圏

片足を上げた状態のことではない

公理

圏

具体例を一々書くと被りが多くなるしキリがないので，最初に書いておく．それぞれの定義はいずれわかる．

圏	対象	射	同型射	終対象	始対象	部分対象	商対象
$𝐒𝐞𝐭$	全ての集合	全ての写像	全単射	一元集合	空集合	部分集合	商集合
$𝐑𝐞𝐥$	全ての集合	全ての関係	一対一対応	空集合
$𝐆𝐫𝐩$	全ての群	全ての群準同型	群同型	零群		部分群	商群
$𝐓𝐨𝐩$	全ての位相空間	全ての連続写像	同相写像	一点空間	空位相空間	部分位相空間	商位相空間

圏

圏(category) $𝒜$ とは以下の4つのデータからなる．

対象(object)の集まり $ob (𝒜)$
対象 $\forall 𝐴, 𝐵 \in ob (𝒜)$ に対し，対象の間の射(morphism)の集まり ${hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐵)$
合成(composite) $\circ : {hom}_{𝒜} (𝐵, 𝐶) \times {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐵) \to {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐶), (𝑔, 𝑓) \mapsto 𝑔 \circ 𝑓$
対象 $\forall 𝐴 \in ob (𝒜)$ に対する恒等射(identity morphism) ${id}_{𝐴} \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴)$

これらは以下の2条件を満たす．

結合律: 射 $\forall 𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐵), \forall 𝑔 \in {hom}_{𝒜} (𝐵, 𝐶), \forall ℎ \in {hom}_{𝒜} (𝐶, 𝐷)$ に対し，以下が成り立つ： $ℎ \circ (𝑔 \circ 𝑓) = (ℎ \circ 𝑔) \circ 𝑓$
恒等律: 射 $\forall 𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐵)$ に対し，以下が成り立つ： $𝑓 \circ {id}_{𝐴} = 𝑓 = {id}_{𝐵} \circ 𝑓$

始域・終域

圏 $𝒜$ を与える．

射 $𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐵)$ に対し， $𝐴$ を $𝑓$ の始域(domain)， $𝐵$ を $𝑓$ の終域(codomain)と呼ぶ．

数学的帰納法より，結合律が任意の有限個の合成で成り立つ．

$𝑛$ 項結合律

圏 $𝒜$
$\forall 𝑛 \in ℕ$ に対する対象の有限列 $𝐴_{0}, \dots, 𝐴_{𝑛}$
射の列 $𝑓_{𝑖} \in {hom}_{𝒜} (𝐴_{𝑖 - 1}, 𝐴_{𝑖}) (𝑖 \in ℕ_{\leq 𝑛})$

を与えると， $𝑛$ 個の射の合成がwell-defined: $𝑓_{𝑛} \circ \dots \circ 𝑓_{1} \in {hom}_{𝒜} (𝐴_{0}, 𝐴_{𝑛})$

反対圏

圏 $𝒜$ の全ての射の始域と終域を入れ替えた圏を $𝒜$ の反対圏(opposite (/dual) category)と呼び， $𝒜^{op}$ と表す．対象と射は明示的には以下： $ob (𝒜^{op}) ≔ ob (𝒜)$ ${hom}_{𝒜^{op}} (𝐴, 𝐵) ≔ {hom}_{𝒜} (𝐵, 𝐴)$

反対圏の定義はかなり単純だが，（今までの数学も含め）かなり頻繁に表れている．

その最たる例が，射に関してある性質を満たすものを，元の圏だけでなく反対圏でも考える場合できる．これは上記の始域と終域の他，他のも単射と全射，部分集合と商集合等々，例を挙げるとキリがない．このようなものを双対的な概念，等と呼ぶ．

反対圏が自分自身と同型になる場合もあるが，そうでない場合は二つの命題を一つの証明で示せる．以下，そのことについて特別断りを入れずに一方の証明を省略している．

分裂モノ・エピ射，同型射

圏 $𝒜$ を与える．

射 $𝑓 : 𝐴 \to 𝐵$ が

- $\exists 𝑓^{'} \in hom (𝐵, 𝐴), 𝑓^{'} \circ 𝑓 = {id}_{𝐴}$ を満たすとき， $𝑓$ を分裂モノ射(split monomorphism)（や左可逆射(left-invertible morphism)）と呼ぶ．
- $𝑔$ を $𝑓$ の(retraction)（や左逆射(left-inverse morphism)）と呼ぶ．
- $𝐴$ を $𝐵$ の(retract)と呼ぶ．
- $\exists 𝑓^{'} \in hom (𝐵, 𝐴), 𝑓 \circ 𝑓^{'} = {id}_{𝐵}$ を満たすとき， $𝑓$ を分裂エピ射(split epimorphism)（や右可逆射(right-invertible morphism)）と呼ぶ．
- $𝑔$ を $𝑓$ の切断(section)（や右逆射(right-inverse morphism)）と呼ぶ．
- $𝐵$ を $𝐴$ の(retract)と呼ぶ．
- 𝑓が以下の同値な条件のいずれかを満たすとき，𝑓を同型射(isomorphism)と呼ぶ：
  - $𝑓$ は分裂モノ射かつ分裂エピ射
  - $\exists! 𝑓^{- 1} \in hom (𝐵, 𝐴), 𝑓^{- 1} \circ 𝑓 = {id}_{𝐴}, 𝑓 \circ 𝑓^{- 1} = {id}_{𝐵}$
- $𝑓^{- 1}$ を逆射(inverse morphism)と呼ぶ．
- 同型射をもつ対象 $𝐴, 𝐵 \in ob (𝒜)$ を同型(isomorphic)と呼び， $𝐴 ≅ 𝐵$ と書く．

同型射のretraction・切断は逆射・逆射の一意性の証明

$𝑔$ が $𝑓$ のretraction， $ℎ$ が $𝑓$ の切断のとき， $𝑔 = 𝑔 \circ (𝑓 \circ ℎ) = (𝑔 \circ 𝑓) \circ ℎ = ℎ$ より， $𝑓$ の全てのretractionと切断は $𝑓$ の逆射であり，それらは全て等しい．

モノ射・エピ射

圏 $𝒜$ を与える．

射 $𝑓 : 𝐴 \to 𝐵$ が， $\forall 𝐶 \in ob (𝒜)$ に対して

$𝑓 \circ - : hom (𝐶, 𝐴) \to hom (𝐶, 𝐵), 𝑔 \mapsto 𝑓 \circ 𝑔$ が単射となるとき， $𝑓$ をモノ射(monomorphism)と呼ぶ．
$- \circ 𝑓 : hom (𝐵, 𝐶) \to hom (𝐴, 𝐶), 𝑔 \mapsto 𝑔 \circ 𝑓$ が単射となるとき， $𝑓$ をエピ射(epimorphism)と呼ぶ．

証明

分裂モノ射 $𝑓$ のretractionを $𝑓^{'}$ とすると，射の組 $𝑔, ℎ$ が $𝑓 \circ 𝑔 = 𝑓 \circ ℎ$ を満たすとき， $𝑔 = 𝑓^{'} \circ 𝑓 \circ 𝑔 = 𝑓^{'} \circ 𝑓 \circ ℎ = ℎ$

分裂モノかつエピ射は同型射

以下は同値

同型射
分裂モノ（エピ）射かつエピ（モノ）射

証明

圏 $𝒜$ ，対象 $𝐴, 𝐵 \in ob (𝒜)$ を与える．分裂モノ射かつエピ射 $𝑓 \in hom (𝐴, 𝐵)$ が分裂エピ射となることを示せばよい． $𝑓$ の（任意の）retraction $𝑓^{'} \in {hom}_{𝒜} (𝐵, 𝐴)$ に対し， $𝑓^{'} \circ 𝑓 \circ 𝑓^{'} = 1_{𝐴} \circ 𝑓^{'}$ を満たす． $𝑓$ はエピ射だから， $𝑓 \circ 𝑓^{'} = 1_{𝐵}$ つまり， $𝑓$ は分裂エピ射．よって，同型射．

均衡圏

任意のエピ射かつモノ射が同型射となる圏を均衡圏(balanced category)と呼ぶ．

離散圏

非自明な射をもたない（つまり恒等射のみを持つ）圏を離散圏(discrete category)と呼ぶ．

空圏

対象，射を空集合とする圏を空圏(empty category)と呼び，（記号の濫用で） $\emptyset$ と表す．

終圏

対象が一点集合で，射が恒等射のみからなる圏を終圏(terminal category)と呼び， $𝟏$ や $*$ と表す．

圏の演算

積圏

圏 $𝒜, ℬ$ に対し，以下のように定義した圏を， $𝒜, ℬ$ の積圏(product category)と呼び， $𝒜 \times ℬ$ と表す： $\begin{matrix} ob (𝒜 \times ℬ) & ≔ & ob (𝒜) \times ob (ℬ) \\ {hom}_{𝒜 \times ℬ} ((𝐴, 𝐵), (𝐴^{'}, 𝐵^{'})) & ≔ & {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴^{'}) \times {hom}_{ℬ} (𝐵, 𝐵^{'}) \\ (𝑓^{'}, 𝑔^{'}) \circ (𝑓, 𝑔) & ≔ & (𝑓^{'} \circ 𝑓, 𝑔^{'} \circ 𝑔) \\ {id}_{(𝐴, 𝐵)} & ≔ & ({id}_{𝐴}, {id}_{𝐵}) \end{matrix}$

函手

要は圏準同型といって，差支えない……はず．

函手

圏 $𝒜, ℬ$ をを与える

（共変）函手((covariant) functor) $𝐹 : 𝒜 \to ℬ$ とは以下の2つのデータからなる．

対象-対象対応: $ob (𝒜) \to ob (ℬ), 𝐴 \mapsto 𝐹 (𝐴)$
射-射対応: 対象 $\forall 𝐴, 𝐴^{'} \in ob (𝒜)$ に対する写像 ${hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴^{'}) \to {hom}_{ℬ} (𝐹 (𝐴), 𝐹 (𝐴^{'})), 𝑓 \mapsto 𝐹 (𝑓)$

これらは以下の2条件を満たす．

合成の保存: 対象 $\forall 𝐴, 𝐴^{'}, 𝐴^{″} \in ob (𝒜)$ と射 $\forall 𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴^{'}), \forall 𝑓^{'} \in {hom}_{𝒜} (𝐴^{'}, 𝐴^{″})$ に対し，以下を満たす: $𝐹 (𝑓^{'} \circ 𝑓) = 𝐹 (𝑓^{'}) \circ 𝐹 (𝑓)$
恒等射の保存: 対象 $\forall 𝐴 \in ob (𝒜)$ に対し，以下を満たす: $𝐹 (1_{𝐴}) = 1_{𝐹 (𝐴)}$

反変函手

圏 $𝒜, ℬ$ を与える．

$𝒜$ の反対圏 $𝒜^{op}$ から $ℬ$ への函手 $𝐹 : 𝒜^{op} \to ℬ$ を $𝒜$ から $ℬ$ への反変函手(contravariant functor)と呼ぶ．

反対函手

圏 $𝒜, ℬ$
函手 $𝐹 : 𝒜 \to ℬ$

を与える．

それぞれの反対圏について $𝐹$ に対応する函手 $𝐹^{op} : 𝒜^{op} \to ℬ^{op}$ を反対函手(opposite functor)と呼ぶ．

空函手

圏 $𝒜$ を与える．

空圏 $\emptyset$ から $𝒜$ への函手は空写像唯一つ．これを空函手(empty functor)と呼ぶ．

終圏への函手

任意の圏 $𝒜$ に対し，終圏への函手は唯一．これを $! : 𝒜 \to 𝟏$ と表す．

双函手

始域が積圏である函手を双函手(bifunctor)と呼ぶ．

函手の基本性質

圏 $𝒜, ℬ$
函手 $𝐹 : 𝒜 \to ℬ$
$𝑛 \in ℕ$
対象の有限列 $𝐴_{0}, \dots, 𝐴_{𝑛}$
射の列 $𝑓_{𝑖} \in {hom}_{𝒜} (𝐴_{𝑖 - 1} 𝐴_{𝑖}) (𝑖 \in ℕ_{\leq 𝑛})$

を与えると， $𝑛$ 個の射の合成が誘導する圏 $ℬ$ の射は一意: $𝐹 (𝑓_{𝑛} \circ \dots \circ 𝑓_{1}) = 𝐹 (𝑓_{𝑛} \circ \dots \circ 𝑓_{2}) \circ 𝐹 (𝑓_{1}) = \dots = 𝐹 (𝑓_{𝑛}) \circ \dots \circ 𝐹 (𝑓_{1}) \in {hom}_{ℬ} (𝐹 (𝐴_{0}), 𝐹 (𝐴_{𝑛}))$

圏の圏

函手の合成

圏 $𝒜, ℬ, 𝒞$
函手 $𝐹 : 𝒜 \to ℬ, 𝐺 : ℬ \to 𝒞$

を与える．函手 $𝐹, 𝐺$ の合成(composition)とは，以下で定義される函手： $𝐺 \circ 𝐹 : 𝒜 \to 𝒞, 𝐴 \mapsto 𝐺 (𝐹 (𝐴)), 𝑓 \mapsto 𝐺 (𝐹 (𝑓))$

恒等函手

圏 $𝒜$ を与える．

対象-対象対応，射-射対応を共に $𝒜$ の恒等写像とする函手を恒等函手(identity functor)と呼び， $1_{𝒜}$ と表す．

対象を全ての圏
射を全ての函手

とする圏を圏の圏と呼び， $𝐂𝐀𝐓$ と表す．

集合を集めたものは集合ではないように，全ての圏を集めたもの $ob (𝐂𝐀𝐓)$ は，集合の集まり $ob (𝐒𝐞𝐭)$ 等に比べて非常に大きい……ということまではわかったが，何か特別扱いすればいいのかもわからないし，普通に $𝐂𝐀𝐓$ を圏と呼んでいる文献もあったので気にしないことにする．

函手による可逆性の保存

函手は分裂モノ射（，分裂エピ射，同型射）を分裂モノ射（，分裂エピ射，同型射）に写す．
函手は同型な対象を同型な対象に写す．

証明

$𝒜, ℬ$ を圏， $𝐹 : 𝒜 \to ℬ$ を函手とする．

分裂モノ射 $𝑓 \in ob (𝒜)$ とそのretraction $𝑓^{'} \in ob (𝒜)$ に対し， $𝐹 (𝑓^{'}) \circ 𝐹 (𝑓) = 𝐹 (𝑓 \circ 𝑓^{'}) = 𝐹 (1_{𝐴}) = 1_{𝐹 (𝐴)}$ を満たすから， $𝐹 (𝑓) \in ob (ℬ)$ は $𝐹 (𝑓^{'}) \in ob (ℬ)$ をretractionに持つ分裂モノ射．他も同様．

埋め込みとか

忠実函手，充満函手，埋め込み

圏 $𝒜, ℬ$
函手 $𝐹 : 𝒜 \to ℬ$

を与える．

$\forall 𝐴, 𝐵 \in ob (𝒜)$ に対し， $𝐹$ の射-射対応 $𝐹 : {Hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐵) \to {Hom}_{ℬ} (𝐹 (𝐴), 𝐹 (𝐵)), 𝑓 \mapsto 𝐹 (𝑓)$

