Lie代数

嘘じゃないよ

定義

Lie代数と準同型

Lie代数

体 $𝕂$ を与える．

$𝕂$ 上のLie代数(Lie algebra)とは，線型空間の圏のLie代数対象のこと．つまり，以下のデータからなる：

$𝕂$ -線型空間 $𝔤$
Lie括弧(Lie bracket)（または括弧積）と呼ばれる $𝐴$ 上の $𝕂$ -双線型写像 $[\cdot, \cdot] : 𝔤 Π 𝔤 \to 𝔤$

これらは以下を満たす：

Lie括弧は交代性を満たす．つまり， $\forall 𝑥 \in 𝔤, [𝑥, 𝑥] = 0$
Lie括弧はJacobi恒等式を満たす．つまり， $\forall 𝑥, 𝑦, 𝑧 \in 𝔤, [𝑥, [𝑦, 𝑧]] + [𝑦, [𝑧, 𝑥]] + [𝑧, [𝑥, 𝑦]] = 0$

Lie括弧の反交換律

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与えると，以下を満たす． $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔤, [𝑥, 𝑦] = - [𝑦, 𝑥]$

証明

$0 = [𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦] = [𝑥, 𝑥] + [𝑥, 𝑦] + [𝑦, 𝑥] + [𝑦, 𝑦] = [𝑥, 𝑦] + [𝑦, 𝑥]$

準同型

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤, 𝔥$

を与える．

以下の条件を満たす $𝕂$ -線型写像 $𝑓 : 𝔤 \to 𝔥$ を（Lie代数）準同型(homomorphism)と呼ぶ． $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔤, 𝑓 ([𝑥, 𝑦]) = [𝑓 (𝑥), 𝑓 (𝑦)]$

同型

全単射なLie代数準同型を（Lie代数）同型(isomorphism)と呼ぶ．
同型の始域と終域のことも互いに同型(isomorphism)と呼ぶ．

同型の逆射

Lie代数同型の逆写像もLie代数同型．

証明

体 $𝕂$ 上のLie代数 $𝔤, 𝔥$ と同型 $𝑓 : 𝔤 \to 𝔥$ に対し，逆写像 $𝑓^{- 1} : 𝔥 \to 𝔤$ は線型写像の逆写像なので線型写像であり， $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔥, 𝑓^{- 1} ([𝑥, 𝑦]) = 𝑓^{- 1} ([𝑓 \circ 𝑓^{- 1} (𝑥), 𝑓 \circ 𝑓^{- 1} (𝑦)]) = 𝑓^{- 1} \circ 𝑓 ([𝑓^{- 1} (𝑥), 𝑓^{- 1} (𝑦)]) = [𝑓^{- 1} (𝑥), 𝑓^{- 1} (𝑦)]$ を満たすので準同型． $𝑓^{- 1} : 𝔥 \to 𝔤$ は全単射なので同型となる．

Lie代数の圏

対象を全てのLie代数の集まり
射を全ての準同型の集まり

とする圏をLie代数の圏と呼び， ${𝐋𝐢𝐞𝐀𝐥𝐠}_{𝕂}$ と表す．

Lie代数の圏は亜代数

Lie代数の圏は $𝕂$ -亜代数（ $𝕂$ -線型圏）をなす．

反対Lie代数

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ の反対Lie括弧(opposite Lie bracket)とは，以下で定義されるLie括弧のこと： ${[𝑥, 𝑦]}^{op} ≔ [𝑦, 𝑥] = - [𝑥, 𝑦]$
$𝔤$ の反対Lie代数(opposite Lie algebra) $𝔤^{op}$ とは，Lie代数 $(𝔤, {[\cdot, \cdot]}^{op})$ のこと．

反変準同型・同型

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤, 𝔥$

を与える．

写像 $𝑓 : 𝔤^{op} \to 𝔥$ が

準同型となるとき，反変準同型や反準同型(antihomomorphism)と呼ぶ．
同型となるとき，反変同型や反同型(antiisoomorphism)と呼ぶ．

包絡代数とPBW定理

交換子

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の結合代数 $𝐴$

を与える．

交換子(commutator)と呼ばれる $𝐴$ 上の二項演算 $[𝑥, 𝑦] ≔ 𝑥 𝑦 - 𝑦 𝑥$ を定義すると， $𝐴$ は交換子をLie括弧とするLie代数をなす．

このとき，（結合）代数準同型はLie代数準同型に写るから，結合代数の圏からLie代数の圏への函手をなす．

同様にして，単位的（結合）代数準同型はLie代数準同型に写るから，単位的結合代数の圏からLie代数の圏への函手をなす．

特にこれらの函手は左随伴を持つ．これにより任意のLie代数に対し，結合代数的な積を（同型を除いて）一意的に定めることができる：

包絡代数

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ 上のテンソル代数 $(𝑇 (𝔤), 𝑖_{𝑇})$
${𝑥 \otimes 𝑦 - 𝑦 \otimes 𝑥 - [𝑥, 𝑦] | 𝑥, 𝑦 \in 𝔤}$ で生成される $𝑇 (𝔤)$ の両側イデアル $𝐽$

を与える．

$𝔤$ 上の（普遍）包絡代数((universal) enveloping algebra)とは，以下のデータの組のこと：

商単位的（結合）代数 $𝑈 (𝔤) ≔ 𝑇 (𝔤) ∕ 𝐽$
標準射影 $𝑝 : 𝑇 (𝔤) \to 𝑈 (𝔤)$ に対して定まるLie代数準同型 $𝑖 ≔ 𝑝 \circ 𝑖_{𝑇} : 𝔤 \to 𝑈 (𝔤)$

包絡代数の普遍性

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の包絡代数 $(𝑈 (𝔤), 𝑖)$

を与えると，これらは以下を満たす：

$𝑈 (𝔤)$ を交換子をLie括弧とするLie代数とみなすと， $𝑖$ はLie代数準同型： $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔤, 𝑖 ([𝑥, 𝑦]) = 𝑖 (𝑥) 𝑖 (𝑦) - 𝑖 (𝑦) 𝑖 (𝑥)$
（包絡代数の普遍性）
- 任意の $𝕂$ -単位的結合代数 $𝐴$
- 任意のLie代数準同型 $𝑓 : 𝔤 \to 𝐴$
に対し，以下を満たす単位的代数準同型 𝑓‾ : 𝑈 ⁡ (𝔤) → 𝐴 が一意的に存在する： 𝑓 = 𝑓‾ ∘ 𝑖 つまり，以下の図式を可換にする：

証明

$𝑝 : 𝑇 (𝔤) \to 𝑈 (𝔤)$ を標準射影とすると， $𝑖 ([𝑥, 𝑦]) = 𝑝 (𝑥 \otimes 𝑦) - 𝑝 (𝑦 \otimes 𝑥) = 𝑝 (𝑥) 𝑝 (𝑦) - 𝑝 (𝑦) 𝑝 (𝑥) = 𝑖 (𝑥) 𝑖 (𝑦) - 𝑖 (𝑦) 𝑖 (𝑥)$
テンソル代数の普遍性より，単位的代数準同型 $𝑓^{'} : 𝑇 (𝔤) \to 𝐴$ が一意的に存在し， $𝑓 = 𝑓^{'} \circ 𝑖_{T}$ を満たす．さらに商結合代数の普遍性より， $𝑓^{'} = \overline{𝑓} \circ 𝑝$ と分解できる．

テンソル代数はフィルター付き代数なので，包絡代数もフィルター付き代数．よってこれらは自然に次数付き代数を誘導する．

Poincaré–Birkhoff–Witt (PBW) 定理

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ 上の包絡代数 $𝑈 (𝔤)$

を与えると，以下は（可換結合）代数同型：

$𝑈 (𝔤)$ の誘導する次数付き代数 $gr 𝑈 (𝔤)$
$𝔤$ 上の対称代数 $𝑆 (𝔤)$

証明

そもそも標数 $𝑝 > 0$ のとき，ZFで証明可能かが分かっていなさそう?

$𝑆 (𝔤), gr 𝑈 (𝔤)$ それぞれの次数付けを $𝑆 (𝔤) = ⨁_{𝑛 \in ℕ_{0}} 𝑆^{𝑛} (𝔤), gr 𝑈 (𝔤) = ⨁_{𝑛 \in ℕ_{0}} {(gr 𝑈 (𝔤))}^{𝑛}$ とする．ここで，線型写像 $𝜑_{𝑛} : 𝑆^{𝑛} (𝔤) \to {(gr 𝑈 (𝔤))}^{𝑛}$ を $𝑥_{1} \dots 𝑥_{𝑛} \mapsto 𝑥_{1} \dots 𝑥_{𝑛}$ を線型に拡張したものとして定義する．この写像の全射性は自明．単射性が標数 $𝑝 > 0$ のときが微妙っぽい

PBW基底

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ 上の包絡代数 $𝑈 (𝔤)$
$𝔤$ の全順序付き基底 $(𝑋, \leq)$

を与えると，以下は $𝑈 (𝔤)$ の基底をなす： ${𝑥_{1} \dots 𝑥_{𝑛} | 𝑥_{1} \leq \dots \leq 𝑥_{𝑛} \in 𝑋}_{𝑛 \in ℕ_{0}}$

包絡代数の性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ 上の包絡代数 $𝑈 (𝔤)$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝔤$ の部分Lie代数 $𝔥$ の包絡代数 $𝑈 (𝔥)$ は， $𝑈 (𝔤)$ の部分単位的代数（と同型）．
$𝔤$ が直和分解 $𝔤 = ⨁_{𝜆 \in 𝛬} 𝔤_{𝜆}$ を持つならば，その包絡代数はそれらのテンソル積（と同型）： $𝑈 (𝔤) = ⨂_{𝜆 \in 𝛬} 𝑈 (𝔤_{𝜆})$

包絡代数は余可換三角Hopf代数

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ 上の包絡代数 $𝑈 (𝔤)$

を与え，

余双線型写像 $𝛥 : 𝑈 (𝔤) \to 𝑈 (𝔤) \otimes 𝑈 (𝔤)$ を $𝑥 \in 𝔤$ に対し， $𝛥 (𝑥) ≔ 𝑥 \otimes 1 + 1 \otimes 𝑥$ を単位的結合代数的に拡張したものとして定義したもの
$𝜀 ≔ 0_{𝑈 (𝔤), 𝕂} : 𝑈 (𝔤) \to 𝕂, 𝑥 \mapsto 0$
$𝑆 : 𝑈 (𝔤) \to 𝑈 (𝔤)$ を $𝑥 \in 𝔤$ に対し， $𝑆 (𝑥) ≔ - 𝑥$ 反変単位的結合代数的に拡張したものとして定義したもの
$𝑅 ≔ 1 \otimes 1 \in 𝑈 (𝔤) \otimes 𝑈 (𝔤)$

と定義すると， $(𝑈 (𝔤), 𝑚, 𝜂, 𝛥, 𝜀, 𝑆, 𝑅)$ は余可換三角 Hopf代数

証明

$𝛥, 𝜀$ が単位的代数準同型になることは，定義より明らか．よって， $(𝑈 (𝔤), 𝑚, 𝜂, 𝛥, 𝜀)$ は双単位的双結合双代数
余可換性は自明．
$\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対し， $(id \otimes 𝑆) \circ 𝛥 (𝑥) = 𝑥 \otimes 1 - 1 \otimes 𝑥$ $(𝑆 \otimes id) \circ 𝛥 (𝑥) = 1 \otimes 𝑥 - 𝑥 \otimes 1$ となるから， $𝑚 \circ (id \otimes 𝑆) \circ 𝛥 = 𝑚 \circ (𝑆 \otimes id) \circ 𝛥 = 0_{𝑈 (𝔤), 𝑈 (𝔤)} = 𝜂 \circ 𝜀$ となる．つまり $(𝑈 (𝔤), 𝑚, 𝜂, 𝛥, 𝜀)$ はHopf代数
$𝑅 = 𝑅^{- 1}$ は単位的代数の単位元なので，余可換性と $(𝛥 \otimes {id}_{𝐴}) (𝑅) = ({id}_{𝐴} \otimes 𝛥) (𝑅) = 1 \otimes 1 \otimes 1$ より， $(𝑈 (𝔤), 𝑚, 𝜂, 𝛥, 𝜀, 𝑅)$ は三角双代数．

Lie代数の演算

直積Lie代数

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数の集合 ${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与える．

{ 𝔤𝜆 } 𝜆∈𝛬 の直積(direct product)とは，以下のデータのこと：
- 線型空間の直積 $\prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝔤_{𝜆}$ に，Lie括弧を以下で定義することで得られるLie代数： $[{(𝑥_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬}, {(𝑦_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬}] ≔ {([𝑥_{𝜆}, 𝑦_{𝜆}])}_{𝜆 \in 𝛬}$
- Lie代数準同型 $𝜋_{𝜆} : \prod_{𝜆^{'} \in 𝛬} 𝔤_{𝜆^{'}} \to 𝔤_{𝜆}, {(𝑥_{𝜆^{'}})}_{𝜆^{'} \in 𝛬} \mapsto 𝑥_{𝜆}$
Lie代数 $𝔥$ を始域とするLie代数準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝔥 \to 𝔤_{𝜆}}$ の直積(direct product)とは，Lie代数準同型 $\prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝑓_{𝜆} : 𝔥 \to \prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝔤_{𝜆}, 𝑥 \mapsto {(𝑓_{𝜆} (𝑥))}_{𝜆 \in 𝛬}$ のこと．

直積の普遍性

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数の集合 ${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$
Lie代数 $𝔥$ を始域とするLie代数準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝔥 \to 𝔤_{𝜆}}$

を与えると，以下を満たすLie代数準同型 $𝑓 : 𝔥 \to \prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝔤_{𝜆}$ は直積 $\prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝑓_{𝜆}$ に限られる： $\forall 𝜆 \in 𝛬, 𝜋_{𝜆} \circ 𝑓 = 𝑓_{𝜆}$

直和Lie代数

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数の集合 ${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与える．

{ 𝔤𝜆 } 𝜆∈𝛬 の直和(direct sum)とは，以下のデータのこと：
- 線型空間の直和 $\underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝔤_{𝜆}$ に，Lie括弧を以下で定義することで得られるLie代数： $[{(𝑥_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬}, {(𝑦_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬}] ≔ {([𝑥_{𝜆}, 𝑦_{𝜆}])}_{𝜆 \in 𝛬}$
- Lie代数準同型 $𝜄_{𝜆} : 𝔤_{𝜆} \to \underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝔤_{𝜆}, 𝑥 \mapsto {(𝑥_{𝜆^{'}} ≔ {\begin{matrix} 𝑥 & 𝜆^{'} = 𝜆 \\ 0 & 𝜆^{'} \neq 𝜆 \end{matrix})}_{𝜆^{'} \in 𝛬}$
Lie代数 $𝔥$ を終域とするLie代数準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝔤_{𝜆} \to 𝔥}$ の直和(direct sum)とは，Lie代数準同型 $\underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑓_{𝜆} : \underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝔤_{𝜆} \to 𝔥, {(𝑥_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬} \mapsto \sum_{𝜆 \in 𝛬} 𝑓_{𝜆} (𝑥_{𝜆})$ のこと．

直和の普遍性

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数の集合 ${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$
Lie代数 $𝔥$ を終域とするLie代数準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝔤_{𝜆} \to 𝔥}$

を与えると，以下を満たすLie代数準同型 $𝑓 : \underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝔤_{𝜆} \to 𝔥$ は直和 $\underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑓_{𝜆}$ に限られる： $\forall 𝜆 \in 𝛬, 𝑓 \circ 𝜄_{𝜆} = 𝑓_{𝜆}$

線型空間の場合と同様，添字集合 $𝛬$ が有限なら，直積と直和は線型同型である：

双積Lie代数

体 $𝕂$
有限集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数の集合 ${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与える．

${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ の双積(biproduct)とは，以下のデータのこと：

${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ の直積Lie代数（同じことだが直和Lie代数） $⨁_{𝜆 \in 𝛬} 𝔤_{𝜆}$
Lie代数準同型 $𝜋_{𝜆} : ⨁_{𝜆^{'} \in 𝛬} 𝔤_{𝜆^{'}} \to 𝔤_{𝜆}, {(𝑥_{𝜆^{'}})}_{𝜆^{'} \in 𝛬} \mapsto 𝑥_{𝜆}$
Lie代数準同型 $𝜄_{𝜆} : 𝔤_{𝜆} \to ⨁_{𝜆 \in 𝛬} 𝔤_{𝜆}, 𝑥 \mapsto {(𝑥_{𝜆^{'}} ≔ {\begin{matrix} 𝑥 & 𝜆^{'} = 𝜆 \\ 0 & 𝜆^{'} \neq 𝜆 \end{matrix})}_{𝜆^{'} \in 𝛬}$

双積の基本性質

体 $𝕂$
有限集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数の集合 ${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$
${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ の双積 $(⨁_{𝜆 \in 𝛬} 𝔤_{𝜆}, {𝜋_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}, {𝜄_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$

を与えると，以下が成り立つ：

$(⨁_{𝜆 \in 𝛬} 𝔤_{𝜆}, {𝜋_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$ は ${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ の直積
$(⨁_{𝜆 \in 𝛬} 𝔤_{𝜆}, {𝜄_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$ は ${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ の直和
$\forall 𝜆 \in 𝛬, 𝜋_{𝜆} \circ 𝜄_{𝜆} = {id}_{𝔤_{𝜆}}$

等化子

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤, 𝔤^{'}$
準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝔤 \to 𝔤^{'}}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与える．

${𝑓_{𝜆} : 𝔤 \to 𝔤^{'}}_{𝜆 \in 𝛬}$ の等化子(equalizer)とは，以下のデータのこと：

写像の集合の等化子 $eq ({𝑓_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$
Lie代数準同型となる包含写像 $𝜄 : eq ({𝑓_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}) \to 𝔤$

等化子の基本性質

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤, 𝔤^{'}$
準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝔤 \to 𝔤^{'}}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与えると，等化子 $(eq ({𝑓_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}), 𝑖)$ に対し，

$eq ({𝑓_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$ は $𝔤$ の部分Lie代数
𝑖 は準同型

等化子の普遍性

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤, 𝔤^{'}$
準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝔤 \to 𝔤^{'}}_{𝜆 \in 𝛬}$
等化子 $(eq ({𝑓_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}), 𝑖)$

を与えると，

$eq ({𝑓_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$ の部分Lie代数 $𝔥$
準同型 $𝑔 : 𝔥 \to 𝔤$ で，以下を満たすもの： $\forall 𝜆, 𝜆^{'} \in 𝛬, 𝑓_{𝜆} \circ 𝑔 = 𝑓_{𝜆^{'}} \circ 𝑔$

に対し，以下を満たす Lie代数準同型 $𝑓 : 𝔥 \to eq ({𝑓_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$ は，自然な包含写像 $𝜄^{'} : 𝔥 \to eq ({𝑓_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$ に限られる： $𝜄 \circ 𝑓 = 𝑔$

余等化子

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤, 𝔤^{'}$
準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝔤 \to 𝔤^{'}}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与える．

${𝑓_{𝜆} : 𝔤 \to 𝔤^{'}}_{𝜆 \in 𝛬}$ の余等化子(coequalizer)とは，以下のデータのこと：

余等化子の普遍性

引き戻し

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$ とLie代数の集合 ${𝔤_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$
準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝔤_{𝜆} \to 𝔤}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与える．

${𝑓_{𝜆} : 𝔤_{𝜆} \to 𝔤}_{𝜆 \in 𝛬}$ の引き戻し(pullback)とは，以下のデータのこと：

写像の集合の引き戻し $pull ({𝑓_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$
準同型 $𝜋_{𝜆} : pull ({𝑓_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}) \to 𝔤_{𝜆}, {(𝑥_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬} \mapsto 𝑥_{𝜆}$

自己準同型

自己準同型・同型

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ 上の準同型のことを，自己準同型(endomorphism)と呼ぶ．自己準同型の集合を $end 𝔤$ と書く．
$𝔤$ 上の同型のことを，自己同型(automorphism)と呼ぶ．自己同型の集合を $aut 𝔤$ と書く．
$𝔤$ 上の反変準同型のことを，反変自己準同型(antiendomorphism)と呼ぶ．
$𝔤$ 上の反変同型のことを，反変自己同型(antiautomorphism)と呼ぶ．

内部微分

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝑥 \in 𝔤$ に対し， $ad 𝑥 ≔ [𝑥, -] : 𝔤 \to 𝔤$ を $𝔤$ の内部微分(inner derivation)と呼ぶ．

内部微分は微分

- 内部微分は微分
- 微分は線型変換
- 体 $𝕂$
- $𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
- 内部微分の集合 $ad 𝔤$
- 微分代数 $der 𝔤$
- 一般線型代数 $𝔤𝔩 𝔤$
を与えると，
- $ad 𝔤$ はLie代数．特に， $ad : 𝔤 \to ad 𝔤$ は全射なLie代数準同型
- 以下は部分Lie代数の増大列となる： $ad 𝔤 \subseteq der 𝔤 \subseteq 𝔤𝔩 𝔤$
- $ad 𝔤$ は $der 𝔤$ のイデアル

証明

- Jacobi恒等式とLie括弧の反交換律より， $\forall 𝑥, 𝑧, 𝑤 \in 𝔤$ に対して $ad 𝑥 ([𝑧, 𝑤]) = - [𝑤, [𝑥, 𝑧]] - [𝑧, [𝑤, 𝑥]] = [[𝑥, 𝑧], 𝑤] + [𝑧, [𝑥, 𝑤]] = [ad 𝑥 (𝑧), 𝑤] + [𝑧, ad 𝑥 (𝑤)]$ を満たすから，内部微分は微分．
- 微分は定義より線型変換．
- $ad 𝔤$ が線型空間となるのは．Lie括弧の双線型性より明らか．また，Lie括弧の反交換律とJacobi恒等式より， $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔤$ に対して， $[ad 𝑥, ad 𝑦] = [𝑥, [𝑦, -]] - [𝑦, [𝑥, -]] = - [-, [𝑥, 𝑦]] = ad [𝑥, 𝑦]$ を満たすから，内部微分の集合 $ad 𝔤$ はLie代数をなし， $ad$ はLie代数準同型となる．全射性は自明．
- 一般に，微分代数 $der 𝔤$ ，一般線型代数 $𝔤𝔩 𝔤$ はLie代数である．
- $\forall 𝛿 \in der 𝔤, \forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔤, [𝛿, ad 𝑥] (𝑦) = 𝛿 [𝑥, 𝑦] - ad 𝑥 (𝛿 𝑦) = [𝛿 𝑥, 𝑦] + [𝑥, 𝛿 𝑦] - [𝑥, 𝛿 𝑦] = ad 𝛿 𝑥 (𝑦)$ より， $[der 𝔤, ad 𝔤] \subseteq ad 𝔤$

内部自己同型

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝑥 \in 𝔤$ であって， $ad 𝑥$ が冪零変換となるものに対する内部自己同型(inner automorphism)とは，以下の形式和のこと： $\exp (ad 𝑥) ≔ \sum_{𝑛 \in ℕ_{0}} \frac{{(ad 𝑥)}^{𝑛}}{𝑛!}$ 冪零性の定義よりこれは実際は有限和となり， $𝔤$ 上の自己同型をなす．
$𝔤$ の内部自己同型の集合を $inn 𝔤$ と表すと，これは $aut 𝔤$ の正規部分群となる
商群 $out 𝔤 ≔ aut 𝔤 ∕ inn 𝔤$ の元のことを外部自己同型(outer automorphism)と呼ぶ．

正規部分群となることの証明

$𝑥 \in 𝔤$ であって $ad 𝑥$ が冪零変換となるものを任意に一つとる．つまり， $\exists 𝑛 \in ℕ_{0}$ に対し， ${(ad 𝑥)}^{𝑛} = 0$ となる．すると自己同型 $\forall 𝑓 \in aut 𝔤$ に対し，一般に $ad 𝑓 (𝑥) = 𝑓 \circ (ad 𝑥) \circ 𝑓^{- 1}$ が成り立つから， ${(ad 𝑓 (𝑥))}^{𝑛} = 𝑓 \circ {(ad 𝑥)}^{𝑛} \circ 𝑓^{- 1} = 0$ より， $𝑓 (𝑥)$ も冪零変換となる．よって $\forall 𝑦 \in 𝔤$ に対し， $𝑓 \circ \exp (ad 𝑥) \circ 𝑓^{- 1} (𝑦) = 𝑓 (\sum_{𝑘 = 0}^{𝑛 - 1} \frac{1}{𝑛!} {(ad 𝑥)}^{𝑛} (𝑓^{- 1} (𝑦))) = \sum_{𝑘 = 0}^{𝑛 - 1} \frac{1}{𝑛!} {(ad 𝑓 (𝑥))}^{𝑛} (𝑦) = \exp (ad 𝑓 (𝑥)) (𝑦)$ を満たすから， $inn 𝔤$ は $aut 𝔤$ の正規部分群となる．

内部微分による半単純性・冪零性・Jordan-Chevalley分解の保存

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の線型空間 $𝑉$
線型変換 $𝑥 \in end (𝑉)$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝑥$ が半単純変換で，その代数閉包上の固有値が有限個ならば，その内部微分 $ad 𝑥 \in 𝔤𝔩 (𝑉)$ も半単純．
$𝑥$ が冪零変換ならば，その内部微分 $ad 𝑥 \in 𝔤𝔩 (𝑉)$ も冪零．
$𝑥$ がJordan-Chevalley分解 $𝑥 = 𝑥_{s} + 𝑥_{n}$ を持ち， $𝑥_{s}$ の代数閉包上の固有値が有限個ならば， $ad 𝑥 \in end (end (𝑉))$ において， $ad 𝑥 = ad 𝑥_{s} + ad 𝑥_{n}$ はJordan-Chevalley分解となる．

証明

$𝕂$ の代数閉包を $\overline{𝕂}$ とし， $\overline{𝑉} ≔ 𝑉 \otimes_{𝕂} \overline{𝕂}$ とすると， $\overline{𝑥} ≔ 𝑥 \otimes 1 \in end (\overline{𝑉})$ の固有値の集合 $𝛬 \subseteq \overline{𝕂}$ は仮定より有限．固有値 $𝜆 \in 𝛬$ の固有空間を ${\overline{𝑉}}_{𝜆}$ とすると， $end (\overline{𝑉})$ は双積分解を持つ： $end (\overline{𝑉}) = ⨁_{𝜆, 𝜆^{'} \in \overline{𝕂}} {hom}_{\overline{𝕂}} ({\overline{𝑉}}_{𝜆}, {\overline{𝑉}}_{\overline{𝜆}})$ $\forall 𝜆, 𝜆^{'} \in 𝛬$ と $\forall 𝑦 \in {hom}_{\overline{𝕂}} (𝑉_{𝜆}, 𝑉_{𝜆^{'}})$ に対し， $ad 𝑥 (𝑦) = (𝜆^{'} - 𝜆) 𝑦$ を満たすから， ${hom}_{\overline{𝕂}} (𝑉_{𝜆}, 𝑉_{𝜆^{'}})$ は $ad 𝑥$ の固有値 $𝜆^{'} - 𝜆$ の固有空間となる．ゆえに， $ad 𝑥$ はその代数閉包上対角化可能．
仮定より， $\exists 𝑛 \in ℕ_{0}, 𝑥^{𝑛} = 0$ を満たす．ここで， $𝑥$ による左移動 $𝑥 \circ - \in end (𝔤𝔩 (𝑉))$ と右移動 $- \circ 𝑥 \in end (𝔤𝔩 (𝑉))$ は，結合則より可換．よって， $\begin{matrix} {(ad 𝑥)}^{2 𝑛 - 1} & = & {((𝑥 \circ -) - (- \circ 𝑥))}^{2 𝑛 - 1} \\ = & \sum_{𝑘 = 0}^{2 𝑛 - 1} {(- 1)}^{𝑘} (\begin{matrix} 2 𝑛 - 1 \\ 𝑘 \end{matrix}) {(𝑥 \circ -)}^{𝑘} {(- \circ 𝑥)}^{2 𝑛 - 𝑘 - 1} \\ = & \sum_{𝑘 = 0}^{2 𝑛 - 1} {(- 1)}^{𝑘} (\begin{matrix} 2 𝑛 - 1 \\ 𝑘 \end{matrix}) (𝑥^{𝑘} \circ -) (- \circ 𝑥^{2 𝑛 - 𝑘 - 1}) \\ = & \sum_{𝑘 = 0}^{𝑛 - 1} {(- 1)}^{𝑘} (\begin{matrix} 2 𝑛 - 1 \\ 𝑘 \end{matrix}) (𝑥^{𝑘} \circ -) 0 + \sum_{𝑘 = 𝑛}^{2 𝑛 - 1} {(- 1)}^{𝑘} (\begin{matrix} 2 𝑛 - 1 \\ 𝑘 \end{matrix}) 0 (- \circ 𝑥^{2 𝑛 - 𝑘 - 1}) \\ = & 0 \end{matrix}$
内部微分はLie代数準同型であったから， $[ad 𝑥_{s}, ad 𝑥_{n}] = ad [𝑥_{s}, 𝑥_{n}] = 0$ となる．以上と合わせてより $ad 𝑥 = ad 𝑥_{s} + ad 𝑥_{n}$ はJordan-Chevalley分解となる．

同型定理

零Lie代数

体 $𝕂$ を与える．

零線型空間 ${0}$ は，Lie括弧として唯一 $[0, 0] = 0$ を持ち得る．これを定義とするLie代数 ${0}$ を自明なLie代数(trivial Lie algebra)や零Lie代数(zero Lie algebra)と呼ぶ．

同型定理

Lie代数の圏の部分対象，正規対象，商対象を確認し，同型定理を示す．

部分Lie代数

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

部分線型空間 $𝔥 \subseteq 𝔤$ で， $𝔤$ と同じLie括弧に関してLie代数となるものを， $𝔤$ の部分Lie代数(Lie subalgebra)と呼ぶ．つまり以下を満たす： $𝔥 + 𝔥, 𝕂 𝔥, [𝔥, 𝔥] \subseteq 𝔥$

生成系

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の部分集合 $𝑋$

を与える．

$𝑋$ で生成される部分Lie代数とは，𝔤 の部分Lie代数であって，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすものを言う：
- $𝑋$ を含む $𝔤$ の部分Lie代数のなかで最小のもの．
- $span {{(ad 𝑋)}^{𝑛} 𝑋}_{𝑛 \in ℕ_{0}}$
特に $𝔤$ に一致するとき， $𝑋$ を $𝔤$ の生成系(generator)と呼ぶ．

条件の同値性の証明

まず， $𝔥 ≔ span {{(ad 𝑋)}^{𝑛} 𝑋}_{𝑛 \in ℕ_{0}}$ が $𝔤$ の部分Lie代数となることを示す．部分線型空間となることは明らか．その任意の元は $𝑛 \in ℕ$ と， ${𝑎_{𝑖} \in 𝑋}_{𝑖 \in 𝑛}$ に対する $𝑎 ≔ (\prod_{𝑖 = 1}^{𝑛 - 1} ad 𝑎_{𝑖}) 𝑎_{0}$ の線型結合で表される． $\forall 𝑏 \in 𝔥$ に対し，Jacobi恒等式より $[𝑎, 𝑏] = - [[(\prod_{𝑖 = 1}^{𝑛 - 2} ad 𝑎_{𝑖}) 𝑎_{0}, 𝑏], 𝑎_{𝑛 - 1}] - [[𝑏, 𝑎_{𝑛 - 1}], (\prod_{𝑖 = 1}^{𝑛 - 2} ad 𝑎_{𝑖}) 𝑎_{0}]$ となる． $𝔥$ の定義より $[𝑋, 𝔥] \subseteq 𝔥$ は明らかだから，数学的帰納法より $[𝑎, 𝑏] \in 𝔥$ となる．つまり， $𝔥$ は $𝔤$ の部分Lie代数．

$𝑋$ で生成される部分Lie代数はLie代数なので，Lie括弧で閉じることが必要だから， $𝔥$ は明らかに $𝑋$ を含む $𝔤$ の任意の部分Lie代数の部分集合となる．よって， $𝑋$ を含む部分Lie代数の中で最小．

イデアル

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ のイデアル(ideal)とは，部分線型空間 $𝔦 \subseteq 𝔤$ であって，以下を満たすものを言う： $[𝔤, 𝔦] \subseteq 𝔦$

自明なイデアル

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

${0}, 𝔤 \subseteq 𝔤$ は $𝔤$ のイデアルとなる．これらを $𝔤$ の自明なイデアル(trivial ideal)と呼ぶ．
それ以外を非自明(nontrivial)と呼ぶ．

正規閉包

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の部分集合 $𝑋$

を与える．

$𝑋$ の正規閉包(normal closure)とは， $𝔤$ のイデアル $ncl (𝑋)$ であって，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすもののこと：

$ncl (𝑋)$ は $𝑋$ を含む最小のイデアル
$ncl (𝑋) = {span}_{𝕂} {𝑋} \cup ⋃_{𝑛 \in ℕ} {(ad 𝔤)}^{𝑛} 𝑋$

証明

生成系の条件の同値性の証明と同様．

正規化Lie代数

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の部分集合 $𝑋$
$𝑋$ で生成される部分Lie代数 $𝔥$

を与える．

$𝑋$ の正規化Lie代数(normalizer)とは， $𝔤$ の部分Lie代数 $𝑁_{𝔤} (𝑋)$ であって，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすものを言う：

$𝑁_{𝔤} (𝑋)$ は， $𝔥$ がイデアルとなるようなもののうち，最大なもの．
$𝑁_{𝔤} (𝑋) = {𝑥 \in 𝔤 | [𝑥, 𝔥] \subseteq 𝔥}$

商Lie代数

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ のイデアル $𝔦$

を与える．

$𝔤$ の $𝔦$ で割った商Lie代数(quotient Lie algebra)とは，商線型空間 $𝔤 ∕ 𝔦$ に，以下でLie括弧を定義したLie代数のこと： $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔤, [𝑥 + 𝔦, 𝑦 + 𝔦] ≔ [𝑥, 𝑦] + 𝔦$

同型定理

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与えると，以下が成り立つ．

- 任意の $𝕂$ 上のLie代数 $𝔥$
- 任意の準同型 $𝑓 : 𝔤 \to 𝔥$
に対し，
- $𝑓$ の核 $𝑓^{- 1} (0_{𝔥})$ は $𝔤$ のイデアル
- $𝑓$ の像 $𝑓 (𝔤)$ は $𝔥$ の部分Lie代数
- 任意の $𝔤$ のイデアル $𝔦$ に対し， $𝔦 \subseteq \ker 𝑓$ を満たすとき，以下を満たす： $\exists! \overline{𝑓} : 𝔤 ∕ 𝔦 \to 𝔥, \overline{𝑓} \circ 𝑝 = 𝑓$ つまり以下の図式を可換にする：特に，自然な同型 $𝔤 ∕ \ker 𝑓 ≅ 𝑓 (𝔤)$ が存在する．
任意の𝔤のイデアル 𝔦⊆𝔧 に対し，
- $𝔧 ∕ 𝔦$ は $𝔤 ∕ 𝔦$ のイデアル
- 自然な同型 $(𝔤 ∕ 𝔦) ∕ (𝔧 ∕ 𝔦) ≅ 𝔤 ∕ 𝔧$ が成り立つ
任意の𝔤のイデアル 𝔦,𝔧 に対し，
- $𝔦 + 𝔧, 𝔦 \cap 𝔧$ は $𝔤$ のイデアル
- 自然な同型 $(𝔦 + 𝔧) ∕ 𝔧 ≅ 𝔦 ∕ (𝔦 \cap 𝔧)$ が成り立つ

可換性

可換

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
内部微分 $ad$

を与える．

$𝑥, 𝑦 \in 𝔤$ が $[𝑥, 𝑦] = 0$ を満たすとき， $𝑥, 𝑦$ は互いに可換(Abelian)と呼ぶ．
以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすとき，𝔤 を可換(Abelian)と呼ぶ：
- $[𝔤, 𝔤] = 0$
- $\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対し， $𝔤$ は $ad 𝑥$ の固有値 $0 \in 𝕂$ の固有空間．
- $\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対し， $ad 𝑥$ は対角化可能．

条件の同値性の証明

最初の2条件の同値性は明らか．さらにこのとき，最後の条件を満たすのも明らか．逆を示す．

$𝑥 \in 𝔤$ を任意に一つとり， $ad 𝑥$ の固有値 $𝜇 \in 𝕂$ の非零な固有ベクトル $𝑦 \in 𝔤 ∖ {0}$ を任意に一つとる．仮定より有限集合 $𝛬 \subseteq 𝕂$ が存在し， $𝑥$ は $ad 𝑦$ の固有ベクトルの有限和で $𝑥 = \sum_{𝜆 \in 𝛬} 𝑣_{𝜆}$ と書ける．すると， $- 𝜇 𝑥 = ad 𝑦 (𝑥) = \sum_{𝜆 \in 𝛬} 𝜆 𝑣_{𝜆}$ となるから， $0 = ad 𝑥 (- 𝜇 𝑥) = \sum_{𝜆 \in 𝛬} 𝜆^{2} 𝑣_{𝜆}$ となる． ${𝑣_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ は異なる固有値に属する固有ベクトルなので線型独立だから， $\forall 𝜆 \in 𝛬$ に対し， $𝜆^{2} 𝑣_{𝜆} = 0$ より， $𝜆 𝑣_{𝜆} = 0$ となる．つまり $𝜇 𝑥 = 0$ だが， $𝑥 = 0$ のときは明らかに固有値は $0$ しか持ちえないから， $𝜇 = 0$ が言える．

自由可換Lie代数

体 $𝕂$ を与える．

$𝕂$ -線型空間 $𝑉$ 上の可換Lie代数(commutative Lie algebra)とは，以下で定義されるLie代数のこと：

$𝕂$ -線型空間 $𝑉$
Lie括弧 $[\cdot, \cdot] : 𝑉 Π 𝑉 \to 𝑉, [𝑥, 𝑦] = 0$

可換Lie代数準同型

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の導来Lie代数 $[𝔤, 𝔤]$ とそれによる商Lie代数 $𝔤 ∕ [𝔤, 𝔤]$
$𝕂$ 上の可換Lie代数 $𝔥$
$𝕂$ -線型写像 $𝑓 : 𝔤 \to 𝔥$

