, \tilde{𝜃} (ℎ_{𝑖}^{-}) = ℎ_{𝑖}^{+}$
特に， 𝜃∼ ∘2 = id 𝔤∼
𝔤∼ ± をそれぞれ { ℎ𝑖± } 𝑖∈𝑛 で生成される 𝔤∼ の部分Lie代数とすると，以下が成り立つ：
- 線型空間として以下の直和分解を持つ： $\tilde{𝔤} = {\tilde{𝔤}}_{-} \oplus {\tilde{𝔤}}_{0} \oplus {\tilde{𝔤}}_{+}$
- $𝔤_{0}$ と ${\tilde{𝔤}}_{0}$ は線型同型．
- ${\tilde{𝔤}}_{\pm}$ は ${ℎ_{𝑖}^{\pm}}_{𝑖 \in 𝑛}$ で生成される自由Lie代数
𝔤∼ はルート空間分解を持つ．特に， 𝑄+ ≔ ⨁ 𝑖∈𝑛 ⁡ ℤ ≥0 ⁢ 𝛼𝑖 とすると，
- ルートの集合は $𝑄_{+} \cup (- 𝑄_{+})$
- ${\tilde{𝔤}}_{𝛼 = 0} = {\tilde{𝔤}}_{0}$
- $\forall 𝛼 \in (\pm 𝑄_{+}) ∖ 0, {\tilde{𝔤}}_{\pm 𝛼} = \sum_{\sum_{𝑝 \in 𝑟} 𝛼_{𝑖_{𝑝}} = 𝛼} 𝕂 (\prod_{𝑗 \in 𝑟 - 1} ad ℎ_{𝑖_{𝑗}}^{\pm}) (ℎ_{𝑖_{𝑟}}^{\pm})$
- ${\tilde{𝔤}}_{\pm} = ⨁_{𝛼 \in 𝑄_{+} ∖ 0} {\tilde{𝔤}}_{\pm 𝛼}$
- $\forall 𝜆 \in {\tilde{𝔤}}_{0}^{+}, \tilde{𝜃} ({\tilde{𝔤}}_{𝜆}) = {\tilde{𝔤}}_{- 𝜆}$

証明

まず，自己準同型であることを示すが，Chevalley関係式が成り立つことを示せばよい：
- $\forall ℎ, ℎ^{'} \in 𝔤_{0}, \tilde{𝜃} ([ℎ, ℎ^{'}]) = [- ℎ, - ℎ^{'}] = 0 = \tilde{𝜃} (0)$
- $\forall ℎ \in 𝔤_{0}, \forall 𝑖 \in 𝑛, \tilde{𝜃} ([ℎ, ℎ_{𝑖}^{+}]) = [- ℎ, ℎ_{𝑖}^{-}] = 𝛼_{𝑖} (ℎ) ℎ_{𝑖}^{-} = \tilde{𝜃} (𝛼_{𝑖} (ℎ) ℎ_{𝑖}^{+})$
- $\forall ℎ \in 𝔤_{0}, \forall 𝑖 \in 𝑛, \tilde{𝜃} ([ℎ, ℎ_{𝑖}^{-}]) = [- ℎ, ℎ_{𝑖}^{+}] = - 𝛼_{𝑖} (ℎ) ℎ_{𝑖}^{+} = \tilde{𝜃} (- 𝛼_{𝑖} (ℎ) ℎ_{𝑖}^{+})$
- $\forall 𝑖, 𝑗 \in 𝑛, \tilde{𝜃} ([ℎ_{𝑖}^{+}, ℎ_{𝑖}^{-}]) = [ℎ_{𝑖}^{+}, ℎ_{𝑖}^{-}] = - 𝛿_{𝑖, 𝑗} ℎ_{𝑖} = \tilde{𝜃} (𝛿_{𝑖, 𝑗} ℎ_{𝑖})$
以上より，Lie代数自己準同型．明らかに 𝜃∼ ∘2 = id 𝔤∼ なので， 𝜃∼ は全単射．つまりLie代数自己同型
割と長い
atode

Chevalley関係式によるLie代数のイデアル $𝔯$

$𝑛 \in ℕ$
$𝑛$ 次のCartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
$𝛷$ に関するChevalley関係式を基本関係式とするLie代数 $\tilde{𝔤}$
$\tilde{𝔤}$ の三角分解 $\tilde{𝔤} = {\tilde{𝔤}}_{-} \oplus {\tilde{𝔤}}_{0} \oplus {\tilde{𝔤}}_{+}$

を与えると，以下が成り立つ：

$\tilde{𝔤}$ のイデアルであって， $𝔯 \cap {\tilde{𝔤}}_{0} = {0}$ を満たすもののうち，最大のもの $𝔯$ が存在する．
𝔯± ≔ 𝔯 ∩ 𝔤∼ ± とすると，
- $𝔯 = 𝔯^{+} \oplus 𝔯^{-}$
- $𝔯^{\pm}$ は共に $\tilde{𝔤}$ のイデアル
- $\tilde{𝜃} (𝔯) = 𝔯$
- $\tilde{𝜃} (𝔯^{\pm}) = 𝔯^{\mp}$

証明

$\tilde{𝔤}$ は $\tilde{𝔤} = {\tilde{𝔤}}_{-} \oplus {\tilde{𝔤}}_{0} \oplus {\tilde{𝔤}}_{+}$ を持つ． $𝔯$ を $𝔤$ のイデアル $𝔦$ であって $𝔦 \cap {\tilde{𝔤}}_{0} = {0}$ を満たすもの全ての和とすると，これも $𝔤$ のイデアルであり，かつ $𝔦 \subseteq 𝔯$ を満たす．
非自明なのは， $𝔯^{\pm}$ が共に $\tilde{𝔤}$ のイデアルとなることくらいだろう． $\tilde{𝔤}$ のルート空間分解を $\tilde{𝔤} ≔ ⨁_{𝜆 \in {\tilde{𝔤}}_{0}^{*}} {\tilde{𝔤}}_{𝜆}$ とすると， $𝔯^{-} = ⨁_{𝛼 \in 𝑄_{+} ∖ 0} (𝔯 \cap {\tilde{𝔤}}_{- 𝛼})$ を満たす．まず， $[{\tilde{𝔤}}_{-} \oplus {\tilde{𝔤}}_{0}, 𝔯^{-}] \subseteq 𝔯 \cap {\tilde{𝔤}}_{-} = 𝔯^{-}$ となるから，あとは $[{\tilde{𝔤}}_{+}, 𝔯^{-}] \subseteq 𝔯^{-}$ を示せばよい．それには， $\forall 𝑖 \in 𝑛, \forall 𝛼 \in 𝑄_{+}, [ℎ_{𝑖}^{+}, 𝔯 \cap {\tilde{𝔤}}_{- 𝛼}] \subseteq 𝔯^{-}$ を示せばよい． $[ℎ_{𝑖}^{+}, 𝔯 \cap {\tilde{𝔤}}_{- 𝛼}] \subset 𝔯 \cap {\tilde{𝔤}}_{- 𝛼 + 𝛼_{𝑖}}$ だが， $𝑄_{+} = ⨁_{𝑖 \in 𝑛} ℤ_{\geq 0} 𝛼_{𝑖}$ でありルートの集合は $𝑄_{+} \cup (- 𝑄_{+})$ であったから， ${\tilde{𝔤}}_{- 𝛼 + 𝛼_{𝑖}} \subseteq {0} \cup {\tilde{𝔤}}_{-} = {\tilde{𝔤}}_{-}$ ．つまり， $[ℎ_{𝑖}^{+}, 𝔯 \cap {\tilde{𝔤}}_{- 𝛼}] \subseteq 𝔯 \cap {\tilde{𝔤}}_{-} = 𝔯^{-}$ なので， $𝔯^{-}$ は $\tilde{𝔤}$ のイデアル． $\tilde{𝜃}$ は自己同型なので， $𝔯^{+} = \tilde{𝜃} (𝔯^{-})$ も $\tilde{𝔤}$ のイデアル．