単射のとき，忠実函手(faithful functor)と呼ぶ．
全射のとき，充満函手(full functor)と呼ぶ．
全単射のとき，忠実充満函手または埋め込み(embedding)と呼ぶ．

本質的単射・全射

圏 $𝒜, ℬ$
函手 $𝐹 : 𝒜 \to ℬ$

を与える．

$𝐹$ の対象-対象対応 $𝐹 : ob (𝒜) \to ob (ℬ), 𝐴 \mapsto 𝐹 (𝐴)$ が

$\forall 𝐴, 𝐴^{'} \in ob (𝒜), 𝐹 (𝐴) ≅ 𝐹 (𝐴^{'}) \Rightarrow 𝐴 ≅ 𝐴^{'}$ を満たす（つまり同型を除いて単射）のとき，本質的単射(essentially injective)と呼ぶ．
$\forall 𝐵 \in ob (ℬ), \exists 𝐴 \in ob (𝒜), 𝐹 (𝐴) ≅ 𝐵$ を満たす（つまり同型を除いて全射）のとき，本質的全射(essentially surjective)と呼ぶ．

分裂本質的全射

圏 $𝒜, ℬ$
函手 $𝐹 : 𝒜 \to ℬ$

を与える．

$𝐹$ の対象-対象対応 $𝐹 : ob (𝒜) \to ob (ℬ), 𝐴 \mapsto 𝐹 (𝐴)$ について， $ℬ$ の対象で添字づけられた $𝒜$ の対象の族 ${(𝐴 \in 𝒜, 𝜀_{𝐵} : 𝐹 (𝐴) ≅ 𝐵)}_{𝐵 \in ℬ}$ が存在するとき，分裂本質的全射(split essentially surjective)と呼ぶ．

分裂本質的全射と本質的全射の関係

$分裂本質的全射 \Rightarrow 本質的全射$
$選択公理 \Leftrightarrow (分裂本質的全射 \Leftrightarrow 本質的全射)$

埋め込みと可逆性の関係

圏 $𝒜, ℬ$
対象 $𝐴, 𝐴^{'} \in ob (𝒜)$
埋め込み $𝐹 : 𝒜 \to ℬ$

を与えると，以下が成り立つ．

射 $𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴^{'})$ を与えると， $𝑓$ が分裂モノ射（，分裂エピ射，同型射）であることと $𝐹 (𝑓)$ が分裂モノ射（，分裂エピ射，同型射）であることは同値．
任意の同型射 $𝑔 \in {hom}_{ℬ} (𝐹 (𝐴), 𝐹 (𝐴^{'}))$ に対し，唯一の同型射 $\exists! 𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴^{'})$ が存在し， $𝐹 (𝑓) = 𝑔$ を満たす．
埋め込みは本質的単射．特に， $𝐴, 𝐴^{'}$ が同型であることと $𝐹 (𝐴), 𝐹 (𝐴^{'})$ が同型であることは同値．

証明

$𝐹 (𝑓)$ が分裂モノ射のとき， $𝐹$ が充満函手だから， $\exists 𝑓^{'} \in {hom}_{𝒜} (𝐴^{'}, 𝐴), 𝐹 (𝑓^{'}) \circ 𝐹 (𝑓) = 1_{𝐹 (𝐴)}$ を満たす．さらに $𝐹$ が函手だから， $𝐹 (𝑓^{'} \circ 𝑓) = 𝐹 (𝑓^{'}) \circ 𝐹 (𝑓) = 1_{𝐹 (𝐴)}$ を満たす． $𝐹$ が忠実函手だから， $𝐹 (𝑔) = 1_{𝐹 (𝐴)}$ を満たす射 $𝑔 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴)$ は $𝐴$ の恒等射 $1_{𝐴}$ のみ．よって， $𝑓^{'} \circ 𝑓 = 1_{𝐴}$ を満たすから， $𝑓$ は分裂モノ射．一般の函手は分裂モノ射を保存するので， $𝑓$ と $𝐹 (𝑓)$ の分裂モノ性は同値．
分裂エピ射や同型射についても同様．残りの主張は全単射性や対象の同型の定義より自明．

部分圏，充満部分圏，replete 部分圏

圏 $𝒜$ に対し，対象と射が圏 $𝒜$ の部分集まりになっているような圏 $𝒮$ を部分圏(subcategory)と呼ぶ．
圏 $𝒜$ の部分圏 $𝒮$ が， $\forall 𝑆, 𝑇 \in ob (𝒮), {hom}_{𝒮} (𝑆, 𝑇) = {hom}_{𝒜} (𝑆, 𝑇)$ を満たすとき，充満(full)と呼ぶ．
圏 $𝒜$ の部分圏 $𝒮$ が， $\forall 𝑆 \in ob (𝑆)$ に対し， $𝒜$ における $𝑆$ と同型な対象とその間の同型射が全て $𝒮$ に含まれるとき，(replete)や同型閉(isomorphism-closed)と呼ぶ．

一般の函手の像は部分圏ではない．

自然変換

圏 $𝒜, ℬ$
函手 $𝐹, 𝐺 : 𝒜 \to ℬ$

を与える．

$𝐹$ と $𝐺$ の間の自然変換(natural transformation) $𝛼 : 𝐹 \Rightarrow 𝐺$ とは，以下の対応からなる．

成分: 圏 $𝒜$ の対象 $\forall 𝐴 \in ob (𝒜)$ に対し， $𝐴$ の成分(component)と呼ばれる圏 $ℬ$ の射 $𝛼_{𝐴} : 𝐹 (𝐴) \to 𝐺 (𝐴)$ を対応づける．

これは以下を満たす．

$\forall 𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴^{'})$ に対し， $𝛼_{𝐴^{'}} \circ 𝐹 (𝑓) = 𝐺 (𝑓) \circ 𝛼_{𝐴}$ を満たす．つまり，以下の図式を可換にする：

自然変換は図式で以下のように表す：

函手圏

自然変換の合成

圏 $𝒜, ℬ$
函手 $𝐹, 𝐺, 𝐻 : 𝒜 \to ℬ$
自然変換 $𝛼 : 𝐹 \Rightarrow 𝐺, 𝛽 : 𝐺 \Rightarrow 𝐻$

を与える．

${(𝛽 \circ 𝛼)}_{𝐴} ≔ 𝛽_{𝐴} \circ 𝛼_{𝐴}$ を成分とする自然変換 $𝛽 \circ 𝛼 : 𝐹 \Rightarrow 𝐻$ を $𝛼, 𝛽$ の（垂直）合成((vertical) composition)と呼ぶ．

恒等自然変換

圏 $𝒜, ℬ$
函手 $𝐹 : 𝒜 \to ℬ$

を与える．

${(1_{𝐹})}_{𝐴} ≔ 1_{𝐹 (𝐴)}$ と定義される自然変換 $1_{𝐹} : 𝐹 \Rightarrow 𝐹$ を，恒等自然変換(identity natural transformation)と呼ぶ．

圏 $𝒜, ℬ$ を与える．

対象を全ての $𝒜$ から $ℬ$ への函手
射をこれらの函手の間の全ての自然変換
合成を自然変換の合成
恒等射を恒等自然変換

とする圏を $𝒜$ から $ℬ$ への函手圏(functor category)と呼び， $[𝒜, ℬ]$ や $ℬ^{𝒜}$ と表す．

空自然変換

圏 $𝒜$ を与える．

空圏 $\emptyset$ から $𝒜$ への空函手 $\emptyset \to 𝒜$ の間の自然変換は恒等自然変換のみ．これを空自然変換(natural transformation)と呼ぶ．

対角函手

定函手

圏 $𝒜, ℬ$
対象 $𝑋 \in ob (ℬ)$

を与える．

対象-対象対応: 全ての $𝒜$ の対象を， $𝑋$ に対応させる．
射-射対応: 全ての $𝒜$ の射を恒等射 ${id}_{𝑋}$ に対応させる．

と定義される函手を， $𝒜$ から $𝑋$ への定函手(constant functor)と呼び， $𝛥 (𝑋)$ と表す．

圏 $𝒜, ℐ$ を与える．

以下で定義される函手 $𝛥 : 𝒜 \to [ℐ, 𝒜]$ を $𝒜$ の $ℐ$ に関する対角函手(diagonal functor)と呼ぶ．

対象-対象対応: 対象 $𝐴 \in ob (𝒜)$ に定函手 $𝛥 (𝐴) : ℐ \to 𝒜$ を対応させる．
射-射対応: 対象 $𝐴, 𝐵 \in ob (𝒜)$ に対する射 $𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐵)$ に対し，成分を $\forall 𝑗 \in ℐ, {𝛥 (𝑓)}_{𝑗} = 𝑓$ とする自然変換 $𝛥 (𝑓) : 𝛥 (𝐴) \Rightarrow 𝛥 (𝐵)$ を対応づける．

自然変換の水平合成

圏 $𝒜, 𝒜^{'}, 𝒜^{″}$
函手 $𝐹, 𝐺 : 𝒜 \to 𝒜^{'}, 𝐹^{'}, 𝐺^{'} : 𝒜^{'} \to 𝒜^{″}$
自然変換 $𝛼 : 𝐹 \Rightarrow 𝐺, 𝛼^{'} : 𝐹^{'} \Rightarrow 𝐺^{'}$

を与える．

${(𝛼^{'} * 𝛼)}_{𝐴} ≔ {𝛼^{'}}_{𝐺 (𝐴)} \circ 𝐹^{'} (𝛼_{𝐴}) = 𝐺^{'} (𝛼_{𝐴}) \circ {𝛼^{'}}_{𝐹 (𝐴)}$ を成分とする自然変換 $𝛼^{'} * 𝛼$ を $𝛼, 𝛼^{'}$ の水平合成(horizontal composition)と呼ぶ．

後述の自然変換と函手の水平合成の記法を用いると，以下のようにも書ける： $𝛼^{'} * 𝛼 = (𝛼^{'} * 𝐺) \circ (𝐹^{'} * 𝛼) = (𝐺^{'} * 𝛼) \circ (𝛼^{'} * 𝐹)$

$𝛼^{'} * 𝛼$ の成分の $=$ の部分は， $𝛼_{𝐴} \in {hom}_{𝒜^{'}} (𝐹 (𝐴), 𝐺 (𝐴))$ に対する $𝛼^{'}$ の自然変換の公理そのものである．

自然変換と函手の水平合成

圏 $𝒜, 𝒜^{'}, 𝒜^{″}$
函手 $𝐹 : 𝒜 \to 𝒜^{'}, 𝐹^{'}, 𝐺^{'} : 𝒜^{'} \to 𝒜^{″}$
自然変換 $𝛼^{'} : 𝐹^{'} \Rightarrow 𝐺^{'}$

を与えたときの，自然変換 $1_{𝐹}, 𝛼^{'}$ の水平合成のことを $𝛼^{'} * 𝐹 ≔ 𝛼^{'} * 1_{𝐹}$ と書く．同様に，

圏 $𝒜, 𝒜^{'}, 𝒜^{″}$
函手 $𝐹, 𝐺 : 𝒜 \to 𝒜^{'}, 𝐹^{'} : 𝒜^{'} \to 𝒜^{″}$
自然変換 $𝛼 : 𝐹 \Rightarrow 𝐺$

を与えたときの自然変換 $𝛼, 1_{𝐹^{'}}$ の水平合成のことを $𝐹^{'} * 𝛼 ≔ 1_{𝐹^{'}} * 𝛼$ と書く．

函手圏の積圏

圏 $𝒜, 𝒜^{'}, 𝒜^{″}$ を与える．

函手圏の積圏 $[𝒜^{'}, 𝒜^{″}] \times [𝒜, 𝒜^{'}]$ から，函手圏 $[𝒜, 𝒜^{″}]$ への双函手として以下を持つ．

対象-対象対応: 函手の合成： $(𝐹^{'}, 𝐹) \mapsto 𝐹^{'} \circ 𝐹$
射-射対応: 自然変換の水平合成： $(𝛼^{'}, 𝛼) \mapsto 𝛼^{'} * 𝛼$

これが函手となることから，以下を満たす．

相互交換法則

函手 $𝐹, 𝐺, 𝐻 : 𝒜 \to 𝒜^{'}, 𝐹^{'}, 𝐺^{'}, 𝐻^{'} : 𝒜^{'} \to 𝒜^{″}$
自然変換 $𝛼 : 𝐹 \Rightarrow 𝐺, 𝛽 : 𝐺 \Rightarrow 𝐻, 𝛼^{'} : 𝐹^{'} \Rightarrow 𝐺^{'}, 𝛽^{'} : 𝐺^{'} \Rightarrow 𝐻^{'}$

に対し，以下が成り立つ．

(𝛽^{'} \circ 𝛼^{'}) * (𝛽 \circ 𝛼) = (𝛽^{'} * 𝛽) \circ (𝛼^{'} * 𝛼) : 𝐹^{'} \circ 𝐹 \to 𝐻^{'} \circ 𝐻

恒等自然変換の水平合成

函手

𝐹 : 𝒜 \to 𝒜^{'}, 𝐹^{'} : 𝒜^{'} \to 𝒜^{″}

に対し，以下が成り立つ．

1_{𝐹^{'}} * 1_{𝐹} = 1_{𝐹^{'} \circ 𝐹}

函手となることの証明

自然同型と圏同値

自然同型

圏 $𝒜, ℬ$
函手 $𝐹, 𝐺 : 𝒜 \to ℬ$

を与える．

自然変換 $𝛼 : 𝐹 \Rightarrow 𝐺$ で，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすものを自然同型(natural isomorphism)と呼ぶ．

$𝛼$ は函手圏 $[𝒜, ℬ]$ の同型射
対象 $\forall 𝐴 \in ob (𝒜)$ に対し，成分 $𝛼_{𝐴} : 𝐹 (𝛢) \to 𝐺 (𝛢)$ は $ℬ$ の同型射

このとき，函手 $𝐹, 𝐺$ のことも自然同型(natural isomorfic)と呼ぶ．

また， $𝐹 (𝐴) ≅ 𝐺 (𝐴)$ は $𝐴$ において自然(naturally in $𝐴$ )と呼ぶ．

条件の同値性の証明

自然変換 $𝛼$ に逆射 $𝛼^{- 1}$ が存在するとき， $𝛼_{𝐴}$ は ${(𝛼^{- 1})}_{𝐴}$ を逆射とする $ℬ$ の同型射．
逆に $𝛼_{𝐴}$ に逆射 ${(𝛼_{𝐴})}^{- 1}$ が存在するとき， $𝛼_{𝐴}$ は自然変換なので， $\forall 𝐴, 𝐴^{'} \in ob (𝒜), \forall 𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴^{'}), 𝛼_{𝐴^{'}} \circ 𝐹 (𝑓) = 𝐺 (𝑓) \circ 𝛼_{𝐴}$ を満たす．左から ${(𝛼_{𝐴^{'}})}^{- 1}$ ，右から ${(𝛼_{𝐴})}^{- 1}$ をかけると， $𝐹 (𝑓) \circ {(𝛼_{𝐴})}^{- 1} = {(𝛼_{𝐴^{'}})}^{- 1} \circ 𝐺 (𝑓)$ を満たすから， $𝐴 \in ob (𝒜)$ に対する成分を ${(𝛼_{𝐴})}^{- 1}$ で定義した自然変換が定義され，これは $𝛼$ の逆射．