を与えると，以下が成り立つ：

𝕂-線型写像 𝑓 : 𝔤→𝔥 に対し，以下は同値：
- $𝑓$ はLie代数準同型
- $𝑓 ([𝔤, 𝔤]) = {0}$
特に，𝔤 も可換ならば，𝑓 はLie代数準同型．
Lie代数準同型 $𝔤 \to 𝔥$ と， $𝕂$ -線型写像 $𝔤 ∕ [𝔤, 𝔤] \to 𝔥$ は一対一対応．

証明

Lie代数準同型の定義より明らか．
導来Lie代数の基本性質と商Lie代数の普遍性より明らか．

証明

Lie代数準同型の定義より明らか．

可換Lie代数の普遍性

可換Lie代数の圏，つまり

対象を全ての可換Lie代数
射を全ての可換Lie代数準同型

とする圏と，線型空間の圏は自然同値．

中心化Lie代数・中心

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の部分集合 $𝑋$

を与える．

$𝑋$ の中心化Lie代数(centralizer)とは，以下の $𝔤$ の部分Lie代数のこと： $𝑍_{𝔤} (𝑋) ≔ {𝑥 \in 𝔤 | [𝑥, 𝑋] = {0}}$
$𝔤$ の中心(center)とは，以下の $𝔤$ のイデアルのこと： $𝑍 (𝔤) ≔ 𝑍_{𝔤} (𝔤) = {𝑧 \in 𝔤 | [𝑧, 𝔤] = {0}}$
$𝔤$ が無中心(centerless)であるとは，中心が零Lie代数であることを言う： $𝑍 (𝔤) = {0}$

中心化Lie代数の性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の部分集合 $𝑋$
$𝑋$ で生成される部分Lie代数 $𝔥$ の中心 $𝑍 (𝔥)$
$𝑋$ の中心化Lie代数 $𝑍_{𝔤} (𝑋)$
$𝑋$ の正規化Lie代数 $𝑁_{𝔤} (𝑋)$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝑍_{𝔤} (𝑋) = 𝑍_{𝔤} (𝔥)$
$𝑍 (𝔥), 𝑍 (𝔤) \subseteq 𝑍_{𝔤} (𝑋) \subseteq 𝑁_{𝔤} (𝑋)$

部分Lie代数，イデアルになることの証明，中心化Lie代数の性質の証明

- $𝔤$ の部分線型空間となることは明らか． $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝑍_{𝔤} (𝑋)$ に対し，反交換律とJacobi恒等式より， $[[𝑥, 𝑦], 𝑋] \subseteq [𝑥, [𝑦, 𝑋]] + [𝑦, [𝑋, 𝑥]] = 0$ より，部分Lie代数となる．
- $[𝔤, 𝑍 (𝔤)] = 0 \subseteq 𝑍 (𝔤)$
- $𝔥$ は $𝑋$ で生成される部分Lie代数だったから， $𝑋 \subseteq 𝔥$ なので， $𝑍_{𝔤} (𝑋) \subseteq 𝑍_{𝔤} (𝔥)$ は明らか．Jacobi恒等式より， $\forall 𝑛 \in 𝑁_{0}$ に対し， $[𝑍_{𝔤} (𝑋), {(ad 𝑋)}^{𝑛} 𝑋] = 0$ を満たすから， $𝑍_{𝔤} (𝑋) \supseteq 𝑍_{𝔤} (𝔥)$ も言える．
- $𝔥$ は $𝔤$ の部分Lie代数なので， $𝑍 (𝔥) = 𝑍_{𝔥} (𝔥) \subseteq 𝑍_{𝔤} (𝔥) = 𝑍_{𝔤} (𝑋)$ となる．中心の定義より， $𝑍 (𝔤) \subseteq 𝑍_{𝔤} (𝔥) = 𝑍_{𝔤} (𝑋)$ は明らか．最後に，中心化Lie代数の定義より $[𝑍_{𝔤} (𝔥), 𝔥] = 0 \subseteq 𝔥$ を満たすから， $𝑍_{𝔤} (𝑋) \subseteq 𝑍_{𝔤} (𝔥) \subseteq 𝑁_{𝔤} (𝔥) = 𝑁_{𝔤} (𝑋)$ となる．

単純性

単純Lie代数

Lie代数のうち，（自明な）イデアルをちょうど2つ持つものを，単純(simple)と呼ぶ．
単純Lie代数の直和で表されるLie代数を，半単純(semisimple)（歴史的には簡約Lie代数(reductive Lie algebra)）と呼ぶ．

1次元Lie代数

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与えると，以下は同値：

$𝔤$ は1次元
$𝔤$ は可換かつ単純
$𝔤$ は中心が非零かつ単純

特に，1次元Lie代数は同型を除いて一意．

証明

$𝔤$ が1次元のとき，Lie括弧の交代性より明らかに可換．また，イデアルは自明に， ${0}$ と $𝔤$ しかないので，単純．
可換Lie代数の中心は自分自身であり，単純Lie代数は非零でなので，可換な単純Lie代数は中心が非零．
単純Lie代数の中心は零または自分自身．また，中心の部分線型空間はイデアルなので，単純Lie代数の中心は0または1次元．よって，中心が非零な単純Lie代数は1次元

無中心単純・半単純Lie代数

体 $𝕂$ を与えると，以下が成り立つ：

𝕂 上の単純Lie代数 𝔤 に対し，以下は同値：
- $𝔤$ は無中心
- $𝔤$ は可換
- $𝔤$ は1次元でない
𝕂 上の半単純Lie代数 𝔤 に対し，以下は同値：
- $𝔤$ は無中心
- $𝔤$ は無中心な単純Lie代数の直和．

証明

1次元Lie代数の性質より自明．

無中心単純Lie代数のことを単に単純Lie代数と呼ぶことが多いのだが，Lie代数の圏の単純対象を指す用語としては現代的ではないので，ここでは無中心と明記することにする．

極大イデアルの商Lie代数

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ のイデアル $𝔦$

を与える．

以下は同値：
- $𝔦$ が（極大）イデアルかつ極大部分Lie代数
- $𝔦$ による商Lie代数 $𝔤 ∕ 𝔦$ が1次元Lie代数
以下は同値：
- $𝔦$ が極大イデアルかつ極大でない部分Lie代数
- $𝔦$ による商Lie代数 $𝔤 ∕ 𝔦$ が無中心単純Lie代数

証明

一般に， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ とイデアル $𝔦$ に対して， $[𝕂 𝑥 + 𝔦, 𝕂 𝑥 + 𝔦] = [𝕂 𝑥 + 𝔦, 𝔦] \subseteq 𝔦$ を満たすから， $𝕂 𝑥 + 𝔦$ は $𝔤$ の部分Lie代数． $𝔦$ が極大部分Lie代数のとき， $𝑥 \in 𝔤 ∖ 𝔦$ と取れ，そのとき $𝕂 𝑥 + 𝔦 = 𝔤$ となることが必要．ゆえに， $𝔤 ∕ 𝔦$ は1次元Lie代数．
𝔤∕𝔦が無中心単純Lie代数または1次元Lie代数であることを示せばよい．対偶を示す．
- $𝔦$ が極大イデアルでない，つまり $𝔤$ のイデアル $𝔧$ で $𝔦 ⊊ 𝔧 ⊊ 𝔤$ を満たすものが存在したとすると，同型定理より $𝔤 ∕ 𝔦$ はイデアル $𝔧 ∕ 𝔦$ を持つ．よって，無中心単純Lie代数でも1次元可換Lie代数でもない．
- $𝔤 ∕ 𝔦$ が無中心単純Lie代数でも1次元可換Lie代数でもないとすると，非自明な部分Lie代数 ${0} ⊊ 𝔥 ⊊ 𝔤 ∕ 𝔦$ が存在する．このとき， $𝔦 ⊊ 𝔥 + 𝔦 ⊊ 𝔤$ より $𝔦$ は極大イデアルではない．

Lie代数の拡大

体 $𝕂$ を与える．

$𝕂$ -Lie代数 $𝔢$ が $𝕂$ -Lie代数 $𝔤$ の $𝕂$ -Lie代数 $𝔥$ による拡大(extension)であるとは，以下の短完全列を持つことを言う： $0 ↪ 𝔥 \overset{𝑖}{↪} 𝔢 \overset{𝑠}{↠} 𝔤 ↠ 0$

短完全列の定義より $𝔤 ≅ 𝔢 ∕ im 𝑖 = 𝔢 ∕ \ker 𝑠$

特別なLie代数の拡大

体 $𝕂$
$𝕂$ -Lie代数 $𝔤, 𝔥$
$𝔤$ の $𝔥$ による拡大 $𝔢$

を与える．

拡大が自明(trivial)であるとは， $𝔤$ のイデアル $𝔦$ が存在し，以下を満たすことを言う： $𝔢 = 𝔦 + \ker 𝑠$
拡大が分裂(split)するとは， $𝔤$ の部分Lie代数 $𝔦$ が存在し，以下を満たすことを言う： $𝔢 = 𝔦 + \ker 𝑠$
拡大が中心的(central)であるとは， $\ker 𝑠$ が $𝔢$ の中心 $𝑍 (𝔢)$ に含まれることを言う： $\ker 𝑠 \subseteq 𝑍 (𝔢)$

普遍中心拡大

線型Lie代数

線型変換の集合 $end (𝑉)$ は単位的結合代数だったから，交換子をLie括弧とするLie代数をなす：

一般線型Lie代数・線型Lie代数

体 $𝕂$
$𝕂$ -線型空間 $𝑉$

を与える．

𝑉 上の一般線型代数(general linear algebra) 𝔤𝔩 ⁡ (𝑉) とは，
- 線型変換の集合 $end (𝑉)$
- 交換子
の組によるLie代数のこと．
一般線型代数の部分Lie代数のことを線型Lie代数(linear Lie algebra)と呼ぶ．
$𝑛 \in ℕ_{0}$ に対し， $𝔤𝔩 (𝑛, 𝕂) ≔ 𝔤𝔩 (𝕂^{𝑛})$ とも表す．
以下を $𝔤𝔩 (𝑛, 𝕂)$ の標準基底(standard basis)と呼ぶ： ${𝑒_{𝑖, 𝑗} ≔ {(𝛿_{𝑖, 𝑎} 𝛿_{𝑗, 𝑏})}_{𝑎, 𝑏 \in 𝑛}}_{𝑖, 𝑗 \in 𝑛}$

特殊線型Lie代数

体 $𝕂$
有限次元 $𝕂$ -線型空間 $𝑉$

を与える．

特殊線型Lie代数(special linear Lie algebra)とは，以下で定義される線型Lie代数のこと： $𝔰𝔩 (𝑉) ≔ {𝑥 \in 𝔤𝔩 (𝑉) | tr (𝑥) = 0}$
$𝑛 \in ℕ_{0}$ に対し， $𝔰𝔩 (𝑛, 𝕂) ≔ 𝔰𝔩 (𝕂^{𝑛})$ とも表す．
$𝔤𝔩 (𝑛, 𝕂)$ の標準基底 ${𝑒_{𝑖, 𝑗}}_{𝑖, 𝑗 \in 𝑛}$ を用いて定義される以下の集合を $𝔰𝔩 (𝑛, 𝕂)$ の標準基底(standard basis)と呼ぶ： ${𝑒_{𝑖, 𝑗}}_{𝑖 \neq 𝑗 \in 𝑛} \cup {𝑒_{𝑖, 𝑖} - 𝑒_{𝑖 + 1, 𝑖 + 1}}_{𝑖 \in 𝑛 - 1}$

Lie代数となることの証明

跡の線型性と巡回性より直ちに成り立つ．

特殊直交Lie代数

体 $𝕂$
有限次元 $𝕂$ -線型空間 $𝑉$
行列 $(\begin{matrix} 1 \\ 𝟙_{𝑛} \\ 𝟙_{𝑛} \end{matrix})$ または $(\begin{matrix} 𝟙_{𝑛} \\ 𝟙_{𝑛} \end{matrix})$ で定まる非退化双線型形式 $𝑓$

を与える．

特殊直交Lie代数(special linear Lie algebra)とは，以下で定義される線型Lie代数のこと： $𝔰𝔬 (𝑉) ≔ {𝑥 \in 𝔤𝔩 (𝑉) | \forall 𝑣, 𝑤 \in 𝑉, 𝑓 (𝑥 (𝑣), 𝑤) = - 𝑓 (𝑣, 𝑥 (𝑤))}$
$𝑛 \in ℕ_{0}$ に対し， $𝔰𝔬 (𝑛, 𝕂) ≔ 𝔰𝔬 (𝕂^{𝑛})$ とも表す．

Lie代数となることの証明

シンプレクティックLie代数

体 $𝕂$
有限次元 $𝕂$ -線型空間 $𝑉$
行列 $(\begin{matrix} 𝟙_{𝑛} \\ - 𝟙_{𝑛} \end{matrix})$ で定まる非退化双線型形式 $𝑓$

を与える．

シンプレクティックLie代数(symplectic Lie algebra)とは，以下で定義される線型Lie代数のこと： $𝔰𝔭 (𝑉) ≔ {𝑥 \in 𝔤𝔩 (𝑉) | \forall 𝑣, 𝑤 \in 𝑉, 𝑓 (𝑥 (𝑣), 𝑤) = - 𝑓 (𝑣, 𝑥 (𝑤))}$
$𝑛 \in ℕ_{0}$ に対し， $𝔰𝔭 (𝑛, 𝕂) ≔ 𝔰𝔭 (𝕂^{𝑛})$ とも表す．

Lie代数となることの証明

可解・冪零

可解Lie代数

導来Lie代数

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ の導来Lie代数(derived Lie algebra)とは， $𝔤$ のイデアル $[𝔤, 𝔤]$ のこと．
$𝐷 : 2^{𝔤} Π 2^{𝔤} \to 2^{𝔤}, (𝑋, 𝑌) \mapsto [𝑋, 𝑌]$ とすると， $𝔤$ の導来列(derived series)とは，以下の導来Lie代数の列のこと： $𝔤 = 𝐷^{0} 𝔤 \supset 𝐷^{1} 𝔤 \supset 𝐷^{2} 𝔤 \supset \dots$

導来Lie代数の基本性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与えると， $𝔤$ の導来Lie代数 $[𝔤, 𝔤]$ の商Lie代数 $𝔤 ∕ [𝔤, 𝔤]$ は可換．

証明

まず，導来Lie代数がイデアルとなることは， $[𝔤, [𝔤, 𝔤]] \subseteq [𝔤, 𝔤]$ より自明．
その商Lie代数は， $[𝔤 + [𝔤, 𝔤], 𝔤 + [𝔤, 𝔤]] \subseteq [𝔤, 𝔤]$ より可換．

可解

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝐷 : {(2^{𝔤})}^{Π 2} \to 2^{𝔤}, (𝑋, 𝑌) \mapsto [𝑋, 𝑌]$

を与える．

$𝔤$ が可解(solvable)であるとは，導来列が有限で $0$ になって止まること．つまり， $\exists 𝑛 \in ℕ_{0}, 𝐷^{𝑛} 𝔤 = {0}$ を満たす．

可解性の基本性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与えると，以下が成り立つ：

𝔤が可解ならば，以下も可解：
- 任意の $𝔤$ の部分Lie代数，イデアル
- 任意のLie代数準同型 $𝑓 : 𝔤 \to 𝔥$ の像 $𝑓 (𝔤)$
- 任意の $𝔤$ のイデアル $𝔦$ に対する商Lie代数 $𝔤 ∕ 𝔦$
$𝔤$ のあるイデアル $𝔦$ と商Lie代数 $𝔤 ∕ 𝔦$ が共に可解ならば， $𝔤$ も可解．
$𝔤$ のイデアル $𝔦, 𝔧$ が共に可解ならば，イデアル $𝔦 \cap 𝔧, 𝔦 + 𝔧$ も可解．
可換ならば可解
以下は同値：
- $𝔤$ は無中心
- $𝔤$ の可換イデアルは零のみ．
- $𝔤$ の可解イデアルは零のみ．

証明

$𝐷 : {(2^{𝔤})}^{Π 2} \to 2^{𝔤}, (𝑋, 𝑌) \mapsto [𝑋, 𝑌]$ とする．

- $𝔤$ の部分Lie代数 $𝔥$ に対し， $𝐷^{𝑛} 𝔥 \subseteq 𝐷^{𝑛} 𝔤$ となることから明らか．
- $𝑓 (𝐷^{𝑛} 𝔤) = [𝑓 (𝐷^{𝑛 - 1} 𝔤), 𝑓 (𝐷^{𝑛 - 1} 𝔤)] = 𝐷_{𝔥} (𝑓 (𝐷^{𝑛 - 1} 𝔤)) = 𝐷_{𝔥}^{𝑛} (𝑓 (𝔤))$ より， $𝔤$ が冪零ならば， $𝑓 (𝔤)$ も冪零．
- 商Lie代数への標準射影 $𝔤 \to 𝔤 ∕ 𝔦$ は全射だから， $𝔤$ が冪零なら $𝔤 ∕ 𝔦$ も冪零．
$𝔤 ∕ 𝔦$ が可解なので， $\exists 𝑛 \in ℕ_{0}, 𝐷^{𝑛} 𝔤 \subseteq 𝔦$ となる． $𝔦$ も可解だから， $\exists 𝑚 \in ℕ_{0}, 𝐷^{𝑛 + 𝑚} 𝔤 \subseteq 𝐷^{𝑚} 𝔦 = {0}$ となり， $𝔤$ も可解．
- $𝔦 \cap 𝔧$ は可解Lie代数 $𝔦$ のイデアルなので可解．
- 同型定理より， $(𝔦 + 𝔧) ∕ 𝔧 ≃ 𝔦 ∕ (𝔦 \cap 𝔧)$ となるが，右辺とイデアル $𝔧$ が可解なので， $𝔦 + 𝔧$ も可解．
定義より自明．
最初の2条件の同値性は自明．上と合わせて，残りは可換イデアルは零のみのとき，可解イデアルも零のみであることを示せばよい． $𝔤$ の可解イデアルを $𝐼$ とすると，定義より $\exists 𝑛 \in ℕ_{0}, 𝐷^{𝑛} 𝔤 = {0}$ となる． $𝑛 > 0$ と仮定すると， $\exists 𝑚 \in ℕ, 𝐷^{𝑚 - 1} 𝔤 \supset {0}, 𝐷^{𝑚} 𝔤 = {0}$ を満たし， $𝔤$ が非零な可換イデアル $𝐷^{𝑚 - 1} 𝔤$ を持つことになるので矛盾．よって， $𝑛 = 0$ より $𝐼 = {0}$ ．

根基

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ の部分集合 $𝔯$ が根基(radical)であるとは，最大可解イデアルであることを言う．つまり， $𝔯$ は全ての可解イデアルを含む．

冪零Lie代数

冪零

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ の部分Lie代数 $𝔥$ が冪零(nilpotent)であるとは，イデアルの減少列 $𝔥 = {(ad 𝔥)}^{0} \supset {(ad 𝔥)}^{1} \supset {(ad 𝔥)}^{2} \supset \dots$ が有限で $0$ になって止まることを言う．つまり，以下を満たす： $\exists 𝑛 \in ℕ_{0}, {(ad 𝔥)}^{𝑛} = {0}$

冪零性の基本性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与えると，以下が成り立つ：

冪零Lie代数ならば可解Lie代数．
𝔤が冪零Lie代数ならば，以下も冪零Lie代数：
- 任意の $𝔤$ の部分Lie代数，イデアル
- 任意のLie代数準同型 $𝑓 : 𝔤 \to 𝔥$ の像 $𝑓 (𝔤)$
- 任意の $𝔤$ のイデアル $𝔦$ に対する商Lie代数 $𝔤 ∕ 𝔦$
$𝔤$ が冪零Lie代数ならば， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対し， $ad 𝑥 \in 𝔤𝔩 𝔤$ は線型変換として冪零．
𝔤 の中心 𝑍 ⁡ (𝔤) に対し，
- $𝑍 (𝔤)$ は冪零Lie代数．
- 商Lie代数 $𝔤 ∕ 𝑍 (𝔤)$ が冪零Lie代数ならば， $𝔤$ も冪零Lie代数．
- $𝔤$ が非零な冪零Lie代数ならば， $𝑍 (𝔤)$ も非零．

証明

定義より自明．
- $𝔤$ の部分Lie代数 $𝔥$ に対し， ${(ad 𝔥)}^{𝑛} 𝔥 \subseteq {(ad 𝔤)}^{𝑛} 𝔤$ となることから明らか．
- $𝑓 ({(ad 𝔤)}^{𝑛} 𝔤) = [𝑓 (𝔤), 𝑓 ({(ad 𝔤)}^{𝑛 - 1} 𝔤)] = ad (𝑓 (𝔤)) (𝑓 ({(ad 𝔤)}^{𝑛 - 1} 𝔤)) = {(ad (𝑓 (𝔤)))}^{𝑛} (𝑓 (𝔤))$ より， $𝔤$ が冪零ならば， $𝑓 (𝔤)$ も冪零．
- 商Lie代数への標準射影 $𝔤 \to 𝔤 ∕ 𝔞$ は全射だから， $𝔤$ が冪零なら $𝔤 ∕ 𝔞$ も冪零．
定義より自明．
- 定義より自明．
- 仮定より， $\exists 𝑛 \in ℕ_{0}, {(ad 𝔤)}^{𝑛} 𝔤 \subseteq 𝑍 (𝔤)$ なので，中心の定義より ${(ad 𝔤)}^{𝑛 + 1} 𝔤 = [𝔤, {(ad 𝔤)}^{𝑛} 𝔤] \subseteq [𝔤, 𝑍 (𝔤)] = {0}$ となるから冪零．
- 仮定より， $\exists 𝑛 \in ℕ, {(ad 𝔤)}^{𝑛 - 1} 𝔤 \neq {0}, {(ad 𝔤)}^{𝑛} 𝔤 = [𝔤, {(ad 𝔤)}^{𝑛 - 1} 𝔤] = {0}$ となるから， ${0} \neq {(ad 𝔤)}^{𝑛 - 1} \subseteq 𝑍 (𝔤)$ ．

Cartan部分代数

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ のCartan部分代数(Cartan subalgebra)とは，冪零な部分Lie代数 $𝔥$ であって，その正規化Lie代数が $𝔥$ に等しいものを言う．

Cartan部分代数の存在

無限体 $𝕂$ を与えると，任意の $𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$ はCartan部分代数を持つ．

有限体で存在するかどうかは未解決っぽい．

自由・忘却随伴

自由Lie代数

体 $𝕂$ を与える．

𝕂-線型空間 𝑉 上の自由Lie代数(free Lie algebra)とは，以下のデータのこと：
- $𝕂$ -線型空間 $𝑉$ $\underset{𝑛 \in ℤ}{∐} 𝑉^{⨿ 𝑛}$
- を線型に拡張したもの．
集合 $𝑋$ 上の自由Lie代数(free Lie algebra)とは， $𝑋$ 上の自由線型空間 $𝕂^{𝑋}$ 上の自由Lie代数のこと．

自由Lie代数の普遍性

体 $𝕂$
$𝕂$ -線型空間 $𝑉$
$𝑉$ 上の自由Lie代数 $𝔙$
包含写像 $𝑖 : 𝑉 \to 𝔙$

を与えると，以下を満たす：

任意の $𝕂$ -Lie代数 $𝔤$
任意の $𝕂$ -線型写像 $𝑓 : 𝑉 \to 𝔤$

に対し，Lie代数準同型 $\overline{𝑓} : 𝔙 \to 𝔤$ が一意的に存在し，以下を満たす： $\overline{𝑓} \circ 𝑖 = 𝑓$ つまり，以下の図式を可換にする：

証明

$chottomendo-$ とすると，より， $\overline{𝑓}$ はLie代数準同型となる．特に， $\overline{𝑓} \circ 𝑖 = 𝑓$ を満たす．

可換図式を満たすLie代数準同型 $\overline{𝑓}, {\overline{𝑓}}^{'}$ に対し，自然同型

他にも $𝕂$ -代数上の自由Lie代数など，様々あるが，流石に省略する．

基本関係式

体 $𝕂$
集合 $𝑋$
$𝑋$ 上の自由Lie代数 $FreeLieAlg (𝑋)$
部分集合 $𝐴 \subseteq FreeLieAlg (𝑋)$

を与える．

（ $𝑋$ を生成系とし，） $𝐴$ を基本関係式(fundamental relation)とするLie代数とは， $𝐴$ の正規閉包 $ncl (𝐴)$ で割った商Lie代数 $FreeLieAlg (𝑋) ∕ ncl (𝐴)$ のこと．

未整理

不変形式

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のlie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ 上の対称双線型形式 $(,) : 𝔤 π 𝔤 \to 𝕂$ が不変形式(invariant form)であるとは，以下を満たすことを言う： $\forall 𝑥, 𝑦, 𝑧 \in 𝔤, ([𝑥, 𝑦], 𝑧) + (𝑦, [𝑥, 𝑧]) = 0$

不変形式の性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のlie代数 $𝔤$
$𝔤$ 上の不変形式 $𝜅$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝜅$ の根基 $𝑆_{𝜅}$ は $𝔤$ のイデアル．
$𝜅$ が非退化ならば， $𝔤$ の任意のイデアル $𝔦$ に対し， $𝜅$ に関する直交補空間 $𝔦^{⊥}$ も $𝔤$ のイデアル．

証明

$𝜅 ([𝔤, 𝑆_{𝜅}], 𝔤) = 𝜅 ([𝔤, 𝔤], 𝑆_{𝜅}) = {0}$ より， $[𝔤, 𝑆_{𝜅}] \subseteq 𝑆_{𝜅}$
$𝜅 ([𝔤, 𝔦^{⊥}], 𝔦) = 𝜅 ([𝔦^{⊥}, 𝔤], 𝔦) = 𝜅 (𝔦^{⊥}, [𝔤, 𝔦]) \subseteq 𝜅 (𝔦^{⊥}, 𝔦) = {0}$ より， $[𝔤, 𝔦^{⊥}] \subseteq 𝔦^{⊥}$

Lie代数上の加群・表現

$𝔤$ -加群と準同型

Lie代数上の加群・表現

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ 上の加群(module over $𝔤$ )，または $𝔤$ -加群( $𝔤$ -module)とは，以下の組のこと：
- $𝕂$ -線型空間 $𝑉$
- 双線型写像 $: 𝔤 Π 𝑉 \to 𝑉$ であって，以下を満たすもの： $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔤, \forall 𝑣 \in 𝑉, [𝑥, 𝑦] 𝑣 = 𝑥 (𝑦 𝑣) - 𝑦 (𝑥 𝑣)$
𝔤 の表現(representation)とは，以下の組のこと：
- $𝕂$ -線型空間 $𝑉$ 上の一般線型Lie代数 $𝔤𝔩 (𝑉)$
- $𝕂$ -Lie代数準同型 $𝜌 : 𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝑉)$

これらは以下の対応によって同じ構造を持つ：

$𝔤$ -加群 $𝑉$ に対し， $𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝑉), 𝑥 \mapsto (𝑣 \mapsto 𝑥 𝑣)$ は表現．
表現 $𝜌$ に対し， $𝔤 Π 𝑉 \to 𝑉, (𝑥, 𝑣) \mapsto 𝜌 (𝑥) 𝑣$ は $𝔤$ -加群．

包絡代数上の加群との一対一対応

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の包絡代数 $(𝑈 (𝔤), 𝑖)$

を与えると，

Lie代数 $𝔤$ 上の加群
単位的結合代数 $𝑈 (𝔤)$ 上の加群

は一対一対応．

証明

包絡代数の普遍性より，任意の $𝔤$ の表現 $𝜌 : 𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝑉)$ に対し，一意的な単位的代数準同型 $\overline{𝜌} : 𝑈 (𝔤) \to 𝔤𝔩 (𝑉) = end (𝑉)$ が存在し， $𝜌 = \overline{𝜌} \circ 𝑖$ を満たす．
逆に，任意の $𝑈 (𝔤)$ の表現 $\overline{𝜌} : 𝑈 (𝔤) \to end (𝑉)$ に対し，これはLie代数準同型でもあるので， $\overline{𝜌} \circ 𝑖 : 𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝑉)$ は $𝔤$ の表現．

以上の操作は， $𝜌 \mapsto \overline{𝜌} \mapsto \overline{𝜌} \circ 𝑖 = 𝜌$ となっているので全単射．

Lie代数上の加群の双対

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群 $𝑉$ と対応する表現 $𝜌$

を与える．

$𝑉$ の双対(dual)とは， $𝑉$ の双対線型空間 $𝑉^{*}$ に，以下で作用を定めた $𝔤$ -加群のこと： $𝔤 \otimes 𝑉^{*} \to 𝑉^{*}, (𝑥, 𝑓) \mapsto - 𝑓 \circ (𝜌 (𝑥))$

Lie代数上の加群の間のhomの加群

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群 $𝑉, 𝑊$ と対応する表現 $𝜌_{𝑉}, 𝜌_{𝑊}$

を与える．

線型空間 ${hom}_{𝕂} (𝑉, 𝑊)$ に，以下で $𝑥 \in 𝔤$ の作用を定めた $𝔤$ -加群のこと： $𝑥 𝑓 ≔ - 𝑓 \circ (𝜌_{𝑉} (𝑥)) + (𝜌_{𝑊} (𝑥)) \circ 𝑓$

随伴表現

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

内部微分はLie代数準同型であったから， $ad : 𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝔤), 𝑥 \mapsto ad 𝑥$ は表現となる．これを随伴表現(adjoint representation)と呼ぶ．

抽象Jordan分解

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝑥 \in 𝔤$ の抽象Jordan分解(abstract Jordan decomposition)とは， $𝑠, 𝑛 \in 𝔤$ であって， $𝑥 = 𝑠 + 𝑛$ かつ $ad 𝑠, ad 𝑛 \in end 𝔤$ がJordan-Chevalley分解となるものを言う．

忠実表現

単射な表現のことを忠実(faithful)と呼ぶ．

局所有限 $𝔤$ -加群

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の包絡代数 $𝑈 (𝔤)$

を与える．

$𝔤$ -加群 $𝑉$ が局所有限(locally finite)であるとは， $\forall 𝑣 \in 𝑉$ に対し， $𝑈 (𝔤) 𝑣$ が有限次元となることを言う．

局所有限 $𝔤$ -加群の性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の包絡代数 $𝑈 (𝔤)$
$𝔤$ -加群 $𝑉$ と対応する表現 $𝜌$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝑉$ が局所有限（特に， $𝔤$ または $𝑉$ が有限次元のとき）ならば， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対する $𝜌 (𝑥)$ は局所有限．
𝜌 ⁡ (𝔤) が有限次元ならば，以下は同値：
- $𝑉$ は局所有限 $𝔤$ -加群
- $\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対する $𝜌 (𝑥)$ は局所有限．

証明

明らか．
仮定より $𝔤 ∕ \ker 𝜌 ≃ 𝜌 (𝔤)$ は有限次元．その基底を ${𝑥_{𝑖}}_{𝑖 \in \dim 𝔤}$ と取ると， $\forall 𝑣 \in 𝑉$ に対し， $𝑈 (𝔤) 𝑣 = 𝑈 (𝔤 ∕ \ker 𝜌) 𝑣 = \prod_{𝑖 = 0}^{\dim 𝔤 - 1} 𝕂 [𝜌 (𝑥_{𝑖})] 𝑣$ を満たす．仮定より $𝕂 [𝜌 (𝑥_{0})] 𝑣$ は有限次元．よって， $𝕂 [𝜌 (𝑥_{1})] 𝕂 [𝜌 (𝑥_{0})] 𝑣$ も有限次元．帰納的に $𝑈 (𝔤) 𝑣$ は有限次元とわかる．つまり， $𝑉$ は局所有限 $𝔤$ -加群．

$𝔤$ -加群・表現準同型

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群 $𝑉, 𝑊$
$𝑉, 𝑊$ それぞれに対応する表現 $𝜌_{𝑉}, 𝜌_{𝑊}$

を与える．

線型写像 𝑓 : 𝑉→𝑊 が $𝔤$ -加群の準同型(homomorphism of $𝔤$ -module)（または表現の準同型(homomorphism of representation)）であるとは，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすことを言う：
- $\forall 𝑥 \in 𝔤, \forall 𝑣 \in 𝑉, 𝑓 (𝑥 𝑣) = 𝑥 𝑓 (𝑣)$
- $\forall 𝑥 \in 𝔤, 𝑓 \circ 𝜌_{𝑉} (𝑥) = 𝜌_{𝑊} (𝑥) \circ 𝑓$
- $𝔤$ -加群 ${hom}_{𝕂} (𝑉, 𝑊)$ に対し， $𝔤$ の作用が恒等的に零： $𝑥 𝑓 = 0$
全単射な準同型を同型(isomorphism)と呼ぶ．

部分Lie代数上の加群・商Lie代数上の加群

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群 $𝑉$ と対応する表現 $𝜌 : 𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝑉)$

を与える．

$𝔤$ の部分Lie代数 $𝔥$ が誘導する $𝔥$ -加群() とは，包含写像 $𝑖 : 𝔥 ↪ 𝔤$ に対する表現 $𝜌 \circ 𝑖 : 𝔥 \to 𝔤𝔩 (𝑉)$ のこと．
$𝔤$ のイデアル $𝔦$ であって， $𝔦 \subseteq \ker 𝜌$ を満たすものによる商Lie代数 $𝔤 ∕ 𝔦$ が誘導する $𝔤 ∕ 𝔦$ -加群() とは，商Lie代数の普遍性により定まる表現 $\overline{𝜌} : 𝔤 ∕ 𝔦 \to 𝔤𝔩 (𝑉)$ のこと．

零加群

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

零加群(zero module)とは， $𝕂$ -線型空間 $𝑉$ に， $𝔤$ の作用を恒等的に零として定めた $𝔤$ -加群のこと： $𝔤 𝑉 = {0}$
$𝔤$ -加群 $𝑉$ から $𝑊$ への加群零準同型(zero homomorphism of $𝔤$ -module)とは，零線型写像 $𝑉 \to 𝑊$ のこと．

随伴表現の加群準同型

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤, 𝔥$
Lie代数準同型 $𝑓 : 𝔤 \to 𝔥$
$𝔤, 𝔥$ それぞれの随伴表現 ${ad}_{𝔤} : 𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝔤), {ad}_{𝔥} : 𝔥 \to 𝔤𝔩 (𝔥)$

を与えると，以下が成り立つ：

${ad}_{𝔥} \circ 𝑓 : 𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝔥)$ は $𝔤$ -加群
$𝑓$ は ${ad}_{𝔤}$ から ${ad}_{𝔥} \circ 𝑓$ への $𝔤$ -加群準同型

証明

$𝑓, {ad}_{𝔥}$ はLie代数準同型なので， ${ad}_{𝔥} \circ 𝑓$ もLie代数準同型．よって， $𝔤$ -加群
Lie代数準同型の定義より， $\forall 𝑥, 𝑣 \in 𝔤, 𝑓 ({ad}_{𝔤} 𝑥 (𝑣)) = {[𝑓 (𝑥), 𝑓 (𝑣)]}_{𝔥} = ({ad}_{𝔥} \circ 𝑓 (𝑥)) (𝑓 (𝑣))$ $𝑓$ は $𝔤$ -加群準同型．

加群の圏の極限とか

$𝔤$ -加群の直積

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群の集合 ${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与える．

{ 𝑉𝜆 } 𝜆∈𝛬 の直積(direct product)とは，以下のデータのこと：
- 以下で定まる $𝔤$ -加群：
  - 直積線型空間 $\prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝑉_{𝜆}$
  - 左 $𝔤$ -作用 $: 𝔤 Π \prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝑉_{𝜆} \to \prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝑉_{𝜆}, (𝑥, {(𝑣_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬}) \mapsto {(𝑥 𝑣_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬}$
- $𝔤$ -加群準同型 $𝜋_{𝜆} : \prod_{𝜆^{'} \in 𝛬} 𝑉_{𝜆^{'}} \to 𝑉_{𝜆}, {(𝑣_{𝜆^{'}})}_{𝜆^{'} \in 𝛬} \mapsto 𝑣_{𝜆}$
$𝔤$ -加群 $𝑊$ を始域とする $𝔤$ -加群準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝑊 \to 𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ の直積(direct product)とは，以下の $𝔤$ -加群準同型のこと： $\prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝑓_{𝜆} : 𝑊 \to \prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝑉_{𝜆}, 𝑤 \mapsto {(𝑓_{𝜆} (𝑤))}_{𝜆 \in 𝛬}$

直積の普遍性

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤 -$ 加群の集合 ${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ とその直積 $(\prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝑉_{𝜆}, {𝜋_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$
$𝔤$ -加群 $𝑊$ を始域とする $𝔤$ -加群準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝑊 \to 𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与えると，以下を満たす $𝔤$ -加群準同型 $𝑓 : 𝑊 \to \prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝑉_{𝜆}$ は直積 $\prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝑓_{𝜆}$ に限られる： $\forall 𝜆 \in 𝛬, 𝑓 \circ 𝜋_{, 𝜆} = 𝑓_{𝜆}$

$𝔤$ -加群の直和

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群の集合 ${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与える．