Serre関係式

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$
$𝑛$ 次のCartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $(𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
有限集合 ${ℎ_{𝑖}^{\pm}}_{𝑖 \in 𝑛}$

を与える．

線型空間 $𝔤_{0} \oplus {span}_{𝕂} {ℎ_{𝑖}^{+}}_{𝑖 \in 𝑛} \oplus {span}_{𝕂} {ℎ_{𝑖}^{-}}_{𝑖 \in 𝑛}$ で生成される自由Lie代数における，Serre関係式(Serre relation)とは，以下の集合のこと： ${{ad (ℎ_{𝑖}^{+})}^{1 - 𝑎_{𝑖, 𝑗}} (ℎ_{𝑗}^{+}) | 𝑖 \neq 𝑗 \in 𝑛} \cup {{ad (ℎ_{𝑖}^{-})}^{1 - 𝑎_{𝑖, 𝑗}} (ℎ_{𝑗}^{-}) | 𝑖 \neq 𝑗 \in 𝑛}$

Serre関係式の基本性質

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$
$𝑛$ 次のCartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
$𝛷$ に関するChevalley関係式を基本関係式とするLie代数 $\tilde{𝔤}$
$𝔯 \cap \tilde{𝔤} = 0$ を満たす最大のイデアル $𝔯$
Serre関係式の正規閉包（を標準射影で $\tilde{𝔤}$ に写したイデアル） $𝔯_{0}$

を与えると， $𝔯_{0} \subseteq 𝔯$ ．

Kac-Moody代数

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$
$𝑛$ 次のCartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
$𝛷$ に関するChevalley関係式を基本関係式とするLie代数 $\tilde{𝔤}$
$𝔯 \cap \tilde{𝔤} = 0$ を満たす最大のイデアル $𝔯$
Serre関係式の正規閉包（を標準射影で $\tilde{𝔤}$ に写したイデアル） $𝔯_{0}$

を与える．

Kac-Moody代数(Kac-Moody algbra)とは，以下の（一般に等しいとは限らない）2種類のLie代数のことを指す：

商Lie代数 $𝔤_{\min} ≔ \tilde{𝔤} ∕ 𝔯$
商Lie代数 $𝔤_{\max} ≔ \tilde{𝔤} ∕ 𝔯_{0}$ ．つまり，Chevalley関係式とSerre関係式を基本関係式とするLie代数

単にKac-Moody代数と呼んだときは，いずれを考えた場合でも問題ない．

Kac-Moody代数の基本性質

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$
$𝑛$ 次のCartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
$𝛷$ に関するChevalley関係式を基本関係式とするLie代数 $\tilde{𝔤}$
$𝛷$ に関するKac-Moody代数 $𝔤$

を与えると，以下が成り立つ：

𝔤 上の自己同型 𝜃 : 𝔤→𝔤 が，以下をLie代数的に拡張したものとして定義される：
- $\forall ℎ \in 𝔤_{0}, 𝜃 (ℎ) = - ℎ$
- $\forall 𝑖 \in 𝑛, 𝜃 (ℎ_{𝑖}^{+}) = ℎ_{𝑖}^{-}$
- $\forall 𝑖 \in 𝑛, 𝜃 (ℎ_{𝑖}^{-}) = ℎ_{𝑖}^{+}$
特に， 𝜃 ∘2 = id𝔤
- $𝔤_{0}$ は $𝔤$ の部分線型空間
- $𝔤_{\pm}$ をそれぞれ ${ℎ_{𝑖}^{\pm}}_{𝑖 \in 𝑛}$ で生成される $\tilde{𝔤}$ の部分Lie代数とすると， $𝔤$ は線型空間として直和分解を持つ： $𝔤 = 𝔤_{-} \oplus 𝔤_{0} \oplus 𝔤_{+}$
𝔤 はルート空間分解を持つ．そのルートの集合を 𝛥 とし， 𝑄+ ≔ ⨁ 𝑖∈𝑛 ⁡ ℤ ≥0 ⁢ 𝛼𝑖 に対して 𝛥± ≔ 𝛥 ∩ ( ± 𝑄± ) とすると，
- $𝛥 \subseteq 𝑄_{+} \cup {0} \cup (- 𝑄_{+})$ ．つまり， $𝛥 = 𝛥_{+} ⊔ 𝛥_{-}$
- $𝔤_{𝛼 = 0} = 𝔤_{0}$
- $\forall 𝛼 \in 𝛥 ∖ 0, 𝔤_{\pm 𝛼} = \sum_{\sum_{𝑝 \in 𝑟} 𝛼_{𝑖_{𝑝}} = 𝛼} 𝕂 (\prod_{𝑗 \in 𝑟 - 1} ad ℎ_{𝑖_{𝑗}}^{\pm}) (ℎ_{𝑖_{𝑟}}^{\pm})$
- $𝔤_{\pm} = ⨁_{𝛼 \in 𝑄_{+} ∖ 0} 𝔤_{\pm 𝛼}$
- $\forall 𝜆 \in {𝔤_{0}}^{*}, 𝜃 (𝔤_{𝜆}) = 𝔤_{- 𝜆}$
$𝔤_{\pm}$ で生成される $𝔤$ の部分Lie代数を $𝔞$ とすると， $𝔞 = 𝔤_{-} \oplus \sum_{𝑖 \in 𝑛} 𝕂 ℎ_{𝑖} \oplus 𝔤_{+} = [𝔤, 𝔤] = [𝔞, 𝔞]$
$\forall 𝑖 \in 𝑛, \dim 𝕂 ℎ_{𝑖}^{\pm} = 1$

可積分表現

標準形式

対称化可能Cartan行列

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$ 次のCartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
$𝛷$ に関するKac-Moody代数 $𝔤$

を与える．

Cartan行列 𝐴 が対称化可能(symmetrizable)であるとは，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすことを言う：
- $𝑛$ 次の正有理数成分の対角行列 $𝐷$ が存在し， $𝐷 𝐴$ は対称行列．
- $𝐸$ 上の標準形式 $(,) : 𝐸 Π 𝐸 \to 𝕂$ が存在し， $\forall 𝑖 \in 𝑛, (𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖}) \in ℚ_{> 0}$ を満たす．
- $𝐸$ 上の標準形式 $(,) : 𝐸 Π 𝐸 \to 𝕂$ が存在し， $\forall 𝑖 \in 𝑛, (𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖}) \neq 0$ を満たす．
- $𝔤$ の標準不変形式 $𝜅 : 𝔤 Π 𝔤 \to 𝕂$ が存在する．
特に，𝐷⁢𝐴 が
- 正定値のとき，有限型(finite type)と呼ぶ．
- 半正定値のとき，アフィン型(affine type)と呼ぶ．
- 不定値かつ主小行列が有限型またはアフィン型のとき，双曲型(hyperbolic type)と呼ぶ．

条件の同値性の証明

$𝔥 ≔ ⨁_{𝑖 \in 𝑛} 𝕂 ℎ_{𝑖}$ とおき，まずは正有理数に関する仮定を外した条件の同値性を証明する：

$𝐷 𝐴$ が対称行列になるとき，標準不変形式 $𝜅 : 𝔤 Π 𝔤 \to 𝕂$ を具体的に定める．まず， $𝜅 (ℎ_{𝑖}, ℎ) = 𝐷_{𝑖} 𝛼_{𝑖} (ℎ)$ とし，これを線型に拡張して， $𝔥 Π 𝔤_{0}$ 上の双線型写像とする．これは $𝔥 Π 𝔥$ 上対称なので， $𝔥 Π 𝔤_{0} + 𝔤_{0} Π 𝔥$ 上の双線型写像に拡張できる．ここで， ${𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}$ は線型独立なので， $𝔤_{0} Π 𝔤_{0}$ 上の非退化対称双線型写像であって， $𝜅 (ℎ_{𝑖}, ℎ) = 𝐷_{𝑖} 𝛼_{𝑖} (ℎ)$ を満たすものが存在するので，適当に一つとる．

