Lie代数

嘘じゃないよ

定義

Lie代数

体 $𝕂$ を与える．

$𝕂$ 上のLie代数(Lie algebra)とは，以下のデータからなる．

$𝕂$ -線型空間 $𝔤$
Lie括弧(Lie bracket)（または括弧積）と呼ばれる $𝐴$ 上の二項演算 $[\cdot, \cdot] : 𝔤 \times 𝔤 \to 𝔤$

これらは以下の条件を満たす．

Lie括弧は $𝕂$ -双線型．つまり，
Lie括弧は交代性を満たす．つまり， $\forall 𝑥 \in 𝔤, [𝑥, 𝑥] = 0$
Lie括弧はJacobi恒等式を満たす．つまり， $\forall 𝑥, 𝑦, 𝑧 \in 𝔤, [𝑥, [𝑦, 𝑧]] + [𝑦, [𝑧, 𝑥]] + [𝑧, [𝑥, 𝑦]] = 0$

Lie括弧の反交換律

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与えると，以下を満たす． $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔤, [𝑥, 𝑦] = - [𝑦, 𝑥]$

証明

$0 = [𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦] = [𝑥, 𝑥] + [𝑥, 𝑦] + [𝑦, 𝑥] + [𝑦, 𝑦] = [𝑥, 𝑦] + [𝑦, 𝑥]$

準同型

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤, 𝔥$

を与える．

以下の条件を満たす $𝕂$ -線型写像 $𝑓 : 𝔤 \to 𝔥$ を（Lie代数）準同型と呼ぶ．

$\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔤, 𝑓 ([𝑥, 𝑦]) = [𝑓 (𝑥), 𝑓 (𝑦)]$

同型

全単射なLie代数準同型をLie代数同型(isomorphism)と呼ぶ．

同型の逆射

Lie代数同型の逆写像もLie代数同型．

Lie代数の圏

対象を全てのLie代数の集まり，射を全ての準同型とする圏をLie代数の圏と呼び， ${𝐋𝐢𝐞𝐀𝐥𝐠}_{𝕂}$ と表す．

自明Lie代数

体 $𝕂$ を与える．

零線型空間 ${0}$ は，Lie括弧として唯一 $[0, 0] = 0$ を持ち得る．これを定義とするLie代数 ${0}$ を自明なLie代数(trivial Lie algebra)や零Lie代数(zero Lie algebra)と呼ぶ．

包絡代数

交換子

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の結合代数 $𝐴$

を与える．

交換子(commutator)と呼ばれる $𝐴$ 上の二項演算 $[𝑥, 𝑦] ≔ 𝑥 𝑦 - 𝑦 𝑥$ を定義すると， $𝐴$ は交換子をLie括弧とするLie代数をなす．

このとき，結合代数準同型はLie代数準同型に写るから，結合代数の圏からLie代数の圏への函手をなす．

特にこの函手は左随伴を持つ．これにより任意のLie代数に対し，結合代数的な積を（同型を除いて）一意的に定めることができる：

包絡代数

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ の（普遍）包絡代数((universal) enveloping algebra)とは，以下の2つのデータからなる

$𝕂$ 上の（単位的）結合代数 $𝑈 (𝔤)$
Lie代数準同型 $𝑖 : 𝔤 \to 𝑈 (𝔤)$ で，以下を満たすもの，

これらは以下を満たす．

$\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔤, 𝑖 ([𝑥, 𝑦]) = 𝑖 (𝑥) 𝑖 (𝑦) - 𝑖 (𝑦) 𝑖 (𝑥)$
（普遍性）任意の（単位的） $𝕂$ -結合代数 $𝐴$ および上式を満たす任意の線型写像 $𝑓 : 𝑉 \to 𝐴$ に対して，以下の図式を可換にする $𝕂$ -代数の準同型 $𝑓 : 𝑈 (𝑉) \to 𝐴$ が一意的に存在する

同型定理

Lie代数の圏の部分対象，正規対象，商対象を確認し，同型定理を示す．

部分Lie代数

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

部分集合 $𝔥 \subset 𝑔$ で， $𝔤$ と同じ演算に関してLie代数となるものを， $𝔤$ の部分Lie代数(Lie subalgebra)と呼ぶ．つまり以下を満たす： $𝔥 + 𝔥, 𝕂 𝔥, [𝔥, 𝔥] \subset 𝔥$