有名な例が，ベクトル空間の圏における $𝑉 ≅ 𝑉^{**}$

反対圏の函手圏

反対圏の函手圏と，函手圏の反対圏は同型．

つまり，圏 $𝒜, ℬ$ を与えると，以下が成り立つ: $[𝒜^{op}, ℬ^{op}] ≅ {[𝒜, ℬ]}^{op}$

証明

圏同値

圏 $𝒜, ℬ$ を与える．

函手 $𝐹 : 𝒜 \to ℬ$ で以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすものを同値(equivalence)と呼ぶ．

函手 $𝐺 : ℬ \to 𝒜$ と自然同型 $𝜀 : 𝐹 \circ 𝐺 \to 1_{ℬ}, 𝜂 : 1_{𝒜} \to 𝐺 \circ 𝐹$ が存在．
$𝐹$ が埋め込みかつ分裂本質的全射

このとき $𝐹$ と $𝐺$ を同値(equivalent)と呼び， $𝐹 ≃ 𝐺$ と表す．

このとき圏 $𝒜$ と $ℬ$ のことも同値(equivalent)と呼び， $𝒜 ≃ ℬ$ と表す．

条件の同値性の証明のポイントは，うまく $𝜀, 𝜂$ を（再）定義することで， $𝜀 * 𝐹 : 𝐹 \circ 𝐺 \circ 𝐹 \Rightarrow 𝐹$ と $𝐹 * 𝜂 : 𝐹 \Rightarrow 𝐹 \circ 𝐺 \circ 𝐹$ が互いに逆射となるようにすること．

条件の同値性の証明

函手𝐺と自然同型 𝜂,𝜀 を持つとする．
- $\forall 𝐴, 𝐴^{'} \in ob (𝒜), \forall 𝑓, 𝑔 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴^{'}), 𝐹 (𝑓) = 𝐹 (𝑔) \Rightarrow 𝜂_{𝐴^{'}} \circ (𝐺 \circ 𝐹) (𝑓) = 𝜂_{𝐴^{'}} \circ (𝐺 \circ 𝐹) (𝑔) \Leftrightarrow 𝑓 \circ 𝜂_{𝐴} = 𝑔 \circ 𝜂_{𝐴} \Leftrightarrow 𝑓 = 𝑔$ を満たすから， $𝐹$ は忠実函手．
- $𝜀, 𝜂$ は自然同型なので， $𝜂^{'} ≔ (𝐺 * 𝐹 * 𝜂^{- 1}) \circ (𝐺 * 𝜀^{- 1} * 𝐹) \circ 𝜂 : 1_{𝒜} \Rightarrow 𝐺 \circ 𝐹$ も自然同型となる．これに対し， $\begin{matrix} (𝜀 * 𝐹) \circ (𝐹 * 𝜂^{'}) & = & (𝜀 * 𝐹) \circ ((𝐹 \circ 𝐺) * ((𝐹 * 𝜂^{- 1}) \circ (𝜀^{- 1} * 𝐹))) \circ (𝐹 * 𝜂) \\ = & (𝐹 * 𝜂^{- 1}) \circ (𝜀^{- 1} * 𝐹) \circ (𝜀 * 𝐹) \circ (𝐹 * 𝜂) \\ = & 1_{𝐹} \end{matrix}$ を満たす．逆射の一意性より， $𝜀_{𝐹 (𝐴)} : 𝐹 \circ 𝐺 \circ 𝐹 (𝐴) \to 𝐹 (𝐴)$ と $𝐹 ({𝜂^{'}}_{𝐴}) : 𝐹 (𝐴) \to 𝐹 \circ 𝐺 \circ 𝐹 (𝐴)$ は互いに逆射となる．よって， $\forall 𝐴, 𝐴^{'} \in ob (𝒜), \forall 𝑔 \in {hom}_{ℬ} (𝐹 (𝐴), 𝐹 (𝐴^{'})), 𝐹 ({𝜂^{'}}_{𝐴^{'}}^{- 1} \circ 𝐺 (𝑔) \circ {𝜂^{'}}_{𝐴}) = {𝐹 ({𝜂^{'}}_{𝐴^{'}})}^{- 1} \circ (𝐹 \circ 𝐺 (𝑔)) \circ 𝐹 ({𝜂^{'}}_{𝐴}) = 𝜀_{𝐹 (𝐴^{'})} \circ (𝐹 \circ 𝐺 (𝑔)) \circ {𝜀_{𝐹 (𝐴^{'})}}^{- 1} = 𝑔$ より $𝐹$ は充満函手．
- $\forall 𝐵 \in ob (ℬ)$ に対し， $𝐴 ≔ 𝐺 (𝐵)$ とすると， $𝐹 (𝐴)$ と $𝐵$ の間に同型射 $𝜀_{𝐵} : 𝐹 (𝐴) ≅ 𝐵$ を持つので， $𝐹$ は分裂本質的全射．
函手 $𝐺$ と自然同型 $𝜀$ の構成

$𝐹$ が埋め込みかつ分裂本質的全射とする．分裂本質的全射の定義より， ${(𝐴 \in 𝒜, 𝜀_{𝐵} : 𝐹 (𝐴) ≅ 𝐵)}_{𝐵 \in ℬ}$ が存在するので，函手 $𝐺 : ℬ \to 𝒜$ の対象-対象対応を $𝐺 (𝐵) ≔ 𝐴$ と定義でき， $𝜀_{𝐵} : 𝐹 \circ 𝐺 (𝐵) \to 𝐵$ となる． $𝐹$ は埋め込みなので， $\forall 𝑔 \in {hom}_{ℬ} (𝐵, 𝐵^{'})$ に対し， $𝐹 (𝑓) = {𝜀_{𝐹 \circ 𝐺 (𝐵^{'})}}^{- 1} \circ 𝑔 \circ 𝜀_{𝐹 \circ 𝐺 (𝐵)}$ を満たす射 $𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐺 (𝐵), 𝐺 (𝐵^{'}))$ が一意的に存在．よって $𝐺$ の射-射対応を $𝐺 (𝑔) ≔ 𝑓$ と定義する． $𝐹$ が函手だから， $\forall 𝑔 \in {hom}_{ℬ} (𝐵^{'}, 𝐵^{″})$ に対し， $𝐹 (𝐺 (𝑔^{'}) \circ 𝐺 (𝑔)) = 𝐹 (𝐺 (𝑔^{'} \circ 𝑔))$ を満たすが， $𝐹$ は埋め込みなので， $𝐺 (𝑔^{'}) \circ 𝐺 (𝑔) = 𝐺 (𝑔^{'} \circ 𝑔)$ を満たす．さらに， $𝐺$ の定義より，明らかに $𝐺 ({id}_{𝐵}) = {id}_{𝐺 (𝑔)}$ を満たすので， $𝐺$ は函手となり， $𝜀$ は自然同型となる．

自然同型 $𝜂$ の構成

$𝐹$ は埋め込みなので， $𝐹 (𝜂_{𝐴}) = {𝜀_{𝐹 (𝐴)}}^{- 1}$ を満たす射 $𝜂_{𝐴} : 𝐴 \to 𝐺 \circ 𝐹 (𝐴)$ が一意的に存在．これは $\forall 𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴^{'})$ に対し， $𝐹 (𝜂_{𝐴^{'}} \circ 𝑓) = {𝜀_{𝐹 (𝐴^{'})}}^{- 1} \circ 𝐹 (𝑓) = (𝐹 \circ 𝐺 \circ 𝐹 (𝑓)) \circ {𝜀_{𝐹 (𝐴)}}^{- 1} = 𝐹 ((𝐺 \circ 𝐹 (𝑓)) \circ 𝜂_{𝐴})$ であり， $𝐹$ は忠実函手なので， $𝜂_{𝐴^{'}} \circ 𝑓 = (𝐺 \circ 𝐹 (𝑓)) \circ 𝜂_{𝐴}$ を満たすから， $𝜂$ は自然変換．さらに $𝜂$ の定義より， $𝜂_{𝐴}$ は同型射となるので， $𝜂$ は自然同型．

圏同値と埋め込み

圏 $𝒜, ℬ$
埋め込み $𝐹 : 𝒜 \to ℬ$

を与えると， $𝒜$ は $ℬ$ のある充満部分圏と同値．

証明

双対

圏 $𝒜, ℬ$ を与える．

$𝒜$ の反対圏 $𝐴^{op}$ と $ℬ$ が同値のとき， $𝒜$ は $ℬ$ と双対(dual)と呼ぶ．

随伴

普遍構成と随伴

終対象・始対象・零対象

圏 $𝒜$ を与える．

対象 $1 \in ob (𝒜)$ で $\forall 𝐴 \in ob (𝒜)$ からの射 $! : 𝐴 \to 1$ が一意的に存在するものを，終対象(terminal object)と呼ぶ．
対象 $\emptyset \in ob (𝒜)$ で $\forall 𝐴 \in ob (𝒜)$ への射 $𝑓 : \emptyset \to 𝐴$ が一意的に存在するものを，始対象(initial object)と呼ぶ．
終対象でも始対象でもある対象を零対象(zero object)と呼び，零対象をもつ圏を付点圏(pointed category)と呼ぶ．

終対象・始対象・零対象の普遍性

終対象（，始対象，零対象）から自分自身への射は恒等射のみ．
終対象，始対象，零対象は（存在すれば）同型を除いて一意．

証明

終対象，始対象，零対象の定義より射は唯一なので，それは恒等射に他ならない．
終対象（，始対象，零対象） $1, 1^{'}$ に対し，定義より $𝑓 : 1 \to 1^{'}, 𝑓^{'} : 1^{'} \to 1$ はそれぞれ一意的に存在． $𝑓^{'} \circ 𝑓 : 𝑇 \to 𝑇, 𝑓 \circ 𝑓^{'} \in 𝑇^{'} \to 𝑇^{'}$ なので，これらは恒等射．つまり， $1, 1^{'}$ は同型．

コンマ圏

圏 $𝒜, ℬ, 𝒞$
函手 $𝐹 : 𝒜 \to 𝒞, 𝐺 : ℬ \to 𝒞$

を与える．

対象を
- $𝐴 \in ob (𝒜)$
- $𝐵 \in ob (ℬ)$
- $𝛼 \in {hom}_{𝒞} (𝐹 (𝐴), 𝐺 (𝐵))$
の三つ組 ( 𝐴,𝐵,𝛼 ) の集まり．
対象 $(𝐴, 𝐵, 𝛼), (𝐴^{'}, 𝐵^{'}, 𝛼^{'})$ に対する射を組 $(𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴^{'}), 𝑔 \in {hom}_{ℬ} (𝐵, 𝐵^{'}))$ で，以下を満たすものの集まり： $𝛼^{'} \circ 𝐹 (𝑓) = 𝐺 (𝑔) \circ 𝛼$ つまり，以下の図式を可換にする：

とする圏を， $𝐹$ と $𝐺$ のコンマ圏(comma category)と呼び， $(𝐹 \Rightarrow 𝐺), (𝐹 ∕ 𝐺), (𝐹 ↓ 𝐺)$ 等と表す．

コンマ圏の普遍性

圏 $𝒜, ℬ, 𝒞$
函手 $𝐹 : 𝒜 \to 𝒞, 𝐺 : ℬ \to 𝒞$
コンマ圏 $(𝐹 \Rightarrow 𝐺)$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝑈_{𝒜} : (𝐹 \Rightarrow 𝐺) \to 𝒜, (𝐴, 𝐵, 𝛼) \mapsto 𝐴, (𝑓, 𝑔) \mapsto 𝑓, 𝑈_{ℬ} : (𝐹 \Rightarrow 𝐺) \to ℬ, (𝐴, 𝐵, 𝛼) \mapsto 𝐵, (𝑓, 𝑔) \mapsto 𝑔$ は函手．
$𝜃_{(𝐴, 𝐵, 𝛼)} ≔ 𝛼$ を成分とする $𝜃 : 𝐹 \circ 𝑈_{𝒜} \Rightarrow 𝐺 \circ 𝑈_{ℬ}$ は自然変換．
以下の普遍性を満たす：

対象上の(?)コンマ圏

圏 $𝒜, ℬ$
函手 $𝐹 : 𝒜 \to ℬ$
対象 $𝑋 \in ob (ℬ)$

を与える．

𝐹と定函手 𝛥 ⁡ ( 𝑋 ) : 𝟏 → ℬ のコンマ圏 ( 𝐹 ⇒ 𝛥 ⁡ ( 𝑋 ) ) のことを， ( 𝐹⇒𝑋 ) , ( 𝐹/𝑋 ) 等と表す．明示的には
- 対象を
  - $𝐴 \in ob (𝒜)$
  - $𝑔 \in {hom}_{ℬ} (𝐹 (𝐴), 𝑋)$
  の組 ( 𝐴 , 𝑔 )
- 対象 $(𝐴, 𝑔), (𝐴^{'}, 𝑔^{'})$ に対する射を $𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴^{'})$ で，以下を満たすもの： $𝑔^{'} \circ 𝐹 (𝑓) = 𝑔$ つまり，以下の図式を可換にする：
とする圏のこと．
定函手 𝛥 ⁡ ( 𝑋 ) : 𝟏 → ℬ と𝐹のコンマ圏 ( 𝛥 ⁡ ( 𝑋 ) ⇒ 𝐹 ) のことを， ( 𝑋 ⇒ 𝐹 ) , ( 𝑋 / 𝐹 ) 等と表す．明示的には
- 対象を
  - $𝐴 \in ob (𝒜)$
  - $𝑔 \in {hom}_{ℬ} (𝑋, 𝐹 (𝐴))$
  の組 ( 𝐴 , 𝑔 )
- 対象 $(𝐴, 𝑔), (𝐴^{'}, 𝑔^{'})$ に対する射を $𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴^{'})$ で，以下を満たすもの： $𝑔^{'} = 𝐹 (𝑓) \circ 𝑔$ つまり，以下の図式を可換にする：
とする圏のこと．

スライス圏

圏 $𝒜$
対象 $𝑋 \in ob (𝒜)$

を与える．

恒等函手 1 𝒜 と定函手 𝛥 ⁡ ( 𝑋 ) : 𝟏 → 𝒜 のコンマ圏 ( 1 𝒜 ⇒ 𝛥 ⁡ ( 𝑋 ) ) のことを，𝒜の𝑋上のスライス圏(slice category)と呼び， ( 1 𝒜 ⇒ 𝑋 ) , 𝒜 / 𝑋 等と表す．明示的には
- 対象を
  - $𝐴 \in ob (𝒜)$
  - $𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝑋)$
  の組 ( 𝐴 , 𝑓 ) ．
- 対象 $(𝐴, 𝑓), (𝐴^{'}, 𝑓^{'})$ に対する射を $𝑔 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴^{'})$ で，以下を満たすもの： $𝑓^{'} \circ 𝑔 = 𝑓$ つまり，以下の図式を可換にする：
とする圏のこと．
定函手 𝛥 ⁡ ( 𝑋 ) : 𝟏 → 𝒜 と恒等函手 1 𝒜 のコンマ圏 ( 𝛥 ⁡ ( 𝑋 ) ⇒ 1 𝒜 ) のことを，𝒜の𝑋上の余スライス圏(coslice category)と呼び， ( 𝑋 ⇒ 1 𝒜 ) , 𝑋 / 𝒜 等と表す．明示的には
- 対象を
  - $𝐴 \in ob (𝒜)$
  - $𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝑋, 𝐴)$
  の組 ( 𝐴 , 𝑓 ) ．
- 対象 $(𝐴, 𝑓), (𝐴^{'}, ℎ^{'})$ に対する射を $𝑔 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴^{'})$ で，以下を満たすもの： $𝑓^{'} = 𝑔 \circ 𝑓$ つまり，以下の図式を可換にする：
とする圏のこと．