次に， $\forall 𝑖, 𝑗 \in 𝑛, 𝜅 (ℎ_{𝑖}^{+}, ℎ_{𝑖}^{-}) = 𝐷_{𝑖} 𝛿_{𝑖, 𝑗}, 𝜅 (ℎ_{𝑖}^{+}, ℎ_{𝑖}^{+}) = 𝜅 (ℎ_{𝑖}^{-}, ℎ_{𝑖}^{-}) = 0$ を満たし，かつ $𝔤$ 上の不変形式となるものが一意的に存在する．ゆえに， $𝜅$ は標準不変形式となる．
標準不変形式は自然に $𝐸$ 上の標準形式を誘導する．
標準形式の定義より， $𝑖, 𝑗 \in 𝑛$ に対し， $𝑎_{𝑖, 𝑗} = 𝛼_{𝑗} (ℎ_{𝑖}) = 2 \frac{(𝛼_{𝑗}, 𝛼_{𝑖})}{(𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖})}$ より， $\frac{(𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖})}{2} 𝑎_{𝑖, 𝑗} = (𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑗}) = \frac{(𝛼_{𝑗}, 𝛼_{𝑗})}{2} 𝑎_{𝑗, 𝑖}$ となる．つまり， $ℝ ∖ 0$ 値の対角行列 $𝐷 ≔ {(𝛿_{𝑖, 𝑗} \frac{(𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖})}{2})}_{𝑖, 𝑗 \in 𝑛}$ が存在し， $𝐷 𝐴$ は対称行列となる．

Cartan行列は $ℤ$ -値なので，対称化する行列 $𝐷$ は， $ℚ_{> 0}$ -値に取れる．このとき標準形式は， $(𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑗}) = 𝐷_{𝑖} 𝑎_{𝑖, 𝑗} = 𝐷_{𝑗} 𝑎_{𝑗, 𝑖}$ と定義していたから， $(𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖}) \in ℚ_{> 0}$ となる．

対称化可能Cartan行列のKac-Moody代数の一意性

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$ 次の対称化可能Cartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$

を与えると，2種類のKac-Moody代数 $𝔤_{\min}, 𝔤_{\max}$ は相等しい．

Kac-Moody代数の実ルート・虚ルート

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$ 次の対称化可能Cartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
$𝛷$ に関するKac-Moody代数 $𝔤$
$𝔤$ の標準形式 $(,)$

を与えると，以下が成り立つ：

$\forall 𝛼, 𝛽 \in 𝛥, (𝛼, 𝛽) \in ℚ$
∀ ⁡ 𝛼∈𝛥 に対し，以下は同値：
- $𝛼$ は実ルート
- $\exists 𝑤 \in 𝑊, \exists 𝑖 \in 𝑛$ に対し， $𝛼 = 𝑤 (𝛼_{𝑖})$
同様に，以下は同値：
- $𝛼$ は虚ルート
- $𝛼 \notin 𝑊 ({𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$

証明

いろいろな定義より明らか．
標準形式は $𝑊$ 不変なので， $𝛼 = 𝑤 (𝛼_{𝑖}) \Rightarrow (𝛼, 𝛼) = (𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖}) \Rightarrow 𝛼 \in 𝛥_{re}$ となる．逆に， $𝛼 \notin 𝑊 ({𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$ のとき，

対称化可能Cartan行列，ひいてはその上のKac-Moody代数の分類は，有限型，アフィン型，双曲型の場合で終わっている．その出発点となる有限型の場合について，有限次元Lie代数のテクニックを用いるので，次章は有限次元Lie代数を扱う．

対称化可能Cartan行列上のKac-Moody代数の分類

有限次元Lie代数

Adoの定理

任意の体 $𝕂$
任意の $𝕂$ 上の有限次元Lie代数 $𝔤$

に対し， $𝔤$ はある有限次元線型Lie代数と同型．同じことだが，忠実な $𝔤$ -加群 $𝑉$ が存在する．

有限次元表現

ウェイト加群で安定化される旗

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元Lie代数 $𝔤$
有限次元 $𝔤$ -加群 $𝑉$

を与えると， $𝑉$ と $𝑉$ の任意の商加群が非零なウェイトベクトルを持つとき， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ で安定化される $𝑉$ の旗が存在する．

証明

$\dim 𝑉$ に関する数学的帰納法により示す． $\dim 𝑉$ のときは自明．

次に， $\dim 𝑉 > 0$ とする．仮定より，ウェイト $𝜆 \in 𝔤^{*}$ のウェイトベクトルが存在する： $\exists 𝑣_{1} \in 𝑉 ∖ {0}, \forall 𝑥 \in 𝔤, 𝑥 𝑣_{1} = 𝜆 (𝑥) 𝑣_{1}$ つまり， $𝑉_{1} ≔ 𝕂 𝑣_{1}$ は $𝑉$ の部分加群となる．仮定より，その商加群 $𝑊 ≔ 𝑉 ∕ 𝑉_{1}$ も仮定よりウェイトベクトルを持つ．また同型定理より， $𝑊$ の商加群もウェイトベクトルを持つ． $\dim (𝑉 ∕ 𝑉_{1}) = \dim 𝑉 - 1 < \dim 𝑉$ より，帰納法の仮定から， $𝔥$ で安定化される $𝑊$ の旗 ${0} = 𝑊_{0} \subset 𝑊_{1} \subset \dots \subset 𝑊_{\dim 𝑉 - 1} = 𝑉 ∕ 𝑉_{1}$ が存在する．標準射影 $𝑝 : 𝑉 \to 𝑉 ∕ 𝑉_{1}$ により定まる $𝑉$ の部分線型空間の増大列 ${0} \subset 𝑝^{- 1} (𝑊_{1}) \subset \dots \subset 𝑝^{- 1} (𝑊_{\dim 𝑉 - 1}) = 𝑉$ は $𝑉$ の旗となる．さらに， $\forall 𝑗 \in ℕ_{\leq \dim 𝑉 - 1}$ に対し，商加群の普遍性より $𝑝 (𝑥 (𝑝^{- 1} (𝑊_{𝑗}))) = 𝑥 (𝑝 (𝑝^{- 1} (𝑊_{𝑗}))) = 𝑥 (𝑊_{𝑗}) \subset 𝑊_{𝑗}$ となるから， $𝔤$ で安定化される．

Engelの定理

冪零変換のウェイトベクトルの存在

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元線型空間 $𝑉 \neq 0$
冪零変換のみからなる線型Lie代数 $𝔤 \subset 𝔤𝔩 (𝑉)$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝔤$ の真部分Lie代数 $𝔥 ⊊ 𝔤$ に対し，その正規化Lie代数は真に大きい： $𝔥 ⊊ 𝑁_{𝔤} (𝔥)$
ウェイト $0 \in 𝔤^{*}$ のウェイトベクトル $𝑣 \in 𝑉 ∖ 0$ を持つ： $𝔤 (𝑣) = 0$

証明

$\dim 𝔤$ に関する数学的帰納法により2つの主張を同時に示す． $\dim 𝔤 = 0$ のときは， $𝔤 = {0}$ より，いずれの主張も自明．

次に， $\dim 𝔤 > 0$ とする．

$\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対する内部微分 $ad (𝑥) : 𝔤 \to 𝔤$ は線型変換であり， $𝔥$ は $𝔤$ の部分線型空間なので，商線型空間 $𝔤 ∕ 𝔥$ の普遍性より，一意な線型写像 $\overline{ad (𝑥)} : 𝔤 ∕ 𝔥 \to 𝔤$ を誘導する．さらに標準射影 $𝑝 : 𝔤 \to 𝔤 ∕ 𝔥$ も合成すると， $𝔤 ∕ 𝔥$ 上の線型変換が得られる．つまり，自然なLie代数準同型 $\overline{ad} : 𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝔤 ∕ 𝔥)$ が定まる． $𝔥$ は部分Lie代数なので， $𝔥$ への制限 ${\overline{ad} |}_{𝔥} : 𝔥 \to 𝔤𝔩 (𝔤)$ もLie代数準同型となる．