{ 𝑉𝜆 } 𝜆∈𝛬 の直和(direct sum)とは，以下のデータのこと：
- 以下で定まる $𝔤$ -加群：
  - 直和線型空間 $\underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑉_{𝜆}$
  - 左 $𝔤$ -作用 $: 𝔤 Π \underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑉_{𝜆} \to \underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑉_{𝜆}, (𝑥, {(𝑣_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬}) \mapsto {(𝑥 𝑣_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬}$
- $𝔤$ -加群準同型 $𝜄_{𝜆} : 𝑉_{𝜆} \to \underset{𝜆^{'} \in 𝛬}{∐} 𝑉_{𝜆^{'}}, 𝑣 \mapsto {(𝑣_{𝜆^{'}} ≔ {\begin{matrix} 𝑣 & 𝜆^{'} = 𝜆 \\ 0 & 𝜆^{'} \neq 𝜆 \end{matrix})}_{𝜆^{'} \in 𝛬}$
$𝔤$ -加群 $𝑊$ を終域とする $𝔤$ -加群準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝑉_{𝜆} \to 𝑊}_{𝜆 \in 𝛬}$ の直和(direct sum)とは，以下の $𝔤$ -加群準同型のこと： $\underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑓_{𝜆} : \underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑉_{𝜆} \to 𝑊, {(𝑣_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬} \mapsto \sum_{𝜆 \in 𝛬} 𝑓_{𝜆} (𝑣_{𝜆})$

直和の普遍性

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤 -$ 加群の集合 ${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$
$𝔤$ -加群 $𝑊$ を終域とする $𝔤$ -加群準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝑉_{𝜆} \to 𝑊}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与えると，以下を満たす $𝔤$ -加群準同型 $𝑓 : \underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑉_{𝜆} \to 𝑊$ は直和 $\underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑓_{𝜆}$ に限られる： $\forall 𝜆 \in 𝛬, 𝑓 \circ 𝜄_{𝜆} = 𝑓_{𝜆}$

$𝔤$ -加群の双積

体 $𝕂$
有限集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群の有限集合 ${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与える．

${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ の双積(biproduct)とは，以下のデータのこと：

${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ の直積（同じことだが直和） $⨁_{𝜆 \in 𝛬} 𝑉_{𝜆}$
$𝔤$ -加群準同型 $𝜋_{𝜆} : ⨁_{𝜆^{'} \in 𝛬} 𝑉_{𝜆^{'}} \to 𝑉_{𝜆}, {(𝑣_{𝜆^{'}})}_{𝜆^{'} \in 𝛬} \mapsto 𝑣_{𝜆}$
$𝔤$ -加群準同型 $𝜄_{𝜆} : 𝑉_{𝜆} \to ⨁_{𝜆^{'} \in 𝛬} 𝑉_{𝜆^{'}}, 𝑣 \mapsto {(𝑣_{𝜆^{'}} ≔ {\begin{matrix} 𝑣 & 𝜆^{'} = 𝜆 \\ 0 & 𝜆^{'} \neq 𝜆 \end{matrix})}_{𝜆^{'} \in 𝛬}$

加群の双積の基本性質

体 $𝕂$
有限集合 $𝛬$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤 -$ 加群の集合 ${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ とその双積 $(⨁_{𝜆 \in 𝛬} 𝑉_{𝜆}, {𝜋_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}, {𝜄_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$
$𝔤$ -加群 $𝑊$ を終域とする $𝔤$ -加群準同型の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝑉_{𝜆} \to 𝑊}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与えると，以下が成り立つ：

$(⨁_{𝜆 \in 𝛬} 𝑉_{𝜆}, {𝜋_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$ は直積
$(⨁_{𝜆 \in 𝛬} 𝑉_{𝜆}, {𝜄_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$ は直積
$\forall 𝜆 \in 𝛬, 𝜋_{𝜆} \circ 𝜄_{𝜆} = {id}_{𝑉_{𝜆}}$

$𝔤$ -加群のテンソル積

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の包絡代数 $𝑈 (𝔤)$ とその余積 $𝛥$
$𝑈 (𝔤)$ -加群 $𝑉_{1}, 𝑉_{2}$ とそれぞれの表現 $𝜌_{1}, 𝜌_{2}$

を与える．

$𝔤$ -加群 $𝑉_{1}, 𝑉_{2}$ のテンソル積(tensor product)とは，以下で定まる $𝔤$ -加群のこと：

線型空間のテンソル積 $𝑉_{1} \otimes 𝑉_{2}$
$𝑈 (𝔤)$ の表現 $(𝜌_{1} \otimes 𝜌_{2}) \circ 𝛥$ ．つまり， $𝑥 \in 𝔤$ に対して以下で定める： $\forall 𝑣_{1} \in 𝑉_{1}, \forall 𝑣_{2} \in 𝑉_{2}, 𝑥 (𝑣_{1} \otimes 𝑣_{2}) ≔ (𝑥 𝑣_{1}) \otimes 𝑣_{2} + 𝑣_{1} \otimes (𝑥 𝑣_{2})$

$𝔤$ -加群の双対

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群 $𝑉$ と対応する表現 $𝜌$

を与える．

$𝔤$ -加群 $𝑉$ の双対(dual)とは， $𝕂$ に零加群を定めたときの $𝔤$ -加群 ${hom}_{𝕂} (𝑉, 𝕂)$ のこと．つまり以下で定まる $𝔤$ -加群のこと：

双対線型空間 $𝑉^{*} ≔ {hom}_{𝕂} (𝑉, 𝕂)$
$𝔤$ の $𝑉^{*}$ への左作用 $𝑥 𝑓 ≔ - 𝑓 \circ 𝜌 (𝑥)$

同型定理

部分 $𝔤$ -加群・部分表現

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群 $𝑉$
$𝑉$ に対応する表現 $𝜌$

を与える．

部分線型空間 $𝑊 \subseteq 𝑉$ が部分 $𝔤$ -加群( $𝔤$ -submodule)（または部分表現(subrepresentation)）であるとは，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすことを言う：

$𝔤 𝑊 \subseteq 𝑊$
$𝜌 (𝔤) (𝑊) \subseteq 𝑊$

商 $𝔤$ -加群・商表現

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群 $𝑉$
$𝑉$ の部分 $𝔤$ -加群 $𝑊$ と対応する表現 $𝜌$

を与える．

商線型空間 $𝑉 ∕ 𝑊$ が商 $𝔤$ -加群()（または商表現(quotient representation)）であるとは，以下の同値な定義で定まる左作用に関する $𝔤$ -加群のこと：

各 $𝑥 \in 𝔤, 𝑣 + 𝑊 \in 𝑉 ∕ 𝑊$ に対し， $𝑥 (𝑣 + 𝑊) ≔ 𝑥 + 𝑊$
各 $𝑥 \in 𝔤$ に対し，標準射影 $𝑝 : 𝑉 \to 𝑉 ∕ 𝑊$ を合成した表現 $𝑝 \circ 𝜌 (𝑥)$

商加群の普遍性

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群 $𝑉$
$𝑉$ の部分 $𝔤$ -加群 $𝑊$ とその商 $𝔤$ -加群 $𝑉 ∕ 𝑊$

を与えると，

任意の $𝔤$ -加群 $𝑈$
任意の $𝔤$ -加群準同型 $𝑓 : 𝑉 \to 𝑈$

に対し，以下を満たす $𝔤$ -加群準同型 $\overline{𝑓} : 𝑉 ∕ 𝑊 \to 𝑈$ は，のみ： $\overline{𝑓} \circ 𝜋 = 𝑓$

分裂補題・補 $𝔤$ -加群

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群 $𝑉$
$𝑉$ の部分 $𝔤$ -加群 $𝑊$ と包含準同型 $𝑖 : 𝑊 \to 𝑉$
商加群 $𝑉 ∕ 𝑊$ と標準射影 $𝑝 : 𝑉 \to 𝑉 ∕ 𝑊$

を与える．

短完全列 $0 ↪ 𝑊 \overset{𝑖}{↪} 𝑉 \overset{𝑝}{↠} 𝑉 ∕ 𝑊 ↠ 0$ が分裂する(split)とは，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすことを言う：

$𝑖$ は分裂モノ射．つまり，全射加群準同型 $𝑟 : 𝑉 \to 𝑊$ が存在し， $𝑟 \circ 𝑖 = {id}_{𝑊}$ を満たす．
$𝑝$ は分裂エピ射．つまり，単射加群準同型 $𝑠 : 𝑊 ∕ 𝑉 \to 𝑉$ が存在し， $𝑝 \circ 𝑠 = {id}_{𝑉 ∕ 𝑊}$ を満たす．
加群の双積 $𝑊 \oplus (𝑉 ∕ 𝑊)$ は $𝑉$ と加群同型．
$𝑊$ は補 $𝔤$ -加群()を持つ： $𝑉$ の部分 $𝔤$ -加群 $𝑊^{c}$ が存在し， $𝑉$ が加群の双積 $𝑊 \oplus 𝑊^{c}$ と同型となる．

条件の同値性の証明

$𝑖$ が分裂モノ射のとき， ${id}_{𝑉} = ({id}_{𝑉} - 𝑖 \circ 𝑟) + 𝑖 \circ 𝑟$ だが， $𝑟 \circ ({id}_{𝑉} - 𝑖 \circ 𝑟) = 𝑟 - 𝑟 = 0$ と $𝑟$ の全射性より， $\ker 𝑟 + im 𝑖 = 𝑉$ となる．ところで， $\ker (𝑟 \circ 𝑖) = \ker {id}_{𝑊} = 0 \Leftrightarrow \ker 𝑟 \cap im 𝑖 = {0}$ より，これは加群の直積となる．完全列の定義より， $\ker 𝑝 = im 𝑖$ なので， $\ker {𝑝 |}_{\ker 𝑟} = {0}$ は全単射だから加群同型である．なので ${𝑝 |}_{\ker 𝑟}$ は逆準同型 ${𝑝 |}_{\ker 𝑟}^{- 1} : 𝑉 ∕ 𝑊 \to \ker 𝑟$ が存在する．包含準同型 $\ker 𝑟 ↪ 𝑉$ と合成したものを $𝑠$ とすると， $𝑠$ は単射なので， $𝑝 \circ 𝑠 = {𝑝 |}_{\ker 𝑟} \circ {𝑝 |}_{\ker 𝑟}^{- 1} = {id}_{𝑉 ∕ 𝑊}$ となる．つまり， $\ker 𝑟 + im 𝑖 = 𝑉$ は加群の双積となる． $im 𝑖 ≃ 𝑊, \ker 𝑟 = im 𝑠 ≃ 𝑉 ∕ 𝑊$ より， $𝑊 \oplus (𝑉 ∕ 𝑊)$ は加群同型． $𝑠$ が分裂エピ射の場合も同様．
$𝑉 ≃ 𝑊 \oplus (𝑉 ∕ 𝑊)$ ならば， $𝑉 ∕ 𝑊$ は明らかに $𝑊$ の補 $𝔤$ -加群となる．
𝑊 が補 $𝔤$ -加群 𝑊c を持つとき，
- $\ker 𝑝 = im 𝑖 = 𝑊$ より， ${𝑝 |}_{𝑊^{c}} : 𝑊^{c} \to 𝑉 ∕ 𝑊$ は加群同型．よって逆写像 $𝑉 ∕ 𝑊 \to 𝑊^{c}$ が存在する．包含準同型 $𝑊^{c} ↪ 𝑉$ を合成したものを $𝑠$ とすると， $𝑝 \circ 𝑠 = {id}_{𝑊 ∕ 𝑉}$ となる．つまり $𝑠$ は分裂エピ射．
- 同様に，包含準同型 $𝑖 : 𝑊 \to 𝑊$ の逆写像と加群の双積 $𝑊 \oplus 𝑊^{c}$ の射影 $𝑉 ↠ 𝑊$ と合成したものを $𝑟$ とすると， $𝑟 \circ 𝑖 = {id}_{𝑊}$ となる．つまり $𝑖$ は分裂モノ射．

$𝔤$ -加群同型定理

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与えると，以下が成り立つ：

- $𝔤$ -加群 $𝑉, 𝑊$
- 加群準同型 $𝑓 : 𝑉 \to 𝑊$
に対し，
- $\ker 𝑓$ は $𝑉$ の部分 $𝔤$ -加群
- $im 𝑓$ は $𝑊$ の部分 $𝔤$ -加群
- 商 $𝔤$ -加群 $𝑉 ∕ \ker 𝑓$ は $im 𝑓$ と同型．

単純性

単純加群

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤 -$ 加群が単純(simple)であるとは，その部分加群が $0$ と自分自身のちょうど二つであることを言う．
$𝔤 -$ 加群が半単純(semisimple)であるとは，単純加群の直和で表されることを言う．

半単純性と補 $𝔤$ -加群

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与えると，以下は同値：

選択公理
任意の $𝔤 -$ 加群 𝑉 に対し，以下が同値となる：
- $𝑉$ は半単純
- $𝑉$ の任意の部分 $𝔤$ -加群は補 $𝔤$ -加群を持つ．

ただし， $𝑉$ が有限次元等の場合では，選択公理は不要．

証明

𝑉 の半単純 $𝔤$ -加群の集合を semisimp ⁡ (𝑉) とすると，通常の包含（準同型）により半順序集合となる．
- $𝑉$ の任意の部分 $𝔤$ -加群 $𝑊$ ，商 $𝔤$ -加群 $𝑉 ∕ 𝑊$ ，標準射影 $𝑝 : 𝑉 \to 𝑉 ∕ 𝑊$ を与える． $𝑝$ は全射 $𝔤$ -加群準同型なので， $0 ↪ 𝑊 ≃ \ker 𝑝 ↪ 𝑉 ↠ 𝑉 ∕ 𝑊 ↠ 0$ は短完全列となる．ここで部分半順序を $𝑆 ≔ {𝑈 \in semisimp (𝑉) | \ker 𝑝 \cap 𝑈 = {0}}$ と定義する．任意の鎖 $𝑆^{'}$ に対し， $⋃_{𝑈 \in 𝑆^{'}} 𝑈 \in 𝑆$ であり，これは $𝑆$ の上界となる．ゆえにZornの補題より， $𝑆$ は極大元 $𝑊^{'}$ を持つ． $𝑆$ の定義より， $𝑊 + 𝑊^{'}$ は双積である．ここで $𝑊 \oplus 𝑊^{'} \subset 𝑉$ を仮定すると，単純部分 $𝔤$ -加群 $𝑈$ が存在し， $𝑊 \oplus 𝑊^{'} \subset 𝑈 \oplus (𝑊 \oplus 𝑊^{'}) = 𝑊 \oplus (𝑈 \oplus 𝑊^{'})$ を満たすことになり， $𝑊^{'}$ の極大元に矛盾．ゆえに， $𝑊 \oplus 𝑊^{'} = 𝑉$ であり， $𝑊^{'}$ は $𝑊$ の補 $𝔤$ -加群．
- 任意の $semisimp (𝑉)$ の鎖 $𝑆$ に対し， $⋃_{𝑊 \in 𝑆} 𝑊 \in semisimp (𝑉)$ であり，これは $𝑆$ の上界となる．ゆえにZornの補題より， $semisimp (𝑉)$ は極大元 $𝑉^{'}$ を持つ．ここで， $𝑉^{'} \subset 𝑉$ を仮定すると， $𝑉^{'}$ の補 $𝔤$ -加群 ${𝑉^{'}}^{c}$ は ${0}$ でない．ゆえに，単純部分 $𝔤$ -加群 $𝑊$ が存在し， $𝑉^{'} \subset 𝑉^{'} \oplus 𝑊 \subseteq 𝑉$ を満たすが， $𝑉^{'} \oplus 𝑊$ は半単純なので， $𝑉^{'}$ の極大性に矛盾．よって， $𝑉^{'} = 𝑉$ であり， $𝑉$ も半単純．
任意の線型空間 𝑉 は零加群によって， $𝔤$ -加群となる．𝑉 の任意の部分線型空間は，部分 $𝔤$ -加群となる．特に， ∀ ⁡ 𝑣∈𝑉 に対し， 𝕂⁢𝑣 が部分 $𝔤$ -加群となることから，𝑉 の任意の単純部分 $𝔤$ -加群は 1 次元．ゆえに，
- $𝑉$ が基底を持つ
- $𝑉$ の任意の部分線型空間が補空間を持つ
を持つことが同値となる．一般に，任意の基底付き線型空間の任意の部分線型空間が補空間を持つならば，選択公理が成り立つ．

既約（分解不能）表現

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤 -$ 加群が既約(indecomposable)であるとは，非自明な部分加群の直和で表されないことを言う．
$𝔤 -$ 加群が完全可約(completely decomposable)であるとは，既約加群の直和で表されることを言う．
$𝔤 -$ 加群が可約(decomposable)であるとは，非自明な部分表現の直和で表されることを言う．

単純ならば既約

単純ならば既約
半単純ならば完全可約
完全可約ならば可約

Schurの補題

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤 -$ 加群 $𝑉, 𝑊$
非零な $𝔤$ -加群準同型 $𝑓 : 𝑉 \to 𝑊$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝑉$ が単純 $𝔤$ -加群ならば， $𝑓$ は単射．
$𝑊$ が単純 $𝔤$ -加群ならば， $𝑓$ は全射．

証明

加群同型定理より， $\ker 𝑓$ は $𝑉$ の部分 $𝔤$ -加群だが， $𝑉$ が単純 $𝔤$ -加群なので， $\ker 𝑓 = 0, 𝑉$ ．仮定より， $\ker 𝑓 = 𝑉$ ．つまり単射．
加群同型定理より， $im 𝑓$ は $𝑊$ の部分 $𝔤$ -加群だが， $𝑊$ が単純 $𝔤$ -加群なので， $im 𝑓 = 0, 𝑊$ ．仮定より， $im 𝑓 = 𝑊$ ．つまり全射．

代数閉体上のSchurの補題

代数閉体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
有限次元単純 $𝔤 -$ 加群 $𝑉$
$𝔤$ -加群自己準同型 $𝑓 : 𝑉 \to 𝑉$

を与えると， $𝑓$ はスカラー倍： $\exists 𝜆 \in 𝕂, 𝑓 = 𝜆 {id}_{𝑉}$ 特に， $(\dim 𝑉) 1_{𝕂} \neq 0$ ならば， $𝑓 = \frac{tr 𝑓}{\dim 𝑉} {id}_{𝑉}$

証明

Schurの補題より， $𝑓$ は加群同型か零． $𝑉$ が有限次元なので，必ず固有値 $𝜆 \in 𝕂$ を持つ．このとき， $𝑓 - 𝜆 {id}_{𝑉} : 𝑉 \to 𝑉$ もまた $𝔤 -$ 加群準同型だが，固有値の定義より $\det (𝑓 - 𝜆 {id}_{𝑉}) = 0$ ．よって， $𝑓 - 𝜆 {id}_{𝑉} = 0 \Leftrightarrow 𝑓 = 𝜆 {id}_{𝑉}$ ．両辺の跡を取ると， $tr 𝑓 = 𝜆 \dim 𝑉$ となる．

代数閉体上の可換Lie代数上の有限次元単純表現

代数閉体 $𝕂$
$𝕂$ 上の可換Lie代数 $𝔤$

を与えると，任意の有限次元単純 $𝔤 -$ 加群 $𝑉$ は1次元．

証明

$𝔤 -$ 加群 $𝑉$ の対応する表現を $𝜌 : 𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝑉)$ とする． $𝔤$ が可換なので， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対し， $\forall 𝑦 \in 𝔤, \forall 𝑣 \in 𝑉, 𝜌 (𝑥) (𝑦 𝑣) = 𝜌 (𝑥) 𝜌 (𝑦) 𝑣 = 𝑦 (𝜌 (𝑥) 𝑣)$ より， $𝜌 (𝑥) : 𝑉 \to 𝑉$ は $𝔤$ -加群準同型．よって，代数閉体上のSchurの補題より， $𝑓 (𝑥)$ はスカラー倍．よって， $\forall 𝑣 \in 𝑉$ に対する $𝕂 𝑣$ は部分 $𝔤$ -加群． $𝑉$ は単純 $𝔤$ -加群なので， $\forall 𝑣 \in 𝑉, 𝕂 𝑣 = 0, 𝑉 \Leftrightarrow \dim 𝑉 = 0, 1$ となる．単純 $𝔤$ -加群は定義より非零なので， $\dim 𝑉 = 1$ となる．

有限次元加群

跡形式

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
有限次元 $𝔤$ -加群 $𝑉$ と対応する表現 $𝜌$

を与える．

$𝜌$ に関する跡形式(trace form)とは，以下の $𝔤$ 上の不変形式のこと： $𝛽_{𝜌} : 𝔤 Π 𝔤 \to 𝕂, (𝑥, 𝑦) \mapsto tr (𝜌 (𝑥) \circ 𝜌 (𝑦))$

不変形式になることの証明

跡の巡回性より対称双線型形式．再び跡の巡回性より $\begin{matrix} 𝛽 (𝑥, [𝑦, 𝑧]) & = & tr (𝜌 (𝑥) \circ 𝜌 ([𝑦, 𝑧])) \\ = & tr (𝜌 (𝑥) \circ 𝜌 (𝑦) \circ 𝜌 (𝑧)) - tr (𝜌 (𝑥) \circ 𝜌 (𝑧) \circ 𝜌 (𝑦)) \\ = & tr (𝜌 (𝑥) \circ 𝜌 (𝑦) \circ 𝜌 (𝑧)) - tr (𝜌 (𝑦) \circ 𝜌 (𝑥) \circ 𝜌 (𝑧)) \\ = & tr (𝜌 ([𝑥, 𝑦]) \circ 𝜌 (𝑧)) \\ = & 𝛽 ([𝑥, 𝑦], 𝑧) \end{matrix}$ より不変形式となる．

Killing形式

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元Lie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ のKilling形式(Killing form)とは，随伴表現に関する跡形式のこと： $𝜅 : 𝔤 Π 𝔤 \to 𝕂, (𝑥, 𝑦) \mapsto tr (ad (𝑥) \circ ad (𝑦))$

三角分解を持つLie代数

可換Lie代数上のウェイト加群

Lie代数 $𝔤$ 上の加群 $𝑉$ に対し， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ の作用が固有空間分解できるとは，対応する表現 $𝜌 : 𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝑉)$ が以下のような分解の直積になることと考えられる： $𝔤 \to 𝕂 \to 𝔤𝔩 (𝑉_{𝜆})$ この分解は線型写像としての分解だが，より性質の良いLie代数準同型としての分解となる場合を考える（所謂「同時対角化」に近いものだが，それよりも条件が強いことがあとで分かる）．1次元Lie代数 $𝕂$ は可換なので，さらに可換Lie代数への準同型の分解が考えられる： $𝔤 ↠ 𝔤 ∕ [𝔤, 𝔤] \to 𝕂 \to 𝔤𝔩 (𝑉_{𝜆})$ 特に， $𝔤 ∕ [𝔤, 𝔤] \to 𝕂$ は双対線型空間のことであった．以下では，可換Lie代数の場合を考える．このとき， $𝔤 ≃ 𝔤 ∕ [𝔤, 𝔤]$ となる．

可換Lie代数のウェイト

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の可換Lie代数 $𝔤$
$𝔤$ の表現 $(𝑉, 𝜌)$
$𝔤$ の双対線型空間 $𝔤^{*}$

を与える．

$𝜌$ のウェイト(weight) $𝜆 \in 𝔤^{*}$ のウェイトベクトル(weight vector)とは， $𝑣 \in 𝑉 ∖ 0$ であって， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対し，固有値 $𝜆 (𝑥)$ の固有ベクトルとなるもののこと．つまり，以下を満たすもののこと： $\forall 𝑥 \in 𝔤, 𝜌 (𝑥) 𝑣 = 𝜆 (𝑥) 𝑣$
$𝜌$ のウェイト $𝜆$ のウェイト空間(weight space)とは，ウェイトベクトルと零ベクトルの集合がなす $𝕂$ -線型空間のこと： $𝑉_{𝜆} ≔ {𝑣 \in 𝑉 | \forall 𝑥 \in 𝔤, 𝜌 (𝑥) 𝑣 = 𝜆 (𝑥) 𝑣}$
$𝑉$ がウェイト空間の直和になるとき， $𝑉$ をウェイト加群(weight module)と呼ぶ．

可換Lie代数のウェイト空間の基本性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の可換Lie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群 $𝑉$ と対応する表現 $𝜌$

を与えると，以下が成り立つ：

ウェイト空間の和は直和．
- $𝔤$ -加群 $𝑊$
- $𝔤$ -加群準同型 $𝑓 : 𝑉 \to 𝑊$
- $𝜆 \in 𝔤^{*}$ に対する $𝑉, 𝑊$ それぞれのウェイト空間 $𝑉_{𝜆}, 𝑊_{𝜆}$
- $𝑉, 𝑊$ それぞれのウェイトの集合 $Wt (𝑉), Wt (𝑊) \subseteq 𝔤^{*}$
を与えると，
- $𝑉_{𝜆}$ の $𝑓$ による像 $𝑓 (𝑉_{𝜆})$ は $𝑊_{𝜆}$ の部分線型空間．
- $𝑉$ がウェイト加群ならば， $𝑓$ の像 $𝑓 (𝑉)$ もウェイト加群： $𝑓 (𝑉) = ⨁_{𝜆 \in Wt (𝑉)} 𝑓 (𝑉_{𝜆})$
特に，𝑓 が全射ならば，
- $𝑓 (𝑉_{𝜆}) = 𝑊_{𝜆}$
- $𝑉$ がウェイト加群ならば， $𝑊$ もウェイト加群： $𝑊 = ⨁_{𝜆 \in Wt (𝑉)} 𝑓 (𝑉_{𝜆})$
𝑉 がウェイト加群ならば，
- $𝑉$ の任意の部分 $𝔤$ -加群はウェイト加群．
- $𝑉$ の任意の商 $𝔤$ -加群はウェイト加群．
- $𝑉$ のウェイト $𝜆 \in 𝔤^{*}$ のウェイト空間 $𝑉_{𝜆}$ が有限次元ならば，部分 $𝔤$ -加群 $𝑊$ とその商 $𝔤$ -加群 $𝑉 ∕ 𝑊$ に対し，以下が成り立つ： $\dim 𝑉_{𝜆} = \dim 𝑊_{𝜆} + \dim {(𝑉 ∕ 𝑊)}_{𝜆}$
𝑉 がウェイト加群ならば，以下はウェイト加群：
- $𝔤$ の任意の部分Lie代数が誘導する加群
- $𝔤$ のイデアル $𝔦$ であって， $𝔦 \subseteq \ker 𝜌$ を満たすものに対し，商Lie代数 $𝔤 ∕ 𝔦$ が誘導する加群 $\overline{𝜌} : 𝔤 ∕ 𝔦 \to 𝔤𝔩 (𝑉)$

証明

ウェイト $𝜆, 𝜆^{'} \in 𝔤^{*}$ に対し，共通のウェイトベクトル $𝑣 \in 𝑉_{𝜆} \cap 𝑉_{𝜆^{'}} ∖ {0}$ をとると， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対し， $𝑥 𝑣 = 𝜆 (𝑥) = 𝜆^{'} (𝑥) \Leftrightarrow (𝜆 (𝑥) - 𝜆^{'} (𝑥)) 𝑣 = 0$ となるから， $𝑣 \neq 0$ より $𝜆 = 𝜆^{'}$ となる．
- $𝔤$ -加群準同型の定義より， $\forall 𝜆 \in 𝔤^{*}, \forall 𝑣 \in 𝑉_{𝜆}, \forall 𝑥 \in 𝔤, 𝑥 𝑓 (𝑣) = 𝑓 (𝑥 𝑣) = 𝜆 (𝑥) 𝑓 (𝑣)$ を満たすので， $𝑓 (𝑉_{𝜆}) \subseteq 𝑊_{𝜆}$ となる．
- $𝔤$ -加群同型定理より， $𝑓$ の像 $𝑓 (𝑉)$ は $𝑊$ の部分 $𝔤$ -加群． $𝑉$ がウェイト加群ならば， $𝑓 (𝑉) = 𝑓 (⨁_{𝜆 \in 𝔤^{*}} 𝑉_{𝜆}) = ⨁_{𝜆 \in 𝔤^{*}} 𝑓 (𝑉_{𝜆})$ より $𝑓 (𝑉)$ もウェイト加群．
- $𝑓$ が全射ならば， $𝑊 = 𝑓 (𝑉)$ はウェイト加群．
𝑊 を 𝑉 の部分 $𝔤$ -加群とする．
- $𝑊 = 𝑊 \cap 𝑉 = ⨁_{𝜆 \in 𝔤^{*}} 𝑊 \cap 𝑉_{𝜆}$ より， $𝑊$ はウェイト加群．
- 標準射影 $𝑝 : 𝑉 \to 𝑉 ∕ 𝑊$ は全射な $𝔤$ -加群準同型なので， $𝑉 ∕ 𝑊$ はウェイト加群．
- $𝑉_{𝜆}$ が有限次元ならば， $𝑊_{𝜆} = 𝑉_{𝜆} \cap 𝑊, {(𝑉 ∕ 𝑊)}_{𝜆} = 𝑝 (𝑉_{𝜆})$ も有限次元．特に，全射な $𝔤$ -加群準同型から自然に定まる加群準同型 $𝑝_{𝜆} : 𝑉_{𝜆} \to {(𝑉 ∕ 𝑊)}_{𝜆}$ の核は $𝑊_{𝜆}$ なので， $𝑉_{𝜆} ∕ 𝑊_{𝜆} ≃ {(𝑉 ∕ 𝑊)}_{𝜆}$ となる．よって特に， $\dim 𝑉_{𝜆} = \dim 𝑊_{𝜆} + \dim {(𝑉 ∕ 𝑊)}_{𝜆}$
- ウェイト加群の定義より自明．
- $𝔦 \subseteq \ker 𝜌$ より，任意のウェイト $𝜆 \in 𝔤^{*} = {hom}_{𝕂} (𝔤, 𝕂)$ に対し， $𝔦 \subseteq \ker 𝜆$ となる．よって，商線型空間の普遍性より以下を満たす： $\forall 𝜆 \in 𝔤^{*}, \exists! \overline{𝜆} \in {(𝔤 ∕ 𝔦)}^{*}, \forall 𝑥 \in 𝔤, \forall 𝑣 \in 𝑉_{𝜆}, \overline{𝜌} (𝑥 + 𝔦) 𝑣 = 𝜌 (𝑥) 𝑣 = 𝜆 (𝑥) 𝑣 = \overline{𝜆} (𝑥 + 𝔦) 𝑣$

可換Lie代数上のウェイト加群準同型

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の可換Lie代数 $𝔤$
ウェイト $𝔤$ -加群 $𝑉, 𝑊$
線型写像 $𝑓 : 𝑉 \to 𝑊$

を与えると，以下は同値：

$𝑓$ は $𝔤$ -加群準同型
$𝑓$ はウェイトを保つ： $\forall 𝑥 \in 𝔤, \forall 𝜆 \in 𝔤^{*}, \forall 𝑣 \in 𝑉_{𝜆}, 𝑥 𝑓 (𝑣) = 𝜆 (𝑥) 𝑓 (𝑣)$

証明

いずれの場合でも， $𝑓$ は線型写像なので， $\forall 𝑥 \in 𝔤, 𝜆 \in 𝔤^{*}, \forall 𝑣 \in 𝑉_{𝜆}, 𝜆 (𝑥) 𝑓 (𝑣) = 𝑓 (𝑥 𝑣)$ が成り立つ． $𝑓$ が加群 $𝔤$ -準同型ならば， $𝑓 (𝑥 𝑣) = 𝑥 𝑓 (𝑣)$ が言え，逆に， $𝑥 𝑓 (𝑣) = 𝜆 (𝑥) 𝑓 (𝑣)$ が成り立つならば， $𝑓$ は加群 $𝔤$ -準同型．

可換Lie代数上の局所有限ウェイト加群

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の可換Lie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群 $𝑉$ と対応する表現 $𝜌$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝑉$ がウェイト加群ならば， $\forall 𝑥 \in 𝑋$ に対し， $𝑥$ の $𝑉$ への作用 $𝜌 (𝑥)$ は $𝕂$ 上対角化可能．
𝑉 が局所有限 $𝔤$ -加群ならば，以下は同値：
- $𝑉$ はウェイト加群
- $\forall 𝑥 \in 𝑋$ に対し， $𝑥$ の $𝑉$ への作用 $𝜌 (𝑥)$ は $𝕂$ 上対角化可能
特に，𝔤 または 𝑉 が有限次元ならば，上の同値性が成り立つ．

証明

定義より明らか．
ゆえに， $𝜌 (𝑥)$ が対角化可能ならば $𝑉$ はウェイト $𝔤 -$ 加群となることを示せばよい． $\forall 𝑣 \in 𝑉$ を一つ固定する．

局所有限性の定義より， $𝑉$ の部分 $𝔤$ -加群 $𝑊 ≔ 𝑈 (𝔤) 𝑣$ は有限次元だから， ${𝜌 (𝔤) |}_{𝑊}$ も高々 ${(\dim 𝑊)}^{2}$ 次元．ゆえに有限次元（可換）部分Lie代数 $𝔥 \subseteq 𝔤$ であって， ${𝜌 (𝔥) |}_{𝑊} = {𝜌 (𝔤) |}_{𝑊}$ を満たすものが存在する． $𝑊$ がウェイト $𝔥$ -加群となることを $\dim 𝔥$ の数学的帰納法で示す：
- $\dim 𝔥 = 0, 1$ のときは明らか．
- 一般の $\dim 𝔥$ に対し， $𝔥$ の基底 $𝑋$ を一つ与え， $𝑥 \in 𝑋$ を固定し， ${𝜌 (𝑥) |}_{𝑊}$ の固有値 $𝑐 \in 𝕂$ の固有空間を $𝑊_{𝑐}$ とすると，仮定より $𝑊$ は固有空間分解を持つ： $𝑊 = ⨁_{𝑐 \in 𝕂} 𝑊_{𝑐}$ $𝔥^{'} ≔ ⨁_{𝑦 \in 𝑋 ∖ 𝑥} (𝕂 𝑦)$ とすると， $\forall 𝑐 \in 𝕂, \forall 𝑤 \in 𝑊_{𝑐}, \forall 𝑦 \in 𝔥^{'}, 𝑥 𝑦 𝑤 = 𝑦 𝑥 𝑤 = 𝑐 𝑦 𝑤$ なので，各固有空間 $𝑊_{𝑐}$ は部分 $𝔥^{'}$ -加群である． $\dim 𝔥^{'} = \dim 𝔥 - 1$ なので，帰納法の仮定よりウェイト空間分解を持つ： $𝑊_{𝑐} = ⨁_{𝜇 \in {𝔥^{'}}^{*}} 𝑊_{𝑐, 𝜇}$ よって， $𝜆 \in 𝔥^{*}$ を $𝜆 (𝑥) = 𝑐, {𝜆 |}_{𝔥^{'}} = 𝜇$ を線型に拡張したものとして定義できることに注意すると， $𝑊_{𝜆} ≔ 𝑊_{𝜆 (𝑥), {𝜆 |}_{𝔥^{'}}}$ によって $𝑊$ はウェイト空間分解される．
${𝜌 (𝔥) |}_{𝑊}$ は ${𝜌 (𝔤) |}_{𝑊}$ を張るから， $𝑊$ はウェイト $𝔤$ -加群にもなる．よって， $𝑣 \in 𝑊 \subset 𝑉$ は $𝑊$ のウェイトベクトルの線型結合で表せるが，これは $𝑉$ のウェイトベクトルでもある．つまり， $𝑣 \in 𝑉$ は $𝑉$ のウェイトベクトルの線型結合で表せる．以上が $\forall 𝑣 \in 𝑉$ に対して成り立つので， $𝑉$ はウェイト $𝔤$ -加群

$𝔤$ が有限次元のとき，対角化可能ならば局所有限であることに注意すると， $𝑉$ は局所有限 $𝔤$ -加群となる．

$𝑉$ が有限次元のときは明らかに，局所有限 $𝔤$ -加群となる．

ウェイト加群・トーラスとルート

ウェイト

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の可換な部分Lie代数 $𝔤_{0}$
$𝔤$ -加群 $𝑉$ と対応する表現 $𝜌$

を与える．

$𝔤_{0}$ に関する $𝜌$ のウェイト(weight)とは， $𝔤_{0}$ -加群 $𝑉$ のウェイト $𝜆 \in {𝔤_{0}}^{*}$ のこと．
$𝔤_{0}$ に関する $𝜌$ のウェイト $𝜆$ のウェイトベクトル(weight vector)とは， $𝔤_{0}$ -加群 $𝑉$ のウェイトベクトル $𝑣 \in 𝑉$ のこと．
$𝔤_{0}$ に関する $𝜌$ のウェイト $𝜆$ のウェイト空間(weight space)とは， $𝔤_{0}$ -加群 $𝑉$ のウェイト空間 $𝑉_{𝜆} \subseteq 𝑉$ のこと．
$𝔤$ -加群 $𝑉$ がウェイト加群(weight module)であるとは， $𝔤_{0}$ -加群としてウェイト加群であることを言う．つまり， $𝕂$ -線型空間 $𝑉$ がウェイト空間の直和に分解される： $𝑉 = \underset{𝜆 \in {𝔤_{0}}^{*}}{∐} 𝑉_{𝜆}$