射圏

圏 $𝒜$ を与える．

恒等函手 $1_{𝒜}$ から $1_{𝒜}$ へのコンマ圏 $(𝒜 \Rightarrow 𝒜)$ ，同じことだが $𝟐$ から $𝒜$ への函手圏 $[𝟐, 𝒜]$ を射圏(arrow category)と呼ぶ． $arr (𝒜)$ と表すこともある．明示的には，

対象を $𝐴, 𝐴^{'} \in ob (𝒜)$ に対する射 $𝑓 \in {hom}_{𝒞} (𝐴, 𝐴^{'})$
対象 $(𝐴, 𝐴^{'}, 𝑓)$ から $(𝐵, 𝐵^{'}, 𝑔)$ への射を組 $(ℎ \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐵), ℎ^{'} \in {hom}_{𝒜} (𝐴^{'}, 𝐵^{'}))$ で，以下を満たすものの集まり： $ℎ^{'} \circ 𝑓 = 𝑔 \circ ℎ$ つまり，以下の図式を可換にする．

とする圏のこと．

普遍射

圏 $𝒜, ℬ$
函手 $𝐹 : 𝒜 \to ℬ$
対象 $𝑋 \in ob (ℬ)$

を与える．

𝐹から𝑋への普遍射(universal morphism)とは，以下のデータからなる．
- 対象 $𝐴 \in ob (𝒜)$
- 射 $𝑢 \in {hom}_{ℬ} (𝐹 (𝐴), 𝑋)$
これらは以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たす．
- $(𝐴, 𝑢)$ はコンマ圏 $(𝐹 \Rightarrow 𝑋)$ の終対象．つまり，以下の普遍性(universal property)を満たす： $\forall 𝐴^{'} \in ob (𝒜), \forall 𝑓 \in {hom}_{ℬ} (𝐹 (𝐴^{'}), 𝑋), \exists! \overline{𝑓} \in {hom}_{𝒜} (𝐴^{'}, 𝐴), 𝑢 \circ 𝐹 (\overline{𝑓}) = 𝑓$
- $(𝐴, 𝑢 \circ 𝐹 (-))$ は ${hom}_{ℬ} (𝐹 (-), 𝑋)$ の表現．
𝑋から𝐹への普遍射(universal morphism)とは，以下のデータからなる．
- 対象 $𝐴 \in ob (𝒜)$
- 射 $𝑢 \in {hom}_{ℬ} (𝑋, 𝐹 (𝐴))$
これらは以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たす．
- $(𝐴, 𝑢)$ はコンマ圏 $(𝑋 \Rightarrow 𝐹)$ の始対象．つまり，以下の普遍性(universal property)を満たす： $\forall 𝐴^{'} \in ob (𝒜), \forall 𝑓 \in {hom}_{ℬ} (𝑋, 𝐹 (𝐴^{'})), \exists! \overline{𝑓} \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴^{'}), 𝐹 (\overline{𝑓}) \circ 𝑢 = 𝑓$
- $(𝐴, 𝐹 (-) \circ 𝑢)$ は ${hom}_{ℬ} (𝑋, 𝐹 (-))$ の表現．

普遍射の普遍性

（終対象，始対象であるため，）普遍射は同型を除いて一意．

wikipediaにそう書いていたので，後述の表現のことを書いておいたが，局所的小圏じゃないのにhom函手と読んでいいのかは疑問．ただ写像として定義できていそうな気はする．

条件の同値性の証明

随伴

圏 $𝒜, ℬ$ を与える．

函手の組 $𝐹 : 𝒜 \to ℬ, 𝐺 : ℬ \to 𝒜$ が以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）をみたすとき， $𝐹$ を $𝐺$ の左随伴(left adjoint)， $𝐺$ を $𝐹$ の右随伴(right adjoint)と呼び， $𝐹 ⊣ 𝐺$ と表す．

転置(transpose)と呼ばれる自然同型 ${hom}_{ℬ} (𝐹 (𝐴), 𝐵) ≅ {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐺 (𝐵))$ を持ち，これは $𝐴 \in ob (𝒜), 𝐵 \in ob (ℬ)$ において自然．つまり，以下を満たす． $\forall 𝐴 \in ob (𝒜), \forall 𝐵, 𝐵^{'} \in ob (ℬ), \forall 𝑔 \in {hom}_{ℬ} (𝐹 (𝐴), 𝐵), \forall 𝑞 \in {hom}_{ℬ} (𝐵, 𝐵^{'}), \overline{𝑞 \circ 𝑔} = 𝐺 (𝑞) \circ \overline{𝑔}$ $\forall 𝐴, 𝐴^{'} \in ob (𝒜), \forall 𝐵 \in ob (ℬ), \forall 𝑝 \in {hom}_{𝒜} (𝐴^{'}, 𝐴), \forall 𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐺 (𝐵)), \overline{𝑓 \circ 𝑝} = \overline{𝑓} \circ 𝐹 (𝑝)$
それぞれ余単位(counit)，単位(unit)と呼ばれる自然変換 $𝜀 : 𝐹 \circ 𝐺 \Rightarrow 1_{ℬ}, 𝜂 : 1_{𝒜} \Rightarrow 𝐺 \circ 𝐹$ が存在し，以下（ジグザク恒等式(zigzag identities)や三角恒等式(triangle identities)と呼ばれる）を満たす： $(𝜀 * 𝐹) \circ (𝐹 * 𝜂) = 1_{𝐹}, (𝐺 * 𝜀) \circ (𝜂 * 𝐺) = 1_{𝐺}$ つまり，以下の図式を可換にする：
$\forall 𝐵 \in ob (ℬ)$ に対し，コンマ圏 $(𝐹 \Rightarrow 𝐵)$ は普遍射を持つ（このとき適当な $𝐹$ の右随伴 $𝐺$ が定義される）．
$\forall 𝐴 \in ob (𝒜)$ に対し，コンマ圏 $(𝐴 \Rightarrow 𝐺)$ は普遍射を持つ（このとき適当な $𝐺$ の左随伴 $𝐹$ が定義される）．

条件の同値性証明

転置を持つとき， $𝐵 \in ob (ℬ)$ に対し， $𝜀_{𝐵} ≔ \overline{1_{𝐺 (𝐵)}}$ とし， $𝐴 \in ob (𝒜)$ に対し， $𝜂_{𝐴} ≔ \overline{1_{𝐹 (𝐴)}}$ とすると， $𝜀, 𝜂$ はこれらを成分とする自然変換となり，これらは $(𝜀 * 𝐹) \circ (𝐹 * 𝜂) = \overline{1_{𝐺 \circ 𝐹 (-)}} \circ 𝐹 (\overline{1_{𝐹 (-)}}) = \overline{1_{𝐺 \circ 𝐹 (-)} \circ \overline{1_{𝐹 (-)}}} = \overline{\overline{1_{𝐹}}} = 1_{𝐹}$ $(𝐺 * 𝜀) \circ (𝜂 * 𝐺) = 𝐹 (\overline{1_{𝐺 (-)}}) \circ \overline{1_{𝐺 \circ 𝐹 (-)}} = \overline{\overline{1_{𝐺 (-)}} \circ 1_{𝐺 \circ 𝐹 (-)}} = \overline{\overline{1_{𝐺}}} = 1_{𝐺}$ を満たす．
余単位と単位を持つとき， $\forall 𝐵 \in ob (ℬ)$ に対する $(𝐺 (𝐵), 𝜀_{𝐵}) \in ob (𝐹 \Rightarrow 𝐵)$ を考える． $(𝐴, 𝑔) \in ob (𝐹 \Rightarrow 𝐵)$ とすると，射 $𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐺 (𝐵))$ に対し， $𝐺 (𝜀_{𝐵} \circ 𝐹 (𝑓)) \circ 𝜂_{𝐴} = 𝐺 (𝜀_{𝐵}) \circ (𝐺 \circ 𝐹 (𝑓)) \circ 𝜂_{𝐴} = 𝐺 (𝜀_{𝐵}) \circ 𝜂_{𝐺 (𝐵)} \circ 𝑓 = 1_{𝐺 (𝐵)} \circ 𝑓 = 𝑓$ を満たすので， $𝜀_{𝐵} \circ 𝐹 (𝑓) = 𝑔$ を満たすのは $𝑓 = 𝐺 (𝑔) \circ 𝜂_{𝐴}$ のみ．つまり，コンマ圏 $(𝐹 \Rightarrow 𝐵)$ は普遍射 $(𝐺 (𝐵), 𝜀_{𝐵})$ を持つ．双対を考えれば， $\forall 𝐴 \in ob (𝒜)$ に対し，コンマ圏 $(𝐴 \Rightarrow 𝐺)$ は普遍射を持つ．
$\forall 𝐵 \in ob (ℬ)$ に対し，コンマ圏 $(𝐹 \Rightarrow 𝐵)$ が普遍射 $(𝐺 (𝐵), 𝜀_{𝐵})$ を持つとき，函手 $𝐺 : ℬ \to 𝒜$ の対象-対象対応をこの $𝐺 (𝐵)$ で定義する． $𝐵, 𝐵^{'} \in ob (ℬ)$ についての射-射対応は $𝐵^{'} \in ob (ℬ)$ に対する普遍性より $𝑔 \in {hom}_{ℬ} (𝐵, 𝐵^{'})$ に対して $𝜀_{𝐵^{'}} \circ (𝐹 \circ 𝐺 (𝑔)) = 𝑔 \circ 𝜀_{𝐵}$ を満たす射 $𝐺 (𝑔) \in {hom}_{𝒜} (𝐺 (𝐵), 𝐺 (𝐵^{'}))$ が一意に定まるので，これを定義とする．すると $\forall 𝐵, 𝐵^{'}, 𝐵^{″} \in ob (ℬ), \forall 𝑔 \in {hom}_{ℬ} (𝐵, 𝐵^{'}), \forall 𝑔^{'} \in {hom}_{ℬ} (𝐵^{'}, 𝐵^{″})$ に対して $𝜀_{𝐵^{″}} \circ 𝐹 (𝐺 (𝑔^{'}) \circ 𝐺 (𝑔)) = 𝜀_{𝐵^{″}} \circ (𝐹 \circ 𝐺 (𝑔^{'})) \circ (𝐹 \circ 𝐺 (𝑔)) = 𝑔^{'} \circ 𝜀_{𝐵^{'}} \circ (𝐹 \circ 𝐺 (𝑔)) = 𝑔^{'} \circ 𝑔 \circ 𝜀_{𝐵}$ を満たし， $𝐵^{″} \in ob (ℬ)$ に対する普遍性より， $𝐺 (𝑔^{'} \circ 𝑔) = 𝐺 (𝑔^{'}) \circ 𝐺 (𝑔)$ を満たすので， $𝐺$ は函手とな（り， $𝜀_{𝐵}$ は自然変換とな）る．また $𝐹 (𝐴) \in ob (ℬ)$ に対する普遍性より $\forall 𝐴 \in ob (𝒜), \exists! 𝜂_{𝐴} \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐺 \circ 𝐹 (𝐴)), 𝜀_{𝐹 (𝐴)} \circ (𝐹 (𝜂_{𝐴})) = 1_{𝐹 (𝐴)}$ を満たす．これらの $𝐺, 𝜀, 𝜂$ により， $𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐺 (𝐵)), 𝑔 \in {hom}_{ℬ} (𝐹 (𝐴), 𝐵)$ に対して $\overline{𝑓} ≔ 𝜀_{𝐵} \circ 𝐹 (𝑓), \overline{𝑔} ≔ 𝐺 (𝑔) \circ 𝜂_{𝐴}$ と定義すると， $\forall 𝑝 \in {hom}_{𝒜} (𝐴^{'}, 𝐴), \overline{𝑓 \circ 𝑝} = 𝜀_{𝐵} \circ 𝐹 (𝑓 \circ 𝑝) = 𝜀_{𝐵} \circ 𝐹 (𝑓) \circ 𝐹 (𝑝) = \overline{𝑓} \circ 𝐹 (𝑝)$ $\forall 𝑞 \in {hom}_{ℬ} (𝐵, 𝐵^{'}), \overline{𝑞 \circ 𝑔} = 𝐺 (𝑞 \circ 𝑔) \circ 𝜂_{𝐴} = 𝐺 (𝑞) \circ 𝐺 (𝑔) \circ 𝜂_{𝐴} = 𝐺 (𝑞) \circ \overline{𝑔}$ を満たすので，これは転置となる．

随伴の忠実・充満性と余単位・単位の関係

随伴函手の組 $𝐹 ⊣ 𝐺$ とこれらの余単位 $𝜀$ ，単位 $𝜂$ に対し，以下が成り立つ．

$𝐺$ が忠実函手⇔余単位 $𝜀$ の全ての成分はエピ射．
$𝐹$ が忠実函手⇔単位 $𝜂$ の全ての成分はモノ射．
$𝐺$ が充満函手⇔余単位 $𝜀$ の全ての成分は分裂モノ射．
$𝐹$ が充満函手⇔単位 $𝜂$ の全ての成分は分裂エピ射．

証明

ジグザク恒等式より $\forall 𝑔 \in {hom}_{ℬ} (𝐵, 𝐵^{'})$ に対し， $𝐺 (𝑔) = 𝐺 (𝑔) \circ 𝐺 (𝜀_{𝐵}) \circ 𝜂_{𝐺 (𝐵)} = 𝐺 (𝑔 \circ 𝜀_{𝐵}) \circ 𝜂_{𝐺 (𝐵)}$ を満たす． $𝐺 (-) \circ 𝜂_{𝐴} : {hom}_{ℬ} (𝐹 (𝐴), 𝐵) \to {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐺 (𝐵))$ は転置の公理を満たす自然同型だったから，

$𝐺$ が忠実函手であることと， $- \circ 𝜀_{𝐵} : {hom}_{ℬ} (𝐵, 𝐵^{'}) \to {hom}_{ℬ} (𝐹 \circ 𝐺 (𝐵), 𝐵^{'}), 𝑔 \mapsto 𝑔 \circ 𝜀_{𝐵}$ が単射であることは同値．つまり $𝜀_{𝐵}$ がエピ射であることと同値．
$𝐺$ が充満函手であることと， $- \circ 𝜀_{𝐵} : {hom}_{ℬ} (𝐵, 𝐵^{'}) \to {hom}_{ℬ} (𝐹 \circ 𝐺 (𝐵), 𝐵^{'}), 𝑔 \mapsto 𝑔 \circ 𝜀_{𝐵}$ が全射であることは同値．さらにこれは $𝜀_{𝐵}$ が分裂モノ射であることと同値(?)．