一般に，冪零変換の内部微分は冪零変換なので， ${\overline{ad} |}_{𝔥} (𝔥) \subset 𝔤𝔩 (𝔤 ∕ 𝔥)$ は全て冪零変換となる． $\dim 𝔥 < \dim 𝔤$ より，帰納法の仮定から， $\exists 𝑣 + 𝔥 \in (𝔤 ∕ 𝔥) ∖ {0 + 𝔥}$ に対し， ${\overline{ad} |}_{𝔥} (𝔥) (𝑣 + 𝔥) = 𝔥$ となる．つまり， $\exists 𝑣 \in 𝔤 ∖ 𝔥$ に対し， ${ad |}_{𝔥} (𝔥) (𝑣) = [𝔥, 𝑣] \subset 𝔥$ となる．よって， $𝔥 ⊊ 𝔥 + 𝕂 𝑣 \subset 𝑁_{𝔤} (𝔥)$ となる．
$𝔤$ の極大部分Lie代数 $𝔥 ⊊ 𝔤$ をとると， $𝑁_{𝔤} (𝔥) = 𝔤$ となる．正規化Lie代数の定義より， $𝔥$ は $𝔤$ のイデアルとなる．極大部分Lie代数の商Lie代数は1次元Lie代数なので， $\exists 𝑧 \in 𝔤 ∖ 𝔥$ に対して， $𝔤 = 𝔥 + 𝕂 𝑧$ となる． $𝔥$ のウェイト $0 \in 𝔥^{*}$ のウェイト空間を $𝑊$ とすると，帰納法の仮定より， $𝑊 \neq {0}$ となる．さらに， $𝔥$ はイデアルなので， $𝔥 (𝑧 (𝑊)) \subset 𝑧 (𝔥 (𝑊)) - [𝑧, 𝔥] (𝑊) \subset {0}$ となる． $𝑊$ は有限次元なので，ウェイト $0 \in 𝔤^{*} = {(𝔥 + 𝕂 𝑧)}^{*}$ のウェイトベクトル $𝑣 \in 𝑊 ∖ {0}$ が存在する．冪零変換の固有値は $0$ に限られるので， $𝑧 (𝑣) = 0$ ．

冪零変換で安定化される旗

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元線型空間 $𝑉 \neq 0$
冪零変換のみからなる線型Lie代数 $𝔤 \subset 𝔤𝔩 (𝑉)$

を与えると， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ で安定化される $𝑉$ の旗が存在する．

証明

$\dim 𝑉$ に関する数学的帰納法により示す． $\dim 𝑉$ のときは自明．

次に， $\dim 𝑉 > 0$ とする．このときウェイト $0 \in 𝔤^{*}$ のウェイトベクトルが存在する： $\exists 𝑣_{1} \in 𝔤 ∖ {0}, 𝔤 𝑣_{1} = {0}$ ここで， $𝑉_{1} ≔ 𝕂 𝑣_{1}, 𝑊 ≔ 𝑉 ∕ 𝑉_{1}$ とする．各 $𝑥 \in 𝔤 \subset 𝔤𝔩 (𝑉)$ に対し，商線型空間の普遍性が誘導する自然な線型変換 $\overline{𝑥} \in 𝔤𝔩 (𝑉 ∕ 𝑉_{1})$ は冪零．部分Lie代数 $\overline{𝔤} \subset 𝔤𝔩 (𝑉 ∕ 𝑉_{1})$ に対し， $\dim (𝑉 ∕ 𝑉_{1}) = \dim 𝑉 - 1 < \dim 𝑉$ なので，帰納法の仮定から， $\overline{𝔤}$ で安定化される $𝑊$ の旗 ${0} = 𝑊_{0} \subset 𝑊_{1} \subset \dots \subset 𝑊_{\dim 𝑉 - 1} = 𝑉 ∕ 𝑉_{1}$ が存在する．これより定まる $𝑉$ の部分線型空間の増大列 ${0} \subset 𝑝^{- 1} (𝑊_{1}) \subset \dots \subset 𝑝^{- 1} (𝑊_{\dim 𝑉 - 1}) = 𝑉$ は $𝑉$ の旗となる．さらに， $\forall 𝑗 \in ℕ_{\leq \dim 𝑉 - 1}$ に対し， $𝑝 (𝑥 (𝑝^{- 1} (𝑊_{𝑗}))) = \overline{𝑥} (𝑝 (𝑝^{- 1} (𝑊_{𝑗}))) = \overline{𝑥} (𝑊_{𝑗}) \subset 𝑊_{𝑗}$ より， $𝔤$ で安定化される．

冪零Lie代数のイデアルと中心の共通部分

体 $𝕂$
冪零Lie代数 $𝔤$
$𝔤$ のイデアル $𝔦$
$𝔤$ の中心 $𝑍 (𝔤)$

を与えると，以下は同値：

$𝔦 \neq {0}$
$𝔦 \cap 𝑍 (𝔤) \neq {0}$

証明

$𝔦 \cap 𝑍 (𝔤) \neq {0}$ のとき， $𝔦 \neq {0}$ となるのは自明．逆を示す．

$𝔦 \neq {0}$ のとき，イデアルの定義より， $ad (𝔤) (𝔦) = [𝔤, 𝔦] \subset 𝔦$ を満たす．よって， ${ad (𝔤) |}_{𝔦} (𝔦)$ は $𝔤𝔩 (𝔦)$ の部分Lie代数と見做せる． $𝔤$ が冪零Lie代数だったから， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対し， ${ad (𝑥) |}_{𝔦}$ は冪零変換となる．よって， $𝔤$ のウェイト $0 \in 𝔤^{*}$ のウェイトベクトルが存在し， $\exists 𝑥 \in 𝔦 ∖ {0}, {ad (𝔤) |}_{𝔦} (𝑥) = [𝔤, 𝑥] = 0$ となる．つまり， $𝑥 \in 𝔦 \cap 𝑍 (𝔤)$

Engelの定理

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元Lie代数 $𝔤$

を与えると，以下は同値：

$𝔤$ は冪零Lie代数
$\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対し， $ad 𝑥 \in 𝔤𝔩 𝔤$ が冪零変換．

証明

冪零Lie代数の定義より， $𝔤$ が冪零Lie代数ならば， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対し， $ad 𝑥 \in 𝔤𝔩 𝔤$ が冪零変換となることは自明．逆を $\dim 𝔤$ に関する数学的帰納法により示す． $\dim 𝔤 = 0$ のときは自明．

次に， $\dim 𝔤 > 1$ とする．このとき $𝔤$ の中心 $𝑍 (𝔤)$ は非零．よって， $\dim (𝔤 ∕ 𝑍 (𝔤)) < \dim 𝔤$ であり，かつ $\forall 𝑥 + 𝑍 (𝔤) \in 𝔤 ∕ 𝑍 (𝔤)$ に対し， $ad (𝑥 + 𝑍 (𝔤))$ は冪零変換となるから，帰納法の仮定より， $𝔤 ∕ 𝑍 (𝔤)$ は冪零Lie代数である．一般に，このとき $𝔤$ 自身も冪零Lie代数となる．

Lieの定理

可解線型Lie代数のウェイトベクトルの存在

代数閉体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元線型空間 $𝑉 \neq 0$
可解な線型Lie代数 $𝔤 \subset 𝔤𝔩 (𝑉)$

を与える． $𝕂$ の標数について，

$char 𝕂 = 0$
$\dim 𝑉 < char 𝕂$

のいずれかを満たすとき，ウェイト $𝜆 \in 𝔤^{*}$ のウェイトベクトル $𝑣 \in 𝑉 ∖ 0$ を持つ．

証明

$\dim 𝔤$ に関する数学的帰納法により示す． $\dim 𝔤 = 0$ のときは， $𝔤 = {0}$ より自明．

次に， $\dim 𝔤 > 0$ とする．可解性の定義より，導来Lie代数 $[𝔤, 𝔤]$ の商Lie代数 $𝔤 ∕ [𝔤, 𝔤]$ は非零．さらに，その商Lie代数 $𝔤 ∕ [𝔤, 𝔤]$ は可換．よって，極大イデアル $𝔦 \supset [𝔤, 𝔤]$ を取ると， $\exists 𝑧 \in 𝔤 ∖ 𝔦$ に対し， $𝔤 = 𝔦 + 𝕂 𝑧$ となる．