ウェイト空間の基本性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の可換な部分Lie代数 $𝔤_{0}$
$𝔤$ -加群 $𝑉$ と対応する表現 $𝜌$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝔤_{0}$ に関するウェイト空間の和は直和．
- $𝔤$ -加群 $𝑊$
- $𝔤$ -加群準同型 $𝑓 : 𝑉 \to 𝑊$
- $𝜆 \in {𝔤_{0}}^{*}$ と対する $𝑉, 𝑊$ それぞれの $𝔤_{0}$ に関するウェイト空間 $𝑉_{𝜆}, 𝑊_{𝜆}$
- $𝑉, 𝑊$ それぞれのウェイトの集合 $Wt (𝑉), Wt (𝑊) \subseteq {𝔤_{0}}^{*}$
を与えると，
- $𝑉_{𝜆}$ の $𝑓$ による像 $𝑓 (𝑉_{𝜆})$ は $𝑊_{𝜆}$ の部分線型空間．
- $𝑉$ が $𝔤_{0}$ に関するウェイト加群ならば， $𝑓$ の像 $𝑓 (𝑊)$ も $𝔤_{0}$ に関するウェイト加群： $𝑓 (𝑉) = ⨁_{𝜆 \in Wt (𝑉)} 𝑓 (𝑉_{𝜆})$
特に，𝑓 が全射ならば，
- $𝑓 (𝑉_{𝜆}) = 𝑊_{𝜆}$
- $𝑉$ が $𝔤_{0}$ に関するウェイト加群ならば， $𝑊$ も $𝔤_{0}$ に関するウェイト加群： $𝑊 = ⨁_{𝜆 \in Wt (𝑉)} 𝑓 (𝑉_{𝜆})$ 特に， $Wt (𝑊) \subseteq Wt (𝑉)$
𝑉 が 𝔤0 に関するウェイト加群ならば，
- $𝑉$ の任意の部分 $𝔤$ -加群は $𝔤_{0}$ に関するウェイト加群．
- $𝑉$ の任意の商 $𝔤$ -加群は $𝔤_{0}$ に関するウェイト加群．
- $𝑉$ のウェイト $𝜆 \in 𝔤^{*}$ のウェイト空間 $𝑉_{𝜆}$ が有限次元ならば， $𝑉$ の部分 $𝔤$ -加群 $𝑊$ とその商 $𝔤$ -加群 $𝑉 ∕ 𝑊$ に対し，以下が成り立つ： $\dim 𝑉_{𝜆} = \dim 𝑊_{𝜆} + \dim {(𝑉 ∕ 𝑊)}_{𝜆}$
𝑉 が 𝔤0 に関するウェイト加群ならば，
- $𝔤$ の部分Lie代数 $𝔥$ に対し， $𝔥$ が誘導する加群は $𝔤_{0} \cap 𝔥$ に関するウェイト加群．
- $𝔤$ のイデアル $𝔦$ であって， $𝔦 \subseteq \ker 𝜌$ を満たすものに対し，商Lie代数 $𝔤 ∕ 𝔦$ が誘導する加群は， $𝔤_{0} ∕ (𝔤_{0} \cap 𝔦)$ に関するウェイト加群．

証明

可換Lie代数のウェイト空間の基本性質の証明と同様．

ウェイト加群の指標

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の可換な部分Lie代数 $𝔤_{0}$
$𝔤_{0}$ に関するウェイト $𝔤$ -加群 $𝑉 = \sum_{𝜆 \in 𝔤_{0}^{*}} 𝑉_{𝜆}$ で全てのウェイト空間が有限次元なもの．

を与える．

$𝑉$ の指標(character)とは，以下の $ℕ_{0}$ 値の形式的冪級数のこと： $ch 𝑉 ≔ \sum_{𝜆 \in 𝔤_{0}^{*}} (\dim 𝑉_{𝜆}) 𝑒^{𝜆}$

トーラス

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

$𝔤$ のトーラス(toral subalgebra)であるとは，可換な（有限次元?）部分Lie代数 $𝔥$ であって， $\forall 𝑥 \in 𝔥$ に対し， ${ad}_{𝔤} 𝑥$ が半単純変換となるものを言う．
トーラスのうち極大なものを極大トーラス(maximal toral subalgebra)と呼ぶ．
$𝔤$ の分裂トーラス(split toral subalgebra)であるとは，（有限次元?）部分Lie代数 $𝔥$ であって， $\forall 𝑥 \in 𝔥$ に対し， ${ad}_{𝔤} 𝑥$ が対角化可能なものを言う．
分裂トーラスのうち極大なものを極大分裂トーラス(maximal split toral subalgebra)と呼ぶ．

分裂トーラスはトーラス

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝔤$ の任意の分裂トーラスはトーラス
$𝕂$ が代数閉体ならば， $𝔤$ の任意のトーラスは分裂トーラス

証明

$𝕂$ 上対角化可能ならば，半単純変換，つまり $𝕂$ の代数閉包上対角化可能となるのは明らか． $𝔥$ を $𝔤$ の分裂トーラスとすると， $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔥$ に対し，有限集合 $𝛬 \subseteq 𝕂$ が存在し， $𝑦$ は ${ad}_{𝔤} 𝑥$ の固有ベクトルの有限和で $𝑦 = \sum_{𝜆 \in 𝛬} 𝑣_{𝜆}$ と書ける．ところで， $𝔥$ は部分Lie代数だから， $\forall 𝑛 \in ℕ_{0}$ に対し， ${(ad 𝑥)}^{𝑛} 𝑦 = \sum_{𝜆 \in 𝛬} 𝜆^{𝑛} 𝑣_{𝜆} \in 𝔥$ を満たすから， $𝑣_{𝜆} \in 𝔥$ となる．つまり， ${ad}_{𝔥} 𝑥$ は対角化可能．可換Lie代数の定義の一つより，分裂トーラスは可換．
半単純変換の定義（の一つ）より明らか．

ルート

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の可換な部分Lie代数 $𝔤_{0}$

を与える．

$𝔤_{0}$ に関する随伴表現 $ad$ のウェイトのことをルート(root)と呼ぶ．
$𝔤_{0}$ に関する随伴表現 $ad$ のウェイト空間のことをルート空間(root space)と呼ぶ．
$𝔤_{0}$ が分裂トーラスとなるとき，随伴表現 $ad$ により， $𝔤$ が $𝔤_{0}$ に関するルート空間の直和になる．この直和を（ $𝔤_{0}$ に関する） $𝔤$ のルート空間分解(root space decomposition)と呼ぶ： $𝔤 = ⨁_{𝛼 \in {𝔤_{0}}^{*}} 𝔤_{𝜆}$

ルートの性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の分裂トーラス $𝔤_{0}$

を与えると，以下が成り立つ：

- $𝔤_{0} \subseteq 𝔤_{𝜆 = 0}$
- 以下は同値：
  - $𝔤_{0} = 𝔤_{𝜆 = 0}$
  - $𝔤_{0}$ の中心化Lie代数は自分自身
  特に，このとき 𝔤0 は極大分裂トーラスかつ極大トーラス
任意の $𝔤$ のイデアルに対し，商Lie代数 $𝔤 ∕ 𝔦$ は $𝔤_{0} ∕ (𝔤_{0} \cap 𝔦)$ に関するルート空間分解を持つ： $𝔤 ∕ 𝔦 = ⨁_{𝜆 \in {(𝔤_{0} ∕ (𝔤_{0} \cap 𝔦))}^{*}} {(𝔤 ∕ 𝔦)}_{𝜆}$
- 任意の $𝔤$ -加群 $𝑉$
- 任意の $𝑉$ のウェイト $𝜆 \in {𝔤_{0}}^{*}$ のウェイト空間 $𝑉_{𝜆}$
- 任意のルート $𝛼 \in {𝔤_{0}}^{*}$ とそれぞれのルート空間 $𝔤_{𝛼}$
に対し，以下が成り立つ： 𝔤𝛼 ⁡ 𝑉𝜆 ⊆ 𝑉 𝜆+𝛼
任意のルート $𝛼, 𝛽 \in {𝔤_{0}}^{*}$ とそれぞれのルート空間 $𝔤_{𝛼}, 𝔤_{𝛽}$ に対し，以下が成り立つ： $𝔤_{𝛼} 𝔤_{𝛽} \subseteq 𝔤_{𝛼 + 𝛽}$

証明

- 可換Lie代数の定義（の一つ）より自明．
- 中心化Lie代数の定義と，極大トーラスがトーラスで，トーラスが可換であることより自明．
いろいろな定義より自明．
標準射影 $𝑝 : 𝔤 \to 𝔤 ∕ 𝔦$ はLie代数準同型なので， ${ad}_{𝔤 ∕ 𝔦} \circ 𝑝 : 𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝔤 ∕ 𝔦)$ は $𝔤$ -加群であり， $𝑝$ は ${ad}_{𝔤}$ からの加群準同型となる．ウェイト空間の基本性質より，これは $𝔤_{0}$ に関するウェイト空間分解を持つ： $𝔤 ∕ 𝔦 = ⨁_{𝜆 \in {𝔤_{0}}^{*}} {(𝔤 ∕ 𝔦)}_{𝜆}$ $𝔦 = \ker 𝑝 \subseteq \ker {ad}_{𝔤 ∕ 𝔦} \circ 𝑝$ より， ${ad}_{𝔤 ∕ 𝔦} \circ 𝑝$ は部分Lie代数が誘導する加群を持つが，これは商Lie代数の普遍性より一意的に定まるので， ${ad}_{𝔤 ∕ 𝔦}$ である．ウェイト空間の基本性質より， ${ad}_{𝔤 ∕ 𝔦}$ は $𝔤_{0} ∕ (𝔤_{0} \cap 𝔦)$ に関するルート空間分解を持つ．
$\forall 𝑣 \in 𝑉_{𝜆}, \forall 𝑥 \in 𝔤_{𝛼}, \forall ℎ \in 𝔤_{0}, ℎ (𝑥 𝑣) = 𝑥 (ℎ 𝑣) + 𝛼 (ℎ) 𝑥 𝑣 = 𝜆 (ℎ) 𝑥 𝑣 + 𝛼 (ℎ) 𝑥 𝑣 = (𝜆 + 𝛼) (ℎ) (𝑥 𝑣)$
ルートは随伴表現のウェイトのことだったので明らか．

$𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ の有限次元表現

部分Lie代数が $2$ 次元の特殊線型Lie代数 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ となった場合に備えて（？），その表現を考える．基本的には性質の良い有限次元表現を考える．

$𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ の基本性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の $2$ 次元特殊線型Lie代数 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$
$𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ の標準基底 ${ℎ_{+} ≔ 𝑒_{0, 1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}), ℎ_{-} ≔ 𝑒_{1, 0} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}), ℎ ≔ ℎ_{0} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})}$

を与えると，以下が成り立つ：

$[ℎ, ℎ_{+}] = 2 ℎ_{+}, [ℎ, ℎ_{-}] = - 2 ℎ_{-}, [ℎ_{+}, ℎ_{-}] = ℎ$
$𝔥 ≔ 𝕂 ℎ$ を極大分裂トーラスとするルート空間分解を持つ： $𝔰𝔩 (2, 𝕂) = {\begin{matrix} {𝔰𝔩 (2, 𝕂)}_{- 2} \oplus 𝔥 \oplus {𝔰𝔩 (2, 𝕂)}_{2} & char 𝕂 \neq 2 \\ {𝔰𝔩 (2, 𝕂)}_{0} & char 𝕂 = 2 \end{matrix}$ ただし， ${𝔰𝔩 (2, 𝕂)}_{\pm 2} ≔ 𝕂 ℎ_{\pm}$
線型写像 $𝜃 : 𝔰𝔩 (2, 𝕂) \to 𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ を $𝜃 (ℎ_{\pm}) ≔ ℎ_{\mp}, 𝜃 (ℎ) ≔ - ℎ$ を線型に拡張したものとして定義すると， $𝜃$ はLie代数自己同型
$\forall 𝑛 \in ℕ_{0}$ に対し， $ℎ_{+} {ℎ_{-}}^{𝑛} = {ℎ_{-}}^{𝑛} ℎ_{+} + 𝑛 (ℎ + 𝑛 - 1) {ℎ_{-}}^{𝑛 - 1} = {ℎ_{-}}^{𝑛} ℎ_{+} + 𝑛 {ℎ_{-}}^{𝑛 - 1} (ℎ - 𝑛 + 1)$
$𝑈 (𝔰𝔩 (2, 𝕂))$ の中心を $𝑍 (𝑈 (𝔰𝔩 (2, 𝕂)))$ とすると， $𝛺_{2} ≔ ℎ^{2} + 2 ℎ + 4 ℎ_{-} ℎ_{+} = ℎ^{2} + 2 ℎ_{+} ℎ_{-} + 2 ℎ_{-} ℎ_{+} \in 𝑍 (𝑈 (𝔰𝔩 (2, 𝕂)))$
$𝕂$ の標数が $2$ でないならば， $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ は単純Lie代数．

証明

ほぼ自明な計算
明らか．
$\begin{matrix} [𝑓 (ℎ), 𝑓 (ℎ_{\pm})] & = & [- ℎ, ℎ_{\mp}] & = & \pm 2 ℎ_{\mp} & = & 𝑓 ([ℎ, ℎ_{\pm}]) \\ [𝑓 (ℎ_{+}), 𝑓 (ℎ_{-})] & = & [ℎ_{-}, ℎ_{+}] & = & - ℎ & = & 𝑓 ([ℎ_{+}, ℎ_{-}]) \end{matrix}$
$𝑛 = 0, 1$ は明らか． $[ℎ_{+}, {ℎ_{-}}^{𝑛}] = ℎ {ℎ_{-}}^{𝑛 - 1} + ℎ_{-} [ℎ_{+}, {ℎ_{-}}^{𝑛 - 1}] = ℎ {ℎ_{-}}^{𝑛 - 1} + ℎ_{-} (𝑛 - 1) (ℎ + 𝑛 - 2) {ℎ_{-}}^{𝑛 - 2} = ℎ {ℎ_{-}}^{𝑛 - 1} + (𝑛 - 1) (ℎ + 2) {ℎ_{-}}^{𝑛 - 1} + (𝑛 - 1) (𝑛 - 2) {ℎ_{-}}^{𝑛 - 1} = 𝑛 ℎ {ℎ_{-}}^{𝑛 - 1} + (𝑛 - 1) 𝑛 {ℎ_{-}}^{𝑛 - 1} = 𝑛 (ℎ + 𝑛 - 1) {ℎ_{-}}^{𝑛 - 1}$ より最初の等号は一般に成り立つ．また， $[ℎ, {ℎ_{\pm}}^{𝑛}] = \sum_{𝑖 \in 𝑛} {ℎ_{\pm}}^{𝑖} [ℎ, ℎ_{\pm}] {ℎ_{\pm}}^{𝑛 - 1 - 𝑖} = \pm 2 \sum_{𝑖 \in 𝑛} {ℎ_{\pm}}^{𝑛 - 1} = \pm 2 (𝑛 - 1) {ℎ_{\pm}}^{𝑛 - 1}$ より後ろの等号も成り立つ．
$[ℎ, 𝛺_{2}] = 4 (ℎ ℎ_{-} ℎ_{+} - ℎ_{-} ℎ_{+} ℎ) = 4 ((ℎ_{-} ℎ ℎ_{+} - 2 ℎ_{-} ℎ_{+}) - (ℎ_{-} ℎ ℎ_{+} - 2 ℎ_{-} ℎ_{+})) = 0$ $[ℎ_{\pm}, 𝛺_{2}] = ([ℎ_{\pm}, ℎ] ℎ + ℎ [ℎ_{\pm}, ℎ]) + 2 ℎ_{\pm} [ℎ_{\pm}, ℎ_{\mp}] + 2 [ℎ_{\pm}, ℎ_{\mp}] ℎ_{\pm} = (- 2 ℎ_{+} ℎ - 2 ℎ ℎ_{+}) + 2 ℎ_{\pm} ℎ + 2 ℎ ℎ_{\pm} = 0$
$𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ の任意の非零なイデアル $𝔦$ を一つとる． $\forall 𝑥 \in 𝔦 ∖ {0}$ に対し，基底で展開する： $𝑥 = 𝑎 ℎ_{+} + 𝑏 ℎ + 𝑐 ℎ_{-}$ $𝑥 \neq 0$ より， $𝑎, 𝑏, 𝑐$ のいずれかは $0$ でない．ゆえに，よってイデアルの定義より， $𝑎 ℎ_{+}, [ℎ_{+}, 𝑥] = - 2 𝑏 ℎ_{+}, [ℎ_{+}, [ℎ_{+}, 𝑥]] = - 2 𝑐 ℎ_{+}, \in 𝔦$ の少なくともいずれかが成り立つ． $𝕂$ の標数は奇素数または $0$ なので， $ℎ_{+} \in 𝔦$ となる．ゆえに， $- \frac{1}{2} [ℎ_{-}, ℎ_{+}] = ℎ, \frac{1}{2} [ℎ_{-}, ℎ] = ℎ_{-} \in 𝔦$ となるから， $𝔦 = 𝔤$ ．よって単純Lie代数となる．

極大分裂トーラス $𝔥$ が1次元だから $𝔥^{*} ≃ 𝕂$ であり， $𝔥$ に関するウェイトを考える代わりに， $ℎ$ の固有値を考えれば十分である．

2次元特殊線型Lie代数の有限次元単純ウェイト加群

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の $2$ 次元特殊線型Lie代数 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$
$𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ の標準基底 ${ℎ_{+} ≔ 𝑒_{0, 1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}), ℎ_{-} ≔ 𝑒_{1, 0} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}), ℎ ≔ ℎ_{0} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})}$
$𝕂$ 上の2変数多項式環 $𝕂 [𝑥, 𝑦]$

を与えると，以下が成り立つ：

線型写像 $𝜌 : 𝔰𝔩 (2, 𝕂) \to 𝔤𝔩 (𝕂 [𝑥, 𝑦])$ を $𝜌 (ℎ) ≔ - 𝑥 \partial_{𝑥} + 𝑦 \partial_{𝑦}, 𝜌 (ℎ_{+}) ≔ 𝑦 \partial_{𝑥}, 𝜌 (ℎ_{-}) ≔ 𝑥 \partial_{𝑦}$ を線型に拡張したものとして定義すると， $𝜌$ はLie代数準同型．つまり， $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ の表現．
𝑛 次斉次多項式空間を 𝑉 ⁡ (𝑛) ≔ span𝕂 ⁡ { 𝑥𝑖 ⁢ 𝑦 𝑛−𝑖 | 𝑖 ∈ 𝑛+1 } とする．
- $\forall 𝑛 \in ℕ_{0}$ に対し， $𝑉 (𝑛)$ は $𝕂 [𝑥, 𝑦]$ の部分 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群．
- $char 𝕂 = 0$ の $\forall 𝑛 \in ℕ_{0}$ または， $\forall 𝑛 < char 𝕂$ に対し， $𝑉 (𝑛)$ は単純 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群
- $𝛺_{2}$ の $𝑉 (𝑛)$ 上の作用は $𝛺_{2} = (𝑛^{2} + 2 𝑛) {id}_{𝑉 (𝑛)}$
線型写像 $𝑓 : 𝔰𝔩 (2, 𝕂) \to 𝑉 (2)$ を $ℎ_{-} \mapsto 𝑥^{2}, ℎ \mapsto 2 𝑥 𝑦, ℎ_{+} \mapsto - 𝑦^{2}$ 線型に拡張したものとして定義したものは，随伴表現から $𝑉 (2)$ への加群準同型．特に， $char 𝕂 \neq 2$ のとき，加群同型．

証明

$[𝜌 (ℎ), 𝜌 (ℎ_{\pm})] = 𝑦 \partial_{𝑥} + 𝑦 \partial_{𝑥} = \pm 2 𝜌 (ℎ_{\pm}) = 𝜌 ([ℎ, ℎ_{\pm}])$ $[𝜌 (ℎ_{+}), 𝜌 (ℎ_{-})] = 𝑦 \partial_{𝑦} - 𝑥 \partial_{𝑥} = 𝜌 (ℎ) = 𝜌 ([ℎ_{+}, ℎ_{-}])$
- $\forall 𝑖 \in 𝑛 + 1$ に対し， $\begin{matrix} ℎ (𝑥^{𝑖} 𝑦^{𝑛 - 𝑖}) & = & (𝑛 - 2 𝑖) 𝑥^{𝑖} 𝑦^{𝑛 - 𝑖} \\ ℎ_{+} (𝑥^{𝑖} 𝑦^{𝑛 - 𝑖}) & = & {\begin{matrix} 𝑖 𝑥^{𝑖 - 1} 𝑦^{𝑛 - 𝑖 + 1} & 𝑖 \neq 0 \\ 0 & 𝑖 = 0 \end{matrix} \\ ℎ_{-} (𝑥^{𝑖} 𝑦^{𝑛 - 𝑖}) & = & {\begin{matrix} (𝑛 - 𝑖) 𝑥^{𝑖 + 1} 𝑦^{𝑛 - 𝑖 - 1} & 𝑖 \neq 𝑛 \\ 0 & 𝑖 = 𝑛 \end{matrix} \end{matrix}$ となるから， $𝑉 (𝑛)$ は部分 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群．
- $𝑉 (𝑛)$ の非零な部分 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群 $𝑊$ の非零なベクトル $𝑣 \in 𝑊 ∖ 0$ を取り，これを $𝑉 (𝑛)$ の基底で展開する： $𝑣 = \sum_{𝑖 \in 𝑛 + 1} 𝑐_{𝑖} 𝑥^{𝑖} 𝑦^{𝑛 - 𝑖}$ $𝑣 \neq 0$ より， $𝑚 \in 𝑛 + 1$ を $𝑐_{𝑚} \neq 0$ となるものの最大値に取れ， ${ℎ_{+}}^{𝑚} 𝑣 = 𝑐_{𝑚} 𝑚! 𝑦^{𝑛}$ より， $𝑦^{𝑛} \in 𝑊$ となる．よって， ${span}_{𝕂} {{ℎ_{-}}^{𝑖} 𝑦^{𝑛} | 𝑖 \in ℕ} = {span}_{𝕂} {𝑥^{𝑖} 𝑦^{𝑛 - 𝑖} | 𝑖 \in 𝑛 + 1} = 𝑉 (𝑛) \subseteq 𝑊$ が必要．よって， $𝑊 = 𝑉 (𝑛)$
- $𝛺_{2} (𝑥^{𝑖} 𝑦^{𝑛 - 𝑖}) = ({(𝑛 - 2 𝑖)}^{2} + 2 (𝑛 - 2 𝑖) + 4 𝑖 (𝑛 - 𝑖 + 1)) 𝑥^{𝑖} 𝑦^{𝑛 - 𝑖} = (𝑛^{2} + 2 𝑛) 𝑥^{𝑖} 𝑦^{𝑛 - 𝑖}$
${\begin{matrix} 𝜌 (ℎ_{+}) 𝑓 (ℎ_{+}) & = & 0 & = & 𝑓 (0) & = & 𝑓 ([ℎ_{+}, ℎ_{+}]) \\ 𝜌 (ℎ_{+}) 𝑓 (ℎ) & = & 2 𝑦^{2} & = & - 2 𝑓 (ℎ_{+}) & = & 𝑓 ([ℎ_{+}, ℎ]) \\ 𝜌 (ℎ_{+}) 𝑓 (ℎ_{-}) & = & 2 𝑥 𝑦 & = & 𝑓 (ℎ) & = & 𝑓 ([ℎ_{+}, ℎ_{-}]) \end{matrix}$ ${\begin{matrix} 𝜌 (ℎ) 𝑓 (ℎ_{\pm}) & = & \pm 2 𝑓 (ℎ_{\pm}) & = & 𝑓 ([ℎ, ℎ_{\pm}]) \\ 𝜌 (ℎ) 𝑓 (ℎ) & = & 0 & = & 𝑓 ([ℎ, ℎ]) \end{matrix}$ ${\begin{matrix} 𝜌 (ℎ_{-}) 𝑓 (ℎ_{+}) & = & - 2 𝑥 𝑦 & = & - 𝑓 (ℎ) & = & 𝑓 ([ℎ_{-}, ℎ_{+}]) \\ 𝜌 (ℎ_{-}) 𝑓 (ℎ) & = & 2 𝑥^{2} & = & 2 𝑓 (ℎ_{-}) & = & 𝑓 ([ℎ_{-}, ℎ]) \\ 𝜌 (ℎ_{-}) 𝑓 (ℎ_{-}) & = & 0 & = & 𝑓 (0) & = & 𝑓 ([ℎ_{-}, ℎ_{-}]) \end{matrix}$ より， $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群準同型． $char 𝕂 \neq 2$ のとき，明らかに全単射なので， $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群同型

標数 $0$ の体上の $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ の有限次元加群

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上の $2$ 次元特殊線型Lie代数 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$
$𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ の標準基底 ${ℎ_{+} ≔ 𝑒_{0, 1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}), ℎ_{-} ≔ 𝑒_{1, 0} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}), ℎ ≔ ℎ_{0} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})}$

を与えると，任意の有限次元 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群 $𝑊$ に対し，

$ℎ$ の作用の固有値は整数．
特に，その最大値は非負整数．

証明

有限次元 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群 $𝑊$ に対応する表現を $𝜌$ とする．また， $𝕂$ の代数閉包を $\overline{𝕂}$ とすると， $𝔰𝔩 (2, 𝕂), 𝑊$ より自然な $\overline{𝕂}$ 上のLie代数 $𝔰𝔩 (2, \overline{𝕂}), \overline{𝑊}$ が誘導され，自然なLie代数準同型 $\overline{𝜌} : 𝔰𝔩 (2, \overline{𝕂}) \to \overline{𝑊}$ が誘導される．つまり， $\overline{𝑊}$ は有限次元 $𝔰𝔩 (2, \overline{𝕂})$ -加群となる． $\overline{𝕂}$ は代数閉体なので， $\exists 𝑐 \in \overline{𝕂}$ に対し，固有値 $𝑐$ の固有ベクトル $𝑤 \in 𝑊 \subseteq \overline{𝑊}$ が存在する．ルートの性質より， $𝜌 (ℎ_{+})$ は $𝜌 (ℎ)$ の固有値を $+ 2$ する．よって， $𝑤, ℎ_{+} 𝑤, {ℎ_{+}}^{2} 𝑤, \dots$ は相異なる固有値を持つベクトルの列だから，零でないものは全て線型独立． $\overline{𝑊}$ の有限次元性より，この列は有限で零となる．よって $𝑐$ は， $\forall 𝑚 \in (𝑐 + 2 ℕ)$ に対して， $𝜌 (ℎ)$ の固有値にならないものに取れる．すると， $ℎ_{+} 𝑤 = 0$ だから， $\overline{𝑊}$ の部分 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群 $𝑈 (𝔰𝔩 (2, 𝕂)) 𝑤$ は， $𝑈 (𝔰𝔩 (2, 𝕂)) 𝑤 = (𝑈 (𝕂 ℎ_{-}) \otimes 𝑈 (𝕂 ℎ) \otimes 𝑈 (𝕂 ℎ_{+})) 𝑤 = 𝑈 (𝕂 ℎ_{-}) 𝑤$ と表せる． $𝑤, ℎ_{-} 𝑤, {ℎ_{-}}^{2} 𝑤, \dots$ についても同様に， ${ℎ_{-}}^{𝑝 + 1} 𝑤 = 0$ となる最小の $𝑝 \in ℕ_{0}$ が存在する．これに対し， $0 = ℎ_{+} {ℎ_{-}}^{𝑝 + 1} 𝑤 = ({ℎ_{-}}^{𝑝 + 1} ℎ_{+} + (𝑝 + 1) {ℎ_{-}}^{𝑝} (ℎ - 𝑝)) 𝑤 = (𝑝 + 1) (𝑐 - 𝑝) {ℎ_{-}}^{𝑝} 𝑤$ であり， $𝑝 \geq 0$ かつ ${ℎ_{-}}^{𝑝} 𝑤 \neq 0$ より， $𝑐 = 𝑝$ となる．

つまり， $\overline{𝑊}$ の固有値は $𝑝 \in ℕ_{0}$ に対する ${𝑝, 𝑝 - 2, \dots, - 𝑝}$ の和集合となりいずれも整数．ところで， $ℤ \subseteq 𝕂 \subseteq \overline{𝕂}$ なので， $𝑊$ も同じ固有値を持つ．

標数 $0$ の体上の $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ の有限次元加群の構造定理

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上の $2$ 次元特殊線型Lie代数 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$
$𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ の標準基底 ${ℎ_{+} ≔ 𝑒_{0, 1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}), ℎ_{-} ≔ 𝑒_{1, 0} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}), ℎ ≔ ℎ_{0} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})}$
上で与えた $𝑛 \in ℕ_{0}$ に対する $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群 $𝑉 (𝑛) = ⨁_{𝑖 \in 𝑛 + 1} {𝑉 (𝑛)}_{𝑛 - 2 𝑖}$

を与えると，以下が成り立つ：

任意の有限次元単純 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群は，ある $𝑛 \in ℕ_{0}$ に対する $𝑉 (𝑛)$ と $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群同型．
任意の有限次元 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群は半単純．

証明

先の補題より，有限次元単純 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群は， $ℎ$ の作用に関する固有値を持つが，有限次元ゆえに高々有限個．よって，最大値 $𝑛 \in ℕ_{0}$ を持つ．
有限次元 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群 $𝑉$ を与える． $𝑉$ は有限次元なので，極大部分 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群の有限鎖 $0 = 𝑉^{0} \subset 𝑉^{1} \subset \dots \subset 𝑉^{𝑟} = 𝑉$ が取れる． $𝑖 \in 𝑟$ に対し， $𝑉^{}$ が半単純 $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ -加群となることを数学的帰納法で示す．

まず， $𝑉^{0} = 0$ は（ $0$ 個の単純加群の直和なので）半単純．

次に， $𝑖 \in 𝑟 - 1$ に対し， $𝑉^{𝑖}$ が半単純加群となるとき， $𝑣 \in 𝑉^{𝑖 + 1} ∖ 𝑉^{𝑖}$ をとり， $𝑊 = 𝑈 (𝔰𝔩 (2, 𝕂)) 𝑣$ とすると， $𝑊$ は単純． $𝑉^{𝑖} \cap 𝑊$ は $𝑊$ の部分加群なので， $𝑉^{𝑖} \cap 𝑊 = 𝑊, 0$ だが， $𝑣 \notin 𝑉^{𝑖}$ より， $𝑉^{𝑖} \cap 𝑊 = 0$ となる．よって， $𝑉^{𝑖} \subset 𝑉^{𝑖} \oplus 𝑊 \subseteq 𝑉^{𝑖 + 1}$ だが， $𝑉^{𝑖}$ は $𝑉^{𝑖 + 1}$ の極大部分加群だったから， $𝑉^{𝑖 + 1} = 𝑉^{𝑖} \oplus 𝑊$ となる． $𝑉^{𝑖}$ は帰納法の仮定より半単純加群なので， $𝑉^{𝑖 + 1}$ も半単純．

三角分解を持つLie代数とVerma加群

三角分解

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$

を与える．

𝔤の三角分解(triangular decomposition)とは，以下のデータからなる：
- 非零な部分Lie代数 $𝔤_{-}, 𝔤_{0}, 𝔤_{+} \subseteq 𝔤$
- 単純ルート(simple root)と呼ばれる $𝔤_{0}^{*}$ の線型独立な元の集合 ${𝛼_{𝑗}}_{𝑗 \in 𝐽}$
- 自己同型 $𝜎 : 𝔤^{op} \to 𝔤$
これらは以下を満たす：
- $𝔤_{0}$ は $𝔤$ の極大分裂トーラス．
- $𝔤 = 𝔤_{-} \oplus 𝔤_{0} \oplus 𝔤_{+}$
- $[𝔤_{0}, 𝔤_{+}] \subseteq 𝔤_{+}$
- $𝔤_{+}$ は， $𝔤_{0}$ に関するルート空間分解を持ち，そのルートの集合は $⨁_{𝑗 \in 𝐽} ℕ 𝛼_{𝑗}$ に含まれる．
- $𝜎 (𝔤_{+}) = 𝔤_{-}, {𝜎 |}_{𝔥} = - {id}_{𝔥}, 𝜎^{2} = {id}_{𝔤}$
$𝛬 ≔ ⨁_{𝑗 \in 𝐽} ℤ 𝛼_{𝑗}$ をルート格子(root lattice)と呼ぶ．
$𝛬_{+} ≔ ⨁_{𝑗 \in 𝐽} ℕ 𝛼_{𝑗}$ の元を正ルート(positive root)と呼ぶ．
$- 𝛬_{+}$ の元を負ルート(negative root)と呼ぶ．

三角分解の基本性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の三角分解 $((𝔤_{-}, 𝔤_{0}, 𝔤_{+}), {𝛼_{𝑗}}_{𝑗 \in 𝐽}, 𝜎)$

を与えると，以下を満たす：

$[𝔤_{0}, 𝔤_{-}] \subseteq 𝔤_{-}$
$𝔤_{-}$ は， $𝔤_{0}$ に関する $𝛼 \neq 0$ のルート空間分解を持つ．
任意のルート $𝛼 \in 𝛬_{+}$ に対し， $𝔤_{-}^{- 𝛼} = 𝜎 𝔤_{+}^{𝛼}$

最高ウェイト加群

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の三角分解 $((𝔤_{-}, 𝔤_{0}, 𝔤_{+}), {𝛼_{𝑗}}_{𝑗 \in 𝐽}, 𝜎)$
$𝔤$ -加群 $𝑉$

を与える．

$𝑉$ が最高ウェイト(highest weight) $𝜆 \in {𝔤_{0}}^{*}$ の最高ウェイト加群(highest weight module)であるとは，最高ウェイトベクトル(highest weight vector)と呼ばれるウェイト $𝜆$ のウェイト空間の元 $𝑣 \in 𝑉_{𝜆} ∖ 0$ が存在し，以下を満たすことを言う：

$𝑉 = 𝑈 (𝔤) 𝑣$
$𝔤_{+} 𝑣 = 0$

Verma加群

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の三角分解 $({𝔤_{\pm}, 𝔤_{0}}, {𝛼_{𝑗}}_{𝑗 \in 𝐽}, 𝜎)$

を与える．

最高ウェイト $𝜆 \in 𝔤_{0}^{*}$ のVerma加群(Verma module)とは，以下のデータのこと： $𝑀 (𝜆) ≔$

Verma加群の基本性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の三角分解 $({𝔤_{\pm}, 𝔤_{0}},)$
ウェイト $𝜆 \in {𝔤_{0}}^{*}$ のVerma加群 $𝑀 (𝜆)$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝑈 (𝔤_{-}) \to 𝑀 (𝜆), 𝑥 \mapsto 𝑥 \overline{1}$ は線型同型．
$𝑀 (𝜆)$ は最高ウェイト $𝜆$ ．最高ウェイトベクトル $\overline{1}$ の最高ウェイト加群．
任意のウェイト $𝜆$ の最高ウェイト $𝔤$ -加群は，ある $𝑀 (𝜆)$ のある商加群と加群同型．
$𝑀 (𝜆)$ は最大真部分加群 $𝐾 (𝜆)$ を持つ．
単純な最高ウェイト加群は， $𝑀 (𝜆)$ の商加群 $𝐿 (𝜆) ≔ 𝑀 (𝜆) ∕ 𝐾 (𝜆)$ に同型．

証明

以上より， $\overline{1} \neq 0$ である．最高ウェイトベクトルになることは明らか．
$𝑉$ を最高ウェイト $𝜆$ ，最高ウェイトベクトル $𝑣 \in 𝑉$ の最高ウェイト加群とする．線型写像を $𝑓 : 𝑈 (𝔤) \to 𝑉, 𝑥 \mapsto 𝑥 𝑣$ と定義すると， $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔤, 𝑓 (𝑥 𝑦) = 𝑥 𝑦 𝑣 = 𝑥 𝑓 (𝑣)$ より， $𝑈 (𝔤)$ を $𝔤$ -加群と見ることにより，加群準同型となる． $𝑓 (ℎ - 𝜆 (ℎ)) = ℎ 𝑣 - 𝜆 (ℎ) 𝑣 = 0, 𝑓 (𝔤_{+}) = 𝔤_{+} 𝑣 = 0$ より， $\sum_{ℎ \in 𝔤_{0}} 𝑈 (𝔤) (ℎ - 𝜆 (ℎ)) + 𝑈 (𝔤) 𝔤_{+} \subseteq \ker 𝑓$ なので，商加群の普遍性より，加群準同型 $\overline{𝑓} : 𝑀 (𝜆) \to 𝑉, 𝑥 \mapsto 𝑥 𝑣$ が定義される．特に， $\overline{𝑓} (𝑀 (𝜆)) = 𝑓 (𝑈 (𝔤)) = 𝑈 (𝔤) 𝑣 = 𝑉$ より $\overline{𝑓}$ は全射なので，加群同型定理より $𝑉 ≃ 𝑀 (𝜆) ∕ \ker \overline{𝑓}$ ．
最高ウェイト加群は $𝑣$ で生成されるから， $𝑉 (𝜆)$ の真部分加群は， $𝑉_{𝜆} = 𝕂 𝑣$ を含まない．ゆえに，全ての部分加群の和も， $𝑉_{𝜆}$ を含まないから，真部分加群．これは当然， $𝐾 (𝜆)$
極大部分加群で割った商加群は，単純加群であることと，既に示したVerma加群の基本性質より自明．

標準形式とWeyl群

三角分解を持つLie代数には，もはや $𝔤_{+} \oplus 𝔤_{-}$ が可換なものすら含まれる．もう少し非自明で扱いやすいLie代数を考える．

標準形式

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の三角分解 $({𝔤_{\pm}, 𝔤_{0}}, {𝛼_{𝑗}}_{𝑗 \in 𝐽}, 𝜎)$
$𝔤_{0}^{*}$ の $𝑉$ の部分線型空間 $𝐸 ≔ \sum_{𝑗 \in 𝐽} 𝕂 𝛼_{𝑗}$
$𝔤$ のルートの集合 $𝛥$

を与える．

標準形式(standard form)とは，𝐸 上の双線型形式 (,) : 𝐸Π𝐸 → 𝕂 であって，以下を満たすものを言う：
𝛼∈𝛥 が，
- $(𝛼, 𝛼) > 0$ を満たすものを，実ルート(real root)と呼ぶ．
- $(𝛼, 𝛼) \leq 0$ を満たすものを，虚ルート(imaginary root)と呼ぶ．
- 実ルート $𝛼 \in 𝛥$ に対し， $𝛼^{\lor} ≔ \frac{2}{(𝛼, 𝛼)} 𝛼$ を $𝛼$ の余ルート(coroot)と呼ぶ．
- 実ルートの集合を $𝛥_{re}$ と表す．
- 虚ルートの集合を $𝛥_{im}$ と表す．