双対により，左随伴 $𝐹$ と単位 $𝜂$ についても同様．

圏同値は随伴かつ埋め込み

圏 $𝒜, ℬ$ を与える．

函手の組 $𝐹 : 𝒜 \to ℬ, 𝐺 : ℬ \to 𝒜$ に対して，以下は同値．

互いに同値
$𝐹$ は $𝐺$ の左（または右）随伴かつ，共に埋め込み

証明

分裂モノかつエピ射は同型射であったから， $𝐹 ⊣ 𝐺$ が共に埋め込みであることと， $𝜀, 𝜂$ が自然同型であることは同値．

Kan拡張・持ち上げ

函手が誘導する函手

圏 $𝒜, 𝒳, 𝒴$
函手 $𝐹 : 𝒳 \to 𝒴$

を与える．

$𝐹$ が誘導する以下の対応は函手となる：

対象-対象対応

函手 $𝐺 \in [𝒜, 𝒳]$ に，函手 $𝐹 \circ 𝐺 \in [𝒜, 𝒴]$ を対応させる．

射-射対応

自然変換 $𝛼 : 𝐺 \Rightarrow 𝐺^{'}$ に $1_{𝐹}$ との水平合成 $𝐹 * 𝛼 : 𝐹 \circ 𝐺 \Rightarrow 𝐹 \circ 𝐺^{'}$ を対応させる．

これを $𝐹 \circ - : [𝒜, 𝒳] \to [𝒜, 𝒴]$ と表す．
$𝐹$ が誘導する以下の対応は函手となる：

対象-対象対応

函手 $𝐺 \in [𝒴, 𝒜]$ に，函手 $𝐺 \circ 𝐹 \in [𝒳, 𝒜]$ を対応させる．

射-射対応

自然変換 $𝛼 : 𝐺 \Rightarrow 𝐺^{'}$ に $1_{𝐹}$ との水平合成 $𝛼 * 𝐹 : 𝐺 \circ 𝐹 \Rightarrow 𝐺^{'} \circ 𝐹$ を対応させる．

これを $- \circ 𝐹 : [𝒴, 𝒜] \to [𝒳, 𝒜]$ と表す．

函手圏のなす圏の，共変・反変hom函手（後述）の射-射対応っぽい．（2-圏ってやつですか?）

Kan拡張

圏 $𝒜, ℬ, 𝒳$
函手 $𝐹 : 𝒜 \to ℬ$ に対する， $𝐹$ が誘導する函手 $- \circ 𝐹 : [ℬ, 𝒳] \to [𝒜, 𝒳]$

を与える．

さらに，函手 𝐸 ∈ [ 𝒜,𝒳 ] を与えたとき，
- -∘𝐹から𝐸への普遍射を $𝐹$ に沿った $𝐸$ の右Kan拡張(right Kan extension of $𝐸$ along $𝐹$ )と呼ぶ．明示的には，
  - 函手 ${Ran}_{𝐹} 𝐸 : ℬ \to 𝒳$
  - 自然変換 $𝜀_{𝐸} : {Ran}_{𝐹} 𝐸 \circ 𝐹 \Rightarrow 𝐸$
  の組で，以下の普遍性を満たすもの： ∀ ⁡ ( 𝐺 : ℬ→𝒳 , 𝛼 : 𝐺∘𝐹 ⇒ 𝐸 ) , ∃! ⁡ 𝛼‾ : 𝐺 ⇒ Lan𝐹 ⁡ 𝐸 , 𝛼 = 𝜀𝐸 ∘ ( 𝛼‾ ∗ 𝐹 )
- 𝐸から-∘𝐹への普遍射を $𝐹$ に沿った $𝐸$ の左Kan拡張(left Kan extension of $𝐸$ along $𝐹$ )と呼ぶ．明示的には，
  - 函手 ${Lan}_{𝐹} 𝐸 : ℬ \to 𝒳$
  - 自然変換 $𝜂_{𝐸} : 𝐸 \Rightarrow {Lan}_{𝐹} 𝐸 \circ 𝐹$
  の組で，以下の普遍性を満たすもの： ∀ ⁡ ( 𝐺 : ℬ→𝒳 , 𝛼 : 𝐸 ⇒ 𝐺∘𝐹 ) , ∃! ⁡ 𝛼‾ : Lan𝐹 ⁡ 𝐸 ⇒ 𝐺 , 𝛼 = ( 𝛼‾ ∗ 𝐹 ) ∘ 𝜂𝐸
- $- \circ 𝐹$ の右随伴を単に $𝐹$ に沿った右Kan拡張(right Kan extension along $𝐹$ )と呼び， ${Ran}_{𝐹}$ と表す．
- $- \circ 𝐹$ の左随伴を単に $𝐹$ に沿った左Kan拡張(left Kan extension along $𝐹$ )と呼び， ${Lan}_{𝐹}$ と表す．

Kan持ち上げ

圏 $𝒜, ℬ, 𝒳$
函手 $𝐹 : 𝒜 \to ℬ$ に対する， $𝐹$ が誘導する函手 $𝐹 \circ - : [𝒳, 𝒜] \to [𝒳, ℬ]$

を与える．

さらに，函手 𝐸 ∈ [ 𝒳,ℬ ] を与えたとき，
- 𝐹∘-から𝐸への普遍射を $𝐹$ に沿った $𝐸$ の右Kan持ち上げ(right Kan lift of $𝐸$ along $𝐹$ )と呼ぶ．明示的には，
  - 函手 ${Rift}_{𝐹} 𝐸 : 𝒳 \to 𝒜$
  - 自然変換 $𝜀_{𝐸} : 𝐹 \circ {Rift}_{𝐹} 𝐸 \Rightarrow 𝐸$
  の組で，以下の普遍性を満たすもの： ∀ ⁡ ( 𝐺 : 𝒳→𝒜 , 𝛼 : 𝐹∘𝐺 ⇒ 𝐸 ) , ∃! ⁡ 𝛼‾ : 𝐺 ⇒ Rift𝐹 ⁡ 𝐸 , 𝛼 = 𝜀𝐸 ∘ ( 𝐹 ∗ 𝛼‾ )
- 𝐸から𝐹∘-への普遍射を $𝐹$ に沿った $𝐸$ の左Kan持ち上げ(left Kan lift of $𝐸$ along $𝐹$ )と呼ぶ．明示的には，
  - 函手 ${Lift}_{𝐹} 𝐸 : 𝒳 \to 𝒜$
  - 自然変換 $𝜂_{𝐸} : 𝐸 \Rightarrow 𝐹 \circ {Lift}_{𝐹} 𝐸$
  の組で，以下の普遍性を満たすもの： ∀ ⁡ ( 𝐺 : 𝒳→𝒜 , 𝛼 : 𝐸 ⇒ 𝐹∘𝐺 ) , ∃! ⁡ 𝛼‾ : Lift𝐹 ⁡ 𝐸 ⇒ 𝐺 , 𝛼 = ( 𝐹 ∗ 𝛼‾ ) ∘ 𝜂𝐸
- $𝐹 \circ -$ の左随伴を単に $𝐹$ に沿った左Kan持ち上げ(left Kan lift along $𝐹$ )と呼び， ${Rift}_{𝐹}$ と表す．
- $𝐹 \circ -$ の右随伴を単に $𝐹$ に沿った右Kan持ち上げ(right Kan lift along $𝐹$ )と呼び， ${Lift}_{𝐹}$ と表す．

Kan拡張・Kan持ち上げと表現可能函手

圏 $𝒜, ℬ, 𝒳$
函手 $𝐹 : 𝒜 \to ℬ$ に対する， $𝐹$ が誘導する函手 $- \circ 𝐹 : [ℬ, 𝒳] \to [𝒜, 𝒳], 𝐹 \circ - : [𝒳, 𝒜] \to [𝒳, ℬ]$

を与えると，以下が成り立つ：

∀ ⁡ 𝐸 ∈ [ 𝒜,𝒳 ] に対し，以下は同値：
- ${hom}_{[𝒜, 𝒳]} (- \circ 𝐹, 𝐸)$ が表現可能前層
- 右Kan拡張 ${Ran}_{𝐹} 𝐸$ が存在
同様に，以下も同値：
- ${hom}_{[𝒜, 𝒳]} (𝐸, - \circ 𝐹)$ が表現可能函手
- 左Kan拡張 ${Lan}_{𝐹} 𝐸$ が存在
このとき，
- ${hom}_{[𝒜, 𝒳]} (𝐸, - \circ 𝐹) ≅ {hom}_{[ℬ, 𝒳]} ({Ran}_{𝐹} 𝐸, -)$
- ${hom}_{[𝒜, 𝒳]} (- \circ 𝐹, 𝐸) ≅ {hom}_{[ℬ, 𝒳]} (-, {Lan}_{𝐹} 𝐸)$
である．特に，
- ${hom}_{[𝒜, 𝒳]} (𝐸, {Ran}_{𝐹} 𝐸 \circ 𝐹) ≅ {hom}_{[ℬ, 𝒳]} ({Ran}_{𝐹} 𝐸, {Ran}_{𝐹} 𝐸)$
- ${hom}_{[𝒜, 𝒳]} ({Lan}_{𝐹} 𝐸 \circ 𝐹, 𝐸) ≅ {hom}_{[ℬ, 𝒳]} ({Lan}_{𝐹} 𝐸, {Lan}_{𝐹} 𝐸)$
において右辺の恒等射に対応するものが，それぞれ 𝜀𝐸 , 𝜂𝐸 ．
$\forall 𝐸 \in [𝒳, ℬ]$ に対し，以下同様

集合の圏

圏の一覧にもある通り，集合（と写像）の圏 $𝐒𝐞𝐭$ とは，全ての集合を対象，全ての写像を射とする圏のこと．

圏論的特徴づけ

一般の圏の対象 $𝐴$ に対し，元をとってくる操作 $𝑎 \in 𝐴$ は定義されていない．集合の圏でその代わりになるのは，単一元集合 $1$ から，集合 $𝐴 \in ob (𝐒𝐞𝐭)$ への射 ${hom}_{𝐒𝐞𝐭} (1, 𝐴)$ である．

その他集合の公理系を射の性質のみを用いて表せることをみよう．

集合の圏

集合（と写像）の圏 $𝐒𝐞𝐭$ とは，informalには圏であり，かつ以下を満たすもののこと．

単一元集合の存在: 終対象が存在．
空集合の存在: 始対象が存在．
: A function is determined by its effect on elements.
直積集合の存在
冪集合の存在
逆像の存在
部分集合と二元集合への冪は一対一対応
任意濃度の有限集合の存在
選択公理

ちなみに正確には以下のようになるらしい：

well-pointed toposで
自然数対象を持ち，
選択公理を満たす

圏の大きさ

一般に圏の対象や射は集合よりも大きい集まりも許されているが，集合であると仮定したい場合もあるので，いくつか用語が定義されている．

小圏・局所的小圏

圏 $𝒜$ を与える．

- $𝒜$ の対象の集まり $ob (𝒜)$
- 任意の対象 $\forall 𝐴, 𝐵 \in ob (𝒜)$ に対する射 ${hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐵)$
が
- 共に集合となるとき， $𝒜$ を小圏（または小さい圏）(small category)と呼ぶ．
- いずれかが集合でないとき，大きい圏(large category)と呼ぶ．
任意の対象 ∀ ⁡ 𝐴 , 𝐵 ∈ ob ⁡ ( 𝒜 ) に対する射 hom 𝒜 ⁡ ( 𝐴 , 𝐵 ) が
- 集合となるとき， $𝒜$ を局所的小圏(locally small category)と呼ぶ．
- 集合でないとき， $𝒜$ を局所的に大きい圏(locally large category)と呼ぶ．

本質的小圏

圏 $𝒜$ を与える．

$𝒜$ がある局所的小圏と圏同値のとき， $𝒜$ を本質的小圏(essentially small category)と呼ぶ．
$𝒜$ が任意の圏と圏同値でないとき，本質的に大きい圏(essentially large category)と呼ぶ．

集合の圏の大きさ

集合の圏 $𝐒𝐞𝐭$ は，

大きく，
局所的に小さく，
本質的に大きい．

小圏の圏

全ての小圏を対象，全ての小圏の間の函手を射とする圏を小圏の圏と呼び， $𝐂𝐚𝐭$ と表す．

局所的小圏の表現可能性

米田の補題は局所的小圏の解析の方法を示すもので，圏論において非常に重要な結果とされる．それを示しつつその応用を考えていく．

hom函手

局所的小圏 $𝒜$
対象 $𝐴 \in ob (𝒜)$

を与える．

以下で定義される圏 $𝒜$ から集合の圏 $𝐒𝐞𝐭$ への（共変）函手を $𝒜$ の $𝐴$ で表現される共変hom函手(covariant hom functor)と呼び， ${hom}_{𝒜} (𝐴, -)$ と表す．

対象-対象対応

対象 $𝑋 \in ob (𝒜)$ に，集合 ${hom}_{𝒜} (𝐴, 𝑋)$ を対応させる．

射-射対応

射 $𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝑋, 𝑌)$ に，写像 ${hom}_{𝒜} (𝐴, 𝑓) : {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝑋) \to {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝑌), 𝑔 \mapsto 𝑓 \circ 𝑔$ を対応させる．
以下で定義される圏 $𝒜$ から集合の圏 $𝐒𝐞𝐭$ への反変函手を $𝒜$ の $𝐴$ で表現される反変hom函手(contravariant hom functor)と呼び， ${hom}_{𝒜} (-, 𝐴)$ と表す．

対象-対象対応

対象 $𝑋 \in ob (𝒜)$ に，集合 ${hom}_{𝒜} (𝑋, 𝐴)$ を対応させる．

射-射対応

射 $𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝑋, 𝑌)$ に，写像 ${hom}_{𝒜} (𝑓, 𝐴) : {hom}_{𝒜} (𝑌, 𝐴) \to {hom}_{𝒜} (𝑋, 𝐴), 𝑔 \mapsto 𝑔 \circ 𝑓$ を対応させる．
以下で定義される反対圏 $𝒜$ と圏 $𝒜$ から集合の圏 $𝐒𝐞𝐭$ への双函手を， $𝒜$ のhom函手(hom functor)と呼び， ${hom}_{𝒜} (-, -)$ と表す．

対象-対象対応

対象 $𝐴, 𝐵 \in ob (𝒜)$ に，集合 ${hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐵)$ を対応させる．

射-射対応

射 $𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝑋, 𝐴), 𝑔 \in {hom}_{𝒜} (𝐵, 𝑌)$ に，写像 ${hom}_{𝒜} (𝑓, 𝑔) : {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐵) \to {hom}_{𝒜} (𝑋, 𝑌), ℎ \mapsto 𝑔 \circ ℎ \circ 𝑓$ を対応させる．

米田埋め込み

局所的小圏 $𝒜$ を与える．

以下で定義される函手 $𝒜 \to [𝒜^{op}, 𝐒𝐞𝐭]$ を（共変）米田埋め込み((covariant) Yoneda embedding)と呼ぶ．

対象-対象対応

対象 $𝐴 \in ob (𝒜)$ に，反変hom函手 ${hom}_{𝒜} (-, 𝐴)$ を対応させる．

射-射対応

射 $𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐵)$ に，自然変換 ${hom}_{𝒜} (-, 𝑓) : {hom}_{𝒜} (-, 𝐴) \Rightarrow {hom}_{𝒜} (-, 𝐵)$ を対応させる．
以下で定義される函手 $𝒜^{op} \to [𝒜, 𝐒𝐞𝐭]$ を反変米田埋め込み(contravariant Yoneda embedding)と呼ぶ．