生成系

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の部分集合 $𝑋$

を与える．

は $𝑋$ を含む $𝔤$ の部分Lie代数のなかで最小．これを $𝑋$ で生成される部分Lie代数と呼ぶ．

特に $𝔤$ に一致するとき， $𝑋$ を $𝔤$ の生成系(generator)と呼ぶ．

イデアル

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

部分集合 $𝔦 \subset 𝔤$ が $𝔤$ のイデアル(ideal)であるとは，以下を満たすことを言う．

$𝔦$ は $𝔤$ の部分線型空間
$[𝔤, 𝔦] \subset 𝔦$

自明なイデアル

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

${0}, 𝔤 \subset 𝔤$ は $𝔤$ のイデアルとなる．これらを $𝔤$ の自明なイデアル(trivial ideal)と呼ぶ．

それ以外を非自明(nontrivial)と呼ぶ．

正規閉包

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の部分集合 $𝑋$

を与える．

を正規閉包(normal closure)と呼ぶ．

正規化代数

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の部分集合 $𝑋$

を与える．

$𝑋$ で生成される部分Lie代数を $𝔥$ としたときの $𝑁_{𝔤} (𝑋) ≔ {𝑥 \in 𝔤 | [𝑥, 𝔥] \subset 𝔥}$ を $𝑋$ の正規化Lie代数(normalizer)と呼ぶ．

$𝑁_{𝔤} (𝑋)$ は， $𝔥$ がイデアルとなるようなもののうち，最大なもの．

同型定理

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与えると，以下が成り立つ．

- 任意の $𝕂$ 上のLie代数 $𝔥$
- 任意の準同型 $𝑓 : 𝔤 \to 𝔥$
に対し，
- $𝑓$ の核 $𝑓^{- 1} (0_{𝔥})$ は $𝔤$ のイデアル
- $𝑓$ の像 $𝑓 (𝔤)$ は $𝔥$ の部分Lie代数
- 任意の $𝔤$ のイデアル $𝔦$ に対し， $𝔦 \subset \ker 𝑓$ を満たすとき，以下を満たす： $\exists! \overline{𝑓} : 𝔤 ∕ 𝔦 \to 𝔥, \overline{𝑓} \circ 𝑝 = 𝑓$ つまり以下の図式を可換にする．特に，自然な同型 $𝔤 ∕ \ker 𝑓 ≅ 𝑓 (𝔤)$ が存在する．

自由・忘却随伴

自由Lie代数

体 $𝕂$ を与える．

$𝕂$ -線型空間 $𝑉$ 上の自由Lie代数(free Lie algebra)とは，以下のデータからなる：

$𝕂$ -線型空間 $𝑉$ $\underset{𝑛 \in ℤ}{∐} 𝑉^{⨿ 𝑛}$
を線型に拡張したもの．

自由Lie代数の普遍性

体 $𝕂$
$𝕂$ -線型空間 $𝑉$
$𝑉$ 上の自由Lie代数 $𝔙$
包含写像 $𝑖 : 𝑉 \to 𝔙$

を与えると，以下の自由Lie代数の普遍性を満たす：

任意の $𝕂$ -Lie代数 $𝔤$
任意の $𝕂$ -線型写像 $𝑓 : 𝑉 \to 𝔤$

に対し，Lie代数準同型 $\overline{𝑓} : 𝔙 \to 𝔤$ が一意的に存在し，以下を満たす： $\overline{𝑓} \circ 𝑖 = 𝑓$ つまり，以下の図式を可換にする．

証明

$chottomendo-$ とすると，より， $\overline{𝑓}$ はLie代数準同型となる．特に， $\overline{𝑓} \circ 𝑖 = 𝑓$ を満たす．

可換図式を満たすLie代数準同型 $\overline{𝑓}, {\overline{𝑓}}^{'}$ に対し，自然同型

可換

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝑥, 𝑦 \in 𝔤$ が $[𝑥, 𝑦] = 0$ を満たすとき， $𝑥, 𝑦$ は互いに可換(Abelian)と呼ぶ．
$[𝔤, 𝔤] = 0$ を満たすとき， $𝔤$ を可換(Abelian)と呼ぶ．