Weyl群

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の三角分解 $({𝔤_{\pm}, 𝔤_{0}}, {𝛼_{𝑗}}_{𝑗 \in 𝐽}, 𝜎)$
$𝔤$ の標準形式 $(,) : 𝔤_{0}^{*} Π 𝔤_{0}^{*} \to 𝕂$ と，それに対する実ルートの集合 $𝛥_{re}$

を与える．

$𝔤$ のWeyl群(Weyl group) $𝑊$ とは，以下のように，写像の合成を積として生成される $𝔤_{0}^{*}$ 上の線型写像からなる群のこと： $𝑊 ≔ ⟨ {𝜎_{𝛼} : 𝜆 \mapsto 𝜆 - (𝜆, 𝛼^{\lor}) 𝛼 = 𝜆 - 2 \frac{(𝜆, 𝛼)}{(𝛼, 𝛼)} 𝛼}_{𝛼 \in 𝛥_{re}} ⟩$

Weyl群の性質

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の三角分解 $({𝔤_{\pm}, 𝔤_{0}}, {𝛼_{𝑗}}_{𝑗 \in 𝐽}, 𝜎)$
$𝔤$ の標準形式 $(,) : 𝔤_{0}^{*} Π 𝔤_{0}^{*} \to 𝕂$ と，それに対する実ルートの集合 $𝛥_{re}$
$𝔤$ のWeyl群 $𝑊$

を与えると，以下が成り立つ：

$\forall 𝜎 \in 𝑊$ に対し， $𝜎^{2} = {id}_{𝔤_{0}^{*}}$
$𝑊$ は群．
$(,)$ は $𝑊$ 不変．

証明

$\forall 𝜆 \in 𝔤_{0}^{*}$ に対し， $𝜎_{𝛼}^{2} (𝜆) = 𝜆 - 2 \frac{(𝜆, 𝛼)}{(𝛼, 𝛼)} 𝛼 + 2 \frac{(𝜆, 𝛼)}{(𝛼, 𝛼)} \frac{(𝛼, 𝛼)}{(𝛼, 𝛼)} 𝛼 = 𝜆$
明らか．
$\forall 𝜆, 𝜆^{'} \in 𝔤_{0}^{*}$ と $\forall 𝛼 \in 𝛥_{re}$ に対し， $(𝜎_{𝛼} (𝜆), 𝜎_{𝛼} (𝜆^{'})) = (𝜆, 𝜆^{'}) + 2 \frac{2 (𝜆, 𝛼) (𝜆^{'}, 𝛼) - (𝜆, 𝛼) (𝜆^{'}, 𝛼) - (𝜆, 𝛼) (𝛼, 𝜆^{'})}{{(𝛼, 𝛼)}^{2}} = (𝜆, 𝜆^{'})$

標準不変形式

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の三角分解 $({𝔤_{\pm}, 𝔤_{0}}, {𝛼_{𝑗}}_{𝑗 \in 𝐽}, 𝜎)$
$𝔤_{0}^{*}$ の部分線型空間 $𝐸 ≔ \sum_{𝑗 \in 𝐽} 𝕂 𝛼_{𝑗}$

を与える．

𝔤 の標準不変形式(standard invariant form)とは，𝔤 上の（対称）双線型形式 𝜅 : 𝔤Π𝔤 → 𝕂 であって，以下を満たすものを言う：
- $𝜅$ は $𝔤$ 上の不変形式
- $𝜅$ は非退化．つまり，以下を満たす： $\forall 𝜆 \in 𝔤_{0}^{*}, \exists! 𝑡_{𝜆} \in 𝔤_{0}, 𝜅 (𝑡_{𝜆}, \cdot) = 𝜆 (\cdot)$
$𝜅$ の誘導する（線型）同型とは， $𝔤_{0}^{*} \to 𝔤_{0}, 𝜆 \mapsto 𝑡_{𝜆}$ のこと．

標準不変形式の性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の三角分解 $({𝔤_{\pm}, 𝔤_{0}}, {𝛼_{𝑗}}_{𝑗 \in 𝐽}, 𝜎)$
$𝔤_{0}^{*}$ の部分線型空間 $𝐸 ≔ \sum_{𝑗 \in 𝐽} 𝕂 𝛼_{𝑗}$

を与えると，以下が成り立つ：

$\forall 𝛼, 𝛽 \in 𝔤_{0}^{*}$ と $\forall 𝑥 \in 𝔤_{𝛼}, \forall 𝑦 \in 𝔤_{𝛽}, \forall ℎ \in 𝔤_{0}$ に対し，以下を満たす： $𝜅 ([𝑥, 𝑦], ℎ) = 𝛿_{𝛼 + 𝛽} 𝛼 (ℎ) 𝜅 (𝑥, 𝑦)$
$\forall 𝛼 \in 𝔤_{0}^{*}$ に対し，以下を満たす： $[𝔤_{𝛼}, 𝔤_{- 𝛼}] \subseteq 𝕂 𝑡_{𝛼}$

証明

$𝜅$ は不変形式なので， $𝜅 ([𝑥, 𝑦], ℎ) = 𝜅 (𝑥, [𝑦, ℎ]) = - 𝛽 (ℎ) 𝜅 (𝑥, 𝑦)$ Lie括弧の反交換律より， $𝜅 ([𝑥, 𝑦], ℎ) = 𝛼 (ℎ) 𝜅 (𝑥, 𝑦)$ も成り立つ． $𝜆 \in 𝔤_{0}^{*}$ に対し， $\ker 𝜆 = 0 \Leftrightarrow 𝜆 = 0$ より， $𝛼 \neq - 𝛽$ のとき， $𝜅 ([𝑥, 𝑦], ℎ) = 0$ となる．
ゆえに， $\forall 𝑥 \in 𝔤_{𝛼}, \forall 𝑦 \in 𝔤_{- 𝛼}$ に対し， $𝜅 ([𝑥, 𝑦], ℎ) = 𝛼 (ℎ) 𝜅 (𝑥, 𝑦) = 𝜅 (𝑡_{𝛼}, ℎ) 𝜅 (𝑥, 𝑦)$ となる． $𝜅$ の双線型性と $𝔤_{0}$ 上の非退化性より， $[𝑥, 𝑦] = 𝜅 (𝑥, 𝑦) 𝑡_{𝛼}$

可積分表現

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の三角分解 $(𝔤_{-}, 𝔤_{0}, 𝔤_{+}, {𝛼_{𝑗}}_{𝑗 \in 𝐽}, 𝜎)$

を与える．

定義の修正が必要

$𝔤_{0}$ に関するウェイト $𝔤$ -加群であって，全てのウェイト空間が有限次元なもの $𝑉$ が可積分(interable)であるとは， $\forall 𝑗 \in 𝐽$ に対し， $\forall ℎ^{+} \in 𝔤_{𝛼_{𝑗}} ∖ {0}$ であって， ${ℎ_{+}, ℎ^{-} ≔ 𝜎 (ℎ^{+}), ℎ ≔ [ℎ^{+}, ℎ^{-}]}$ が $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ の標準基底となるならば，これより定まる部分Lie代数 $𝔞 ≔ 𝕂 ℎ^{-} \oplus 𝕂 ℎ \oplus 𝕂 ℎ^{+}$ が $\forall 𝑣 \in 𝑉$ に対して，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすことを言う：

$𝑉$ のウェイト $\forall 𝜆 \in {𝔤_{0}}^{*}$ に対し， $𝑉$ の部分線型空間 $𝑊 ≔ ⨁_{𝑘 \in ℤ} 𝑉_{𝜆 + 𝑘 𝛼}$ は有限次元
$𝑉$ のウェイト $\forall 𝜆 \in {𝔤_{0}}^{*}$ のウェイト空間 $𝑉_{𝜆}$ に対し， $𝑈 (𝔞) 𝑉_{𝜆}$ は有限次元
$\forall 𝑣 \in 𝑉$ に対し， $𝑈 (𝔞) 𝑣$ は有限次元

条件の同値性の証明

ルートの性質より $𝑈 (𝛼) 𝑉_{𝜆} \subseteq 𝑊$ ．
ウェイト加群の定義より， $\forall 𝑣 \in 𝑉$ はウェイトベクトルの有限和なので， $𝑈 (𝛼) 𝑉_{𝜆}$ が有限次元ならば， $𝑈 (𝛼) 𝑣$ も有限次元．
$𝑊$ は明らかに部分 $𝔞$ -加群となる．ここで，部分 $𝔞$ -加群の昇鎖 ${𝑊^{𝑖}}$ を $𝑊^{0} = 0$ とし，また， $𝑤_{𝑖} \in 𝑊 ∖ 𝑊^{𝑖}$ を一つ取ったものに対する $𝑊^{𝑖} ≔ 𝑊^{𝑖 + 1} + 𝑈 (𝔞) 𝑤_{𝑖}$ と定義する．各 $𝑊^{𝑖}$ は可積分 $𝔞$ -加群なので，単純加群．特に， $\dim {(𝑊^{𝑖})}_{𝜀} = 1$ となる．ゆえに ${𝑊^{𝑖}}$ は $0 = 𝑊^{0} \subset 𝑊^{1} \subset \dots \subset 𝑊^{\dim 𝑉_{0} + \dim 𝑉_{1}} = 𝑊$ なる有限鎖となるから， $𝑊$ は有限次元．

可積分表現の基本性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の三角分解 $(𝔤_{-}, 𝔤_{0}, 𝔤_{+}, {𝛼_{𝑗}}_{𝑗 \in 𝐽}, 𝜎)$
可積分 $𝔤$ -加群 $𝑉$
$𝑉$ のウェイトの集合 $wt (𝑉)$
$𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ と同型な $𝔤$ 部分Lie代数 $𝔞 ≔ 𝕂 ℎ_{-} \oplus 𝕂 ℎ \oplus 𝕂 ℎ_{+}$

を与えると，以下が成り立つ：

$\forall 𝜆 \in wt (ℎ)$ に対し， $𝜆 (ℎ)$ は整数．
∀ ⁡ 𝜆 ∈ wt ⁡ (ℎ) に対し，非負整数 𝑝,𝑞 が存在し，
- $\forall 𝑘 \in ℤ, (𝜆 + 𝑘 𝛼 \in wt (𝑀) \Leftrightarrow - 𝑝 \leq 𝑘 \leq 𝑞)$
- $𝑝 - 𝑞 = 𝜆 (ℎ)$
$\dim 𝑉_{𝜆} = \dim 𝑉_{𝜆 - 𝜆 (ℎ) 𝛼}$

証明

${ℎ_{\pm}, ℎ}$ は $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ の標準基底の交換関係を満たすから， $𝜆 (ℎ)$ は整数．

BGG圏 $𝒪$

BGG圏

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ の部分Lie代数 $𝔥$
$𝔥$ の双対線型空間 $𝔥^{*}$

を与える．

BGG（Bernstein-Gel’fand-Gel’fand）圏(BGG category) $𝒪$ とは，対象を $𝔤$ -加群であって，以下の全てを満たすものの集まりとする， $𝔤$ -加群の圏の充満部分圏のこと：

$𝑈 (𝔤)$ に関して有限生成
$𝔥$ に関するウェイト加群
局所的に $𝔤_{+}$ の作用に関して有限： $\forall 𝑣 \in 𝑉$ に対し， $𝑉$ の部分線型空間 $𝑈 (𝔤_{+}) 𝑣$ は有限次元．

BGG圏の基本性質

を与えると，以下が成り立つ：

全てのウェイト空間は有限次元．
有限集合 $\exists 𝛬^{'} \subseteq 𝔥^{*}$ に対し，ウェイト空間の次元が $0$ でないウェイトの集合は， $\underset{𝜆 \in 𝛬^{'}}{∐} (𝜆 - 𝛬_{+})$ に含まれる．
$𝒪$ はNoether圏
$𝒪$ は部分加群，商加群，直和を取る操作に対して閉じる．
$𝒪$ はAbel圏
$𝑈 (𝔤)$ の中心 $𝑍 (𝑈 (𝔤))$ の作用に対して（局所的に?）有限： $\forall 𝑣 \in 𝑀$ に対し， $𝑍 (𝑈 (𝔤)) 𝑣$ は有限次元．
$𝑈 (𝔤^{-})$ -加群として有限生成．

Kac-Moody代数

生成系と基本関係式を使って定義されるため，抽象的に感じるかもしれないが，有限次元半単純Lie代数の一般化になっている．

Cartan行列とKac-Moddy代数の定義

Cartan行列

$𝑛 \in ℕ$ を与える．

𝑛 次のCartan行列(Cartan matrix)とは，整数成分の 𝑛 次正方行列 𝐴 = ( 𝑎 𝑖,𝑗 ) 𝑖,𝑗 ∈ 𝑛 であって，以下を満たすものを言う：
- $\forall 𝑖 \in 𝑛, 𝑎_{𝑖, 𝑖} = 2$
- $\forall 𝑖 \neq 𝑗 \in 𝑛, 𝑎_{𝑖, 𝑗} \in - ℕ_{0}$
- $\forall 𝑖, 𝑗 \in 𝑛, 𝑎_{𝑖, 𝑗} = 0 \Leftrightarrow 𝑎_{𝑗, 𝑖} = 0$
𝑛 次のCartan行列に対し，Dynkin図形(Dynkin daigram)とは，以下で描いたもの：
- $\forall 𝑖 \in 𝑛$ に対し，頂点 ○ を書き，その上に $𝑖$ と書く．
- $\forall 𝑖 \neq 𝑗 \in 𝑛$ に対し， $𝑎_{𝑖, 𝑗} 𝑎_{𝑗, 𝑖} \neq 0$ ならば，頂点 $𝑖, 𝑗$ を線分で結び，その線分の $𝑖$ 側に $- 𝑎_{𝑖, 𝑗}$ と書き， $𝑗$ 側に $- 𝑎_{𝑗, 𝑖}$ と書く：

基本ルート系

体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$
$𝑛$ 次のCartan行列 $𝐴$

を与える．

𝐴 をCartan行列とする基本ルート系(fundamental root system) 𝛷とは，以下のデータからなる：
- 可換Lie代数 $𝔤_{0}$
- 線型独立な部分集合 ${ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛} \subseteq 𝔤_{0}$
- $𝔤_{0}$ の双対空間 ${𝔤_{0}}^{*}$ の線型独立な部分集合 ${𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛} \subseteq 𝔥^{*}$
これらは以下を満たす： ( 𝛼𝑗 ⁡ ( ℎ𝑖 ) ) 𝑖,𝑗 ∈ 𝑛 = 𝐴
基本ルート系が既約(irreducible)であるとは，以下を満たすことを言う：
- Cartan行列 $𝐴$ がCartan行列の直和で表されない
- $\dim 𝔤_{0} = 2 𝑛 - rank (𝐴)$

基本ルート系の基本性質

体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$
$𝑛$ 次のCartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $(𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$

を与えると，以下が成り立つ：

$\dim 𝔤_{0} \geq 2 𝑛 - rank (𝐴)$
$\dim 𝔤_{0} = 2 𝑛 - rank (𝐴)$ を満たす基本ルート系は同型を除いて一意的に存在する．
$𝔤_{0}$ の $2 𝑛 - rank (𝐴)$ 次元部分線型空間 $𝔤_{0}^{'}$ であって， $(𝔤_{0}^{'}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {{𝛼_{𝑖} |}_{𝔤_{0}^{'}}}_{𝑖 \in 𝑛})$ が基本ルート系となるものが存在する．

証明

$𝔥 ≔ {span}_{𝕂} {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}$ とする．

${span}_{𝕂} {{𝛼_{𝑖} |}_{𝔥}}_{𝑖 \in 𝑛}$ の次元は $rank (𝐴)$ なので， ${𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}$ が線型独立となるには， $\dim 𝔤_{0} \geq \dim 𝔥 + (𝑛 - rank (𝐴)) = 2 𝑛 - rank (𝐴)$ が必要．
存在については明らか． $(𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}^{'}}_{𝑖 \in 𝑛})$ も基本ルート系であるとする．直和分解 $𝔤_{0} = 𝔥 + 𝑈$ を一つ固定する． ${{𝛼_{𝑖} |}_{𝑈}}_{𝑖 \in 𝑛}, {{𝛼_{𝑖}^{'} |}_{𝑈}}_{𝑖 \in 𝑛}$ は線型独立なので，直積 $𝜙 ≔ {𝛼_{1} |}_{𝑈} Π \dots Π {𝛼_{𝑛} |}_{𝑈} : 𝑈 \to 𝕂^{𝑛}, 𝜙^{'} ≔ {𝛼_{1}^{'} |}_{𝑈} Π \dots Π {𝛼_{𝑛}^{'} |}_{𝑈} : 𝑈 \to 𝕂^{𝑛}$ は単射． $𝜙 (𝑈) = 𝜙^{'} (𝑈)$ なので（?） ${(𝜙^{'})}^{- 1} \circ 𝜙 : 𝑈 \to 𝑈$ が定義され，これは線型同型．よって，線型同型 $𝑓 ≔ {id}_{𝔥} \oplus ({(𝜙^{'})}^{- 1} \circ 𝜙) : 𝔤_{0} \to 𝔤_{0}$ に対して， $\forall 𝑖 \in 𝑛, 𝛼_{𝑖}^{'} \circ 𝑓 = 𝛼_{𝑖}$ を満たす．
自明

Chevalley関係式

体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$
$𝑛$ 次のCartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $(𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
有限集合 ${ℎ_{𝑖}^{\pm}}_{𝑖 \in 𝑛}$

を与える．

線型空間 $𝔤_{0} \oplus {span}_{𝕂} {ℎ_{𝑖}^{+}}_{𝑖 \in 𝑛} \oplus {span}_{𝕂} {ℎ_{𝑖}^{-}}_{𝑖 \in 𝑛}$ で生成される自由Lie代数に対し，Chevalley関係式(Chevalley relation)とは，以下のデータのこと：

$\forall ℎ, ℎ^{'} \in 𝔤_{0}, [ℎ, ℎ^{'}] = 0$
$\forall ℎ \in 𝔤_{0}, \forall 𝑖 \in 𝑛, [ℎ, ℎ_{𝑖}^{+}] = 𝛼_{𝑖} (ℎ) ℎ_{𝑖}^{+}$
$\forall ℎ \in 𝔤_{0}, \forall 𝑖 \in 𝑛, [ℎ, ℎ_{𝑖}^{-}] = - 𝛼_{𝑖} (ℎ) ℎ_{𝑖}^{-}$
$\forall 𝑖, 𝑗 \in 𝑛, [ℎ_{𝑖}^{+}, ℎ_{𝑗}^{-}] = 𝛿_{𝑖, 𝑗} ℎ_{𝑖}$

Chevalley関係式の基本性質

体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$
$𝑛$ 次のCartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
$𝛷$ に関するChevalley関係式を基本関係式とするLie代数 $\tilde{𝔤}$
$𝔤_{0}$ で生成系される $\tilde{𝔤}$ の部分Lie代数 ${\tilde{𝔤}}_{0}$

を与えると，以下が成り立つ：

𝔤∼ 上の自己同型 𝜃∼ : 𝔤∼ → 𝔤∼ が，以下をLie代数的に拡張したものとして定義される：
- $\forall ℎ \in {\tilde{𝔤}}_{0}, \tilde{𝜃} (ℎ) = - ℎ$
- $\forall 𝑖 \in 𝑛, \tilde{𝜃} (ℎ_{𝑖}^{+}) = ℎ_{𝑖}^{-}$
- $\forall 𝑖 \in 𝑛, \tilde{𝜃} (ℎ_{𝑖}^{-}) = ℎ_{𝑖}^{+}$
特に， 𝜃∼ ∘2 = id 𝔤∼
𝔤∼ ± をそれぞれ { ℎ𝑖± } 𝑖∈𝑛 で生成される 𝔤∼ の部分Lie代数とすると，以下が成り立つ：
- 線型空間として以下の直和分解を持つ： $\tilde{𝔤} = {\tilde{𝔤}}_{-} \oplus {\tilde{𝔤}}_{0} \oplus {\tilde{𝔤}}_{+}$
- $𝔤_{0}$ と ${\tilde{𝔤}}_{0}$ は線型同型．
- ${\tilde{𝔤}}_{\pm}$ は ${ℎ_{𝑖}^{\pm}}_{𝑖 \in 𝑛}$ で生成される自由Lie代数
$((𝔤_{-}, 𝔤_{0}, 𝔤_{+}), {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, \tilde{𝜃})$ は $\tilde{𝔤}$ の三角分解．
ゆえに， 𝔤∼ は 𝔤0 に関するルート空間分解を持つ．特に， 𝑄+ ≔ ⨁ 𝑖∈𝑛 ⁡ ℤ ≥0 ⁢ 𝛼𝑖 とすると，
- ルートの集合は $𝑄_{+} \cup (- 𝑄_{+})$
- ${\tilde{𝔤}}_{𝛼 = 0} = {\tilde{𝔤}}_{0}$
- $\forall 𝛼 \in (\pm 𝑄_{+}) ∖ 0, {\tilde{𝔤}}_{\pm 𝛼} = \sum_{\sum_{𝑝 \in 𝑟} 𝛼_{𝑖_{𝑝}} = 𝛼} 𝕂 (\prod_{𝑗 \in 𝑟 - 1} ad ℎ_{𝑖_{𝑗}}^{\pm}) (ℎ_{𝑖_{𝑟}}^{\pm})$
- ${\tilde{𝔤}}_{\pm} = ⨁_{𝛼 \in 𝑄_{+} ∖ 0} {\tilde{𝔤}}_{\pm 𝛼}$
- $\forall 𝜆 \in {\tilde{𝔤}}_{0}^{+}, \tilde{𝜃} ({\tilde{𝔤}}_{𝜆}) = {\tilde{𝔤}}_{- 𝜆}$

証明

まず，自己準同型であることを示すが，Chevalley関係式が成り立つことを示せばよい：
- $\forall ℎ, ℎ^{'} \in 𝔤_{0}, \tilde{𝜃} ([ℎ, ℎ^{'}]) = [- ℎ, - ℎ^{'}] = 0 = \tilde{𝜃} (0)$
- $\forall ℎ \in 𝔤_{0}, \forall 𝑖 \in 𝑛, \tilde{𝜃} ([ℎ, ℎ_{𝑖}^{+}]) = [- ℎ, ℎ_{𝑖}^{-}] = 𝛼_{𝑖} (ℎ) ℎ_{𝑖}^{-} = \tilde{𝜃} (𝛼_{𝑖} (ℎ) ℎ_{𝑖}^{+})$
- $\forall ℎ \in 𝔤_{0}, \forall 𝑖 \in 𝑛, \tilde{𝜃} ([ℎ, ℎ_{𝑖}^{-}]) = [- ℎ, ℎ_{𝑖}^{+}] = - 𝛼_{𝑖} (ℎ) ℎ_{𝑖}^{+} = \tilde{𝜃} (- 𝛼_{𝑖} (ℎ) ℎ_{𝑖}^{+})$
- $\forall 𝑖, 𝑗 \in 𝑛, \tilde{𝜃} ([ℎ_{𝑖}^{+}, ℎ_{𝑖}^{-}]) = [ℎ_{𝑖}^{+}, ℎ_{𝑖}^{-}] = - 𝛿_{𝑖, 𝑗} ℎ_{𝑖} = \tilde{𝜃} (𝛿_{𝑖, 𝑗} ℎ_{𝑖})$
以上より，Lie代数自己準同型．明らかに 𝜃∼ ∘2 = id 𝔤∼ なので， 𝜃∼ は全単射．つまりLie代数自己同型
割と長い
atode

Chevalley関係式によるLie代数のイデアル $𝔯$

$𝑛 \in ℕ$
$𝑛$ 次のCartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
$𝛷$ に関するChevalley関係式を基本関係式とするLie代数 $\tilde{𝔤}$
$\tilde{𝔤}$ の三角分解 $\tilde{𝔤} = {\tilde{𝔤}}_{-} \oplus {\tilde{𝔤}}_{0} \oplus {\tilde{𝔤}}_{+}$

を与えると，以下が成り立つ：

$\tilde{𝔤}$ のイデアルであって， $𝔯 \cap {\tilde{𝔤}}_{0} = {0}$ を満たすもののうち，最大のもの $𝔯$ が存在する．
𝔯± ≔ 𝔯 ∩ 𝔤∼ ± とすると，
- $𝔯 = 𝔯^{+} \oplus 𝔯^{-}$
- $𝔯^{\pm}$ は共に $\tilde{𝔤}$ のイデアル
- $\tilde{𝜃} (𝔯) = 𝔯$
- $\tilde{𝜃} (𝔯^{\pm}) = 𝔯^{\mp}$

証明

$\tilde{𝔤}$ は $\tilde{𝔤} = {\tilde{𝔤}}_{-} \oplus {\tilde{𝔤}}_{0} \oplus {\tilde{𝔤}}_{+}$ を持つ． $𝔯$ を $𝔤$ のイデアル $𝔦$ であって $𝔦 \cap {\tilde{𝔤}}_{0} = {0}$ を満たすもの全ての和とすると，これも $𝔤$ のイデアルであり，かつ $𝔦 \subseteq 𝔯$ を満たす．
非自明なのは， $𝔯^{\pm}$ が共に $\tilde{𝔤}$ のイデアルとなることくらいだろう． $\tilde{𝔤}$ のルート空間分解を $\tilde{𝔤} ≔ ⨁_{𝜆 \in {\tilde{𝔤}}_{0}^{*}} {\tilde{𝔤}}_{𝜆}$ とすると， $𝔯^{-} = ⨁_{𝛼 \in 𝑄_{+} ∖ 0} (𝔯 \cap {\tilde{𝔤}}_{- 𝛼})$ を満たす．まず， $[{\tilde{𝔤}}_{-} \oplus {\tilde{𝔤}}_{0}, 𝔯^{-}] \subseteq 𝔯 \cap {\tilde{𝔤}}_{-} = 𝔯^{-}$ となるから，あとは $[{\tilde{𝔤}}_{+}, 𝔯^{-}] \subseteq 𝔯^{-}$ を示せばよい．それには， $\forall 𝑖 \in 𝑛, \forall 𝛼 \in 𝑄_{+}, [ℎ_{𝑖}^{+}, 𝔯 \cap {\tilde{𝔤}}_{- 𝛼}] \subseteq 𝔯^{-}$ を示せばよい． $[ℎ_{𝑖}^{+}, 𝔯 \cap {\tilde{𝔤}}_{- 𝛼}] \subseteq 𝔯 \cap {\tilde{𝔤}}_{- 𝛼 + 𝛼_{𝑖}}$ だが， $𝑄_{+} = ⨁_{𝑖 \in 𝑛} ℤ_{\geq 0} 𝛼_{𝑖}$ でありルートの集合は $𝑄_{+} \cup (- 𝑄_{+})$ であったから， ${\tilde{𝔤}}_{- 𝛼 + 𝛼_{𝑖}} \subseteq {0} \cup {\tilde{𝔤}}_{-} = {\tilde{𝔤}}_{-}$ ．つまり， $[ℎ_{𝑖}^{+}, 𝔯 \cap {\tilde{𝔤}}_{- 𝛼}] \subseteq 𝔯 \cap {\tilde{𝔤}}_{-} = 𝔯^{-}$ なので， $𝔯^{-}$ は $\tilde{𝔤}$ のイデアル． $\tilde{𝜃}$ は自己同型なので， $𝔯^{+} = \tilde{𝜃} (𝔯^{-})$ も $\tilde{𝔤}$ のイデアル．

Serre関係式

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$
$𝑛$ 次のCartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $(𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
有限集合 ${ℎ_{𝑖}^{\pm}}_{𝑖 \in 𝑛}$

を与える．

線型空間 $𝔤_{0} \oplus {span}_{𝕂} {ℎ_{𝑖}^{+}}_{𝑖 \in 𝑛} \oplus {span}_{𝕂} {ℎ_{𝑖}^{-}}_{𝑖 \in 𝑛}$ で生成される自由Lie代数における，Serre関係式(Serre relation)とは，以下の集合のこと： ${{ad (ℎ_{𝑖}^{+})}^{1 - 𝑎_{𝑖, 𝑗}} (ℎ_{𝑗}^{+}) | 𝑖 \neq 𝑗 \in 𝑛} \cup {{ad (ℎ_{𝑖}^{-})}^{1 - 𝑎_{𝑖, 𝑗}} (ℎ_{𝑗}^{-}) | 𝑖 \neq 𝑗 \in 𝑛}$

Serre関係式の基本性質

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$
$𝑛$ 次のCartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
$𝛷$ に関するChevalley関係式を基本関係式とするLie代数 $\tilde{𝔤}$
$𝔯 \cap \tilde{𝔤} = 0$ を満たす最大のイデアル $𝔯$
Serre関係式の正規閉包（を標準射影で $\tilde{𝔤}$ に写したイデアル） $𝔯_{0}$

を与えると， $𝔯_{0} \subseteq 𝔯$ ．

Kac-Moody代数

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$
$𝑛$ 次のCartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
$𝛷$ に関するChevalley関係式を基本関係式とするLie代数 $\tilde{𝔤}$
$𝔯 \cap \tilde{𝔤} = 0$ を満たす最大のイデアル $𝔯$
Serre関係式の正規閉包（を標準射影で $\tilde{𝔤}$ に写したイデアル） $𝔯_{0}$

を与える．

Kac-Moody代数(Kac-Moody algbra)とは，以下の（一般に等しいとは限らない）2種類のLie代数のことを指す：

商Lie代数 $𝔤_{\min} ≔ \tilde{𝔤} ∕ 𝔯$
商Lie代数 $𝔤_{\max} ≔ \tilde{𝔤} ∕ 𝔯_{0}$ ．つまり，Chevalley関係式とSerre関係式を基本関係式とするLie代数

単にKac-Moody代数と呼んだときは，いずれを考えた場合でも問題ない．

Kac-Moody代数の基本性質

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$
$𝑛$ 次のCartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
$𝛷$ に関するChevalley関係式を基本関係式とするLie代数 $\tilde{𝔤}$
$𝛷$ に関するKac-Moody代数 $𝔤$

を与えると，以下が成り立つ：

𝔤 上の自己同型 𝜃 : 𝔤→𝔤 が，以下をLie代数的に拡張したものとして定義される：
- $\forall ℎ \in 𝔤_{0}, 𝜃 (ℎ) = - ℎ$
- $\forall 𝑖 \in 𝑛, 𝜃 (ℎ_{𝑖}^{+}) = ℎ_{𝑖}^{-}$
- $\forall 𝑖 \in 𝑛, 𝜃 (ℎ_{𝑖}^{-}) = ℎ_{𝑖}^{+}$
特に， 𝜃 ∘2 = id𝔤
- $𝔤_{0}$ は $𝔤$ の部分線型空間
- $𝔤_{\pm}$ をそれぞれ ${ℎ_{𝑖}^{\pm}}_{𝑖 \in 𝑛}$ で生成される $\tilde{𝔤}$ の部分Lie代数とすると， $𝔤$ は線型空間として直和分解を持つ： $𝔤 = 𝔤_{-} \oplus 𝔤_{0} \oplus 𝔤_{+}$
𝔤 はルート空間分解を持つ．そのルートの集合を 𝛥 とし， 𝑄+ ≔ ⨁ 𝑖∈𝑛 ⁡ ℤ ≥0 ⁢ 𝛼𝑖 に対して 𝛥± ≔ 𝛥 ∩ ( ± 𝑄± ) とすると，
- $𝛥 \subseteq 𝑄_{+} \cup {0} \cup (- 𝑄_{+})$ ．つまり， $𝛥 = 𝛥_{+} ⊔ 𝛥_{-}$
- $𝔤_{𝛼 = 0} = 𝔤_{0}$
- $\forall 𝛼 \in 𝛥 ∖ 0, 𝔤_{\pm 𝛼} = \sum_{\sum_{𝑝 \in 𝑟} 𝛼_{𝑖_{𝑝}} = 𝛼} 𝕂 (\prod_{𝑗 \in 𝑟 - 1} ad ℎ_{𝑖_{𝑗}}^{\pm}) (ℎ_{𝑖_{𝑟}}^{\pm})$
- $𝔤_{\pm} = ⨁_{𝛼 \in 𝑄_{+} ∖ 0} 𝔤_{\pm 𝛼}$
- $\forall 𝜆 \in {𝔤_{0}}^{*}, 𝜃 (𝔤_{𝜆}) = 𝔤_{- 𝜆}$
$𝔤_{\pm}$ で生成される $𝔤$ の部分Lie代数を $𝔞$ とすると， $𝔞 = 𝔤_{-} \oplus \sum_{𝑖 \in 𝑛} 𝕂 ℎ_{𝑖} \oplus 𝔤_{+} = [𝔤, 𝔤] = [𝔞, 𝔞]$
$\forall 𝑖 \in 𝑛, \dim 𝕂 ℎ_{𝑖}^{\pm} = 1$

可積分表現

Kac-Moody代数の随伴表現は可積分

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$
$𝑛$ 次のCartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
$𝛷$ に関するKac-Moody代数 $𝔤$

を与えると，随伴表現に関して， $𝔤$ は可積分表現．

証明

$𝑖 \in 𝑛$ に対し， $𝔞_{𝑖} ≔ 𝕂 ℎ_{𝑖, +} \oplus 𝕂 ℎ \oplus 𝕂 ℎ_{𝑖, -}$ とし， $𝔤$ の部分線型空間 $𝔤^{'} ≔ {𝑥 \in 𝔤 | \dim (𝑈 (𝔞_{𝑖}) 𝑥) < \infty}$ を定義する．まず， $𝔥 + 𝕂 ℎ_{𝑖, +} + 𝕂 ℎ_{𝑖, -}$ は $𝔞_{𝑖}$ を含む有限次元部分Lie代数であり $𝔞_{𝑖}$ の作用に関して不変．つまり， $𝔥 + 𝕂 ℎ_{𝑖, +} + 𝕂 ℎ_{𝑖, -} \subseteq 𝔤^{'}$ となる．次に， $𝑗 \neq 𝑖 \in 𝑛$ に対し，Chevalley関係式とSerre関係式より， $ad 𝑈 (𝔞_{𝑖}) (ℎ_{𝑗, \pm}) = (ad 𝑈 (ℎ_{𝑖, \pm}) \circ ad 𝑈 (ℎ_{𝑖, \mp}) \circ ad 𝑈 (ℎ_{𝑖})) (𝕂 ℎ_{𝑗, \pm}) = ad 𝑈 (ℎ_{𝑖, \pm}) (𝕂 ℎ_{𝑗, \pm}) = \sum_{𝑘 = 0}^{- 𝑎_{𝑖, 𝑗}} 𝕂 {(ad ℎ_{𝑖, \pm})}^{𝑘} (ℎ_{𝑗, \pm})$ を満たす．つまり， $ℎ_{𝑗, \pm} \in 𝔤^{'}$ となる．最後に $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔤^{'}$ に対し， $ad 𝑈 (𝔞_{𝑖}) (𝑥 + 𝑦) \subseteq ad 𝑈 (𝔞_{𝑖}) (𝑥) + ad 𝑈 (𝔞_{𝑖}) (𝑦)$ $ad 𝑈 (𝔞_{𝑖}) ([𝑥, 𝑦]) \subseteq [ad 𝑈 (𝔞_{𝑖}) (𝑥) + ad 𝑈 (𝔞_{𝑖}) (𝑦)]$ なので， $𝔤^{'}$ は $𝔤$ の生成系で生成される部分Lie代数なので， $𝔤^{'} = 𝔤$

標準形式

対称化可能Cartan行列

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$ 次のCartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
$𝛷$ に関するKac-Moody代数 $𝔤$

を与える．

Cartan行列 𝐴 が対称化可能(symmetrizable)であるとは，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすことを言う：
- $𝑛$ 次の正有理数成分の対角行列 $𝐷$ が存在し， $𝐷 𝐴$ は対称行列．
- $𝐸$ 上の標準形式 $(,) : 𝐸 Π 𝐸 \to 𝕂$ が存在し， $\forall 𝑖 \in 𝑛, (𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖}) \in ℚ_{> 0}$ を満たす．
- $𝐸$ 上の標準形式 $(,) : 𝐸 Π 𝐸 \to 𝕂$ が存在し， $\forall 𝑖 \in 𝑛, (𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖}) \neq 0$ を満たす．
- $𝔤$ の標準不変形式 $𝜅 : 𝔤 Π 𝔤 \to 𝕂$ が存在する．
特に，𝐷⁢𝐴 が
- 正定値のとき，有限型(finite type)と呼ぶ．
- 半正定値のとき，アフィン型(affine type)と呼ぶ．
- 不定値かつ主小行列が有限型またはアフィン型のとき，双曲型(hyperbolic type)と呼ぶ．

条件の同値性の証明

$𝔥 ≔ ⨁_{𝑖 \in 𝑛} 𝕂 ℎ_{𝑖}$ とおき，まずは正有理数に関する仮定を外した条件の同値性を証明する：

$𝐷 𝐴$ が対称行列になるとき，標準不変形式 $𝜅 : 𝔤 Π 𝔤 \to 𝕂$ を具体的に定める．まず， $𝜅 (ℎ_{𝑖}, ℎ) = 𝐷_{𝑖} 𝛼_{𝑖} (ℎ)$ とし，これを線型に拡張して， $𝔥 Π 𝔤_{0}$ 上の双線型写像とする．これは $𝔥 Π 𝔥$ 上対称なので， $𝔥 Π 𝔤_{0} + 𝔤_{0} Π 𝔥$ 上の双線型写像に拡張できる．ここで， ${𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}$ は線型独立なので， $𝔤_{0} Π 𝔤_{0}$ 上の非退化対称双線型写像であって， $𝜅 (ℎ_{𝑖}, ℎ) = 𝐷_{𝑖} 𝛼_{𝑖} (ℎ)$ を満たすものが存在するので，適当に一つとる．