対象-対象対応

対象 $𝐴 \in ob (𝒜)$ に，共変hom函手 ${hom}_{𝒜} (𝐴, -)$ を対応させる．

射-射対応

射 $𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐵, 𝐴)$ に，自然変換 ${hom}_{𝒜} (𝑓, -) : {hom}_{𝒜} (𝐴, -) \Rightarrow {hom}_{𝒜} (𝐵, -)$ を対応させる．

前層・前層の圏

圏 $𝒜$ を与える．

$𝒜^{op}$ から集合と写像の圏 $𝐒𝐞𝐭$ への函手圏 $[𝒜^{op}, 𝐒𝐞𝐭]$ のことを圏 $𝒜$ の前層の圏(category of presheaves)と呼ぶ．
前層の圏の対象，つまり $𝒜$ から集合と写像の圏 $𝐒𝐞𝐭$ への反変函手 $𝐹 : 𝒜^{op} \to 𝐒𝐞𝐭$ のことを $𝒜$ の前層(presheaf)と呼ぶ．
$𝒜$ から集合と写像の圏 $𝐒𝐞𝐭$ への函手圏 $[𝒜, 𝐒𝐞𝐭]$ のことを圏 $𝒜$ の余前層の圏(category of copresheaves)と呼ぶ．
余前層の圏の対象，つまり $𝒜$ から集合と写像の圏 $𝐒𝐞𝐭$ への共変函手 $𝐹 : 𝒜 \to 𝐒𝐞𝐭$ のことを $𝒜$ の余前層(copresheaf)と呼ぶ．

米田の補題

局所的小圏 $𝒜$
対象 $𝐴 \in ob (𝒜)$

を与える．

前層 $\forall 𝑋 \in [𝒜^{op}, 𝐒𝐞𝐭]$ に対し，2つの集合 ${hom}_{[𝒜^{op}, 𝐒𝐞𝐭]} ({hom}_{𝒜} (-, 𝐴), 𝑋) ≅ 𝑋 (𝐴)$ は $𝐴, 𝑋$ において自然．
$\forall 𝑋 \in [𝒜, 𝐒𝐞𝐭]$ に対し，2つの集合 ${hom}_{[𝒜, 𝐒𝐞𝐭]} ({hom}_{𝒜} (𝐴, -), 𝑋) ≅ 𝑋 (𝐴)$ は $𝐴, 𝑋$ において自然．

そもそも左辺が集合であることも非自明な気はするが，集合であることの証明の仕方がわからないので認めておく．

抽象度が高いので難解に感じるかもしれないが，証明自体は積圏からの函手（それぞれ $𝒜 \times [𝒜, 𝐒𝐞𝐭] \to 𝐒𝐞𝐭, 𝒜^{op} \times [𝒜^{op}, 𝐒𝐞𝐭] \to 𝐒𝐞𝐭$ ）の間の自然同型の存在を示すだけなので，意外と簡単だったりする．

証明

2つの命題は互いに双対なので，前者を示す．

2つの写像（集合の圏 $𝐒𝐞𝐭$ の射）を $\begin{matrix} 𝜏_{𝐴, 𝑋} & : & {hom}_{[𝒜^{op}, 𝐒𝐞𝐭]} ({hom}_{𝒜} (-, 𝐴), 𝑋) \to 𝑋 (𝐴), 𝛼 \mapsto 𝛼_{𝐴} (1_{𝐴}) \\ 𝜎_{𝐴, 𝑋} & : & 𝑋 (𝐴) \to {hom}_{[𝒜^{op}, 𝐒𝐞𝐭]} ({hom}_{𝒜} (-, 𝐴), 𝑋), 𝑆 \mapsto {{𝜎_{𝐴, 𝑋} (𝑆)}_{𝐵} : {hom}_{𝒜} (𝐵, 𝐴) \to 𝑋 (𝐵), 𝑓 \mapsto (𝑋 (𝑓)) (𝑆)}_{𝐵 \in ob (𝒜)} \end{matrix}$ と定義する．まずは，それぞれの写像の返り値が終域の元になっていることを確認する．

$𝛼_{𝐴} : {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴) \to 𝑋 (𝐴)$ であるから， $𝜏_{𝐴, 𝑋} (𝛼) \in 𝑋 (𝐴)$ ．
一方， $\forall 𝑔 \in {hom}_{𝒜} (𝐵^{'}, 𝐵)$ に対し， ${𝜎_{𝐴, 𝑋} (𝑆)}_{𝐵^{'}} \circ {hom}_{𝒜} (𝑔, 𝐴) = (𝑋 (- \circ 𝑔)) (𝑆) = (𝑋 (𝑔) \circ 𝑋 (-)) (𝑆) = 𝑋 (𝑔) \circ {𝜎_{𝐴, 𝑋} (𝑆)}_{𝐵}$ を満たす，つまり以下の図式を可換にする：よって， $𝜎_{𝐴, 𝑋} (𝑆) : {hom}_{𝒜} (-, 𝐴) \Rightarrow 𝑋$ は自然変換であり， $𝜎_{𝑋, 𝐴} (𝑆) \in {hom}_{[𝒜^{op}, 𝐒𝐞𝐭]} ({hom}_{𝒜} (-, 𝐴), 𝑋)$ ．

あとは， $𝜏, 𝜎$ が自然同型であることを示せば良い．まずは $𝜏$ が自然変換であることを示す．

まず， $𝑋 \in [𝒜^{op}, 𝐒𝐞𝐭]$ を固定する． $\forall 𝐴, 𝐴^{'} \in ob (𝒜), \forall 𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴^{'}, 𝐴)$ に対し， $\forall 𝛼 \in {hom}_{[𝒜^{op}, 𝐒𝐞𝐭]} ({hom}_{𝒜} (-, 𝐴), 𝑋)$ で， $(𝜏_{𝐴^{'}, 𝑋} \circ {hom}_{[𝒜^{op}, 𝐒𝐞𝐭]} ({hom}_{𝒜} (-, 𝑓), 𝑋)) (𝛼) = {(𝛼 \circ {hom}_{𝒜} (-, 𝑓))}_{𝐴^{'}} (1_{𝐴^{'}}) = 𝛼_{𝐴^{'}} ({hom}_{𝒜} (𝐴^{'}, 𝑓) (1_{𝐴^{'}})) = 𝛼_{𝐴^{'}} (𝑓) = 𝛼_{𝐴^{'}} ({hom}_{𝒜} (𝑓, 𝐴) (1_{𝐴})) = (𝛼_{𝐴^{'}} \circ {hom}_{𝒜} (𝑓, 𝐴)) (1_{𝐴}) = (𝑋 (𝑓) \circ 𝛼_{𝐴}) (1_{𝐴}) = (𝑋 (𝑓) \circ 𝜏_{𝐴, 𝑋}) (𝛼)$ を満たすので， $𝜏_{𝑋} : {hom}_{[𝒜^{op}, 𝐒𝐞𝐭]} ({hom}_{𝒜} (-, -), 𝑋) \Rightarrow 𝑋$ は自然変換．
次に， $𝐴 \in ob (𝒜)$ を固定する． $\forall 𝑋, 𝑋^{'} \in [𝒜^{op}, 𝐒𝐞𝐭], \forall 𝜃 \in {hom}_{[𝒜^{op}, 𝐒𝐞𝐭]} (𝑋, 𝑋^{'}), \forall 𝛼 \in {hom}_{[𝒜^{op}, 𝐒𝐞𝐭]} ({hom}_{𝒜} (-, 𝐴), 𝑋)$ に対し， $(𝜏_{𝐴, 𝑋^{'}} \circ {hom}_{[𝒜^{op}, 𝐒𝐞𝐭]} ({hom}_{𝒜} (-, 𝐴), 𝜃)) (𝛼) = {(𝜃 \circ 𝛼)}_{𝐴} (1_{𝐴}) = (𝜃_{𝐴} \circ 𝜏_{𝐴, 𝑋}) (𝛼)$ より， $𝜏_{𝐴} : {hom}_{[𝒜^{op}, 𝐒𝐞𝐭]} ({hom}_{𝒜} (-, 𝐴), -) \Rightarrow - (𝐴)$ は自然変換．

最後に， $𝜏_{𝐴, 𝑋}, 𝜎_{𝐴, 𝑋}$ が互いに $𝐒𝐞𝐭$ の逆射であることを示す．

$\forall 𝛼 \in {hom}_{[𝒜^{op}, 𝐒𝐞𝐭]} ({hom}_{𝒜} (-, 𝐴), 𝑋)$ に対し， $\forall 𝐵 \in ob (𝒜)$ と $\forall 𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐵, 𝐴)$ に対し， $({(𝜎_{𝐴, 𝑋} \circ 𝜏_{𝐴, 𝑋}) (𝛼)}_{𝐵}) (𝑓) = (𝑋 (𝑓)) (𝛼_{𝐴} (1_{𝐴})) = (𝑋 (𝑓) \circ 𝛼_{𝐴}) (1_{𝐴}) = (𝛼_{𝐵} \circ {hom}_{𝒜} (𝑓, 𝐴)) (1_{𝐴}) = 𝛼_{𝐵} (1_{𝐴} \circ 𝑓) = 𝛼_{𝐵} (𝑓)$ が成り立つから， $𝜎_{𝐴, 𝑋} \circ 𝜏_{𝐴, 𝑋} = 1_{{hom}_{[𝒜^{op}, 𝐒𝐞𝐭]} ({hom}_{𝒜} (-, 𝐴), 𝑋)}$
また， $𝜏_{𝐴, 𝑋} \circ 𝜎_{𝐴, 𝑋} = 𝑋 (1_{𝐴}) = 1_{𝑋 (𝐴)}$ ．

米田埋め込みは埋め込み

米田埋め込みは埋め込み．

証明

米田埋め込みは，米田の補題を $𝐴^{'}$ で表現される反変hom函手に対して考えたときの，米田の補題の証明にて定義した， $𝜎_{𝐴, {hom}_{𝒜} (-, 𝐴^{'})} : {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴^{'}) = {hom}_{𝒜} (-, 𝐴^{'}) (𝐴) \to {hom}_{[𝒜^{op}, 𝐒𝐞𝐭]} ({hom}_{𝒜} (-, 𝐴), {hom}_{𝒜} (-, 𝐴^{'}))$ に等しい．米田の補題の主張よりこれは全単射．

同型とhom函手の自然同型

局所的小圏 $𝒜$ を与えると，対象の同型と，共・反変hom函手の自然同型は同値．つまり，以下が成り立つ．

$\forall 𝐴, 𝐵 \in ob (𝒜), {hom}_{𝒜} (𝐴, -) ≅ {hom}_{𝒜} (𝐵, -) \Leftrightarrow 𝐴 ≅ 𝐵 \Leftrightarrow {hom}_{𝒜} (-, 𝐴) ≅ {hom}_{𝒜} (-, 𝐵)$

証明

米田埋め込みは埋め込みであり，埋め込みと同型は一対一対応であることから従う．

表現可能函手・前層・普遍元

局所的小圏 $𝒜$ を与える．

前層 𝑋 : 𝒜 op → 𝐒𝐞𝐭 が， ∃ ⁡ 𝐴 ∈ ob ⁡ ( 𝒜 ) に対し以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすとき，𝑋を表現可能(representable)と呼ぶ．
- $𝑋$ と反変hom函手 ${hom}_{𝒜} (-, 𝐴)$ は自然同型
- $\exists 𝛼 \in {hom}_{[𝒜^{op}, 𝐒𝐞𝐭]} ({hom}_{𝒜} (-, 𝐴), 𝑋)$ に対し， $(𝐴, 𝛼)$ は米田埋め込み ${hom}_{𝒜} (-, -)$ と $𝑋$ のコンマ圏 $({hom}_{𝒜} (-, -) \Rightarrow 𝑋)$ の終対象．
- $\exists 𝑢 \in 𝑋 (𝐴), \forall 𝐵 \in ob (𝒜), \forall 𝑥 \in 𝑋 (𝐵), \exists! \overline{𝑥} : 𝐵 \to 𝐴, (𝑋 (\overline{𝑥})) (𝑢) = 𝑥$
hom 𝒜 ⁡ ( - , 𝐴 ) を𝑋の表現(representation)と呼び， ( 𝐴 , 𝑢 ) の組を𝑋の普遍元(universal element)と呼ぶ．
函手 𝑋 : 𝒜 → 𝐒𝐞𝐭 が， ∃ ⁡ 𝐴 ∈ ob ⁡ ( 𝒜 ) に対し以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすとき，𝑋を表現可能(representable)と呼ぶ．
- $𝑋$ と共変hom函手 ${hom}_{𝒜} (𝐴, -)$ は自然同型
- $\exists 𝛼 \in {hom}_{[𝒜, 𝐒𝐞𝐭]} ({hom}_{𝒜} (𝐴, -), 𝑋)$ に対し， $(𝐴, 𝛼)$ は反変米田埋め込み ${hom}_{𝒜} (-, -)$ と $𝑋$ のコンマ圏 $({hom}_{𝒜} (-, -) \Rightarrow 𝑋)$ の始対象．
- $\exists 𝑢 \in 𝑋 (𝐴), \forall 𝐵 \in ob (𝒜), \forall 𝑥 \in 𝑋 (𝐵), \exists! \overline{𝑥} : 𝐴 \to 𝐵, (𝑋 (\overline{𝑥})) (𝑢) = 𝑥$
hom 𝒜 ⁡ ( 𝐴 , - ) を𝑋の表現(representation)と呼び， ( 𝐴 , 𝑢 ) の組を𝑋の普遍元(universal element)と呼ぶ．

条件の同値性の証明

表現可能前層の方を示す．

- $𝛼 : {hom}_{𝒜} (-, 𝐴) \Rightarrow 𝑋$ が自然同型
- $\forall 𝐵 \in ob (𝒜)$ に対し， $𝛼_{𝐵} : {hom}_{𝒜} (𝐵, 𝐴) \to 𝑋 (𝐵)$ は全単射
- $\forall 𝐵 \in ob (𝒜), \forall 𝑥 \in 𝑋 (𝐵), \exists! \overline{𝑥}, 𝛼_{𝐵} (\overline{𝑥}) = 𝑥$
は自然同型と全単射の定義より全て同値．このとき， 𝛼 𝐵 ⁡ ( 𝑥 ‾ ) = 𝛼 𝐵 ⁡ ( 1 𝐴 ∘ 𝑥 ‾ ) = ( 𝛼 𝐵 ∘ hom 𝒜 ⁡ ( 𝑥 ‾ , 𝐴 ) ) ⁡ ( 1 𝐴 ) = ( 𝑋 ⁡ ( 𝑥 ‾ ) ∘ 𝛼 𝐴 ) ⁡ ( 1 𝐴 ) = ( 𝑋 ⁡ ( 𝑥 ‾ ) ) ⁡ ( 𝜏 𝐴 , 𝑋 ⁡ ( 𝛼 ) ) を満たすから， 𝑢 = 𝜏 𝐴 , 𝑋 ⁡ ( 𝛼 ) ∈ 𝑋 ⁡ ( 𝐴 ) に対して， ( 𝑋 ⁡ ( 𝑥 ‾ ) ) ⁡ ( 𝑢 ) = 𝑥 を満たす． 𝜏 𝐴 , 𝑋 は全単射だから逆も成立．
コンマ圏の任意の対象 $(𝐵, 𝛽)$ に対し，射 $\overline{𝑥} \in {hom}_{𝒜} (𝐵, 𝐴)$ はコンマ圏の定義より $𝛼 \circ {hom}_{𝒜} (-, \overline{𝑥}) = 𝛽$ を満たす．特に $(𝐴, 𝛼)$ は終対象なので， $\overline{𝑥}$ は一意的に存在．米田の補題より，米田の補題の証明にて定義した自然同型 $𝜏$ より， $𝜏_{𝐵, 𝑋} (𝛽) = 𝜏_{𝐵, 𝑋} (𝛼 \circ {hom}_{𝒜} (-, \overline{𝑥})) = (𝛼_{𝐵} \circ {hom}_{𝒜} (𝐵, \overline{𝑥})) (1_{𝐵}) = 𝛼_{𝐵} (\overline{𝑥} \circ 1_{𝐵}) = 𝛼_{𝐵} (\overline{𝑥}) = (𝑋 (\overline{𝑥})) (𝜏_{𝐴, 𝑋} (𝛼))$ を満たす．ゆえに， $𝑢 = 𝜏_{𝐴, 𝑋} (𝛼)$ に対して， $(𝑋 (\overline{𝑥})) (𝑢) = 𝑥 ≔ 𝜏_{𝐵, 𝑋} (𝛽)$ を満たす． $𝜏_{𝐵, 𝑋}$ は全射だから，これは $\forall 𝑥 \in 𝑋 (𝐵)$ に対して成り立つ． $𝜏_{𝐵, 𝑋}$ は全単射だから逆も成り立つ．