帰納法の仮定より，ウェイト $𝜆 \in 𝔦^{*}$ のウェイトベクトル $𝑣 \in 𝑉$ が存在する．そのウェイト空間を $𝑊 \subset 𝑉$ とすると， $𝑥 \in 𝔦, 𝑧 \in 𝔤, 𝑤 \in 𝑊$ $𝑥 (𝑧^{𝑛} (𝑤)) = 𝑧 (𝑥 (𝑧^{𝑛 - 1} (𝑤))) - [𝑧, 𝑥] (𝑧^{𝑛 - 1} (𝑤)) = \sum_{𝑗 = 0}^{𝑛} (\begin{matrix} 𝑛 \\ 𝑗 \end{matrix}) 𝜆 ({(- ad 𝑧)}^{𝑗} (𝑥)) 𝑧^{𝑛 - 𝑗} (𝑤)$ $tr ({𝑥 |}_{𝑈}) = (\dim 𝑈) 𝜆 (𝑥)$

$𝑊$ は有限次元なので，ウェイト $0 \in 𝔤^{*} = {(𝔥 + 𝕂 𝑧)}^{*}$ のウェイトベクトル $𝑣 \in 𝑉 ∖ {0}$ が存在する．

Lieの定理

標数 $0$ の代数閉体 $𝕂$
可解な有限次元Lie代数 $𝔤$
$𝕂$ 上の有限次元線型空間 $𝑉 \neq 0$

を与えると， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ で安定化される $𝑉$ の旗 $𝑉_{0} ≔ {0} \subset 𝑉_{1} \subset \dots \subset 𝑉_{\dim 𝑉} ≔ 𝑉$ が存在する．

根基の存在

任意の有限次元Lie代数は，根基を持つ．

証明

Lie代数 $𝔤$ が有限次元のとき，全ての可解イデアルの和 $𝔯$ は高々有限次元なので，同型定理よりイデアルとなる．可解イデアルの和は可解だったから， $𝔯$ は可解．任意の可解イデアル $𝔦$ に対し， $𝔦 + 𝔯 = 𝔯$ より， $𝔯$ は根基となる．

包絡代数の中心

PBW定理における写像 $𝐼_{PBW} : 𝑆 (𝔤) \to 𝑈 (𝔤)$ は，線型同型だが， $𝔤$ が可換でない限り（結合）代数同型ではない．

ここで， $𝔤$ の内部微分は $𝔤$ 上の作用なので，微分となるように $𝑆 (𝔤)$ および $𝑈 (𝔤)$ に自然に拡張される．この作用に関して $0$ となる部分線型空間をそれぞれ ${𝑆 (𝔤)}^{𝔤}, {𝑈 (𝔤)}^{𝔤}$ とすると，定義より自明に ${𝑈 (𝔤)}^{𝔤} = 𝑍 (𝑈 (𝔤))$ である．また， $𝐼_{PBW}$ が誘導する写像 ${𝑆 (𝔤)}^{𝔤} \to {𝑈 (𝔤)}^{𝔤}$ は線型同型となる．

$𝕂$ が標数 $0 で，$ $𝔤$ が有限次元の場合，うまい $𝐽 : {𝑆 (𝔤)}^{𝔤} \to {𝑆 (𝔤)}^{𝔤}$ を取ってくると， $𝐼_{PBW} \circ 𝐽^{\frac{1}{2}} : {𝑆 (𝔤)}^{𝔤} \to {𝑈 (𝔤)}^{𝔤}$ が可換代数同型を与えることが知られている（Duflo同型）．

Jordan-Chevalley分解

Jordan-Chevalley分解の保存

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元線型空間 $𝑉$
線型変換 $𝑥 \in end 𝑉$

を与えると， $𝑥$ がJordan-Chevalley分解 $𝑥 = 𝑥_{s} + 𝑥_{n}$ を持つとき， $ad 𝑥 \in end (𝔤𝔩 (𝑉))$ はJordan-Chevalley分解 $ad (𝑥) = {ad (𝑥)}_{s} + {ad (𝑥)}_{n}$ を持ち， ${ad (𝑥)}_{s} = ad (𝑥_{s}), {ad (𝑥)}_{n} = ad (𝑥_{n})$ を満たす．

無中心半単純Lie代数

有限次元無中心半単純Lie代数

標数 $0$ の（代数閉?）体 $𝕂$ を与えると， $𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$ に対し，以下は同値：

$𝔤$ は無中心かつ半単純
$𝔤$ のKilling形式が非退化
$𝔤$ の可換イデアルは ${0}$ のみ
$𝔤$ の中心は ${0}$
$𝔤$ の可解イデアルは ${0}$ のみ
$𝔤$ の根基は $0$

有限次元無中心単純Lie代数の分類

標数 $0$ の代数閉体 $𝕂$ を与えると， $𝕂$ 上の有限次元無中心な単純Lie代数は以下のいずれかに同型：

$\forall 𝑛 \in ℕ$ に対する特殊線型Lie代数 $𝔰𝔩 (𝑛 + 1, 𝕂)$
$\forall 𝑛 \in ℕ_{\geq 3}$ に対するシンプレクティックLie代数 $𝔰𝔭 (2 𝑛, 𝕂)$
$\forall 𝑛 \in ℕ_{\geq 2}$ に対する特殊直交Lie代数 $𝔰𝔬 (2 𝑛 + 1, 𝕂)$
$\forall 𝑛 \in ℕ_{\geq 4}$ に対する特殊直交Lie代数 $𝔰𝔬 (2 𝑛, 𝕂)$
$𝐸_{6}, 𝐸_{7}, 𝐸_{8}$
$𝐹_{4}$
$𝐺_{2}$

有限型Kac-Moody代数

有限型Cartan行列・有限次元Kac-Moody代数

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$ 次の対称化可能Cartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
$𝛷$ に関するKac-Moody代数 $𝔤$
$𝔤$ の標準形式 $(,)$