次に， $\forall 𝑖, 𝑗 \in 𝑛, 𝜅 (ℎ_{𝑖}^{+}, ℎ_{𝑖}^{-}) = 𝐷_{𝑖} 𝛿_{𝑖, 𝑗}, 𝜅 (ℎ_{𝑖}^{+}, ℎ_{𝑖}^{+}) = 𝜅 (ℎ_{𝑖}^{-}, ℎ_{𝑖}^{-}) = 0$ を満たし，かつ $𝔤$ 上の不変形式となるものが一意的に存在する．ゆえに， $𝜅$ は標準不変形式となる．
標準不変形式は自然に $𝐸$ 上の標準形式を誘導する．
標準形式の定義より， $𝑖, 𝑗 \in 𝑛$ に対し， $𝑎_{𝑖, 𝑗} = 𝛼_{𝑗} (ℎ_{𝑖}) = 2 \frac{(𝛼_{𝑗}, 𝛼_{𝑖})}{(𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖})}$ より， $\frac{(𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖})}{2} 𝑎_{𝑖, 𝑗} = (𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑗}) = \frac{(𝛼_{𝑗}, 𝛼_{𝑗})}{2} 𝑎_{𝑗, 𝑖}$ となる．つまり， $ℝ ∖ 0$ 値の対角行列 $𝐷 ≔ {(𝛿_{𝑖, 𝑗} \frac{(𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖})}{2})}_{𝑖, 𝑗 \in 𝑛}$ が存在し， $𝐷 𝐴$ は対称行列となる．

Cartan行列は $ℤ$ -値なので，対称化する行列 $𝐷$ は， $ℚ_{> 0}$ -値に取れる．このとき標準形式は， $(𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑗}) = 𝐷_{𝑖} 𝑎_{𝑖, 𝑗} = 𝐷_{𝑗} 𝑎_{𝑗, 𝑖}$ と定義していたから， $(𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖}) \in ℚ_{> 0}$ となる．

対称化可能Cartan行列のKac-Moody代数の一意性

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$ 次の対称化可能Cartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$

を与えると，2種類のKac-Moody代数 $𝔤_{\min}, 𝔤_{\max}$ は相等しい．

Kac-Moody代数のWeyl群，実ルート・虚ルート

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$ 次の対称化可能Cartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
$𝛷$ に関するKac-Moody代数 $𝔤$
$𝔤$ の標準形式 $(,)$
$𝔤$ のWeyl群 $𝑊 ≔ ⟨ {𝜎_{𝛼} : 𝜆 \mapsto 𝜆 - 2 \frac{(𝜆, 𝛼)}{(𝛼, 𝛼)} 𝛼}_{𝛼 \in 𝛥_{re}} ⟩$

を与えると，以下が成り立つ：

$\forall 𝛼, 𝛽 \in 𝛥, (𝛼, 𝛽) \in ℚ$
$\forall 𝑖 \in 𝑛$ に対し， $𝛼_{𝑖}$ は実ルート
∀ ⁡ 𝛼∈𝛥 に対し，以下は同値：
- $𝛼$ は実ルート
- $\exists 𝑤 \in 𝑊, \exists 𝑖 \in 𝑛$ に対し， $𝛼 = 𝑤 (𝛼_{𝑖})$
同様に，以下は同値：
- $𝛼$ は虚ルート
- $𝛼 \notin 𝑊 ({𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
任意の実ルート $𝛼 \in 𝛥_{re}$ と $\forall 𝑤 \in 𝑊$ に対し， $𝑤 𝜎_{𝛼} 𝑤^{- 1} = 𝜎_{𝑤 (𝛼)}$
${𝜎_{𝛼_{𝑖}}}_{𝑖 \in 𝑛}$ は $𝑊$ の生成系．

証明

$(𝛼, 𝛽) \in (ℤ {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, ℤ {𝛼_{𝑗}}_{𝑗 \in 𝑛}) = ℤ {(𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑗})}_{𝑖, 𝑗 \in 𝑛} \subseteq ℚ$
$𝔤$ の標準形式の定義より $(𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖}) \in ℚ_{> 0}$
標準形式は $𝑊$ 不変なので， $𝛼 = 𝑤 (𝛼_{𝑖}) \Rightarrow (𝛼, 𝛼) = (𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖}) \Rightarrow 𝛼 \in 𝛥_{re}$ となる．逆に， $𝛼 \notin 𝑊 ({𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$ のとき，まず， $𝑤 \in 𝑊$ を $𝑤 𝛼$ の基底での展開 $𝑤 𝛼 = \sum_{𝑖 \in 𝑛} 𝑛_{𝑖} 𝛼_{𝑖}$ のうち， $\sum_{𝑖 =} 𝑛_{𝑖}$ が， $𝛼 \in 𝛥_{+}$ ならば最小， $𝛼 \in 𝛥_{-}$ ならば最大のものとする．すると， $\forall 𝑖 \in 𝑛$ に対し， $𝑠_{𝑖} (𝑤 𝛼) = 𝑤 𝛼 - 2 \frac{(𝑤 𝛼, 𝛼_{𝑖})}{(𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖})} 𝛼_{𝑖}$ より最小（最大）性から $𝑛_{𝑖} (𝑤 𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖}) \leq 0$ となる．よって， $(𝛼, 𝛼) = (𝑤 𝛼, 𝑤 𝛼) = \sum_{𝑖 = 1} 𝑛_{𝑖} (𝑤 𝛼, 𝛼_{𝑖}) \leq 0$
$𝑤 𝜎_{𝛼} 𝑤^{- 1} (𝜆) = 𝑤 (𝑤^{- 1} (𝜆) - \frac{(𝑤^{- 1} (𝜆), 𝛼)}{(𝛼, 𝛼)} 𝛼) = 𝜆 - \frac{(𝜆, 𝑤 (𝛼))}{(𝑤 (𝛼), 𝑤 (𝛼))} 𝑤 (𝛼) = 𝜎_{𝑤 (𝛼)} (𝜆)$
上で示した実ルートの条件の同値性は， $𝑊$ を ${𝜎_{𝛼_{𝑖}}}_{𝑖 \in 𝑛}$ で生成される $𝑊$ の部分群 $𝑊^{'}$ に直しても成り立つ．つまり， $𝛼$ が実ルートならば， $\exists 𝑤 \in 𝑊^{'}, \exists 𝑖 \in 𝑛, 𝛼 = 𝑤 𝛼_{𝑖}$ となる．このとき， $𝜎_{𝑤 (𝛼_{𝑖})} = 𝑤 𝜎_{𝛼_{𝑖}} 𝑤^{- 1}$ であった．

対称化可能Cartan行列，ひいてはその上のKac-Moody代数の分類は，有限型，アフィン型，双曲型の場合で終わっている．その出発点となる有限型の場合について，有限次元Lie代数のテクニックを用いるので，次章は有限次元Lie代数を扱う．

表現論

ウェイト格子・整ウェイト・優整ウェイト

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$ 次のCartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
$𝛷$ に関するKac-Moody代数 $𝔤$

を与える．

整ウェイト(integral weight)とは，以下の集合の元のこと： $𝛥_{w} ≔ {𝜆 \in 𝔤_{0}^{*} | \forall 𝑖 \in 𝑛, 𝜆 (ℎ_{𝑖}) \in ℤ}$
優整ウェイト(dominant integral weight)とは，以下の集合の元のこと： $𝛥_{w}^{\geq} ≔ {𝜆 \in 𝔤_{0}^{*} | \forall 𝑖 \in 𝑛, 𝜆 (ℎ_{𝑖}) \in ℕ_{0}}$
強い優整ウェイト(strongly dominant integral weight)とは，以下の集合の元のこと： $𝛥_{w}^{+} ≔ {𝜆 \in 𝔤_{0}^{*} | \forall 𝑖 \in 𝑛, 𝜆 (ℎ_{𝑖}) \in ℕ}$

Kac-Moody代数のVerma加群の指標

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$ 次の対称化可能Cartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
$𝛷$ に関するKac-Moody代数 $𝔤$
最高ウェイト $𝜆 \in 𝔤_{0}^{*}$ のVerma加群 $𝑀 (𝜆)$

を与える．

Kac-Moody代数のCasimir元

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$ 次の対称化可能Cartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
$𝛷$ に関するKac-Moody代数 $𝔤$

を与える．

（2次の）Casimir元(Casimir element)とは，以下の形式和のこと： $𝛺_{2} ≔$ 特に， $𝔤$ が有限次元であれば， $𝛺_{2} \in 𝑈 (𝔤)$ となる．

BGG圏の対象であれば，Casimir元の作用は有限個を除いて零なので，well-definedな線型写像となる．

Kac-Moody代数のBGG圏とCasimir元の関係

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$ 次の対称化可能Cartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
$𝛷$ に関するKac-Moody代数 $𝔤$
$𝔤$ の標準形式 $(,)$
$𝔤$ のBGG圏 $𝒪$
$𝔤$ のCasimir元 $𝛺_{2}$
$𝜌 \in 𝔤_{0}^{*}$ であって， $\forall 𝑖 \in 𝑛, 𝜌 (ℎ_{𝑖}) = 1$ を満たすもの

を与えると，以下が成り立つ：

$\forall 𝑀, 𝑁 \in 𝒪$ と， $𝔤$ -加群準同型 $\forall 𝑓 : 𝑀 \to 𝑁$ に対し， $𝑓 \circ 𝛺_{2} = 𝛺_{2} \circ 𝑓$
$\forall 𝑀 \in 𝒪$ と， $\forall 𝑢 \in 𝑈 (𝔤)$ に対し， $\forall 𝑚 \in 𝑀, 𝛺_{2} 𝑢 𝑚 = 𝑢 𝛺_{2} 𝑚$
最高ウェイト $𝜆 \in 𝔤_{0}^{*}$ のVerma加群 $𝑀 (𝜆)$ に対し， $𝛺_{2}$ の作用は $(𝜆, 𝜆 + 2 𝜌) {id}_{𝑀}$ に等しい．

有限次元Lie代数

Adoの定理

任意の体 $𝕂$
任意の $𝕂$ 上の有限次元Lie代数 $𝔤$

に対し，忠実な $𝔤$ -加群 $𝑉$ が存在する．同じことだが， $𝔤$ はある有限次元線型Lie代数と同型．

有限次元表現

ウェイト加群で安定化される旗

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元Lie代数 $𝔤$
有限次元 $𝔤$ -加群 $𝑉$

を与えると， $𝑉$ と $𝑉$ の任意の商加群が非零なウェイトベクトルを持つとき， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ で安定化される $𝑉$ の旗が存在する．

証明

$\dim 𝑉$ に関する数学的帰納法により示す． $\dim 𝑉$ のときは自明．

次に， $\dim 𝑉 > 0$ とする．仮定より，ウェイト $𝜆 \in 𝔤^{*}$ のウェイトベクトルが存在する： $\exists 𝑣_{1} \in 𝑉 ∖ {0}, \forall 𝑥 \in 𝔤, 𝑥 𝑣_{1} = 𝜆 (𝑥) 𝑣_{1}$ つまり， $𝑉_{1} ≔ 𝕂 𝑣_{1}$ は $𝑉$ の部分加群となる．仮定より，その商加群 $𝑊 ≔ 𝑉 ∕ 𝑉_{1}$ も仮定よりウェイトベクトルを持つ．また同型定理より， $𝑊$ の商加群もウェイトベクトルを持つ． $\dim (𝑉 ∕ 𝑉_{1}) = \dim 𝑉 - 1 < \dim 𝑉$ より，帰納法の仮定から， $𝔥$ で安定化される $𝑊$ の旗 ${0} = 𝑊_{0} \subset 𝑊_{1} \subset \dots \subset 𝑊_{\dim 𝑉 - 1} = 𝑉 ∕ 𝑉_{1}$ が存在する．標準射影 $𝑝 : 𝑉 \to 𝑉 ∕ 𝑉_{1}$ により定まる $𝑉$ の部分線型空間の増大列 ${0} \subset 𝑝^{- 1} (𝑊_{1}) \subset \dots \subset 𝑝^{- 1} (𝑊_{\dim 𝑉 - 1}) = 𝑉$ は $𝑉$ の旗となる．さらに， $\forall 𝑗 \in ℕ_{\leq \dim 𝑉 - 1}$ に対し，商加群の普遍性より $𝑝 (𝑥 (𝑝^{- 1} (𝑊_{𝑗}))) = 𝑥 (𝑝 (𝑝^{- 1} (𝑊_{𝑗}))) = 𝑥 (𝑊_{𝑗}) \subseteq 𝑊_{𝑗}$ となるから， $𝔤$ で安定化される．

冪零・可解Lie代数

Engelの定理

冪零変換のウェイトベクトルの存在

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元線型空間 $𝑉 \neq 0$
冪零変換のみからなる線型Lie代数 $𝔤 \subseteq 𝔤𝔩 (𝑉)$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝔤$ の真部分Lie代数 $𝔥 \subset 𝔤$ に対し，その正規化Lie代数は真に大きい： $𝔥 \subset 𝑁_{𝔤} (𝔥)$
ウェイト $0 \in 𝔤^{*}$ のウェイトベクトル $𝑣 \in 𝑉 ∖ 0$ を持つ： $𝔤 (𝑣) = 0$

証明

$\dim 𝔤$ に関する数学的帰納法により2つの主張を同時に示す． $\dim 𝔤 = 0$ のときは， $𝔤 = {0}$ より，いずれの主張も自明．

次に， $\dim 𝔤 > 0$ とする．

$\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対する内部微分 $ad (𝑥) : 𝔤 \to 𝔤$ は線型変換であり， $𝔥$ は $𝔤$ の部分線型空間なので，商線型空間 $𝔤 ∕ 𝔥$ の普遍性より，一意な線型写像 $\overline{ad (𝑥)} : 𝔤 ∕ 𝔥 \to 𝔤$ を誘導する．さらに標準射影 $𝑝 : 𝔤 \to 𝔤 ∕ 𝔥$ も合成すると， $𝔤 ∕ 𝔥$ 上の線型変換が得られる．つまり，自然なLie代数準同型 $\overline{ad} : 𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝔤 ∕ 𝔥)$ が定まる． $𝔥$ は部分Lie代数なので， $𝔥$ への制限 ${\overline{ad} |}_{𝔥} : 𝔥 \to 𝔤𝔩 (𝔤)$ もLie代数準同型となる．

一般に，冪零変換の内部微分は冪零変換なので， ${\overline{ad} |}_{𝔥} (𝔥) \subseteq 𝔤𝔩 (𝔤 ∕ 𝔥)$ は全て冪零変換となる． $\dim 𝔥 < \dim 𝔤$ より，帰納法の仮定から， $\exists 𝑣 + 𝔥 \in (𝔤 ∕ 𝔥) ∖ {0 + 𝔥}$ に対し， ${\overline{ad} |}_{𝔥} (𝔥) (𝑣 + 𝔥) = 𝔥$ となる．つまり， $\exists 𝑣 \in 𝔤 ∖ 𝔥$ に対し， ${ad |}_{𝔥} (𝔥) (𝑣) = [𝔥, 𝑣] \subseteq 𝔥$ となる．よって， $𝔥 \subset 𝔥 + 𝕂 𝑣 \subseteq 𝑁_{𝔤} (𝔥)$ となる．
$𝔤$ の極大部分Lie代数 $𝔥 \subset 𝔤$ をとると， $𝑁_{𝔤} (𝔥) = 𝔤$ となる．正規化Lie代数の定義より， $𝔥$ は $𝔤$ のイデアルとなる．極大部分Lie代数の商Lie代数は1次元Lie代数なので， $\exists 𝑧 \in 𝔤 ∖ 𝔥$ に対して， $𝔤 = 𝔥 + 𝕂 𝑧$ となる． $𝔥$ のウェイト $0 \in 𝔥^{*}$ のウェイト空間を $𝑊$ とすると，帰納法の仮定より， $𝑊 \neq {0}$ となる．さらに， $𝔥$ はイデアルなので， $𝔥 (𝑧 (𝑊)) \subseteq 𝑧 (𝔥 (𝑊)) - [𝑧, 𝔥] (𝑊) \subseteq {0}$ となる． $𝑊$ は有限次元なので，ウェイト $0 \in 𝔤^{*} = {(𝔥 + 𝕂 𝑧)}^{*}$ のウェイトベクトル $𝑣 \in 𝑊 ∖ {0}$ が存在する．冪零変換の固有値は $0$ に限られるので， $𝑧 (𝑣) = 0$ ．

冪零変換で安定化される旗

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元線型空間 $𝑉 \neq 0$
冪零変換のみからなる線型Lie代数 $𝔤 \subseteq 𝔤𝔩 (𝑉)$

を与えると， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ で安定化される $𝑉$ の旗が存在する．

証明

$\dim 𝑉$ に関する数学的帰納法により示す． $\dim 𝑉$ のときは自明．

次に， $\dim 𝑉 > 0$ とする．このときウェイト $0 \in 𝔤^{*}$ のウェイトベクトルが存在する： $\exists 𝑣_{1} \in 𝔤 ∖ {0}, 𝔤 𝑣_{1} = {0}$ ここで， $𝑉_{1} ≔ 𝕂 𝑣_{1}, 𝑊 ≔ 𝑉 ∕ 𝑉_{1}$ とする．各 $𝑥 \in 𝔤 \subseteq 𝔤𝔩 (𝑉)$ に対し，商線型空間の普遍性が誘導する自然な線型変換 $\overline{𝑥} \in 𝔤𝔩 (𝑉 ∕ 𝑉_{1})$ は冪零．部分Lie代数 $\overline{𝔤} \subseteq 𝔤𝔩 (𝑉 ∕ 𝑉_{1})$ に対し， $\dim (𝑉 ∕ 𝑉_{1}) = \dim 𝑉 - 1 < \dim 𝑉$ なので，帰納法の仮定から， $\overline{𝔤}$ で安定化される $𝑊$ の旗 ${0} = 𝑊_{0} \subset 𝑊_{1} \subset \dots \subset 𝑊_{\dim 𝑉 - 1} = 𝑉 ∕ 𝑉_{1}$ が存在する．標準射影を $𝑝 : 𝑉 \to 𝑊$ とすると，これより定まる $𝑉$ の部分線型空間の増大列 ${0} \subset 𝑝^{- 1} (𝑊_{1}) \subset \dots \subset 𝑝^{- 1} (𝑊_{\dim 𝑉 - 1}) = 𝑉$ は $𝑉$ の旗となる．さらに， $\forall 𝑗 \in ℕ_{\leq \dim 𝑉 - 1}$ に対し， $𝑥 (𝑝^{- 1} (𝑊_{𝑗})) \subset 𝑝^{- 1} (𝑝 (𝑥 (𝑝^{- 1} (𝑊_{𝑗})))) = 𝑝^{- 1} (\overline{𝑥} (𝑝 (𝑝^{- 1} (𝑊_{𝑗})))) = 𝑝^{- 1} (\overline{𝑥} (𝑊_{𝑗})) \subset 𝑝^{- 1} (𝑊_{𝑗})$ より， $𝔤$ で安定化される．

冪零Lie代数のイデアルと中心の共通部分

体 $𝕂$
有限次元冪零Lie代数 $𝔤$
$𝔤$ のイデアル $𝔦$
$𝔤$ の中心 $𝑍 (𝔤)$

を与えると，以下は同値：

$𝔦 \neq {0}$
$𝔦 \cap 𝑍 (𝔤) \neq {0}$

証明

$𝔦 \cap 𝑍 (𝔤) \neq {0}$ のとき， $𝔦 \neq {0}$ となるのは自明．逆を示す．

$𝔦 \neq {0}$ のとき，イデアルの定義より， $ad (𝔤) (𝔦) = [𝔤, 𝔦] \subseteq 𝔦$ を満たす．よって， ${ad (𝔤) |}_{𝔦} (𝔦)$ は $𝔤𝔩 (𝔦)$ の部分Lie代数と見做せる． $𝔤$ が冪零Lie代数だったから， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対し， ${ad (𝑥) |}_{𝔦}$ は冪零変換となる．よって， $𝔤$ のウェイト $0 \in 𝔤^{*}$ のウェイトベクトルが存在し， $\exists 𝑥 \in 𝔦 ∖ {0}, {ad (𝔤) |}_{𝔦} (𝑥) = [𝔤, 𝑥] = 0$ となる．つまり， $𝑥 \in 𝔦 \cap 𝑍 (𝔤)$ ．

Engelの定理

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元Lie代数 $𝔤$

を与えると，以下は同値：

$𝔤$ は冪零Lie代数
$\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対し，内部微分 $ad 𝑥 \in 𝔤𝔩 𝔤$ は冪零変換．

証明

冪零Lie代数の定義より， $𝔤$ が冪零Lie代数ならば， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対し， $ad 𝑥 \in 𝔤𝔩 𝔤$ が冪零変換となることは自明．逆を $\dim 𝔤$ に関する数学的帰納法により示す． $\dim 𝔤 = 0, 1$ のとき，一般に $𝔤$ は可換なので，冪零Lie代数で， $ad 𝔤 = {0}$ である．

次に， $\dim 𝔤 > 1$ とする．このとき $𝔤$ の中心 $𝑍 (𝔤)$ は非零．よって， $\dim (𝔤 ∕ 𝑍 (𝔤)) < \dim 𝔤$ であり，かつ $\forall 𝑥 + 𝑍 (𝔤) \in 𝔤 ∕ 𝑍 (𝔤)$ に対し， $ad (𝑥 + 𝑍 (𝔤))$ は冪零変換となるから，帰納法の仮定より， $𝔤 ∕ 𝑍 (𝔤)$ は冪零Lie代数である．一般に，このとき $𝔤$ 自身も冪零Lie代数となる．

イデアルの旗を持つLie代数の導来Lie代数は冪零

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元Lie代数

を与え， $𝔤$ の旗 $𝔤_{0} ≔ {0} \subset 𝔤_{1} \subset \dots \subset 𝔤_{\dim 𝔤} ≔ 𝔤$ であって， $\forall 𝑖 \in {ℕ_{0}}_{\leq \dim 𝔤}$ に対して $𝔤_{𝑖}$ が $𝔤$ のイデアルとなるものが存在するとすると， $𝔤$ の導来Lie代数 $[𝔤, 𝔤]$ は冪零．

証明

$𝔤$ の基底 ${𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{\dim 𝔤}}$ を， $\forall 𝑖 \in ℕ_{\leq \dim 𝔤}$ に対し， ${𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑖}}$ が $𝑥_{𝑖}$ の基底となるように取ると， $ad 𝔤$ の表現行列は（上）三角行列となる．よって， $[ad 𝔤, ad 𝔤] = ad [𝔤, 𝔤]$ の表現行列は冪零行列となるから， $\forall 𝑥 \in [𝔤, 𝔤]$ に対し， $ad 𝑥$ は冪零．Engelの定理より， $[𝔤, 𝔤]$ は冪零．

根基の存在

任意の有限次元Lie代数は，根基を持つ．

証明

Lie代数 $𝔤$ が有限次元のとき，全ての可解イデアルの和 $𝔯$ は高々有限次元なので，同型定理よりイデアルとなる．可解イデアルの和は可解だったから， $𝔯$ は可解．任意の可解イデアル $𝔦$ に対し， $𝔦 + 𝔯 = 𝔯$ より， $𝔯$ は根基となる．

Lieの定理

上三角化と可解性の関係

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元線型空間 $𝑉 \neq 0$
線型Lie代数 $𝔤 \subseteq 𝔤𝔩 (𝑉)$

を与え， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ で安定化される $𝑉$ の旗 $𝑉_{0} ≔ {0} \subset 𝑉_{1} \subset \dots \subset 𝑉_{\dim 𝑉} ≔ 𝑉$ が存在するとすると， $𝔤$ は可解．

証明

$𝐷 : {(2^{𝔤})}^{Π 2} \to 2^{𝔤}, (𝑋, 𝑌) \mapsto [𝑋, 𝑌]$ とする．

$\dim 𝑉_{1} = 1$ なので，これが $\forall 𝑥 \in 𝔤$ で安定化されるならば， $𝑉_{1}$ はあるウェイト $𝜆 \in 𝔤^{*}$ のウェイト空間．ゆえに， $[𝔤, 𝔤] 𝑉_{1} = {0}$ なので， $\dim [𝔤, 𝔤] 𝑉_{2} \leq 1$ となる．帰納的に繰り返すと， $(𝐷^{\dim 𝑉} 𝔤) 𝑉 = {0}$ が分かるから， $𝐷^{\dim 𝑉} 𝔤 = {0}$ ．つまり可解．

可解線型Lie代数のウェイトベクトルの存在

代数閉体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元線型空間 $𝑉 \neq 0$
可解な線型Lie代数 $𝔤 \subseteq 𝔤𝔩 (𝑉)$

を与え， $𝕂$ の標数について，

$char 𝕂 = 0$
$\dim 𝑉 < char 𝕂$

のいずれかを満たすとすると， $𝑉$ はウェイト $𝜆 \in 𝔤^{*}$ のウェイトベクトル $𝑣 \in 𝑉 ∖ 0$ を持つ．

ここでいうウェイトは，1次元Lie代数

𝕂

への準同型のこと．

証明

$\dim 𝔤$ に関する数学的帰納法により示す． $\dim 𝔤 = 0$ のときは， $𝔤 = {0}$ より自明．

次に， $\dim 𝔤 > 0$ とする．可解性の定義より， $𝔤$ の導来Lie代数は $𝔤$ より真に小さい： $[𝔤, 𝔤] ⊊ 𝔤$ ．よってその商Lie代数 $𝔤 ∕ [𝔤, 𝔤]$ は非零．さらに，その商Lie代数 $𝔤 ∕ [𝔤, 𝔤]$ は可換．よって，極大イデアル $𝔦 \supset [𝔤, 𝔤]$ を取ると， $𝔤 ∕ 𝔦$ も可換．さらに極大性より $𝔤 ∕ 𝔦$ は単純Lie代数でもあるので1次元．よって， $\forall 𝑧 \in 𝔤 ∖ 𝔦 \neq {0}$ に対し，線型空間の直和分解 $𝔤 = 𝔦 \oplus 𝕂 𝑧$ を持つ．

帰納法の仮定より，ウェイト $𝜆 \in 𝔦^{*}$ のウェイトベクトル $𝑣 \in 𝑉 ∖ {0}$ が存在する．そのウェイト空間を $𝑊 \subseteq 𝑉$ とする．ここで， $\forall 𝑤 \in 𝑊$ と $\forall 𝑦 \in 𝔦$ と $\forall 𝑛 \in ℕ_{0}$ に対し， $\begin{matrix} 𝑦 (𝑧^{𝑛} (𝑤)) & = & 𝑧 (𝑦 (𝑧^{𝑛 - 1} (𝑤))) - [𝑧, 𝑦] (𝑧^{𝑛 - 1} (𝑤)) \\ = & 𝑧^{2} (𝑦 (𝑧^{𝑛 - 2} (𝑤))) - 2 𝑧 ([𝑧, 𝑦] (𝑧^{𝑛 - 2} (𝑤))) + [𝑧, [𝑧, 𝑦]] (𝑧^{𝑛 - 2} (𝑤)) \\ = & \dots \\ = & \sum_{𝑚 \in 𝑛} (\begin{matrix} 𝑛 \\ 𝑚 \end{matrix}) 𝜆 ({(- ad 𝑧)}^{𝑚} (𝑦)) 𝑧^{𝑛 - 𝑚} (𝑤) \end{matrix}$ となる． $𝑈 ≔ {span}_{𝕂} {𝑤, 𝑧 𝑤, 𝑧^{2} 𝑤, \dots}$ とすると，これは高々 $\dim 𝑉$ 次元．よって $𝑈$ は有限次元で， ${𝑤, 𝑧 𝑤, \dots, 𝑧^{\dim (𝑈) - 1} 𝑤}$ は $𝑈$ の基底をなす．跡の定義の一つより $tr ({𝜌 (𝑦) |}_{𝑈}) = \dim (𝑈) 𝜆 (𝑦)$ となるが， $𝔦$ はイデアルだったから， $[𝑧, 𝑦] \in 𝔦$ より， $tr ({𝜌 ([𝑧, 𝑦]) |}_{𝑈}) = \dim (𝑈) 𝜆 ([𝑧, 𝑦])$ となるが，跡の巡回性よりこれは零． $𝕂$ の標数に関する仮定より， $\dim 𝑈 \neq 0$ なので， $𝜆 ([𝑧, 𝑦]) = 0$ となる．ゆえに， $𝑦 (𝑧 (𝑤)) = 𝑧 (𝑦 (𝑤)) = 𝜆 (𝑦) (𝑧 (𝑤))$ となるから， $𝑊$ は部分 $𝔤$ -加群となる．

$𝕂$ は代数閉体で， $𝑧$ の作用は $𝑊$ 上の線型写像なので，固有値 $𝜆^{'} (𝑧)$ の固有ベクトル $𝑣 \in 𝑊 \subseteq 𝑉$ を持つ．線型写像の直和 $𝜆 \oplus 𝜆^{'} : 𝔦 \oplus 𝕂 𝑧 \to 𝕂$ は $𝜆 \oplus 𝜆^{'} ([𝔤, 𝔤]) = 𝜆 ([𝔦, 𝔦]) = 0$ を満たすからLie代数準同型となり， $𝑉$ はウェイト $𝜆 \oplus 𝜆^{'} \in 𝔤^{*} = {(𝔦 + 𝕂 𝑧)}^{*}$ のウェイトベクトル $𝑣 \in 𝑉 ∖ {0}$ を持つ．

Lieの定理

代数閉体 $𝕂$
可解な有限次元Lie代数 $𝔤$
$𝕂$ 上の有限次元 $𝔤$ -加群 $𝑉 \neq 0$

を与え， $𝕂$ の標数について，

$char 𝕂 = 0$
$\dim 𝑉 < char 𝕂$

のいずれかを満たすとすると，以下は同値：

$\forall 𝑥 \in 𝔤$ で安定化される $𝑉$ の旗 $𝑉_{0} ≔ {0} \subset 𝑉_{1} \subset \dots \subset 𝑉_{\dim 𝑉} ≔ 𝑉$ が存在する．
$𝔤$ は可解．

証明

旗を持つならば可解は証明済み．逆を $\dim 𝑉$ に関する数学的帰納法により示す． $\dim 𝑉 = 0$ ならば明らか．

次に， $\dim 𝑉 > 0$ とする．このときあるウェイト $𝜆 \in 𝔤^{*}$ のウェイトベクトルが存在する： $\exists 𝑣_{1} \in 𝔤 ∖ {0}, 𝔤 𝑣_{1} = {0}$ ここで， $𝑉_{1} ≔ 𝕂 𝑣_{1}, 𝑊 ≔ 𝑉 ∕ 𝑉_{1}$ とする．各 $𝑥 \in 𝔤 \subseteq 𝔤𝔩 (𝑉)$ に対し，商線型空間の普遍性が誘導する自然な線型変換 $\overline{𝑥} \in 𝔤𝔩 (𝑉 ∕ 𝑉_{1})$ を得る操作はLie代数準同型．ゆえにその像である ${\overline{𝑥} | 𝑥 \in 𝔤 \subseteq 𝔤𝔩 (𝑉)}$ も可解．帰納法の仮定より， $\overline{𝔤}$ で安定化される $𝑊$ の旗 ${0} = 𝑊_{0} \subset 𝑊_{1} \subset \dots \subset 𝑊_{\dim 𝑉 - 1} = 𝑉 ∕ 𝑉_{1}$ が存在する．標準射影を $𝑝 : 𝑉 \to 𝑊$ とすると，これより定まる $𝑉$ の部分線型空間の増大列 ${0} \subset 𝑝^{- 1} (𝑊_{0}) \subset \dots \subset 𝑝^{- 1} (𝑊_{\dim 𝑉 - 1}) = 𝑉$ は $𝑉$ の旗となる．さらに， $\forall 𝑗 \in ℕ_{\leq \dim 𝑉 - 1}$ に対し， $𝑥 (𝑝^{- 1} (𝑊_{𝑗})) \subseteq 𝑝^{- 1} (𝑝 (𝑥 (𝑝^{- 1} (𝑊_{𝑗})))) = 𝑝^{- 1} (\overline{𝑥} (𝑝 (𝑝^{- 1} (𝑊_{𝑗})))) = 𝑝^{- 1} (\overline{𝑥} (𝑊_{𝑗})) \subseteq 𝑝^{- 1} (𝑊_{𝑗})$ より， $𝔤$ で安定化される．

可解Lie代数の導来Lie代数は冪零

代数閉体 $𝕂$
可解な有限次元Lie代数 $𝔤$

を与え， $𝕂$ の標数について，

$char 𝕂 = 0$
$\dim 𝔤 < char 𝕂$

のいずれかを満たすとすると，以下が成り立つ：

$𝔤$ の旗 $𝔤_{0} ≔ {0} \subset 𝔤_{1} \subset \dots \subset 𝔤_{\dim 𝔤} ≔ 𝔤$ であって， $\forall 𝑖 \in {ℕ_{0}}_{\leq \dim 𝔤}$ に対して $𝔤_{𝑖}$ が $𝔤$ のイデアルとなるものが存在する．
$𝔤$ の導来Lie代数 $[𝔤, 𝔤]$ は冪零．

証明

随伴表現 $ad$ によって， $𝔤$ 自身を $𝔤$ -加群と見ると，Lieの定理から， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対する $ad 𝑥$ で安定化される $𝔤$ の旗 $𝔤_{0} ≔ {0} \subset 𝔤_{1} \subset \dots \subset 𝔤_{\dim 𝔤} ≔ 𝔤$ が存在する．特に， $ad 𝑥$ で安定というのは，イデアルの定義に他ならない．
一般に，イデアルの旗を持つLie代数の導来Lie代数は冪零である．

Cartanの判定条件

Cartanの判定条件のための補題

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元線型空間 $𝑉 \neq 0$
線型変換の集合 $end (𝑉)$
$end (𝑉)$ の部分線型空間 $𝐴 \subseteq 𝐵 \subseteq end (𝑉)$
$𝑀 ≔ {𝑥 \in end (𝑉) | [𝑥, 𝐵] \subseteq 𝐴}$

を与えると， $𝑥 \in 𝑀$ が $tr (𝑥 \circ 𝑀) = 0$ を満たすならば， $𝑥$ は冪零変換

証明

標数 $0$ の体は完全体なので， $𝑥$ はJordan-Chevalley分解 $𝑥 = 𝑥_{s} + 𝑥_{n}$ を持つ．跡や冪零性は代数閉で保たれるので， $𝕂$ が代数閉体の場合を考えれればよい． $𝑥_{s}$ の固有値の集合を $𝛬 \subset 𝕂$ とし，固有値 $𝜆 \in 𝛬$ の固有空間を $𝑉_{𝜆}$ とする．このとき， $end (𝑉)$ も双積分解を持つ： $end (𝑉) = ⨁_{𝜆, 𝜆^{'} \in 𝛬} {hom}_{𝕂} (𝑉_{𝜆}, 𝑉_{𝜆^{'}})$ さらに， ${hom}_{𝕂} (𝑉_{𝜆}, 𝑉_{𝜆^{'}})$ の任意の元は $ad 𝑥_{s}$ の固有値 $𝜆^{'} - 𝜆 \in 𝕂$ の固有ベクトルだから，これは固有空間分解（の細分）でもある．

$𝐸 ≔ {span}_{ℚ} 𝛬$ としたとき，示すべきは $𝐸 = {0}$ ． $𝐸$ は有限次元なので，双対空間について $𝐸^{*} = {0}$ を示せばよい． $\forall 𝑓 \in 𝐸^{*}$ を一つとり， $𝑦 \in end (𝑉)$ を $\forall 𝜆 \in 𝛬, {𝑦 |}_{𝑉_{𝜆}} ≔ 𝑓 (𝜆) {id}_{𝑉_{𝜆}}$ を線型に拡張したものとして定める．すると， $\forall 𝑧 \in {hom}_{𝕂} (𝑉_{𝜆}, 𝑉_{𝜆^{'}})$ に対し， $ad 𝑦 (𝑧) = (𝑓 (𝜆^{'}) - 𝑓 (𝜆)) 𝑧 = 𝑓 (𝜆^{'} - 𝜆) 𝑧 \propto (𝜆^{'} - 𝜆) 𝑧 = ad 𝑥_{s} (𝑧)$ を満たす．Lagrange補完より，多項式 $𝑝 (𝑡) \in ℚ [𝑡]$ を $\forall 𝜆, 𝜆^{'} \in 𝛬, 𝑟 (𝜆^{'} - 𝜆) = 𝑓 (𝜆^{'} - 𝜆)$ を満たすように取れる．ところで， $ad 𝑥_{s}$ は $ad 𝑥$ の定数項を持たない多項式で書けるので， $𝑥_{s} \in 𝑀$ ．よって， $𝑦 \in 𝑀$ となる．

仮定より， $tr (𝑥 \circ 𝑦) = \sum_{𝜆 \in 𝛬} 𝜆 𝑓 (𝜆) = 0$ となる． $𝑓$ を作用させると， $\sum_{𝜆 \in 𝛬} {𝑓 (𝜆)}^{2} = 0$ となる． $𝑓 (𝜆) \in ℚ$ より， $\forall 𝜆 \in 𝛬, 𝑓 (𝜆) = 0$ となり， $𝑓 = 0$ なので， $𝐸^{*} = {0}$ が示された．

Cartanの判定条件

標数 $0$ の体 $𝕂$ を与えると，以下が成り立つ：

𝕂 上の有限次元線型空間 𝑉≠0 に対する線型Lie代数 𝔤 ⊂ 𝔤𝔩 ⁡ (𝑉) に対し，以下は同値：
- $𝔤$ は可解
- $𝔤$ の導来Lie代数 $[𝔤, 𝔤]$ は冪零
- $Tr (𝔤 \circ [𝔤, 𝔤]) = 0$
有限次元Lie代数 𝔤に対し，以下は同値：
- $𝔤$ は可解
- $𝔤$ の導来Lie代数 $[𝔤, 𝔤]$ は冪零
- $𝔤$ のKilling形式 $𝜅 : 𝔤 Π 𝔤 \to 𝕂$ に対して， $𝜅 (𝔤, [𝔤, 𝔤]) = 0$