極限

定義

図式

圏 $𝒜, ℐ$ を与える．

函手 $𝐷 : ℐ \to 𝒜$ のことを $ℐ$ 型の図式(diagram of type $ℐ$ )と呼ぶ．
このとき $ℐ$ のことを添字圏(index category)と呼ぶ．
$ℐ$ が小圏のとき，小さい図式(small diagram)と呼ぶ．
$ℐ$ が有限のとき，有限な図式(finite diagram)と呼ぶ．

錐の圏

圏 $𝒜, ℐ$
図式 $𝐷 : ℐ \to 𝒜$

を与える．

対角函手 $𝛥 : 𝒜 \to [ℐ, 𝒜]$ と $𝐷 \in [ℐ, 𝒜]$ のコンマ圏 $(𝛥 \Rightarrow 𝐷)$ のことを $𝐷$ の錐の圏(category of cone)と呼び， $𝐂𝐨𝐧𝐞 (𝐷)$ と表す．
$𝐷 \in [ℐ, 𝒜]$ と対角函手 $𝛥 : 𝒜 \to [ℐ, 𝒜]$ のコンマ圏 $(𝐷 \Rightarrow 𝛥)$ のことを $𝐷$ の余錐の圏(category of cocone)と呼び， $𝐂𝐨𝐜𝐨𝐧𝐞 (𝐷)$ と表す．

対象と射を明示的に書くと以下のようになる．

錐

圏 $𝒜, ℐ$
図式 $𝐷 : ℐ \to 𝒜$

を与える．

$𝐷$ の錐(cone)とは，以下のデータのこと．
- 対象 $𝐴 \in ob (𝒜)$
- 自然変換 $𝑓 \in {hom}_{[ℐ, 𝒜]} (𝛥 (𝐴), 𝐷)$
$𝑓$ は自然変換なので，定函手の定義より以下を満たす． $\forall 𝐼, 𝐼^{'} \in ob (ℐ), \forall 𝑢 \in {hom}_{ℐ} (𝐼, 𝐼^{'}), 𝑓_{𝐼^{'}} = 𝐷 (𝑢) \circ 𝑓_{𝐼}$ つまり，以下の図式を可換にする：
$𝐷$ の余錐(cocone)とは，以下のデータのこと．
- 対象 $𝐴 \in ob (𝒜)$
- 自然変換 $𝑓 \in {hom}_{[ℐ, 𝒜]} (𝐷, 𝛥 (𝐴))$
$𝑓$ は自然変換なので，定函手の定義より以下を満たす． $\forall 𝐼, 𝐼^{'} \in ob (ℐ), \forall 𝑢 \in {hom}_{ℐ} (𝐼, 𝐼^{'}), 𝑓_{𝐼^{'}} \circ 𝐷 (𝑢) = 𝑓_{𝐼}$ つまり，以下の図式を可換にする：

錐の射

圏 $𝒜, ℐ$
図式 $𝐷 : ℐ \to 𝒜$

を与える．

錐 $(𝐴, 𝑓), (𝐴^{'}, 𝑓^{'})$ の間の錐の射(morphism of cones)とは，射 $𝑢 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴^{'})$ であって，以下を満たすもの： $𝑓^{'} \circ 𝛥 (𝑢) = 𝑓$ つまり以下の図式を可換にするもの：
余錐 $(𝐴, 𝑓), (𝐴^{'}, 𝑓^{'})$ の間の余錐の射(morphism of cocones)とは，射 $𝑢 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴^{'})$ であって，以下を満たすもの： $𝑓^{'} = 𝛥 (𝑢) \circ 𝑓$ つまり以下の図式を可換にするもの：

余錐は，反対函手の錐とも言える．

極限

圏 $𝒜, ℐ$
図式 $𝐷 \in [ℐ, 𝒜]$

を与える．

𝛥から𝐷への普遍射，つまり錐の圏 𝐂𝐨𝐧𝐞 ⁡ (𝐷) の終対象を𝐷の極限(limit)と呼ぶ．具体的には，
- （これも極限(limit)と呼ばれる）対象 $\lim 𝐷 \in ob (𝒜)$
- 自然変換 $𝑝 \in {hom}_{[ℐ, 𝒜]} (𝛥 (\lim 𝐷), 𝐷)$ （その成分を射影(projection)と呼ぶ）
の組であって，以下の普遍性を満たすもの： ∀ ⁡ ( 𝐴,𝑓 ) ∈ ob ⁡ ( 𝐂𝐨𝐧𝐞 ⁡ (𝐷) ) , ∃! ⁡ lim⁡𝑓 ∈ hom 𝒜 ⁡ ( 𝐴 , lim⁡𝐷 ) , 𝑓 = 𝑝 ∘ 𝛥 ⁡ ( lim⁡𝑓 ) つまり ∀ ⁡ 𝐼∈ℐ に対し，以下の図式を可換にするもの：
𝐷から𝛥への普遍射，つまり余錐の圏 𝐂𝐨𝐜𝐨𝐧𝐞 ⁡ (𝐷) の始対象を𝐷の余極限(colimit)と呼ぶ．具体的には，
- （これも余極限(colimit)と呼ばれる）対象 $colim 𝐷 \in ob (𝒜)$
- 自然変換 $𝑝 \in {hom}_{[ℐ, 𝒜]} (𝐷, 𝛥 (colim 𝐷))$ （その成分を余射影(coprojection)と呼ぶ）
の組であって，以下の普遍性を満たすもの： ∀ ⁡ ( 𝐴,𝑓 ) ∈ ob ⁡ ( 𝐂𝐨𝐜𝐨𝐧𝐞 ⁡ (𝐷) ) , ∃! ⁡ colim⁡𝑓 ∈ hom𝒜 ⁡ ( colim⁡𝐷 , 𝐴 ) , 𝑓 = 𝛥 ⁡ ( colim⁡𝑓 ) ∘ 𝑝 つまり ∀ ⁡ 𝐼∈ℐ に対し，以下の図式を可換にするもの：

明確な原因はわからないが，基本的には図式 $ℐ \to 𝒜$ の極限と，反変函手の余極限を考えることが多い．

具体例と極限の存在定理

空圏の極限

空圏 $\emptyset$
圏 $𝒜$

を与えると，（唯一の $\emptyset$ 型の図式である）空函手 $𝐷 : \emptyset \to 𝒜$ の

極限は終対象．
余極限は始対象．

証明

$𝐷$ の極限の射影の集まりは空自然変換である． $𝐷$ の極限の普遍性のうち，非自明な部分を書き下すと $\forall 𝐴 \in ob (𝐴), \exists! \lim 𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, \lim 𝐷)$ となり，これは $\lim 𝐷$ が終対象の定義を満たすということに他ならない．余極限も同様．

直積

離散圏 $ℐ$
圏 $𝒜$

を与える．

図式 $𝐷 : ℐ \to 𝒜$ の

極限を直積(product)と呼び， $\prod_{𝐼 \in ob (ℐ)} 𝐷 (𝐼)$ と表す．射影の集まりを $𝑝$ とすると，積の普遍性は以下： $\forall 𝐴 \in ob (𝒜), \forall {𝑓_{𝐼} \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐷 (𝐼))}_{𝐼 \in ℐ}, \exists! \prod_{𝐼 \in ob (ℐ)} 𝑓_{𝐼} \in {hom}_{(𝐴, \prod_{𝐼 \in ob (ℐ)} 𝐷 (𝐼))}, 𝑓 = 𝑝 \circ 𝛥 (\prod_{𝐼 \in ob (ℐ)} 𝑓_{𝐼})$ つまり $\forall 𝐼 \in ℐ$ に対し，以下の図式を可換にする：
余極限を余直積(coproduct)と呼び， $\underset{𝐼 \in ob (ℐ)}{∐} 𝐷 (𝐼)$ と表す．余射影の集まりを $𝑝$ とすると，余積の普遍性は以下： $\forall 𝐴 \in ob (𝒜), \forall {𝑓_{𝐼} \in {hom}_{𝒜} (𝐷 (𝐼), 𝐴)}_{𝐼 \in ℐ}, \exists! \underset{𝐼 \in ob (ℐ)}{∐} 𝑓_{𝐼} \in {hom}_{(\underset{𝐼 \in ob (ℐ)}{∐} 𝐷 (𝐼), 𝐴)}, 𝑓 = 𝛥 (\underset{𝐼 \in ob (ℐ)}{∐} 𝑓_{𝐼}) \circ 𝑝$ つまり $\forall 𝐼 \in ℐ$ に対し，以下の図式を可換にする：

冪

離散圏 $ℐ$
圏 $𝒜$
対象 $𝐴 \in ob (𝒜)$

を与える．

定函手 $𝛥 (𝐴) : ℐ \to 𝒜$ の

極限を $𝐴$ の $ℐ$ による冪(power)，コピー(copy)等と呼び， $𝐴^{Π ℐ}$ と表す．
余極限を $𝐴$ の $ℐ$ による余冪(copower)，余コピー(cocopy)等と呼び， $𝐴^{⨿ ℐ}$ と表す．

等化子

圏
圏 $𝒜$

を与える．

図式 $𝐷 : \to 𝒜$ の

極限を等化子(equalizer)と呼ぶ．実用上は対象 𝐴,𝐵 ∈ ob ⁡ (𝒜) と射の集まり 𝑓 ≔ { 𝑓𝐼 ∈ hom𝒜 ⁡ ( 𝐴,𝐵 ) } 𝐼 ∈ ob ⁡ (ℐ) に対する
- 対象 $eq (𝑓) \in ob (𝒜)$
- 射影 $𝑝_{𝐴} \in {hom}_{𝒜} (eq (𝑓), 𝐴)$ （と $𝑝_{𝐵} \in {hom}_{𝒜} (eq (𝑓), 𝐵)$ （ $\forall 𝐼 \in ob (ℐ), 𝑝_{𝐵} = 𝑓_{𝐼} \circ 𝑝_{𝐴}$ を満たす））
の組のことで，以下の等化子の普遍性を満たすもの： ∀ ⁡ 𝑋 ∈ ob ⁡ (𝒜) , ∀ ⁡ ℎ ∈ hom𝒜 ⁡ ( 𝑋,𝐴 ) , ( ∀ ⁡ 𝐼 , 𝐼′ ∈ ob ⁡ (ℐ) , 𝑓𝐼 ∘ ℎ = 𝑓 𝐼′ ∘ ℎ ) ⇒ ∃! ⁡ limeq ⁡ ℎ ∈ hom𝒜 ⁡ ( 𝑋 , eq ⁡ (𝑓) ) , ℎ = 𝑝𝐴 ∘ limeq ⁡ ℎ つまり以下の図式を可換にする：
余極限を余等化子(coequalizer)と呼ぶ．実用上は対象 𝐴,𝐵 ∈ ob ⁡ (𝒜) と射の集まり 𝑓 ≔ { 𝑓𝐼 ∈ hom𝒜 ⁡ ( 𝐴,𝐵 ) } 𝐼 ∈ ob ⁡ (ℐ) に対する
- 対象 $coeq (𝑓) \in ob (𝒜)$
- 余射影 $𝑝_{𝐵} \in {hom}_{𝒜} (𝐵, coeq (𝑓))$ （と $𝑝_{𝐴} \in {hom}_{𝒜} (𝐴, coeq (𝑓))$ （ $\forall 𝐼 \in ob (ℐ), 𝑝_{𝐴} = 𝑝_{𝐵} \circ 𝑓_{𝐼}$ を満たす））
の組で，以下の余等化子の普遍性を満たすもの： ∀ ⁡ 𝑋 ∈ ob ⁡ (𝒜) , ∀ ⁡ ℎ ∈ hom𝒜 ⁡ ( 𝐵,𝑋 ) , ( ∀ ⁡ 𝐼 , 𝐼′ ∈ ob ⁡ (ℐ) , ℎ ∘ 𝑓𝐼 = ℎ ∘ 𝑓 𝐼′ ) ⇒ ∃! ⁡ colimcoeq ⁡ ℎ ∈ hom 𝒜 ⁡ ( 𝑋 , coeq ⁡ (𝑓) ) , ℎ = ( colimcoeq ⁡ ℎ ) ∘ 𝑝𝐵 つまり以下の図式を可換にする：

等化子はモノ射

等化子はモノ射
余等化子はエピ射

証明

ある射の組の等化子を $𝑚 : 𝐴 \to 𝐵$ とする．任意の射 $𝑓 : 𝐶 \to 𝐴$ に対し，等化子の普遍性より， $\exists! 𝑔 \in hom (𝐶, 𝐴), 𝑚 \circ 𝑓 = 𝑚 \circ 𝑔$ を満たす．よって， $𝑓 = 𝑔$ ．