を与えると，以下は同値：

$𝔤$ が有限次元．
$𝔤$ が有限次元半単純Lie代数．
Cartan行列 $𝐴$ が有限型．
$𝔤$ が $(,)$ に関する虚ルートを持たない．

$𝑋_{𝑙}$ 型Cartan行列

$𝑙 \in ℕ$ に対する $𝐴_{𝑙}$ 型Cartan行列(type $𝐴_{𝑙}$ )とは，以下で定義されるCartan行列のこと： $𝐴 ≔ (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) = {(𝑎_{𝑖, 𝑗} ≔ {\begin{matrix} 2 & 𝑖 = 𝑗 \\ - 1 & 𝑖 = 𝑗 \pm 1 \\ 0 & 他 \end{matrix})}_{𝑖, 𝑗 \in 𝑙}$
$𝑙 \in ℕ$ に対する $𝐶_{𝑙}$ 型Cartan行列(type $𝐶_{𝑙}$ )とは，以下で定義されるCartan行列のこと： $𝐴 ≔ (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & - 1 \\ ⋱ & ⋱ & - 2 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) = {(𝑎_{𝑖, 𝑗} ≔ {\begin{matrix} 2 & 𝑖 = 𝑗 \\ - 1 & 𝑖 \in 𝑙 - 2, 𝑗 = 𝑖 + 1 \cup 𝑗 \in 𝑙 - 1, 𝑖 = 𝑗 + 1 \\ - 2 & 𝑖 = 𝑙 - 2, 𝑗 = 𝑙 - 1 \\ 0 & 他 \end{matrix})}_{𝑖, 𝑗 \in 𝑛}$
$𝑙 \in ℕ$ に対する $𝐵_{𝑙}$ 型Cartan行列(type $𝐵_{𝑙}$ )とは，以下で定義されるCartan行列のこと： $𝐴 ≔ (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & ⋱ \\ - 1 & ⋱ & - 1 \\ - 2 & 2 \end{matrix}) = {(𝑎_{𝑖, 𝑗} ≔ {\begin{matrix} 2 & 𝑖 = 𝑗 \\ - 1 & 𝑖 \in 𝑙 - 1, 𝑗 = 𝑖 + 1 \cup 𝑗 \in 𝑙 - 2, 𝑖 = 𝑗 + 1 \\ - 2 & 𝑖 = 𝑙 - 1, 𝑗 = 𝑙 - 2 \\ 0 & 他 \end{matrix})}_{𝑖, 𝑗 \in 𝑛}$
$𝑙 \in ℕ$ に対する $𝐷_{𝑙}$ 型Cartan行列(type $𝐷_{𝑙}$ )とは，以下で定義されるCartan行列のこと： $𝐴 ≔ (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & - 1 & - 1 \\ - 1 & ⋱ & 0 \\ - 1 & 0 & 2 \end{matrix}) = {(𝑎_{𝑖, 𝑗} ≔ {\begin{matrix} 2 & 𝑖 = 𝑗 \\ - 1 & 𝑖 \in 𝑙 - 2, 𝑗 = 𝑖 + 1 \cup 𝑗 \in 𝑙 - 2, 𝑖 = 𝑗 + 1 \cup 𝑖 + 2 = 𝑗 = 𝑙 - 1 \cup 𝑖 = 𝑗 + 2 = 𝑙 - 1 \\ - 2 & 𝑖 = 𝑛 - 1, 𝑗 = 𝑛 \\ 0 & 他 \end{matrix})}_{𝑖, 𝑗 \in 𝑛}$
$𝑙 \in ℕ$ に対する $𝐸_{𝑙}$ 型Cartan行列(type $𝐸_{𝑙}$ )とは，以下で定義されるCartan行列のこと： $𝐴 ≔ (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ - 1 & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & - 1 \\ - 1 & 2 & 0 \\ - 1 & 0 & 2 \end{matrix}) = {(𝑎_{𝑖, 𝑗} ≔ {\begin{matrix} 2 & 𝑖 = 𝑗 \\ - 1 & 𝑖 \in 𝑙 - 2, 𝑗 = 𝑖 + 1 \cup 𝑗 \in 𝑙 - 2, 𝑖 = 𝑗 + 1 \cup 𝑖 = 2, 𝑗 = 𝑙 - 1 \cup 𝑗 = 2, 𝑖 = 𝑙 - 1 \\ 0 & 他 \end{matrix})}_{𝑖, 𝑗 \in 𝑛}$
$𝐹_{4}$ 型Cartan行列(type $𝐹_{4}$ )とは，以下で定義される $4$ 次のCartan行列のこと： $𝐴 ≔ (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 2 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix})$
$𝐺_{2}$ 型Cartan行列(type $𝐺_{2}$ )とは，以下で定義されるCartan行列のこと： $𝐴 ≔ (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 3 & - 1 \end{matrix})$

$𝑋_{𝑙}$ 型Cartan行列の同型

$𝑋_{𝑙}$ 型Cartan行列に対し，以下が成り立つ：

$𝐴_{1} = 𝐶_{1} = 𝐵_{1} = 𝐷_{1} = 𝐸_{1}$
$𝐵_{2} = 𝐶_{2}$
$𝐷_{2} = 𝐴_{1} \oplus 𝐴_{1}$
$𝐷_{3} = 𝐴_{3}$
$𝐸_{3} = 𝐴_{2} \oplus 𝐴_{1}$
$𝐸_{4} = 𝐴_{4}$
$𝐸_{5} = 𝐷_{5}$

逆に，これら以外の $𝑋_{𝑙}$ 型Cartan行列は互いに相異なる．

有限型Cartan行列の分類

既約な有限型Cartan行列は以下の $𝑋_{𝑙}$ 型Cartan行列の内，いずれかに等しい：

$\forall 𝑙 \in ℕ$ に対する $𝐴_{𝑙}$
$\forall 𝑙 \in ℕ_{\geq 2}$ に対する $𝐶_{𝑙}$
$\forall 𝑙 \in ℕ_{\geq 3}$ に対する $𝐵_{𝑙}$
$\forall 𝑙 \in ℕ_{\geq 4}$ に対する $𝐷_{𝑙}$
$𝐸_{6}, 𝐸_{7}, 𝐸_{8}, 𝐹_{4}, 𝐺_{2}$

（標数 $0$ の体上の）既約有限型Kac-Moody代数の一覧
名前	次元	正ルート数	Weyl群	中心の生成系の次数	Cartan行列式
$𝔰𝔩 (𝑛 + 1, 𝕂)$	$𝑛 (𝑛 + 2)$	$\frac{𝑛 (𝑛 + 1)}{2}$	$𝔖_{𝑛 + 1}$	$2, \dots, 𝑛 + 1$	$𝑛 + 1$
$𝔰𝔭 (2 𝑛, 𝕂)$	$𝑛 (2 𝑛 + 1)$	$𝑛^{2}$	${ℤ_{2}}^{𝑛} ⋊ 𝔖_{𝑛}$	$2, 4, \dots, 2 𝑛$	$2$
$𝔰𝔬 (2 𝑛 + 1, 𝕂)$	$𝑛 (2 𝑛 + 1)$	$𝑛^{2}$	${ℤ_{2}}^{𝑛} ⋊ 𝔖_{𝑛}$	$2, 4, \dots, 2 𝑛$	$2$
$𝔰𝔬 (2 𝑛, 𝕂)$	$𝑛 (2 𝑛 - 1)$	$𝑛 (𝑛 - 1)$	${ℤ_{2}}^{𝑛 - 1} ⋊ 𝔖_{𝑛}$	$2, 4, \dots 2 𝑛 - 2, 𝑛$	$4$
$𝐸_{6}$	$78$	$36$		$2, 5, 6, 8, 9, 12$	$3$
$𝐸_{7}$	$133$	$63$		$2, 6, 8, 10, 12, 14, 18$	$2$
$𝐸_{8}$	$248$	$120$		$2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30$	$1$
$𝐹_{4}$	$52$	$24$	$({ℤ_{2}}^{3} ⋊ 𝔖_{4}) ⋊ 𝔖_{3}$	$2, 6, 8, 12$	$1$
$𝐺_{2}$	$14$	$6$	$𝐷_{6}$	$2, 6$	$1$

アフィンLie代数

拡大Dynkin図形

アフィンLie代数

双曲型Kac-Moody代数

双曲型Kac-Moody代数についてわかっていること[要出典]のメモ：

階数 $2$ の場合は，有限型でもアフィン型でもないもの全てが双曲型
階数 $3$ 以上 $10$ 以下のものが $238$ 個
階数は $11$ 以上のものは存在しない．

量子化包絡代数

端的には，Kac-Moody代数の包絡代数の $𝑞$ 類似のこと．

定義

整基本ルートデータ

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$ 次の対称化可能Cartan行列 $𝐴$

を与える．

整基本ルートデータ(integral fundamental root data)とは，以下のデータのこと：

$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$ と付随する標準形式 $(,) : 𝐸 Π 𝐸 \to 𝕂$
$𝔥$ の格子 $𝔥_{ℤ}$

これらは以下を満たす：

$\forall 𝑖 \in 𝑛, \frac{(𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖})}{2} \in ℤ$
$\forall 𝑖 \in 𝑛, 𝛼_{𝑖} (𝔥_{ℤ}) \subset ℤ$
$\forall 𝑖 \in 𝑛, 𝑡_{𝑖} ≔ \frac{(𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖})}{2} ℎ_{𝑖} \in 𝔥_{ℤ}$