証明

まず， $[𝔤, 𝔤]$ が冪零ならば，一般に冪零ならば可解なので， $[𝔤, 𝔤]$ は可解．可解性の定義より明らかに $𝔤$ も可解．

残りの条件を示す：

- $𝕂$ の代数閉包を $\overline{𝕂}$ とすると， $𝔤$ が可解ならば $\overline{𝔤} ≔ 𝔤 \otimes_{𝕂} \overline{𝕂}$ も可解．Lieの定理より， $𝑉 \otimes_{𝕂} \overline{𝕂}$ の基底であって $\forall 𝑥 \in \overline{𝔤}$ の表現行列が上三角なものが存在する．ゆえに， $[\overline{𝔤}, \overline{𝔤}]$ は対角成分が零の上三角行列となるので， $tr (\overline{𝔤} \circ [\overline{𝔤}, \overline{𝔤}]) = 0$ より， $tr (𝔤 \circ [𝔤, 𝔤]) = 0$
- $𝑀 ≔ {𝑥 \in 𝔤𝔩 (𝑉) | [𝑥, 𝔤] \subseteq [𝔤, 𝔤]}$ とする． $\forall 𝑥 \in 𝑀, \forall 𝑝, 𝑞 \in 𝔤$ に対し， $[𝑞, 𝑥] \in [𝔤, 𝔤]$ に注意すると， $tr (𝑥, [𝑝, 𝑞]) = tr ([𝑞, 𝑥], 𝑝) = tr (𝑝, [𝑞, 𝑥]) = 0$ となる．ゆえに上の補題より， $\forall 𝑥 \in [𝔤, 𝔤]$ は冪零変換．Engelの定理より $[𝔤, 𝔤]$ は冪零Lie代数．
ad の核は中心 𝑍⁡(𝔤) なので，準同型定理より ad⁡𝔤 ≃ 𝔤 ∕ 𝑍 ⁡ (𝔤) となることに注意．
- $𝔤$ が可解ならば，内部微分はLie代数準同型であったから， $[ad 𝔤, ad 𝔤] = ad [𝔤, 𝔤]$ ゆえに， $𝔤 \mapsto [𝔤, 𝔤]$ と帰納的に適用することで， $ad 𝔤$ も可解とわかる．よって， $𝜅 (𝔤, [𝔤, 𝔤]) = 0$ となる．
- $𝜅 (𝔤, [𝔤, 𝔤]) = 0$ ならば， $[ad 𝔤, ad 𝔤] = ad [𝔤, 𝔤] ≃ [𝔤, 𝔤] ∕ 𝑍 ([𝔤, 𝔤])$ は冪零．冪零性の基本性質より， $[𝔤, 𝔤]$ は冪零．

無中心半単純Lie代数

有限次元無中心半単純Lie代数

標数 $0$ の体 $𝕂$ を与えると， $𝕂$ 上の有限次元Lie代数 $𝔤$ に対し，以下は同値：

$𝔤$ は無中心半単純Lie代数
$𝔤$ は無中心
$𝔤$ の可換イデアルは零のみ
$𝔤$ の可解イデアルは零のみ
$𝔤$ の根基は零
$𝔤$ のKilling形式が非退化

証明

無中心半単純Lie代数⇒無中心は明らか．
可解性の基本性質より無中心であること，「可換イデアルは零のみ」であること，「可解イデアルは零のみ」であること，は全て同値．
任意の有限次元Lie代数は根基を持つので，根基が零であることと，可解イデアルが零のみであることは同値．
- Cartanの判定条件より，Killing形式の根基は $𝔤$ の可解イデアル．ゆえに，可解イデアルが零のみならば，Killing形式は非退化．
- $𝔤$ の可換イデアルを $𝔦$ とすると， $\forall 𝑥 \in 𝔦, \forall 𝑦 \in 𝔤, (ad 𝑥 \circ ad 𝑦) (𝔤) \subseteq [𝑥, 𝔤] \subseteq 𝔦$ よって， ${(ad 𝑥 \circ ad 𝑦)}^{2} (𝔤) \subseteq (ad 𝑥 \circ ad 𝑦) (𝔦) \subseteq [𝑥, 𝔦] = {0}$ となるから， $ad 𝑥 \circ ad 𝑦$ は冪零変換．よって， $𝔦$ は $𝜅$ の根基に含まれるから，Killing形式が非退化ならば， $𝔤$ の可換イデアルは零のみ．
以上より，可解イデアルが零のみであることと，Killing形式が非退化であることは同値．
「𝔤 は無中心半単純Lie代数」以外の条件を全て満たすとき，
- 任意の $𝔤$ のイデアル $𝔦$ に対し， $𝜅$ に関する直交補空間を $𝔦^{⊥}$ とすると，線型空間の直和として $𝔤 = 𝔦 \oplus 𝔦^{⊥}$ だが， $𝔦 \cap 𝔦^{⊥} = {0}$ より，これはLie代数の直和となる．
- $𝔤$ は有限次元なので，極小イデアル $𝔦$ が取れて，これは単純イデアル．仮定よりこれは可換でない． $𝔦^{⊥}$ について，同様に繰り返すことで， $𝔤$ は無中心半単純Lie代数とわかる．

有限次元無中心半単純Lie代数の随伴表現の性質

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元無中心半単純Lie代数 $𝔤$
$𝔤$ の微分代数 $der 𝔤$
$𝔤$ の随伴表現 $ad : 𝔤 \to 𝔤𝔩 (𝔤)$
内部微分の集合 $ad 𝔤$

を与えると，以下が成り立つ：

$ad$ はLie代数同型
$der 𝔤 = ad 𝔤$
$\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対し，抽象Jordan分解 $𝑥 = 𝑥_{s} + 𝑥_{n}$ が一意的に存在

証明

$𝔤$ は無中心なので， $\ker ad = 𝑍 (𝔤) = {0}$ より $ad$ は単射．一般に $ad$ は全射Lie代数準同型なので，Lie代数同型．
以上より， $ad 𝔤$ は無中心半単純． $der 𝔤$ のKilling形式 $𝜅$ に対する $ad 𝔤$ の直交補空間を ${(ad 𝔤)}^{⊥}$ とする．一般に $ad 𝔤$ は $der 𝔤$ のイデアル．また， $𝜅$ は $ad 𝔤$ 上非退化なので，不変形式の性質より ${(ad 𝔤)}^{⊥}$ も $der 𝔤$ のイデアル．よって， $[ad 𝔤, {(ad 𝔤)}^{⊥}] = ad 𝔤 \cap {(ad 𝔤)}^{⊥} = {0}$ ．よって， $\forall 𝑥 \in 𝔤, \forall 𝛿 \in {(ad 𝔤)}^{⊥}, ad 𝛿 𝑥 = [𝛿, ad 𝑥] = 0$ となるが， $ad$ はLie代数同型なので， $𝛿 = 0$ ．以上より ${(ad 𝔤)}^{⊥} = 0$ なので， $der 𝔤 = ad 𝔤 \oplus {(ad 𝔤)}^{⊥} = ad 𝔤$
標数 $0$ の体は完全体なので $ad 𝑥$ はJordan分解 $ad 𝑥 = {(ad 𝑥)}_{s} + {(ad 𝑥)}_{n}$ が可能．微分代数の性質より， ${(ad 𝑥)}_{s}, {(ad 𝑥)}_{n} \in der 𝔤 = ad 𝔤$ であり， $ad$ はLie代数同型だから，抽象Jordan分解が一意的に存在する．

Weylの定理

前Casimir元

体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元Lie代数 $𝔤$
有限次元 $𝔤$ -加群 $𝑉$ と対応する表現 $𝜌$
$𝔤$ 上の非退化不変形式 $𝛽 : 𝔤 Π 𝔤 \to 𝕂$
$𝔤$ の基底 ${𝑒_{𝑖}}_{𝑖 \in \dim 𝔤}$ と $𝛽$ に関する双対基底 ${𝑒^{𝑖}}_{𝑖 \in \dim 𝔤}$
$𝔤$ の包絡代数 $𝑈 (𝔤)$ の元 $𝑐_{𝛽} ≔ \sum_{𝑖 \in \dim 𝔤} 𝑥_{𝑖} 𝑥^{𝑖}$

を与える．

$𝜌, 𝛽$ の誘導する前Casimir元() $𝑐_{𝜌, 𝛽}$ とは， $𝕂$ -線型変換 $𝑐_{𝜌, 𝛽} ≔ 𝜌 (𝑐_{𝛽}) = \sum_{𝑖 \in \dim 𝔤} 𝜌 (𝑒_{𝑖}) \circ 𝜌 (𝑒^{𝑖})$ のこと：
$𝛽$ が $𝜌$ の跡形式のとき（，それが非退化であるならば）， $𝜌, 𝛽$ の誘導する前Casimir元とのことを，単に $𝜌$ の誘導する前Casimir元()と呼び， $𝑐_{𝜌}$ と表す．

前Casimir元の性質

体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
有限次元 $𝔤$ -加群 $𝑉$ と対応する表現 $𝜌$
$𝔤$ 上の非退化不変形式 $𝛽 : 𝔤 Π 𝔤 \to 𝕂$
$𝔤$ の基底 ${𝑒_{𝑖}}_{𝑖 \in \dim 𝔤}$ と $𝛽$ に関する双対基底 ${𝑒^{𝑖}}_{𝑖 \in \dim 𝔤}$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝜌, 𝛽$ の誘導する前Casimir元 $𝑐_{𝜌, 𝛽}$ に対し， $𝑐_{𝜌, 𝛽}$ は $𝑉$ 上の加群準同型
$𝜌$ が忠実で， $𝜌$ の誘導する前Casimir元 $𝑐_{𝜌}$ が存在するならば，以下が成り立つ： $tr 𝑐_{𝜌} = (\dim 𝔤) 1_{𝕂}$
$𝕂$ が代数閉体で， $𝜌$ が忠実かつ単純ならば， $\exists 𝜆 \in 𝕂$ に対し， $𝜌$ の誘導する前Casimir元 $𝑐_{𝜌}$ は $𝑐_{𝜌} = 𝜆 {id}_{𝑉}$ と書ける．特に $(\dim 𝑉) 1_{𝕂} \neq 0$ ならば， $𝑐_{𝜌} = \frac{\dim 𝔤}{\dim 𝑉} {id}_{𝑉}$ と書ける．

証明

$\begin{matrix} [𝜌 (𝑥), 𝑐_{𝜌, 𝛽}] & = & \sum_{𝑖 \in \dim 𝔤} [𝜌 (𝑥), 𝜌 (𝑒_{𝑖})] \circ 𝜌 (𝑒^{𝑖}) + \sum_{𝑖 \in \dim 𝔤} 𝜌 (𝑒_{𝑖}) \circ [𝜌 (𝑥), 𝜌 (𝑒^{𝑖})] \\ = & \sum_{𝑖 \in \dim 𝔤} [𝜌 (𝑥), 𝜌 (𝑒_{𝑖})] \circ 𝜌 (𝑒^{𝑖}) + \sum_{𝑖, 𝑗 \in \dim 𝔤} 𝛽 ([𝑥, 𝑒^{𝑖}], 𝑒_{𝑗}) 𝜌 (𝑒_{𝑖}) \circ 𝜌 (𝑒^{𝑗}) \\ = & \sum_{𝑖 \in \dim 𝔤} [𝜌 (𝑥), 𝜌 (𝑒_{𝑖})] \circ 𝜌 (𝑒^{𝑖}) - \sum_{𝑖, 𝑗 \in \dim 𝔤} 𝛽 ([𝑥, 𝑒_{𝑗}], 𝑒^{𝑖}) 𝜌 (𝑒_{𝑖}) \circ 𝜌 (𝑒^{𝑗}) \\ = & \sum_{𝑖 \in \dim 𝔤} [𝜌 (𝑥), 𝜌 (𝑒_{𝑖})] \circ 𝜌 (𝑒^{𝑖}) - \sum_{𝑗 \in \dim 𝔤} 𝜌 ([𝑥, 𝑒_{𝑗}]) \circ 𝜌 (𝑒^{𝑗}) \\ = & 0 \end{matrix}$
双対基底の定義に注意すると， $tr 𝑐_{𝜌} = \sum_{𝑖 \in \dim 𝔤} tr (𝜌 (𝑒_{𝑖}) \circ 𝜌 (𝑒^{𝑖})) = \sum_{𝑖 \in \dim 𝔤} 𝛽 (𝑒_{𝑖}, 𝑒^{𝑖}) = (\dim 𝔤) 1_{𝕂}$
代数閉体上のSchurの補題より明らか．

忠実加群の跡形式の根基は可解

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元Lie代数 $𝔤$
有限次元忠実 $𝔤$ -加群 $𝑉$ と対応する表現 $𝜌$
$𝜌$ の跡形式 $𝛽 : 𝔤 Π 𝔤 \to 𝕂$
$𝛽$ の根基 $𝑆_{𝛽} ≔ {𝑥 \in 𝔤 | 𝛽 (𝑥, 𝔤) = 0}$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝑆_{𝛽}$ は $𝔤$ の可解イデアル．
$𝔤$ が有限次元無中心半単純Lie代数ならば， $𝛽$ は非退化．

証明

$\forall 𝑥, 𝑦, 𝑧 \in 𝑆_{𝛽}$ に対し， $tr ([𝜌 (𝑥), 𝜌 (𝑦)] \circ 𝜌 (𝑧)) = 𝛽 ([𝑥, 𝑦], 𝑧) = 0$ を満たすから，Cartanの判定条件より $𝜌 (𝑆_{𝛽})$ は可解．同型定理より， $𝜌 (𝑆_{𝛽}) ≃ 𝑆_{𝛽} ∕ \ker 𝜌 = 𝑆_{𝛽}$ より， $𝑆_{𝛽}$ も可解．また，跡形式は不変形式だったから，不変形式の性質より $𝑆_{𝛽}$ は $𝔤$ のイデアルとなる．
有限次元無中心半単純Lie代数の同値な条件の一つより明らか．

Whiteheadの補題

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元無中心半単純Lie代数 $𝔤$
$𝔤$ -加群 $𝑉$ と対応する表現 $𝜌$

を与えると， $𝕂$ -線型写像 $𝑓 \in {hom}_{𝕂} (𝔤, 𝑉)$ が $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔤, 𝑓 ([𝑥, 𝑦]) = 𝑥 𝑓 (𝑦) - 𝑦 𝑓 (𝑥)$ を満たすならば，以下が成り立つ： $\exists 𝑣 \in 𝑉, \forall 𝑥 \in 𝔤, 𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑣$

証明

$𝜌$ の核 $\ker (𝜌)$ は $𝔤$ のイデアルで， $𝔤$ は有限次元無中心半単純Lie代数なので， $𝔤$ の無中心半単純イデアル $𝔤_{1}$ が存在し， $𝔤$ は直和分解される： $𝔤 = \ker (𝑓) \oplus 𝔤_{1}$ $𝜌$ の跡形式を $𝛽 : 𝔤 \otimes 𝔤 \to 𝕂$ とすると，これは $𝔤_{1} \otimes 𝔤_{1}$ 上忠実なので非退化． $𝔤_{1}$ の基底 ${𝑒_{𝑖}}_{𝑖 \in \dim 𝔤_{1}}$ を任意に一つとり， $𝛽$ に関する双対基底を ${𝑒^{𝑖}}_{𝑖 \in \dim 𝔤_{1}}$ とする．これに対し， $𝑐_{𝜌} ≔ \sum_{𝑖 \in \dim 𝔤_{1}} 𝑒_{𝑖} 𝑒^{𝑖} \in 𝑈 (𝔤_{1})$ とすると，前Casimir元 $𝜌 (𝑐_{𝜌})$ は一般に加群準同型なので，Fittingの補題より， $𝑉$ の $𝔤$ -加群の直和分解 $𝑉 = 𝑉_{0} \oplus 𝑉_{1}$ が存在し， $𝜌 (𝑐_{𝜌})$ は $𝑉_{0}$ 上冪零， $𝑉_{1}$ 上自己同型となる．

$𝑉_{0}$ 上では，前Casimir元の性質より $\dim (𝔤 ∕ \ker ({𝜌 |}_{𝑉_{0}})) = tr ({𝜌 |}_{𝑉_{0}} (𝑐_{𝜌})) = 0$ となる．つまり， $𝔤 = \ker ({𝜌 |}_{𝑉_{0}})$ なので， ${𝜌 |}_{𝑉_{0}} = 0$ となる．ゆえに， ${𝑓 |}_{𝑉_{0}} = 0$ ．

ゆえに， $𝑤 ≔ \sum_{𝑖 \in \dim 𝔤_{1}} 𝑒_{𝑖} 𝑓 (𝑒^{𝑖}) \in 𝑉_{1}$ となる．これに対し， $\begin{matrix} 𝑥 𝑤 & = & \sum_{𝑖 \in \dim 𝔤_{1}} 𝑒_{𝑖} 𝑥 𝑓 (𝑒^{𝑖}) + \sum_{𝑖 \in \dim 𝔤_{1}} [𝑥, 𝑒_{𝑖}] 𝑓 (𝑒^{𝑖}) \\ = & \sum_{𝑖 \in \dim 𝔤_{1}} 𝑒_{𝑖} 𝑥 𝑓 (𝑒^{𝑖}) + \sum_{𝑖, 𝑗 \in \dim 𝔤_{1}} 𝛽 ([𝑥, 𝑒_{𝑖}], 𝑒^{𝑗}) 𝑒_{𝑗} 𝑓 (𝑒^{𝑖}) \\ = & \sum_{𝑖 \in \dim 𝔤_{1}} 𝑒_{𝑖} 𝑥 𝑓 (𝑒^{𝑖}) - \sum_{𝑖, 𝑗 \in \dim 𝔤_{1}} 𝛽 ([𝑥, 𝑒^{𝑗}], 𝑒_{𝑖}) 𝑒_{𝑗} 𝑓 (𝑒^{𝑖}) \\ = & \sum_{𝑖 \in \dim 𝔤_{1}} 𝑒_{𝑖} 𝑥 𝑓 (𝑒^{𝑖}) - \sum_{𝑗 \in \dim 𝔤_{1}} 𝑒_{𝑗} 𝑓 ([𝑥, 𝑒^{𝑗}]) \\ = & \sum_{𝑖 \in \dim 𝔤_{1}} 𝑒_{𝑖} 𝑒^{𝑖} 𝑓 (𝑥) \\ = & 𝑐_{𝜌} 𝑓 (𝑥) \end{matrix}$ となる．ゆえに， $𝑣 ≔ {𝜌 (𝑐_{𝜌})}^{- 1} 𝑤$ とすればよい．

半単純性に関するWeylの定理

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元無中心半単純Lie代数 $𝔤$

を与えると，任意の有限次元 $𝔤$ -加群は半単純．

証明

有限次元 $𝔤$ -加群 $𝑉$ と対応する表現 $𝜌$ を与え， $𝑉$ の任意の単純部分加群 $𝑊$ を一つとる． $𝔤𝔩 (𝑉)$ の部分線型空間を $𝑈_{𝑊} ≔ {𝑡 \in 𝔤𝔩 (𝑉) | 𝑡 (𝑉) \subseteq 𝑊, 𝑡 (𝑊) = 0}$ と定め，これを $𝔤$ -加群の $hom$ の $𝔤$ -加群と見做す．つまり， $𝑥 \in 𝔤$ に対し， $𝑥 𝑡 ≔ [𝜙 (𝑥), 𝑡]$ を満たす．

$𝑊$ への射影 $𝑝 : 𝑉 \to 𝑉$ を任意に一つとり， $𝑓 \in {hom}_{𝕂} (𝔤, 𝑈_{𝑊})$ を $𝑓 (𝑥) ≔ [𝑝, 𝜌 (𝑥)]$ と定める．Jacobi恒等式より， $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝔤$ に対し， $𝑓 (𝑥, 𝑦) = [𝑝, [𝜌 (𝑥), 𝜌 (𝑦)]] = [𝜌 (𝑥), [𝑝, 𝜌 (𝑦)]] - [𝜌 (𝑦), [𝑝, 𝜌 (𝑥)]] = 𝑥 𝑓 (𝑦) - 𝑦 𝑓 (𝑥)$ となるから，Whiteheadの補題より， $\exists 𝑡 \in 𝑈_{𝑊}$ に対して， $\forall 𝑥 \in 𝔤, 𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑡 = [𝜌 (𝑥), 𝑡]$ を満たす．よってこのとき， $\forall 𝑥 \in 𝔤$ に対して， $[𝜌 (𝑥), 𝑝 + 𝑡] = [𝜌 (𝑥), 𝑝] [𝜌 (𝑥), 𝑡] = - 𝑓 (𝑥) + 𝑓 (𝑥) = 0$ となるから， $𝑝 + 𝑡$ は $𝔤$ -加群準同型．ところで， $𝑝, 𝑡$ の定義をそれぞれ思い出すと， $𝑊 = 𝑝 (𝑉) \subseteq (𝑝 + 𝑡) (𝑉) \subseteq 𝑊$ より $(𝑝 + 𝑡) (𝑉) = 𝑊$ となる． $𝑝 + 𝑡$ の像の制限を $𝑝^{'}$ とすると， $𝑝^{'} \circ {(𝑝 + 𝑡) |}_{𝑊} = {id}_{𝑊}$ が満たされるから，分裂補題より， $𝑉 = 𝑊 ⨁ \ker (𝑝^{'})$ となる． $𝑉$ は有限次元だから半単純となる．

Jordan-Chevalley分解と抽象Jordan分解の一致

標数 $0$ の体 $𝕂$ を与えると，以下が成り立つ：

- $𝕂$ -線型空間 $𝑉$
- 無中心半単純な $𝑉$ 上の線型Lie代数 $𝔤 \subseteq 𝔤𝔩 (𝑉)$
を与えると，
- $\forall 𝑥 \in 𝔤$ のJordan-Chevalley分解 $𝑥 = 𝑥_{s} + 𝑠_{n}$ に対し， $𝑥_{s}, 𝑥_{n} \in 𝔤$ ．
- $\forall 𝑥 \in 𝔤$ のJordan-Chevalley分解は，抽象Jordan分解に等しい．
- 無中心半単純Lie代数 $𝔤$
- $𝔤$ -加群 $𝑉$ と対応する表現 $𝜌$
を与えると， ∀ ⁡ 𝑥∈𝔤 の抽象Jordan分解 𝑥 = 𝑥s + 𝑥n に対し， 𝜌 ⁡ (𝑥) = 𝜌 ⁡ ( 𝑥s ) + 𝜌 ⁡ ( 𝑥n ) はJordan-Chevalley分解．

証明

- $𝕂$ の代数閉包を $\overline{𝕂}$ とすると， $𝔤$ のスカラー拡大 $\overline{𝔤} ≔ 𝔤 \otimes_{𝕂} \overline{𝕂}$ も無中心半単純Lie代数．また，Jordan-Chevalley分解も保たれるから， $𝑥_{s} \otimes_{𝕂} 1_{\overline{𝕂}}, 𝑥_{n} \otimes_{𝕂} 1_{\overline{𝕂}} \in \overline{𝔤}$ を満たすならば， $𝑥_{s}, 𝑥_{n} \in 𝔤𝔩 (𝑉) \cap \overline{𝔤} = 𝔤$ も言える．ゆえに， $𝕂$ が代数閉体の場合のみ示せばよい．
  
  $𝔤$ の正規化Lie代数を $𝑁 ≔ 𝑁_{𝔤𝔩 (𝑉)} (𝔤)$ とすると， $𝔤$ はLie代数だから， $𝔤 \subseteq 𝑁$ ． $𝔤$ は $𝔤𝔩 (𝑉)$ の部分Lie代数だから， ${ad}_{𝔤𝔩 (𝑉)} 𝑥 (𝔤) = [𝑥, 𝔤] \subseteq 𝔤$ より $𝑥 \in 𝑁$ ． $𝑥_{s}, 𝑥_{𝑛}$ は $𝑥$ の多項式で書けるから，同様な理由により $𝑥_{s}, 𝑥_{n} \in 𝑁$ となる．
  
  包含準同型 $𝑖 : 𝔤 ↪ 𝔤𝔩 (𝑉)$ によって， $𝑉$ を $𝔤$ -加群と見做し， $𝑉$ の部分 $𝔤$ -加群の集合を ${submod}_{𝔤} (𝑉)$ とする．各 $𝑊 \in {submod}_{𝔤} (𝑉)$ に対し， $𝐿_{𝑊} ≔ {𝑦 \in 𝔤𝔩 (𝑉) | 𝑦 (𝑊) \subseteq 𝑊, tr ({𝑦 |}_{𝑊}) = 0}$ と定義すると，跡の巡回性よりこれは $𝑉$ 上の線型Lie代数．さらに， $𝔤 = [𝔤, 𝔤]$ なので， $𝔤 \subseteq 𝐿_{𝑊}$ となる．同様に， $𝑥_{s}, 𝑥_{n} \in 𝐿_{𝑊}$ となる．
  
  ここで， $𝔤^{'} ≔ 𝑁 \cap (⋂_{𝑊 \in {submod}_{𝔤} (𝑉)} 𝐿_{𝑊})$ と定義すると，これは $𝔤$ をイデアルとして持つ $𝑁$ の部分Lie代数であり， $𝑥_{s}, 𝑥_{n} \in 𝔤^{'}$ となる． $𝔤^{'}$ の随伴表現 ${ad}_{𝔤^{'}}$ の $𝔤$ への制限 ${{ad}_{𝔤^{'}} |}_{𝔤}$ により $𝔤$ -加群と見做すと， $𝔤$ はその部分 $𝔤$ -加群と見做せるから，半単純性に関するWeylの定理より，部分 $𝔤$ -加群 $𝔥$ が存在し，加群の直和 $𝔤^{'} = 𝔤 \oplus 𝔥$ が成り立つ．部分 $𝔤$ -加群の定義と $[𝔤, 𝔤^{'}] \subseteq [𝔤, 𝑁] \subseteq 𝔤$ より $[𝑖 (𝔤), 𝔥] = [𝔤, 𝔥] = 𝔤 \cap 𝔥 = {0}$ となる．ゆえに， $\forall 𝑦 \in 𝔥$ は $𝑉$ 上の加群準同型．代数閉体上のSchurの補題より， $𝑉$ の任意の単純部分 $𝔤$ -加群 $𝑊$ に対し， ${𝑦 |}_{𝑊} = tr {𝑦 |}_{𝑊} \dim 𝑊 {id}_{𝑊}$ となる． $𝐿_{𝑊}$ より， ${𝑦 |}_{𝑊} = 0$ となる．半単純性に関するWeylの定理より $𝑉$ は単純部分 $𝔤$ -加群の直和なので， $𝑦 = 0$ となる．つまり， $𝑥_{s}, 𝑥_{n} \in 𝔤^{'} = 𝔤 \oplus 𝔥 = 𝔤$ が示された．
- 抽象Jordan分解の一意性より明らか．
抽象Jordan分解の定義より， ${ad}_{𝔤} (𝑥) = {ad}_{𝔤} (𝑥_{s}) + {ad}_{𝔤} (𝑥_{n})$ はJordan-Chevalley分解となる． $𝕂$ の代数閉包を $\overline{𝕂}$ とすると， $𝑦 \in 𝔤 \otimes_{𝕂} \overline{𝕂}$ が $(ad 𝑥_{s}) \otimes_{𝕂} 1_{\overline{𝕂}}$ の固有値 $𝜆 \in \overline{𝕂}$ の固有ベクトルならば， $𝜌 (𝑦) \in 𝜌 (𝔤 \otimes_{𝕂} \overline{𝕂})$ は ${ad}_{𝜌 (𝔤 \otimes_{𝕂} \overline{𝕂})} 𝜌 (𝑥_{s}) \otimes_{𝕂} 1_{\overline{𝕂}}$ の固有値 $𝜆 \in \overline{𝕂}$ の固有ベクトルとなる．つまり半単純変換．同様に， ${ad}_{𝜌 (𝔤)} 𝜌 (𝑥_{n})$ は冪零変換なので， ${ad}_{𝜌 (𝔤)} (𝜌 (𝑥)) = {ad}_{𝜌 (𝔤)} (𝜌 (𝑥_{s})) + {ad}_{𝜌 (𝔤)} (𝜌 (𝑥_{n}))$ は $𝜌 (𝔤)$ におけるJordan-Chevalley分解となる．ゆえに， $𝜌 (𝑥) = 𝜌 (𝑥_{s}) + 𝜌 (𝑥_{n})$ は抽象Jordan分解となるので，これはJordan-Chevalley分解に等しい．

有限型Kac-Moody代数

標数 $0$ の体上の性質の良い有限次元無中心半単純Lie代数が，実はKac-Moody代数

有限次元無中心半単純Lie代数の極大トーラス

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元無中心半単純Lie代数 $𝔤$

を与えると，以下が成り立つ：

𝔤 の部分Lie代数 𝔥 に対し，以下は同値：
- $𝔥$ はCartan部分代数
- $𝔥$ は極大トーラス
特に，𝕂 が代数閉体であれば，𝔥 は極大分裂トーラス．
極大トーラスの中心化Lie代数，正規化Lie代数は自分自身．

証明

$𝔥$ の中心化Lie代数を $𝑍_{𝔤} (𝔥)$ ，正規化Lie代数を $𝑁_{𝔤} (𝔥)$ とする．

- $\forall 𝑥 \in 𝔥$ を取り，その抽象Jordan分解が一意的に存在するからそれを $𝑥 = 𝑥_{s} + 𝑥_{n}$ とする．このとき $ad 𝑥_{s}, ad 𝑥_{n}$ は $ad 𝑥$ の多項式で書けるから， $ad 𝑥_{s} (𝔥), ad 𝑥_{n} (𝔥) \subseteq [𝔥, 𝔥] \subseteq 𝔥$ を満たす．ゆえに， $𝑥_{s}, 𝑥_{n} \in 𝑁_{𝔤} (𝔥) = 𝔥$ となる．
  
  $𝔥$ は冪零なので，非零な中心 $𝑍_{𝔥} (𝔥)$ を持つ． $𝑧 \in 𝑍_{𝔥} (𝔥) ∖ 0$ を取ると， ${ad}_{𝔥} 𝑥_{s} = 0$ である． ${0} = 𝜅 (0, 𝔤) = 𝜅 ([𝑧, 𝑥_{n}], 𝔤) = 𝜅 (𝑧, [𝑥_{n}, 𝔤])$ だが，有限次元無中心半単純Lie代数のKilling形式は非退化なので， $[𝑥_{n}, 𝔤] = 0$ ． $𝔤$ は無中心なので， $𝑥_{n} = 0$ ．ゆえに， $ad 𝑥 = ad 𝑥_{s}$ は半単純変換となり， $𝔥$ はトーラスとなる．
  
  $𝑡 \in 𝔤$ であって，抽象Jordan分解が $(𝑡, 0)$ であるようなものを一つとる． $𝔥 \subseteq 𝔥 + 𝕂 𝑡 \subseteq 𝑁_{𝔤} (𝔥) = 𝔥$ より $𝑡 \in 𝔥$ ．
- $𝔥$ が極大トーラスのとき， $𝔥$ を含むCartan部分代数が存在することを示せば，それも（極大）トーラスとなるので，それは $𝔥$ に等しいとわかる．
  
  $𝔥^{'}$ を $𝑍_{𝔤} (𝔥)$ のCartan部分代数とする． $𝔥$ は可換であることと，中心化Lie代数の性質より $𝔥 \subseteq 𝑍 (𝑍_{𝔤} (𝔥)) \subseteq 𝑁_{𝑍_{𝔤} (𝔥)} (𝔥^{'}) = 𝔥^{'}$ となる． $𝔥^{'}$ の $𝔤$ における正規化Lie代数 $𝑁_{𝔤} (𝔥^{'})$ に対し， $[𝔥, 𝑁_{𝔤} (𝔥^{'})] \subseteq [𝔥^{'}, 𝑁_{𝔤} (𝔥^{'})] \subseteq 𝔥^{'}$ となるから， $[𝔥, [𝔥, 𝑁_{𝔤} (𝔥^{'})]] \subseteq [𝔥, 𝔥^{'}] \subseteq [𝔥, 𝑍_{𝔤} (𝔥)] = {0}$ となる．トーラスの定義より， $\forall ℎ \in 𝔥$ に対する $ad ℎ$ は半単純変換なので， $\ker {(ad ℎ)}^{2} = \ker (ad ℎ)$ となる．ゆえに， $[𝔥, 𝑁_{𝔤} (𝔥^{'})] = {0}$ ，つまり， $𝑁_{𝔤} (𝔥^{'}) \subseteq 𝑍_{𝔤} (𝔥)$ なので， $𝔥^{'} \subseteq 𝑁_{𝔤} (𝔥^{'}) = 𝑁_{𝑁_{𝔤} (𝔥^{'})} (𝔥^{'}) \subseteq 𝑁_{𝑍_{𝔤} (𝔥)} (𝔥) = 𝔥^{'}$ となる． $𝔥^{'}$ が冪零であることと合わせて， $𝔥^{'}$ は $𝔤$ のCartan部分代数となる．
トーラスは定義より可換なので，中心化Lie代数の性質より， $𝔥 = 𝑍 (𝔥) \subseteq 𝑍_{𝔤} (𝔥) \subseteq 𝑁_{𝔤} (𝔥)$ だが，Cartan部分代数の定義より全ての等号が成り立つ．

ルート空間分解：明らか
$𝔥^{*} = span 𝛷$
多分 $𝛷 = - 𝛷$ を示す
正ルートと負ルートに分割
単純ルート：正ルートの和で書けない正ルート．あとはこれが基底となることを示す．定義より正ルートは単純ルートの正係数線型結合．
$𝛼_{𝑗} (ℎ_{𝑖}) = (𝛼_{𝑗} 𝛼_{𝑖}^{\lor})$ とし，これがCartan行列となることを示す．対角成分は自明．非対角成分は𝛼-string through 𝛽 の話から，整数となり， $𝛼_{𝑖} - 𝛼_{𝑗} \notin - 𝛷$ より非正整数となる．
生成系：まずは，単純ルートのルート空間が1次元であることを確認．単純ルート系からなる．生成されることは $[𝔤_{𝛼}, 𝔤_{𝛽}] = 𝔤_{𝛼 + 𝛽}$
Chevalley関係式：最初と最後の式は明らか．残りはCartan行列そのもの
Serre関係式：𝛼-string through 𝛽
都合よく標準形式がいるので，対称化可能だとわかる．
Kac-Moody代数の非零な商Lie代数となるが，単純成分それぞれ考えれば，Kac-Moody代数そのものになる．

以上より必要な補題は，

$\dim 𝔤_{𝛼} = 1$
$𝛷 = - 𝛷$
$𝔥^{*} = span 𝛷$
$𝔤_{𝛼} \oplus 𝔤_{- 𝛼} \oplus 𝕂 𝑡_{𝛼}$ が $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ と同型．
𝛼-string through 𝛽
$𝛽 (ℎ_{𝛼}) \in ℤ$

有限次元無中心半単純Lie代数のルート空間分解

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有限次元無中心半単純Lie代数 $𝔤$ であって，極大トーラスかつ極大分裂トーラス $𝔥$ を持つもの．
$𝔥$ に関する $𝔤$ のルートの集合 $𝛷$
$𝔤$ のルート空間分解 $𝔤 = ⨁_{𝛼 \in 𝛷} 𝔤_{𝛼}$

を与えると，以下が成り立つ：

$\forall 𝛼 \in 𝛷 ∖ 0$ に対し， $ad (𝑥) \in 𝔤𝔩 (𝔤)$ は冪零変換．
$\forall 𝛼, 𝛽 \in 𝛷 ∖ 0$ に対し， $𝛼 + 𝛽 \neq 0$ ならば， $𝜅$ について $𝔤_{𝛼}$ と $𝔤_{𝛽}$ は直交する： ${𝜅 |}_{𝔤_{𝛼} \otimes 𝔤_{𝛽}} = 0$
$𝜅$ に関する $𝔤_{𝛼}$ の直交補空間は ${𝔤_{𝛼}}^{⊥} = ⨁_{𝛽 \in 𝛷 ∖ {- 𝛼}} 𝔤_{𝛽}$
${𝜅 |}_{𝔥 \otimes 𝔥}$ は非退化．ゆえに，線型同型 $𝔥 \to 𝔥^{*}, ℎ \mapsto (𝑥 \mapsto 𝜅 (ℎ, 𝑥))$ が存在し，その逆写像を $𝔥^{*} \to 𝔥, 𝛼 \mapsto 𝑡_{𝛼}$ とすると，以下を満たす： $𝛼 (-) = 𝜅 (𝑡_{𝛼}, -)$
$𝔥^{*} = span 𝛷$
$\forall 𝛼 \in 𝛷$ に対し， $- 𝛼 \in 𝛷$
$\forall 𝛼 \in 𝛷$ に対し， $[𝔤_{𝛼}, 𝔤_{- 𝛼}] = 𝕂 𝑡_{𝛼}$
$\forall 𝛼 \in 𝛷$ に対し， $𝛼 (𝑡_{𝛼}) = 𝜅 (𝑡_{𝛼}, 𝑡_{𝛼}) \neq 0$
$\forall 𝛼 \in 𝛷$ および $\forall 𝑥_{𝛼} \in 𝔤_{𝛼} ∖ {0}$ に対し， $\exists 𝑦_{𝛼} \in 𝔤_{- 𝛼}$ となり， $ℎ_{𝛼} ≔ [𝑥_{𝛼}, 𝑦_{𝛼}] \in 𝔥$ とおき，これらを $𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ の標準基底へ写す写像 $𝑥_{𝛼} \mapsto ℎ_{+}, 𝑦_{𝛼} \mapsto ℎ_{-}, ℎ_{𝛼} \mapsto ℎ$ を線型に拡張した線型写像 $span {𝑥_{𝛼}, ℎ_{𝛼}, 𝑦_{𝛼}} \to 𝔰𝔩 (2, 𝕂)$ はLie代数同型．
$\forall 𝛼 \in 𝛷$ に対し， $\dim 𝔤_{𝛼} = 1$ となる．