自由可換Lie代数

体 $𝕂$ を与える．

$𝕂$ -線型空間 $𝑉$ 上の可換Lie代数(commutative Lie algebra)とは，以下で定義されるLie代数のこと：

$𝕂$ -線型空間 $𝑉$
Lie括弧 $[\cdot, \cdot] : 𝑉 \prod 𝑉 \to 𝑉, [𝑥, 𝑦] = 0$

可換Lie代数の普遍性

可換Lie代数の圏と線型空間の圏は自然同型．

証明

任意の $𝕂$ -線型空間 $𝑉 ≃ 𝑊$ に対し，それぞれの自由可換Lie代数を $𝔙, 𝔚$ とする．また，任意の線型同型写像 $𝑓 : 𝑉 \to 𝑊$ に対し，

中心化代数・中心

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の部分集合 $𝑋$

を与える．

$𝑍_{𝔤} (𝑋) ≔ {𝑥 \in 𝔤 | [𝑥, 𝑋] = {0}}$ を中心化代数(centralizer)と呼び， $𝔤$ の部分Lie代数をなす．
$𝑍 (𝔤) ≔ 𝑍_{𝔤} (𝔤) = {𝑧 \in 𝔤 | [𝑧, 𝔤] = {0}}$ を $𝔤$ の中心(center)と呼び， $𝔤$ のイデアルをなす．

部分Lie代数，イデアルになることの証明

トーラス

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ の有限次元(?)部分線型空間 $𝔥$ が

$𝔤$ の可換な部分Lie代数，あるいは同じことだが自分自身を $𝔥$ の中心とする，つまり $𝑍_{𝔥} (𝔥) = 𝔥$ を満たすものをトーラス(torus)と呼ぶ．
トーラスのうち極大，あるいは同じことだが $𝔥$ の中心化代数が $𝔥$ に一致するもの，つまり $𝑍_{𝔤} (𝔥) = 𝔥$ を満たすものを極大トーラス(maximal torus)と呼ぶ．

ルート空間分解

Lie代数 $𝔤$
$𝔤$ の極大トーラス $𝔥$

を与える．

$𝔤$ の $𝔥$ に対するルート空間分解(root space decomposition)とは以下のデータからなる：

$𝔥$ のルート格子(root lattice)と呼ばれる $𝔥$ の双対線型空間 $𝔥^{*}$ の部分集合 $𝛬 \subset 𝔥^{*} ∖ {0}$
$𝔥$ のルート空間(root space)と呼ばれる $𝔤$ の部分空間の集まり ${𝔤_{𝛼} ≔ {𝑥 \in 𝔤 | \forall ℎ \in 𝔥, [ℎ, 𝑥] = 𝛼 (ℎ) 𝑥}}_{𝛼 \in 𝛬 \cup {0}}$

これらは以下を満たす：

ルート空間の直和が $𝔤$ に等しい，つまり以下を満たす： $𝔤 = 𝔤_{0} \oplus ⨁_{𝛼 \in 𝛬} 𝔤_{𝛼}$

$𝛼 \in 𝛬$ を $𝔤$ の $𝔥$ に対するルート(root)と呼ぶ．また，極大トーラスの定義より $𝔤_{0} = 𝔥$ である．

自己準同型

自己準同型・同型

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ 上の準同型のことを，自己準同型(endomorphism)と呼ぶ．自己準同型の集合を $end 𝔤$ と書く．
$𝔤$ 上の同型のことを，自己同型(automorphism)と呼ぶ．自己同型の集合を $aut 𝔤$ と書く．

微分代数はLie代数準同型

微分代数は単位的結合代数だったから，交換子をLie括弧とするLie代数をなす．つまり， $der 𝔤 \subset end 𝔤$

内部微分

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝑥 \in 𝔤$ に対し， $ad 𝑥 ≔ [𝑥, -] \in der 𝔤$ を $𝔤$ の内部微分(inner derivation)と呼ぶ．

表現論の準備?

三角分解

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ の三角分解(triangular decomposition)とは，以下のデータからなる．

部分Lie代数 $𝔫_{-}, 𝔫_{0}, 𝑛_{+} \subset 𝔤$

これらは以下を満たす．

$𝔤 = 𝔫_{-} \oplus 𝔫_{0} \oplus 𝑛_{+}$
$𝔫_{0}$ は極大トーラス．
ルート空間分解に関する何か

半単純Lie代数

定義と基本性質

単純Lie代数

Lie代数のうち，（自明な）イデアルをちょうど2つ持ち，かつ可換でないものを，単純(simple)と呼ぶ．
単純Lie代数の直和で表されるものを，半単純(semisimple)と呼ぶ．

Lie代数の圏の単純対象のうち，一次元可換Lie代数のみ除かれていることに注意．