量子化包絡代数

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有理函数体 $𝕂 (𝑞)$
$𝑛 \in ℕ$ 次の対称化可能Cartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする整基本ルートデータ $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, (,), 𝔥_{ℤ})$
集合 ${𝐾^{ℎ}}_{ℎ \in 𝔥_{ℤ}} \cup {𝐻_{𝑖, +}, 𝐻_{𝑖, -}}_{𝑖 \in 𝑛}$
$𝑚 \in ℤ$ の $𝑞$ 類似 ${[𝑚]}_{𝑞} ≔ \frac{𝑞^{𝑚} - 𝑞^{- 𝑚}}{𝑞 - 𝑞^{- 1}}$
$𝑚 \in ℕ_{0}$ の階乗の $𝑞$ 類似 ${[𝑚]}_{𝑞}! ≔ \prod_{𝑖 = 1}^{𝑚} {[𝑖]}_{𝑞}$
$𝑚 \geq 𝑛 \in ℕ_{0}$ に対する二項係数の $𝑞$ 類似 ${[\begin{matrix} 𝑚 \\ 𝑛 \end{matrix}]}_{𝑞} ≔ \frac{{[𝑚]}_{𝑞}!}{{[𝑛]}_{𝑞}! {[𝑚 - 𝑛]}_{𝑞}!}$
$𝐾_{𝑖} ≔ 𝐾^{𝑡_{𝑖}}, 𝑞_{𝑖} ≔ 𝑞^{\frac{(𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖})}{2}}$

を与える．

$𝛷$ に付随する量子化包絡代数(quantized enveloping algebra)（または量子群(quantum group)） $𝑈_{𝑞} (𝔤)$ とは， ${𝐾^{ℎ}}_{ℎ \in 𝔥_{ℤ}} \cup {𝐻_{𝑖}^{+}, 𝐻_{𝑖}^{-}}_{𝑖 \in 𝑛}$ を生成系とし，以下を基本関係式とする $𝕂 (𝑞)$ 上の単位的結合代数のこと：

Chevalley関係式の 𝑞 類似
- $\forall ℎ, ℎ^{'} \in 𝔥_{ℤ}, 𝐾^{ℎ} 𝐾^{ℎ^{'}} = 𝐾^{ℎ + ℎ^{'}}$
- $𝐾^{0} = 1$
- $\forall ℎ \in 𝔥_{ℤ}, \forall 𝑖 \in 𝑛, 𝐾^{ℎ} 𝐻_{𝑖, +} 𝐾^{- ℎ} = 𝑞^{𝛼_{𝑖} (ℎ)} 𝐻_{𝑖, +}$
- $\forall ℎ \in 𝔥_{ℤ}, \forall 𝑖 \in 𝑛, 𝐾^{ℎ} 𝐻_{𝑖, -} 𝐾^{- ℎ} = 𝑞^{- 𝛼_{𝑖} (ℎ)} 𝐻_{𝑖, -}$
- $\forall 𝑖, 𝑗 \in 𝑛, 𝐻_{𝑖, +} 𝐻_{𝑗, -} - 𝐻_{𝑗, -} 𝐻_{𝑖, +} = 𝛿_{𝑖, 𝑗} \frac{𝐾_{𝑖} - 𝐾_{𝑖}^{- 1}}{𝑞_{𝑖} - 𝑞_{𝑖}^{- 1}}$
Serre関係式の 𝑞 類似
- $\forall 𝑖 \neq 𝑗 \in 𝑛, \sum_{𝑝 \in 2 - 𝑎_{𝑖, 𝑗}} {(- 1)}^{𝑝} {[\begin{matrix} 1 - 𝑎_{𝑖, 𝑗} \\ 𝑝 \end{matrix}]}_{𝑞_{𝑖}} 𝐻_{𝑖, +}^{1 - 𝑎_{𝑖, 𝑗} - 𝑝} 𝐻_{𝑗, +} 𝐻_{𝑖, +}^{𝑝} = 0$
- $\forall 𝑖 \neq 𝑗 \in 𝑛, \sum_{𝑝 \in 2 - 𝑎_{𝑖, 𝑗}} {(- 1)}^{𝑝} {[\begin{matrix} 1 - 𝑎_{𝑖, 𝑗} \\ 𝑝 \end{matrix}]}_{𝑞_{𝑖}} 𝐻_{𝑖, -}^{1 - 𝑎_{𝑖, 𝑗} - 𝑝} 𝐻_{𝑗, -} 𝐻_{𝑖, -}^{𝑝} = 0$

量子化包絡代数の基本性質

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有理函数体 $𝕂 (𝑞)$
$𝑛 \in ℕ$ 次の対称化可能Cartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする整基本ルートデータ $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, (,), 𝔥_{ℤ})$
$𝛷$ に関する量子化包絡代数 $𝑈_{𝑞} (𝔤)$
$𝑈_{𝑞} (𝔤)$ の部分（結合）代数 $𝑈_{𝑞} (𝔤_{0}) ≔ {⟨ 𝐾^{ℎ} ⟩}_{ℎ \in 𝔥_{ℤ}}, 𝑈_{𝑞} (𝔤_{\pm}) ≔ {⟨ 𝐻_{𝑖, \pm} ⟩}_{𝑖 \in 𝑛}$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝑈_{𝑞} (𝔤_{-}) \otimes_{𝕂 (𝑞)} 𝑈_{𝑞} (𝔤_{0}) \otimes_{𝕂 (𝑞)} 𝑈_{𝑞} (𝔤_{+}) \to$ は線型同型．
${𝐾^{ℎ} | ℎ \in 𝔥_{ℤ}}$ は $𝑈_{𝑞} (𝔤_{0})$ の基底．
$𝑈_{𝑞} (𝔤_{\pm})$ は， ${𝐻_{𝑖, \pm}}_{𝑖 \in 𝑛}$ を生成系とし，Serre関係式の $𝑞$ 類似（のそれぞれ上・下）を基本関係式とするLie代数と同型．
$𝛾 \in \sum_{𝑖 \in 𝑛} ℕ_{0} 𝛼_{𝑖}$ に対し，単項式 $𝐸_{𝑖_{1}} \dots 𝐸_{𝑖_{𝑟}}$ であって， $\sum_{𝑗 = 1}^{𝑟} 𝛼_{𝑖_{𝑗}} = 𝛾$ を満たすもので張られる $𝑈_{𝑞} (𝔤_{\pm})$ の部分線型空間を ${𝑈_{𝑞} (𝔤_{\pm})}_{\pm 𝛾}$ とすると， $\dim_{𝕂 (𝑞)} {𝑈_{𝑞} (𝔤_{\pm})}_{\pm 𝛾} = \dim_{𝕂} {𝑈 (𝔤_{\pm})}_{\pm 𝛾}$

量子化包絡代数は準三角Hopf代数

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有理函数体 $𝕂 (𝑞)$
$𝑛 \in ℕ$ 次の対称化可能Cartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする整基本ルートデータ $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, (,), 𝔥_{ℤ})$
$𝛷$ に関する量子化包絡代数 $𝑈_{𝑞} (𝔤)$

を与え，

余双線型写像 $𝛥 : 𝑈_{𝑞} (𝔤) \to 𝑈_{𝑞} (𝔤) \otimes 𝑈_{𝑞} (𝔤)$ を ${\begin{matrix} \forall ℎ \in 𝔥_{ℤ}, 𝛥 (𝐾^{ℎ}) ≔ 𝐾^{ℎ} \otimes 𝐾^{ℎ} \\ \forall 𝑖 \in 𝑛, 𝛥 (𝐻_{𝑖, +}) ≔ 𝐻_{𝑖, +} \otimes 𝐾_{𝑖}^{- 1} + 1 \otimes 𝐻_{𝑖, +} \\ \forall 𝑖 \in 𝑛, 𝛥 (𝐻_{𝑖, -}) ≔ 𝐻_{𝑖, -} \otimes 1 + 𝐾_{𝑖} \otimes 𝐻_{𝑖, -} \end{matrix}$ を単位的結合代数的に拡張したものとして定義したもの
線型写像 $𝜀 : 𝑈_{𝑞} (𝔤) \to 𝕂 (𝑞)$ を ${\begin{matrix} \forall ℎ \in 𝔥_{ℤ}, 𝜀 (𝐾^{ℎ}) ≔ 1 \\ \forall 𝑖 \in 𝑛, 𝜀 (𝐻_{𝑖, \pm}) ≔ 0 \end{matrix}$ を単位的結合代数的に拡張したものとして定義したもの
線型写像 $𝑆 : 𝑈_{𝑞} (𝔤) \to 𝑈_{𝑞} (𝔤)$ を ${\begin{matrix} \forall ℎ \in 𝔥_{ℤ}, 𝑆 (𝐾^{ℎ}) ≔ 𝑆^{- ℎ} \\ \forall 𝑖 \in 𝑛, 𝑆 (𝐻_{𝑖, +}) ≔ - 𝐻_{𝑖, +} 𝐾_{𝑖} \\ \forall 𝑖 \in 𝑛, 𝑆 (𝐻_{𝑖, -}) ≔ - 𝐾_{𝑖}^{- 1} 𝐻_{𝑖, -} \end{matrix}$ を反変単位的結合代数的に拡張したものとして定義したもの
うまい $𝑅 \in 𝑈_{𝑞} (𝔤) \otimes 𝑈_{𝑞} (𝔤)$