有限型対称化可能Cartan行列・有限次元Kac-Moody代数

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$ 次の対称化可能Cartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$
$𝛷$ に関するKac-Moody代数 $𝔤$
$𝔤$ の標準形式 $(,)$

を与えると，以下は同値：

$𝔤$ が有限次元無中心半単純Lie代数．
$𝔤$ が有限次元．
Cartan行列 $𝐴$ が有限型．
$\forall 𝑢 \in {(ℝ_{> 0})}^{𝑛}, 𝐴 𝑢 > 0$
$𝔤$ が $(,)$ に関する虚ルートを持たない．
$𝔤$ のルートの集合 $𝛥$ は有限集合．
Weyl群 $𝑊$ は有限集合．

さらに，これらの条件を満たすとき，以下が成り立つ：

$𝐴$ は正則．
$𝔥 ≔ ⨁_{𝑖 \in 𝑛} 𝕂 ℎ_{𝑖} = 𝔤_{0}$

証明

まずは，最初の2条件以外の同値性を示す：

$𝛥$ が有限⇒ $𝑊$ が有限は明らか．
$𝑊$ が有限のとき， $𝔼$ は有限次元なので，内積 ${(,)}^{'} : 𝔼 \otimes 𝔼 \to ℝ$ が定義できる．それを任意に一つ取り，新たな双線型形式を $(,) : 𝔼 \otimes 𝔼 \to ℝ, (𝜆, 𝜇) ≔ \sum_{𝑤 \in 𝑊} {(𝜆, 𝜇)}^{'}$ とすると，これは $𝑊$ -不変な正定値対称双線型形式．ところで， $𝔼$ 上の $𝑊$ -不変な対称双線型形式は既約成分の同型を除いて一意なので， $𝔤$ の標準形式は正定値．
$𝔤$ の標準形式は正定値であることと， $𝔤$ が $(,)$ に関する虚ルートを持たないことは明らかに同値．
虚ルートを持たないとき，標準形式の $𝑊$ -不変性と，Kac-Moody代数における実ルートの条件より， $\forall 𝛼 \in 𝛥$ に対し， $(𝛼, 𝛼) \in {(𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖}) | 𝑖 \in 𝑛}$ となり，つまり $(𝛼, 𝛼)$ の取り得る値は高々有限個となる．これらの最大値を $𝑁 \in ℚ$ とすると， ${(𝛼, 𝛼) \leq 𝑁 | 𝛼 \in \sum_{𝑖 \in 𝑛} ℤ 𝛼_{𝑖}}$ は離散コンパクト集合なので有限． $𝛥$ はこれに含まれるので，有限集合．

以上の条件において， $\det (𝐴) = \det (𝐷^{- 1}) \det (𝐷 𝐴) > 0$ なので， $𝐴$ は正則．ゆえに， $𝔥 = 𝔤_{0}$ となる．

残りの条件の同値性を示す：

$𝔤$ が有限次元⇒ $𝛥$ が有限は明らか．逆に $𝛥$ が有限なとき， $\forall 𝑖 \in 𝑛$ に対し， $\dim 𝔤_{𝛼_{𝑖}} = 1$ なので， $\forall 𝛼 \in 𝛥 = 𝛥_{re}$ に対し， $\dim 𝔤_{𝛼} = 1$ となる．ゆえに， $\dim 𝔤 = 𝑛 + | 𝛥 | < \infty$ を満たし， $𝔤$ は有限次元．
$𝔤$ が有限次元のとき， $𝔤$ の非零なイデアル $𝔦$ に対し，Kac-Moody代数の定義より， $𝔦 \cap 𝔥 \neq {0}$ となる． $\forall ℎ \in 𝔦 \cap 𝔤_{0} ∖ {0}$ に対し， $\exists 𝑖 \in 𝑛, 𝛼_{𝑖} (ℎ) \neq 0$ を満たす．この $𝑖$ に対し， $ℎ_{𝑖, \pm} = [ℎ, \pm {(𝛼_{𝑖} (ℎ))}^{- 1} ℎ_{𝑖, \pm}] \in 𝔦, ℎ_{𝑖} = [ℎ_{𝑖, +}, ℎ_{𝑖, -}] \in 𝔦$ となる．さらに， $\forall 𝑖, 𝑗 \in 𝑛$ に対し， $ℎ_{𝑖, \pm}, ℎ_{𝑖} \in 𝔦$ かつ $𝑎_{𝑖, 𝑗} \neq 0$ ならば， $ℎ_{𝑗, \pm} = [ℎ_{𝑖}, \pm {𝑎_{𝑖, 𝑗}}^{- 1} ℎ_{𝑗, \pm}] \in 𝔦, ℎ_{𝑗} = [ℎ_{𝑗, +}, ℎ_{𝑗, -}] \in 𝔦$ となる．よって， $𝐴$ が既約ならば， $𝔦$ は $𝔤$ の生成系を全て含むから， $𝔦 = 𝔤$ となり， $𝔤$ は無中心単純Lie代数となる．一般の $𝐴$ に対しては， $𝔦$ は無中心単純Lie代数の直和となるから，有限次元無中心半単純Lie代数となる．逆にこのとき， $𝔤$ が有限次元となることは明らか．

有限次元無中心単純Lie代数の分類

標数 $0$ の体 $𝕂$ を与えると，任意の $𝕂$ 上の有限次元無中心半単純Lie代数であって極大トーラスかつ極大分裂トーラスとなるもの $𝔥$ を持つものに対し，対称化可能Cartan行列 $𝐴$ が存在し， $𝐴$ に対するKac-Moody代数とLie代数同型．

$𝑋_{𝑙}$ 型Cartan行列

$𝑙 \in ℕ$ に対する $𝐴_{𝑙}$ 型Cartan行列(type $𝐴_{𝑙}$ )とは，以下で定義されるCartan行列のこと： $𝐴 ≔ (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) = {(𝑎_{𝑖, 𝑗} ≔ {\begin{matrix} 2 & 𝑖 = 𝑗 \\ - 1 & 𝑖 = 𝑗 \pm 1 \\ 0 & 他 \end{matrix})}_{𝑖, 𝑗 \in 𝑙}$
$𝑙 \in ℕ$ に対する $𝐶_{𝑙}$ 型Cartan行列(type $𝐶_{𝑙}$ )とは，以下で定義されるCartan行列のこと： $𝐴 ≔ (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & - 1 \\ ⋱ & ⋱ & - 2 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) = {(𝑎_{𝑖, 𝑗} ≔ {\begin{matrix} 2 & 𝑖 = 𝑗 \\ - 1 & 𝑖 \in 𝑙 - 2, 𝑗 = 𝑖 + 1 \cup 𝑗 \in 𝑙 - 1, 𝑖 = 𝑗 + 1 \\ - 2 & 𝑖 = 𝑙 - 2, 𝑗 = 𝑙 - 1 \\ 0 & 他 \end{matrix})}_{𝑖, 𝑗 \in 𝑛}$
$𝑙 \in ℕ$ に対する $𝐵_{𝑙}$ 型Cartan行列(type $𝐵_{𝑙}$ )とは，以下で定義されるCartan行列のこと： $𝐴 ≔ (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & ⋱ \\ - 1 & ⋱ & - 1 \\ - 2 & 2 \end{matrix}) = {(𝑎_{𝑖, 𝑗} ≔ {\begin{matrix} 2 & 𝑖 = 𝑗 \\ - 1 & 𝑖 \in 𝑙 - 1, 𝑗 = 𝑖 + 1 \cup 𝑗 \in 𝑙 - 2, 𝑖 = 𝑗 + 1 \\ - 2 & 𝑖 = 𝑙 - 1, 𝑗 = 𝑙 - 2 \\ 0 & 他 \end{matrix})}_{𝑖, 𝑗 \in 𝑛}$
$𝑙 \in ℕ$ に対する $𝐷_{𝑙}$ 型Cartan行列(type $𝐷_{𝑙}$ )とは，以下で定義されるCartan行列のこと： $𝐴 ≔ (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & - 1 & - 1 \\ - 1 & ⋱ & 0 \\ - 1 & 0 & 2 \end{matrix}) = {(𝑎_{𝑖, 𝑗} ≔ {\begin{matrix} 2 & 𝑖 = 𝑗 \\ - 1 & 𝑖 \in 𝑙 - 2, 𝑗 = 𝑖 + 1 \cup 𝑗 \in 𝑙 - 2, 𝑖 = 𝑗 + 1 \cup 𝑖 + 2 = 𝑗 = 𝑙 - 1 \cup 𝑖 = 𝑗 + 2 = 𝑙 - 1 \\ - 2 & 𝑖 = 𝑛 - 1, 𝑗 = 𝑛 \\ 0 & 他 \end{matrix})}_{𝑖, 𝑗 \in 𝑛}$
$𝑙 \in ℕ_{\geq 3}$ に対する $𝐸_{𝑙}$ 型Cartan行列(type $𝐸_{𝑙}$ )とは，以下で定義されるCartan行列のこと： $𝐴 ≔ (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ - 1 & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & - 1 \\ - 1 & 2 & 0 \\ - 1 & 0 & 2 \end{matrix}) = {(𝑎_{𝑖, 𝑗} ≔ {\begin{matrix} 2 & 𝑖 = 𝑗 \\ - 1 & 𝑖 \in 𝑙 - 2, 𝑗 = 𝑖 + 1 \cup 𝑗 \in 𝑙 - 2, 𝑖 = 𝑗 + 1 \cup 𝑖 = 2, 𝑗 = 𝑙 - 1 \cup 𝑗 = 2, 𝑖 = 𝑙 - 1 \\ 0 & 他 \end{matrix})}_{𝑖, 𝑗 \in 𝑛}$
$𝐹_{4}$ 型Cartan行列(type $𝐹_{4}$ )とは，以下で定義される $4$ 次のCartan行列のこと： $𝐴 ≔ (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 2 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix})$
$𝐺_{2}$ 型Cartan行列(type $𝐺_{2}$ )とは，以下で定義されるCartan行列のこと： $𝐴 ≔ (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 3 & - 1 \end{matrix})$

$𝑋_{𝑙}$ 型Cartan行列の同型

$𝑋_{𝑙}$ 型Cartan行列に対し，以下が成り立つ：

$𝐴_{1} = 𝐶_{1} = 𝐵_{1} = 𝐷_{1}$
$𝐵_{2} = {𝐶_{2}}^{T}$
$𝐷_{2} = 𝐴_{1} \oplus 𝐴_{1}$
$𝐷_{3} = 𝐴_{3}$
$𝐸_{3} = 𝐴_{2} \oplus 𝐴_{1}$
$𝐸_{4} = 𝐴_{4}$
$𝐸_{5} = 𝐷_{5}$

逆に，これら以外の $𝑋_{𝑙}$ 型Cartan行列は互いに相異なる．

有限次元Kac-Moody代数の分類

標数 $0$ の体 $𝕂$ を与えると，以下が成り立つ：

𝕂 上の単純な有限次元Kac-Moody代数は以下の $𝑋_{𝑙}$ 型Cartan行列に対するKac-Moody代数の内，いずれかに等しい：
- $\forall 𝑙 \in ℕ$ に対する $𝐴_{𝑙}$
- $\forall 𝑙 \in ℕ_{\geq 2}$ に対する $𝐶_{𝑙}$
- $\forall 𝑙 \in ℕ_{\geq 3}$ に対する $𝐵_{𝑙}$
- $\forall 𝑙 \in ℕ_{\geq 4}$ に対する $𝐷_{𝑙}$
- $𝐸_{6}, 𝐸_{7}, 𝐸_{8}, 𝐹_{4}, 𝐺_{2}$
任意の有限次元Kac-Moody代数は，以上の $𝑋_{𝑙}$ 型Cartan行列に対するKac-Moody代数の直和に同型．

証明

後者の主張は，有限次元Kac-Moody代数の条件の一つより明らか．前者を示す．

それぞれの $𝑋_{𝑙}$ 型Cartan行列に対するKac-Moody代数の詳細は，専用のページを設ける（予定）

（標数 $0$ の体上の）既約有限型Kac-Moody代数の一覧
名前	次元	正ルート数	Weyl群	中心の生成系の次数	Cartan行列式
$𝔰𝔩 (𝑛 + 1, 𝕂)$	$𝑛 (𝑛 + 2)$	$\frac{𝑛 (𝑛 + 1)}{2}$	$𝔖_{𝑛 + 1}$	$2, \dots, 𝑛 + 1$	$𝑛 + 1$
$𝔰𝔭 (2 𝑛, 𝕂)$	$𝑛 (2 𝑛 + 1)$	$𝑛^{2}$	${ℤ_{2}}^{𝑛} ⋊ 𝔖_{𝑛}$	$2, 4, \dots, 2 𝑛$	$2$
$𝔰𝔬 (2 𝑛 + 1, 𝕂)$	$𝑛 (2 𝑛 + 1)$	$𝑛^{2}$	${ℤ_{2}}^{𝑛} ⋊ 𝔖_{𝑛}$	$2, 4, \dots, 2 𝑛$	$2$
$𝔰𝔬 (2 𝑛, 𝕂)$	$𝑛 (2 𝑛 - 1)$	$𝑛 (𝑛 - 1)$	${ℤ_{2}}^{𝑛 - 1} ⋊ 𝔖_{𝑛}$	$2, 4, \dots 2 𝑛 - 2, 𝑛$	$4$
$𝐸_{6}$	$78$	$36$		$2, 5, 6, 8, 9, 12$	$3$
$𝐸_{7}$	$133$	$63$		$2, 6, 8, 10, 12, 14, 18$	$2$
$𝐸_{8}$	$248$	$120$		$2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30$	$1$
$𝐹_{4}$	$52$	$24$	$({ℤ_{2}}^{3} ⋊ 𝔖_{4}) ⋊ 𝔖_{3}$	$2, 6, 8, 12$	$1$
$𝐺_{2}$	$14$	$6$	$𝐷_{6}$	$2, 6$	$1$

有限次元Kac-Moody代数の性質

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑙 \in ℕ$ に対する $𝑋_{𝑙}$ 型Cartan行列 $𝐴$
$𝐴$ に対する有限次元Kac-Moody代数 $𝔤$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝔤$ 上の非退化不変形式は，標準形式の定数倍に限られる．ゆえに，Killing形式は標準形式に比例する．

包絡代数の中心

Duflo同型（余裕の未整理）

Duflo同型

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上のLie代数 $𝔤$
$𝔤$ 上の包絡代数 $𝑈 (𝔤)$
$𝔤$ 上の対称代数 $𝑆 (𝔤)$
$𝔤$ の内部微分 $ad$ を微分となるように $𝑈 (𝔤)$ および $𝑆 (𝔤)$ に拡張したもの．
対称化写像 $𝐼_{PBW} : 𝑆 (𝔤) \to 𝑈 (𝔤)$ （ $sym (𝑥_{1} \dots 𝑥_{𝑛}) ≔ \frac{1}{𝑛!} \sum_{𝜎 \in 𝑆_{𝑛}} 𝑥_{𝜎 (1)} \dots 𝑥_{𝜎 (𝑛)}$ ）
包絡代数の中心 $𝑍 (𝑈 (𝔤))$ （ $ad$ で不変な部分（結合）代数に等しい）．
$𝑆 (𝔤)$ の $ad$ で不変な元全体のなす部分（結合）代数 ${𝑆 (𝔤)}^{𝔤}$
$𝑥 \in 𝔤$ に対する形式的冪級数 $𝑗 (𝑥) ≔ \underset{𝔤}{\det} (\frac{\sinh (\frac{ad 𝑥}{2})}{\frac{ad 𝑥}{2}})$ の平方根 $𝑗^{\frac{1}{2}}$

を与える．

Duflo写像(Duflo map)とは， $𝕂$ -線型写像 $𝐼_{PBW} \circ 𝑗^{\frac{1}{2}} : 𝑆 (𝔤) \to 𝑈 (𝔤)$ のこと．
Duflo同型(Duflo isomorphism)とは，Duflo写像の制限 $𝐼_{PBW} \circ 𝑗^{\frac{1}{2}} : {𝑆 (𝔤)}^{𝔤} \to 𝑍 (𝑈 (𝔤))$ のこと．

Duflo同型は代数同型

Duflo同型は（可換結合）代数同型

Harish-Chandra同型

アフィンLie代数

拡大Dynkin図形

アフィンLie代数

アフィンLie代数・ループ代数

$𝑙 \in ℕ$ に対する $𝑋_{𝑙}$ 型Cartan行列 $𝐴$
$𝐴$ に対する有限次元Kac-Moody代数 $𝔤$
単純ルートを保つ自己同型 $𝜎 : 𝑛 \to 𝑛$ と対応する $𝔤$ の自己同型 $𝜎 : 𝑛 \to 𝑛$
$𝜎$ の位数 $𝑟 = 1, 2, 3$
$1$ の原始 $𝑟$ 乗根 $𝜁_{𝑟}$ を含む標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑚 \in ℤ$ に対する $𝔤 (𝑚) ≔ {𝑥 \in 𝔤 | 𝜎 (𝑥) = {𝜁_{𝑟}}^{𝑚} 𝑥}$

を与える．

アフィンLie代数(affine Lie algebra)とは，線型空間 𝔤^ ≔ ( ⨁ 𝑛∈ℤ ⁡ 𝑡𝑛 ⁢ 𝔤 ⁡ (𝑛) ) ⊕ 𝕂⁢𝑐 ⊕ 𝕂⁢𝑑 に対し，Lie括弧を以下で定めたLie代数のこと：
- $\forall 𝑚, 𝑛 \in ℤ, \forall 𝑥 \in 𝔤 (𝑛), \forall 𝑦 \in 𝔤 (𝑚), [𝑡^{𝑛} 𝑥, 𝑡^{𝑚} 𝑦] = 𝑡^{𝑚 + 𝑛} [𝑥, 𝑦] + 𝑛 𝛿_{𝑛 + 𝑚} 𝜅 (𝑥, 𝑦) 𝑐$
- $[𝑐, \hat{𝔤}] = 0$
- $\forall 𝑛 \in ℤ, \forall 𝑥 \in 𝔤 (𝑛), [𝑑, 𝑡^{𝑛} 𝑥] = 𝑛 𝑡^{𝑛} 𝑥$
${\hat{𝔤}}^{'} ≔ (⨁_{𝑛 \in ℤ} 𝑡^{𝑛} 𝔤 (𝑛)) \oplus 𝕂 𝑐$ とすると， $\hat{𝔤}$ の部分Lie代数となる．
ループ代数(loop algebra)とは， ${\hat{𝔤}}^{'}$ の中心 $𝕂 𝑐$ による商Lie代数 ${\hat{𝔤}}^{L} ≔ {\hat{𝔤}}^{'} ∕ (𝕂 𝑐) = ⨁_{𝑛 \in ℤ} 𝑡^{𝑛} 𝔤 (𝑛)$ のこと． ${\hat{𝔤}}^{L}$ のLie括弧は以下を線型に拡張したもの： $\forall 𝑚, 𝑛 \in ℤ, \forall 𝑥 \in 𝔤 (𝑛), \forall 𝑦 \in 𝔤 (𝑚), [𝑡^{𝑛} 𝑥, 𝑡^{𝑚} 𝑦] = 𝑡^{𝑚 + 𝑛} [𝑥, 𝑦]$

双曲型Kac-Moody代数

双曲型Kac-Moody代数についてわかっていること[要出典]のメモ：

階数 $2$ の場合は，有限型でもアフィン型でもないもの全てが双曲型
階数 $3$ 以上 $10$ 以下のものが $238$ 個
階数は $11$ 以上のものは存在しない．

量子化包絡代数

端的には，Kac-Moody代数の包絡代数の $𝑞$ 類似のこと．

定義

整基本ルートデータ

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝑛 \in ℕ$ 次の対称化可能Cartan行列 $𝐴$

を与える．

整基本ルートデータ(integral fundamental root data)とは，以下のデータのこと：

$𝐴$ をCartan行列とする基本ルート系 $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛})$ と付随する標準形式 $(,) : 𝐸 Π 𝐸 \to 𝕂$
$𝔥$ の格子 $𝔥_{ℤ}$

これらは以下を満たす：

$\forall 𝑖 \in 𝑛, \frac{(𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖})}{2} \in ℤ$
$\forall 𝑖 \in 𝑛, 𝛼_{𝑖} (𝔥_{ℤ}) \subset ℤ$
$\forall 𝑖 \in 𝑛, 𝑡_{𝑖} ≔ \frac{(𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖})}{2} ℎ_{𝑖} \in 𝔥_{ℤ}$

量子化包絡代数

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有理函数体 $𝕂 (𝑞)$
$𝑛 \in ℕ$ 次の対称化可能Cartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする整基本ルートデータ $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, (,), 𝔥_{ℤ})$
集合 ${𝐾^{ℎ}}_{ℎ \in 𝔥_{ℤ}} \cup {𝐻_{𝑖, +}, 𝐻_{𝑖, -}}_{𝑖 \in 𝑛}$
$𝑚 \in ℤ$ の $𝑞$ 類似 ${[𝑚]}_{𝑞} ≔ \frac{𝑞^{𝑚} - 𝑞^{- 𝑚}}{𝑞 - 𝑞^{- 1}}$
$𝑚 \in ℕ_{0}$ の階乗の $𝑞$ 類似 ${[𝑚]}_{𝑞}! ≔ \prod_{𝑖 = 1}^{𝑚} {[𝑖]}_{𝑞}$
$𝑚 \geq 𝑛 \in ℕ_{0}$ に対する二項係数の $𝑞$ 類似 ${[\begin{matrix} 𝑚 \\ 𝑛 \end{matrix}]}_{𝑞} ≔ \frac{{[𝑚]}_{𝑞}!}{{[𝑛]}_{𝑞}! {[𝑚 - 𝑛]}_{𝑞}!}$
$𝐾_{𝑖} ≔ 𝐾^{𝑡_{𝑖}}, 𝑞_{𝑖} ≔ 𝑞^{\frac{(𝛼_{𝑖}, 𝛼_{𝑖})}{2}}$

を与える．

$𝛷$ に付随する量子化包絡代数(quantized enveloping algebra)（または量子群(quantum group)） $𝑈_{𝑞} (𝔤)$ とは， ${𝐾^{ℎ}}_{ℎ \in 𝔥_{ℤ}} \cup {𝐻_{𝑖}^{+}, 𝐻_{𝑖}^{-}}_{𝑖 \in 𝑛}$ を生成系とし，以下を基本関係式とする $𝕂 (𝑞)$ 上の単位的結合代数のこと：

Chevalley関係式の 𝑞 類似
- $\forall ℎ, ℎ^{'} \in 𝔥_{ℤ}, 𝐾^{ℎ} 𝐾^{ℎ^{'}} = 𝐾^{ℎ + ℎ^{'}}$
- $𝐾^{0} = 1$
- $\forall ℎ \in 𝔥_{ℤ}, \forall 𝑖 \in 𝑛, 𝐾^{ℎ} 𝐻_{𝑖, +} 𝐾^{- ℎ} = 𝑞^{𝛼_{𝑖} (ℎ)} 𝐻_{𝑖, +}$
- $\forall ℎ \in 𝔥_{ℤ}, \forall 𝑖 \in 𝑛, 𝐾^{ℎ} 𝐻_{𝑖, -} 𝐾^{- ℎ} = 𝑞^{- 𝛼_{𝑖} (ℎ)} 𝐻_{𝑖, -}$
- $\forall 𝑖, 𝑗 \in 𝑛, 𝐻_{𝑖, +} 𝐻_{𝑗, -} - 𝐻_{𝑗, -} 𝐻_{𝑖, +} = 𝛿_{𝑖, 𝑗} \frac{𝐾_{𝑖} - 𝐾_{𝑖}^{- 1}}{𝑞_{𝑖} - 𝑞_{𝑖}^{- 1}}$
Serre関係式の 𝑞 類似
- $\forall 𝑖 \neq 𝑗 \in 𝑛, \sum_{𝑝 \in 2 - 𝑎_{𝑖, 𝑗}} {(- 1)}^{𝑝} {[\begin{matrix} 1 - 𝑎_{𝑖, 𝑗} \\ 𝑝 \end{matrix}]}_{𝑞_{𝑖}} 𝐻_{𝑖, +}^{1 - 𝑎_{𝑖, 𝑗} - 𝑝} 𝐻_{𝑗, +} 𝐻_{𝑖, +}^{𝑝} = 0$
- $\forall 𝑖 \neq 𝑗 \in 𝑛, \sum_{𝑝 \in 2 - 𝑎_{𝑖, 𝑗}} {(- 1)}^{𝑝} {[\begin{matrix} 1 - 𝑎_{𝑖, 𝑗} \\ 𝑝 \end{matrix}]}_{𝑞_{𝑖}} 𝐻_{𝑖, -}^{1 - 𝑎_{𝑖, 𝑗} - 𝑝} 𝐻_{𝑗, -} 𝐻_{𝑖, -}^{𝑝} = 0$

量子化包絡代数の基本性質

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有理函数体 $𝕂 (𝑞)$
$𝑛 \in ℕ$ 次の対称化可能Cartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする整基本ルートデータ $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, (,), 𝔥_{ℤ})$
$𝛷$ に関する量子化包絡代数 $𝑈_{𝑞} (𝔤)$
$𝑈_{𝑞} (𝔤)$ の部分（結合）代数 $𝑈_{𝑞} (𝔤_{0}) ≔ {⟨ 𝐾^{ℎ} ⟩}_{ℎ \in 𝔥_{ℤ}}, 𝑈_{𝑞} (𝔤_{\pm}) ≔ {⟨ 𝐻_{𝑖, \pm} ⟩}_{𝑖 \in 𝑛}$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝑈_{𝑞} (𝔤_{-}) \otimes_{𝕂 (𝑞)} 𝑈_{𝑞} (𝔤_{0}) \otimes_{𝕂 (𝑞)} 𝑈_{𝑞} (𝔤_{+}) \to$ は線型同型．
${𝐾^{ℎ} | ℎ \in 𝔥_{ℤ}}$ は $𝑈_{𝑞} (𝔤_{0})$ の基底．
$𝑈_{𝑞} (𝔤_{\pm})$ は， ${𝐻_{𝑖, \pm}}_{𝑖 \in 𝑛}$ を生成系とし，Serre関係式の $𝑞$ 類似（のそれぞれ上・下）を基本関係式とするLie代数と同型．
$𝛾 \in \sum_{𝑖 \in 𝑛} ℕ_{0} 𝛼_{𝑖}$ に対し，単項式 $𝐸_{𝑖_{1}} \dots 𝐸_{𝑖_{𝑟}}$ であって， $\sum_{𝑗 = 1}^{𝑟} 𝛼_{𝑖_{𝑗}} = 𝛾$ を満たすもので張られる $𝑈_{𝑞} (𝔤_{\pm})$ の部分線型空間を ${𝑈_{𝑞} (𝔤_{\pm})}_{\pm 𝛾}$ とすると， $\dim_{𝕂 (𝑞)} {𝑈_{𝑞} (𝔤_{\pm})}_{\pm 𝛾} = \dim_{𝕂} {𝑈 (𝔤_{\pm})}_{\pm 𝛾}$

量子化包絡代数は準三角Hopf代数

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有理函数体 $𝕂 (𝑞)$
$𝑛 \in ℕ$ 次の対称化可能Cartan行列 $𝐴$
$𝐴$ をCartan行列とする整基本ルートデータ $𝛷 = (𝔤_{0}, {ℎ_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, {𝛼_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝑛}, (,), 𝔥_{ℤ})$
$𝛷$ に関する量子化包絡代数 $𝑈_{𝑞} (𝔤)$

を与え，

余双線型写像 $𝛥 : 𝑈_{𝑞} (𝔤) \to 𝑈_{𝑞} (𝔤) \otimes 𝑈_{𝑞} (𝔤)$ を ${\begin{matrix} \forall ℎ \in 𝔥_{ℤ}, 𝛥 (𝐾^{ℎ}) ≔ 𝐾^{ℎ} \otimes 𝐾^{ℎ} \\ \forall 𝑖 \in 𝑛, 𝛥 (𝐻_{𝑖, +}) ≔ 𝐻_{𝑖, +} \otimes 𝐾_{𝑖}^{- 1} + 1 \otimes 𝐻_{𝑖, +} \\ \forall 𝑖 \in 𝑛, 𝛥 (𝐻_{𝑖, -}) ≔ 𝐻_{𝑖, -} \otimes 1 + 𝐾_{𝑖} \otimes 𝐻_{𝑖, -} \end{matrix}$ を単位的結合代数的に拡張したものとして定義したもの
線型写像 $𝜀 : 𝑈_{𝑞} (𝔤) \to 𝕂 (𝑞)$ を ${\begin{matrix} \forall ℎ \in 𝔥_{ℤ}, 𝜀 (𝐾^{ℎ}) ≔ 1 \\ \forall 𝑖 \in 𝑛, 𝜀 (𝐻_{𝑖, \pm}) ≔ 0 \end{matrix}$ を単位的結合代数的に拡張したものとして定義したもの
線型写像 $𝑆 : 𝑈_{𝑞} (𝔤) \to 𝑈_{𝑞} (𝔤)$ を ${\begin{matrix} \forall ℎ \in 𝔥_{ℤ}, 𝑆 (𝐾^{ℎ}) ≔ 𝑆^{- ℎ} \\ \forall 𝑖 \in 𝑛, 𝑆 (𝐻_{𝑖, +}) ≔ - 𝐻_{𝑖, +} 𝐾_{𝑖} \\ \forall 𝑖 \in 𝑛, 𝑆 (𝐻_{𝑖, -}) ≔ - 𝐾_{𝑖}^{- 1} 𝐻_{𝑖, -} \end{matrix}$ を反変単位的結合代数的に拡張したものとして定義したもの
うまい $𝑅 \in 𝑈_{𝑞} (𝔤) \otimes 𝑈_{𝑞} (𝔤)$

と定義すると， $(𝑈_{𝑞} (𝔤), 𝑚, 𝜂, 𝛥, 𝜀, 𝑆, 𝑅)$ は準三角 Hopf代数

当然 $𝐾 \to 1, 𝑞 \to 0$ で，包絡代数が準三角Hopf代数となることに対応する．

証明

$𝛥, 𝜀$ が単位的代数準同型になることは，定義より明らか．よって， $(𝑈 (𝔤), 𝑚, 𝜂, 𝛥, 𝜀)$ は双単位的双結合双代数
まず． $\forall ℎ \in 𝔥_{ℤ}$ に対し， $(id \otimes 𝑆) \circ 𝛥 (𝐾^{ℎ}) = 𝐾^{ℎ} \otimes 𝐾^{- ℎ}$ $(𝑆 \otimes id) \circ 𝛥 (𝐾^{ℎ}) = 𝐾^{- ℎ} \otimes 𝐾^{ℎ}$ となるから， $𝑚 \circ (id \otimes 𝑆) \circ 𝛥 (𝐾^{ℎ}) = 𝑚 \circ (𝑆 \otimes id) \circ 𝛥 (𝐾^{ℎ}) = 1 = 𝜂 (1) = 𝜂 \circ 𝜀 (𝐾^{ℎ})$ となる．また， $\forall 𝑖 \in 𝑛$ に対し， $\begin{matrix} (id \otimes 𝑆) \circ 𝛥 (𝐻_{𝑖, +}) & = & 𝐻_{𝑖, +} \otimes 𝐾_{𝑖} - 1 \otimes 𝐻_{𝑖, +} 𝐾_{𝑖} \\ (𝑆 \otimes id) \circ 𝛥 (𝐻_{𝑖, +}) & = & 1 \otimes 𝐻_{𝑖, +} - 𝐻_{𝑖, +} 𝐾_{𝑖} \otimes 𝐾_{𝑖}^{- 1} \\ (id \otimes 𝑆) \circ 𝛥 (𝐻_{𝑖, -}) & = & 𝐻_{𝑖, -} \otimes 1 - 𝐾_{𝑖} \otimes 𝐾_{𝑖}^{- 1} 𝐻_{𝑖, -} \\ (𝑆 \otimes id) \circ 𝛥 (𝐻_{𝑖, -}) & = & 𝐾_{𝑖}^{- 1} \otimes 𝐻_{𝑖, -} - 𝐾_{𝑖}^{- 1} 𝐻_{𝑖, -} \otimes 1 \end{matrix}$ となるから， $𝑚 \circ (id \otimes 𝑆) \circ 𝛥 (𝐻_{𝑖, \pm}) = 𝑚 \circ (𝑆 \otimes id) \circ 𝛥 (𝐻_{𝑖, \pm}) = 0 = 𝜂 (0) = 𝜂 \circ 𝜀 (𝐻_{𝑖, \pm})$ となる．つまり $(𝑈 (𝔤), 𝑚, 𝜂, 𝛥, 𝜀)$ はHopf代数
$𝜎 \circ 𝛥 (𝑥) = 𝑅 𝛥 (𝑥) 𝑅^{- 1}$ と $(𝛥 \otimes {id}_{𝐴}) (𝑅) = 𝑅_{1, 3} 𝑅_{2, 3}$ と $({id}_{𝐴} \otimes 𝛥) (𝑅) = 𝑅_{1, 3} 𝑅_{1, 2}$ を示せば， $(𝑈 (𝔤), 𝑚, 𝜂, 𝛥, 𝜀, 𝑅)$ は三角 Hopf代数．

有限型量子化包絡代数

を与える．

$𝑈_{𝑞} (𝔰𝔩 (2, 𝕂))$ の表現

$𝑈_{𝑞} (𝔰𝔩 (2, 𝕂))$ の基本性質

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有理函数体 $𝕂 (𝑞)$

を与えると， ${𝐾, 𝐾^{- 1}, 𝐻_{\pm}}$ で生成され，以下の関係式を満たす $𝕂 (𝑞)$ 上の結合代数は， $𝑈_{𝑞} (𝔰𝔩 (2, 𝕂))$ と結合代数同型：

$𝐾 𝐾^{- 1} = 𝐾^{- 1} 𝐾 = 1$
$𝐾 𝐻_{\pm} 𝐾^{- 1} = 𝑞^{\pm 2} 𝐻_{\pm}$
$𝐻_{+} 𝐻_{-} - 𝐻_{-} 𝐻_{+} = \frac{𝐾 - 𝐾^{- 1}}{𝑞 - 𝑞^{- 1}}$

$𝑈_{𝑞} (𝔰𝔩 (2, 𝕂))$ の有限次元単純加群

標数 $0$ の体 $𝕂$
$𝕂$ 上の有理函数体 $𝕂 (𝑞)$
$𝑚 \in ℤ$ の $𝑞$ 類似 ${[𝑚]}_{𝑞} ≔ \frac{𝑞^{𝑚} - 𝑞^{- 𝑚}}{𝑞 - 𝑞^{- 1}}$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝑛 \in ℕ_{0}$ に対し， $𝑉 (𝑛) ≔ ⨁_{𝑚 = 0}^{𝑛} 𝕂 (𝑞) 𝑣_{𝑚}$ への作用を， $\begin{matrix} 𝐾 𝑣_{𝑚} & = & 𝑞^{𝑛 - 2 𝑚} 𝑣_{𝑚} \\ 𝐾^{- 1} 𝑣_{𝑚} & = & 𝑞^{- (𝑛 - 2 𝑚)} 𝑣_{𝑚} \\ 𝐻_{+} 𝑣_{𝑚} & = & {[𝑛 - 𝑚 + 1]}_{𝑞} 𝑣_{𝑚 - 1} \\ 𝐻_{-} 𝑣_{𝑚} & = & {[𝑚 + 1]}_{𝑞} 𝑣_{𝑚 + 1} \end{matrix}$ を結合代数的に拡張したものと定義すると， $𝑉 (𝑛)$ は単純 $𝑈_{𝑞} (𝔰𝔩 (2, 𝕂))$ -加群．
1次元 $𝑈_{𝑞} (𝔰𝔩 (2, 𝕂))$ -加群 $𝜒 : 𝑈_{𝑞} (𝔰𝔩 (2, 𝕂)) \to 𝕂$ を $𝜒 (𝐻_{\pm}) = 0, 𝜒 (𝐾) = - 1$ を拡張したものとして定めると， ${𝑉 (𝑛)}^{𝜔} ≃ 𝜒 \otimes {𝑉 (𝑛)}^{𝜔}$
任意の有限次元単純 $𝑈_{𝑞} (𝔰𝔩 (2, 𝕂))$ -加群は，ある $𝑛 \in ℕ_{0}$ に対する $𝑉 (𝑛)$ または ${𝑉 (𝑛)}^{𝜔}$ と $𝑈_{𝑞} (𝔰𝔩 (2, 𝕂))$ -加群同型．
任意の有限次元 $𝑈_{𝑞} (𝔰𝔩 (2, 𝕂))$ -加群は半単純．

量子化包絡代数の可積分最高ウェイト加群

ここのページの外のfuture-work のメモ

Fittingの補題
非退化
跡
双線型形式の根基
双線型形式
非退化双線型形式に関する双対基底

参考文献

James Edward Humphreys, "Introduction to Lie Algebras and Representation Theory", doi:10.1007/978-1-4612-6398-2
James Edward Humphreys, "Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category $𝒪$ , doi:10.1090/gsm/094
Robert Vaughan Moody, Arturo Pianzola, "Lie Algebras with Triangular Decompositions", ISBN 978-0471633044
谷崎俊之「リー代数と量子群」ISBN 978-4320016927
Pavel Etingof, Shlomo Gelaki, Dmitri Nikshych, Victor Ostrik, "Tensor Categories", ISBN 978-1-4704-2349-0
高間俊至，奥山竜司，表現論ノート