と定義すると， $(𝑈_{𝑞} (𝔤), 𝑚, 𝜂, 𝛥, 𝜀, 𝑆, 𝑅)$ は準三角 Hopf代数

当然 $𝐾 \to 1, 𝑞 \to 0$ で，包絡代数が準三角Hopf代数となることに対応する．

証明

$𝛥, 𝜀$ が単位的代数準同型になることは，定義より明らか．よって， $(𝑈 (𝔤), 𝑚, 𝜂, 𝛥, 𝜀)$ は双単位的双結合双代数
まず． $\forall ℎ \in 𝔥_{ℤ}$ に対し， $(id \otimes 𝑆) \circ 𝛥 (𝐾^{ℎ}) = 𝐾^{ℎ} \otimes 𝐾^{- ℎ}$ $(𝑆 \otimes id) \circ 𝛥 (𝐾^{ℎ}) = 𝐾^{- ℎ} \otimes 𝐾^{ℎ}$ となるから， $𝑚 \circ (id \otimes 𝑆) \circ 𝛥 (𝐾^{ℎ}) = 𝑚 \circ (𝑆 \otimes id) \circ 𝛥 (𝐾^{ℎ}) = 1 = 𝜂 (1) = 𝜂 \circ 𝜀 (𝐾^{ℎ})$ となる．また， $\forall 𝑖 \in 𝑛$ に対し， $\begin{matrix} (id \otimes 𝑆) \circ 𝛥 (𝐻_{𝑖, +}) & = & 𝐻_{𝑖, +} \otimes 𝐾_{𝑖} - 1 \otimes 𝐻_{𝑖, +} 𝐾_{𝑖} \\ (𝑆 \otimes id) \circ 𝛥 (𝐻_{𝑖, +}) & = & 1 \otimes 𝐻_{𝑖, +} - 𝐻_{𝑖, +} 𝐾_{𝑖} \otimes 𝐾_{𝑖}^{- 1} \\ (id \otimes 𝑆) \circ 𝛥 (𝐻_{𝑖, -}) & = & 𝐻_{𝑖, -} \otimes 1 - 𝐾_{𝑖} \otimes 𝐾_{𝑖}^{- 1} 𝐻_{𝑖, -} \\ (𝑆 \otimes id) \circ 𝛥 (𝐻_{𝑖, -}) & = & 𝐾_{𝑖}^{- 1} \otimes 𝐻_{𝑖, -} - 𝐾_{𝑖}^{- 1} 𝐻_{𝑖, -} \otimes 1 \end{matrix}$ となるから， $𝑚 \circ (id \otimes 𝑆) \circ 𝛥 (𝐻_{𝑖, \pm}) = 𝑚 \circ (𝑆 \otimes id) \circ 𝛥 (𝐻_{𝑖, \pm}) = 0 = 𝜂 (0) = 𝜂 \circ 𝜀 (𝐻_{𝑖, \pm})$ となる．つまり $(𝑈 (𝔤), 𝑚, 𝜂, 𝛥, 𝜀)$ はHopf代数
$𝜎 \circ 𝛥 (𝑥) = 𝑅 𝛥 (𝑥) 𝑅^{- 1}$ と $(𝛥 \otimes {id}_{𝐴}) (𝑅) = 𝑅_{1, 3} 𝑅_{2, 3}$ と $({id}_{𝐴} \otimes 𝛥) (𝑅) = 𝑅_{1, 3} 𝑅_{1, 2}$ を示せば， $(𝑈 (𝔤), 𝑚, 𝜂, 𝛥, 𝜀, 𝑅)$ は三角 Hopf代数．

有限型量子化包絡代数

を与える．

$𝑈_{𝑞} (𝔰𝔩 (2, 𝕂))$ の表現

$𝑈_{𝑞} (𝔰𝔩 (2, 𝕂))$ の基本性質

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有理函数体 $𝕂 (𝑞)$

を与えると， ${𝐾, 𝐾^{- 1}, 𝐻_{\pm}}$ で生成され，以下の関係式を満たす $𝕂 (𝑞)$ 上の結合代数は， $𝑈_{𝑞} (𝔰𝔩 (2, 𝕂))$ と結合代数同型：

$𝐾 𝐾^{- 1} = 𝐾^{- 1} 𝐾 = 1$
$𝐾 𝐻_{\pm} 𝐾^{- 1} = 𝑞^{\pm 2} 𝐻_{\pm}$
$𝐻_{+} 𝐻_{-} - 𝐻_{-} 𝐻_{+} = \frac{𝐾 - 𝐾^{- 1}}{𝑞 - 𝑞^{- 1}}$

$𝑈_{𝑞} (𝔰𝔩 (2, 𝕂))$ の有限次元単純加群

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有理函数体 $𝕂 (𝑞)$
$𝑚 \in ℤ$ の $𝑞$ 類似 ${[𝑚]}_{𝑞} ≔ \frac{𝑞^{𝑚} - 𝑞^{- 𝑚}}{𝑞 - 𝑞^{- 1}}$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝑛 \in ℕ_{0}$ に対し， $𝑉 (𝑛) ≔ ⨁_{𝑚 = 0}^{𝑛} 𝕂 (𝑞) 𝑣_{𝑚}$ への作用を， $\begin{matrix} 𝐾 𝑣_{𝑚} & = & 𝑞^{𝑛 - 2 𝑚} 𝑣_{𝑚} \\ 𝐾^{- 1} 𝑣_{𝑚} & = & 𝑞^{- (𝑛 - 2 𝑚)} 𝑣_{𝑚} \\ 𝐻_{+} 𝑣_{𝑚} & = & {[𝑛 - 𝑚 + 1]}_{𝑞} 𝑣_{𝑚 - 1} \\ 𝐻_{-} 𝑣_{𝑚} & = & {[𝑚 + 1]}_{𝑞} 𝑣_{𝑚 + 1} \end{matrix}$ を結合代数的に拡張したものと定義すると， $𝑉 (𝑛)$ は単純 $𝑈_{𝑞} (𝔰𝔩 (2, 𝕂))$ -加群．
${𝑉 (𝑛)}^{𝜔}$
任意の有限次元単純 $𝑈_{𝑞} (𝔰𝔩 (2, 𝕂))$ -加群は，ある $𝑛 \in ℕ_{0}$ に対する $𝑉 (𝑛)$ または ${𝑉 (𝑛)}^{𝜔}$ と $𝑈_{𝑞} (𝔰𝔩 (2, 𝕂))$ -加群同型．
任意の有限次元 $𝑈_{𝑞} (𝔰𝔩 (2, 𝕂))$ -加群は半単純．

量子化包絡代数の可積分最高ウェイト加群

参考文献

James Edward Humphreys, "Introduction to Lie Algebras and Representation Theory", doi:10.1007/978-1-4612-6398-2
James Edward Humphreys, "Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category $𝒪$ , doi:10.1090/gsm/094
Robert Vaughan Moody, Arturo Pianzola, "Lie Algebras with Triangular Decompositions", ISBN 978-0471633044
谷崎俊之「リー代数と量子群」ISBN 978-4320016927
高間俊至，奥山竜司，表現論ノート