引き戻し・押し出し

圏
圏 $𝒜$

を与える．

図式 𝐷 : → 𝒜 の極限を引き戻し(pullback)やファイバー積(fibre product)と呼ぶ．実用上は対象 𝐴 , 𝐴′ , 𝐵 ∈ ob ⁡ (𝒜) と射 𝑓 ∈ hom𝒜 ⁡ ( 𝐴,𝐵 ) , 𝑓 ′ ∈ hom𝒜 ⁡ ( 𝐴′ , 𝐵 ) に対する
- 対象 $𝐴 Π_{𝐵} 𝐴^{'} (𝑓, 𝑓^{'}) \in ob (𝒜)$
- 射影 $𝑝_{𝐴} \in {hom}_{𝒜} (𝐴 Π_{𝐵} 𝐴^{'} (𝑓, 𝑓^{'}), 𝐴), 𝑝_{𝐴^{'}} \in {hom}_{𝒜} (𝐴 Π_{𝐵} 𝐴^{'} (𝑓, 𝑓^{'}), 𝐴^{'}), 𝑝_{𝐵} = 𝑓 \circ 𝑝_{𝐴} = 𝑓^{'} \circ 𝑝_{𝐴^{'}} \in {hom}_{𝒜} (𝐴 Π_{𝐵} 𝐴^{'} (𝑓, 𝑓^{'}), 𝐵)$
の組で，以下の引き戻しの普遍性を満たすもの： ∀ ⁡ 𝑋 ∈ ob ⁡ (𝒜) , ∀ ⁡ ( ℎ , ℎ′ ) ∈ hom𝒜 ⁡ ( 𝑋,𝐴 ) × hom𝒜 ⁡ ( 𝑋 , 𝐴′ ) , 𝑓∘ℎ = 𝑓′ ∘ ℎ′ ⇒ ∃! ⁡ ℎ Π𝐵 ℎ′ ∈ hom ⁡ ( 𝑋 , 𝐴 Π𝐵 𝐴′ ⁡ ( 𝑓 , 𝑓′ ) ) , ℎ = 𝑝𝐴 ∘ 𝛥 ⁡ ( ℎ Π𝐵 ℎ′ ) , ℎ′ = 𝑝 𝐴′ ∘ 𝛥 ⁡ ( ℎ Π𝐵 ℎ′ ) つまり，以下の図式を可換にする：
図式 𝐷 : → 𝒜 の余極限を押し出し(pushout)や余ファイバー積(cofibre product)と呼ぶ．実用上は対象 𝐴 , 𝐴′ , 𝐵 ∈ ob ⁡ (𝒜) と射 𝑓 ∈ hom𝒜 ⁡ ( 𝐵,𝐴 ) , 𝑓′ ∈ hom𝒜 ⁡ ( 𝐵 , 𝐴′ ) に対する
- 対象 $𝐴 ⨿_{𝐵} 𝐴^{'} (𝑓, 𝑓^{'}) \in ob (𝒜)$
- 余射影 $𝑝_{𝐴} \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴 ⨿_{𝐵} 𝐴^{'} (𝑓, 𝑓^{'})), 𝑝_{𝐴^{'}} \in {hom}_{𝒜} (𝐴^{'}, 𝐴 ⨿_{𝐵} 𝐴^{'} (𝑓, 𝑓^{'})), 𝑝_{𝐵} = 𝑝_{𝐴} \circ 𝑓 = 𝑝_{𝐴^{'}} \circ 𝑓^{'} \in {hom}_{𝒜} (𝐵, 𝐴 ⨿_{𝐵} 𝐴^{'} (𝑓, 𝑓^{'}))$
の組で，以下の合併の普遍性を満たすもの： ∀ ⁡ 𝑋 ∈ ob ⁡ (𝒜) , ∀ ⁡ ( ℎ , ℎ′ ) ∈ hom𝒜 ⁡ ( 𝐴,𝑋 ) × hom𝒜 ⁡ ( 𝐴′ , 𝑋 ) , ℎ∘𝑓 = ℎ′ ∘ 𝑓′ ⇒ ∃! ⁡ ℎ ⨿𝐵 ℎ′ ∈ hom ⁡ ( 𝑋 , 𝐴 ⨿𝐵 𝐴′ ⁡ ( 𝑓 , 𝑓′ ) ) , ℎ = 𝛥 ⁡ ( ℎ ⨿𝐵 ℎ′ ) ∘ 𝑝𝐴 , ℎ′ = 𝛥 ⁡ ( ℎ ⨿𝐵 ℎ′ ) ∘ 𝑝 𝐴′ つまり，以下の図式を可換にする：

交叉

モノ射のみによる引き戻しを交叉(intersection, meet)と呼ぶ．
エピ射のみによる押し出しを余交叉(cointersection, comeet)と呼ぶ．

核対

圏 $𝒜$
射 $𝑓 : 𝐴 \to 𝐵$

を与える．

$𝑓$ と $𝑓$ 自身との引き戻しを核対(kernel pair)と呼ぶ．
$𝑓$ と $𝑓$ 自身との押し出しを余核対(cokernel pair)と呼ぶ．

押し出しは「余引き戻し」ではないので注意．

モノ射の核対

任意の射に対し，

以下は同値：
- モノ射
- 核対の2つの射影が相等しい．
以下は同値：
- エピ射
- 余核対の2つの余射影が相等しい．

特に，

モノ射の始域は核対（と同型）
エピ射の終域が余核対（と同型）

証明

- モノ射 $𝑚 : 𝐴 \to 𝐵$ の核対の射影を $𝑝, 𝑝^{'}$ とすると， $𝑚 \circ 𝑝 = 𝑚 \circ 𝑝^{'}$ を満たすが， $𝑚$ はモノ射なので $𝑝 = 𝑝^{'}$ ．
- 射 $𝑚$ の核対の射影が相等しいとき，射の組 $𝑓, 𝑓^{'}$ が $𝑚 \circ 𝑓 = 𝑚 \circ 𝑓^{'}$ を満たすとすると，核対の普遍性より $\exists! 𝑔 \in hom (𝒜)$ に対し， $𝑓 = 𝑝 \circ 𝑔 = 𝑓^{'}$ つまり， $𝑚$ はモノ射．さらに， $𝑓$ は恒等射にとれるので， $𝑝$ は同型射となる．

圏	積	和
$𝐒𝐞𝐭$	直積	直和
$𝐑𝐞𝐥$
$𝐆𝐫𝐩$	直積	自由積
$𝐓𝐨𝐩$

完備圏

以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たす圏𝒜を完備(complete)と呼ぶ．
- $𝒜$ は全ての小さい極限を持つ．
- $𝒜$ は全ての小さい積と等化子を持つ．
- $𝒜$ は全ての小さい積と引き戻しを持つ．
以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たす圏𝒜を余完備(cocomplete)と呼ぶ．
- $𝒜$ は全ての小さい余極限を持つ．
- $𝒜$ は全ての小さい余積と余等化子を持つ．
- $𝒜$ は全ての小さい余積と押し出しを持つ．
完備かつ余完備な圏を双完備(bicomplete)と呼ぶ．

条件の同値性の証明

有限完備圏

以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たす圏𝒜を有限完備(finitely complete)と呼ぶ．
- $𝒜$ は全ての有限極限を持つ．
- $𝒜$ は全ての有限積，全ての有限等化子を持つ．
- $𝒜$ は二項の積，全ての有限等化子，終対象を持つ．
- $𝒜$ は全ての引き戻し，終対象を持つ．
以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たす圏𝒜を有限余完備(finitely cocomplete)と呼ぶ．
- $𝒜$ は全ての有限余極限を持つ．
- $𝒜$ は全ての有限余積，全ての有限余等化子を持つ．
- $𝒜$ は二項の余積，全ての有限余等化子，始対象を持つ．
- $𝒜$ は全ての押し出し，始対象を持つ．
有限完備かつ有限余完備な圏を有限双完備(finitely bicomplete)と呼ぶ．

条件の同値性の証明

極限と函手の関係

極限の保存

圏 $𝒜, ℬ, ℐ$
函手 $𝐹 : 𝒜 \to ℬ$

を与える．

任意の図式 $𝐷 : ℐ \to 𝒜$ に対し，極限 $(\lim 𝐷, 𝑝_{-})$ が存在するならば $(𝐹 (\lim 𝐷), 𝐹 \circ 𝑝_{-})$ も $𝐹 \circ 𝐷$ の極限となるとき， $𝐹$ は $ℐ$ 型の極限を保つ(preserve limits)と呼ぶ．
任意の図式 $𝐷 : ℐ \to 𝒜$ に対し， $\exists (𝐴, 𝑝_{-}) \in 𝐂𝐨𝐧𝐞 (𝐷)$ に対し， $(𝐹 (\lim 𝐷), 𝐹 \circ 𝑝_{-})$ が $𝐹 \circ 𝐷$ の極限となるならば， $(\lim 𝐷, 𝑝_{-})$ も $𝐷$ の極限となるとき， $𝐹$ は $ℐ$ 型の極限を反映する(reflect limits)と呼ぶ．
任意の圏 $ℐ$ で成り立つとき，単に極限を保つ/反映すると呼ぶ．

単体圏

単体圏(simplex category) $𝛥$ とは，以下のデータからなる圏のこと：

$\forall 𝑛 \in ℕ_{0}$ に対し， $𝑛$ -単体( $𝑛$ -simplex)と呼ばれる，通常の全順序を持った集合 $[𝑛] ≔ {0} \cup ℕ_{\leq 𝑛}$ を対象とする
任意の順序を保つ写像を射とする

面写像・縮退写像

単体圏 $𝛥$
$𝑛 \in ℕ_{0}$
$𝑖 \in [𝑛]$

を与える．

以下で定義される写像 $𝑑_{𝑖}^{𝑛} \in {hom}_{𝛥} ([𝑛 - 1], [𝑛])$ を面写像(face map)と呼ぶ： $𝑑_{𝑖}^{𝑛} : [𝑛 - 1] ↪ [𝑛], 𝑥 \mapsto {\begin{matrix} 𝑥 & 𝑥 < 𝑖 \\ 𝑥 + 1 & 𝑥 \geq 𝑖 \end{matrix}$
以下で定義される写像 $𝑠_{𝑖}^{𝑛} \in {hom}_{𝛥} ([𝑛 + 1], [𝑛])$ を縮退写像(degenearcy map)と呼ぶ： $𝑠_{𝑖}^{𝑛} : [𝑛 + 1] ↠ [𝑛], 𝑥 \mapsto {\begin{matrix} 𝑥 & 𝑥 \leq 𝑖 \\ 𝑥 - 1 & 𝑥 > 𝑖 \end{matrix}$

単体的集合の圏

単体圏 $𝛥$ の前層の圏を単体的集合の圏(simplicial set)と呼び， $𝐬𝐒𝐞𝐭 ≔ [𝛥^{op}, 𝐒𝐞𝐭]$ と表す．
単体圏 $𝛥$ の余前層の圏を単体的集合の圏(simplicial set)と呼び， $𝐜𝐨𝐬𝐒𝐞𝐭 ≔ [𝛥, 𝐒𝐞𝐭]$ と表す．
$𝐬𝐒𝐞𝐭$ の元，つまり前層 $𝛥^{op} \to 𝐒𝐞𝐭$ のことを単体的集合(simplicial set)と呼ぶ．
$𝐜𝐨𝐬𝐒𝐞𝐭$ の元，つまり余前層 $𝛥 \to 𝐒𝐞𝐭$ のことを余単体的集合(cosimplicial set)と呼ぶ．

単体的集合の圏の基本性質

準同型定理

部分対象

圏 $𝒜$
対象 $𝐴 \in ob (𝒜)$

を与える．

部分対象(subobject)と呼ぶ．
余部分対象(co-subobject)と呼ぶ．

関係と商対象

jointlyモノ・エピ

圏 $𝒜$
対象 $𝐴, 𝐵 \in ob (𝒜)$

を与える．

射の組 $𝑓, 𝑓^{'} \in hom (𝐴, 𝐵)$ で，

$\forall 𝑔, 𝑔^{'} \in hom (-, 𝐴), (𝑓 \circ 𝑔 = 𝑓 \circ 𝑔^{'}, 𝑓^{'} \circ 𝑔 = 𝑓^{'} \circ 𝑔^{'}) \Rightarrow 𝑔 = 𝑔^{'}$ を満たすものをjointlyモノ(jointly monic)と呼ぶ．
$\forall 𝑔, 𝑔^{'} \in hom (𝐵, -), (𝑔 \circ 𝑓 = 𝑔^{'} \circ 𝑓, 𝑔 \circ 𝑓^{'} = 𝑔^{'} \circ 𝑓^{'}) \Rightarrow 𝑔 = 𝑔^{'}$ を満たすものをjointlyエピ(jointly epic)と呼ぶ．

内部二項関係

圏 $𝒜$
対象 $𝐴, 𝐵 \in hom (𝒜)$

を与える．

$𝐴$ から $𝐵$ への（内部）二項関係((internal) binary relation from $𝐴$ to $𝐵$ )，あるいは単に関係(relation)とは以下のデータの組のこと：
- 対象 $𝑅 \in hom (𝒜)$
- joitlyモノな射の組 $𝑑_{0} : 𝑅 \to 𝐴, 𝑑_{1} : 𝑅 \to 𝐵$
$𝐴$ から $𝐵$ への（内部）二項余関係((internal) binary co-relation from $𝐴$ to $𝐵$ )，あるいは単に余関係(co-relation)とは以下のデータの組のこと：
- 対象 $𝑅 \in hom (𝒜)$
- joitlyエピな射の組 $𝑑_{0} : 𝐴 \to 𝑅, 𝑑_{1} : 𝐵 \to 𝑅$
$𝐴$ から $𝐴$ への関係を， $𝐴$ 上の関係(relation on $𝐴$ )と呼ぶ．
$𝐴$ から $𝐴$ への余関係を， $𝐴$ 上の余関係(co-relation on $𝐴$ )と呼ぶ．

反対関係

圏 $𝒜$
対象 $𝐴, 𝐵 \in hom (𝒜)$

を与える．

$𝐴$ から $𝐵$ への関係 $(𝑅, (𝑑_{0}, 𝑑_{1}))$ に対し， $𝐵$ から $𝐴$ への関係 $(𝑅, (𝑑_{1}, 𝑑_{0}))$ を反対関係(opposite relation)と呼ぶ．
$𝐴$ から $𝐵$ への余関係 $(𝑅, (𝑑_{0}, 𝑑_{1}))$ に対し， $𝐵$ から $𝐴$ への余関係 $(𝑅, (𝑑_{1}, 𝑑_{0}))$ を反対余関係(opposite co-relation)と呼ぶ．

関係の合成

圏 $𝒜$
対象 $𝐴, 𝐵, 𝐶 \in hom (𝒜)$

を与える．

- $𝐴$ から $𝐵$ への関係 $(𝑅, 𝑟_{0}, 𝑟_{1})$
- $𝐵$ から $𝐶$ への関係 $(𝑆, 𝑠_{0}, 𝑠_{1})$
に対し， 𝑟1 , 𝑠0 の引き戻し ( 𝑅 Π𝐵 𝑆 , ( 𝑝0 , 𝑝1 ) ) が存在したとする．このとき， ( 𝑅 Π𝐵 𝑆 , ( 𝑟0 ∘ 𝑝0 , 𝑠1 ∘ 𝑝1 ) ) が $𝐴$ から $𝐶$ への関係となるとき，これを関係の合成(composite)と呼ぶ．
- $𝐴$ から $𝐵$ への余関係 $(𝑅, 𝑟_{0}, 𝑟_{1})$
- $𝐵$ から $𝐶$ への余関係 $(𝑆, 𝑠_{0}, 𝑠_{1})$
に対し， 𝑟1 , 𝑠0 の押し出し ( 𝑅 ⨿𝐵 𝑆 , ( 𝑝0 , 𝑝1 ) ) が存在したとする．このとき， ( 𝑅 ⨿𝐵 𝑆 , ( 𝑟0 ∘ 𝑝0 , 𝑠1 ∘ 𝑝1 ) ) が $𝐴$ から $𝐶$ への余関係となるとき，これを余関係の合成(composite)と呼ぶ．

直積をもつ圏の関係

圏 $𝒜$
対象 $𝐴, 𝐵 \in hom (𝒜)$
直積 $(𝐴 Π 𝐵, (𝑝_{0}, 𝑝_{1}))$ （を持つとする）

を与える．

$𝐴$ から $𝐵$ への関係 $(𝑅, (𝑑_{0}, 𝑑_{1}))$ と $𝐴 Π 𝐵$ の部分対象 $𝑑 : 𝑅 \to 𝐴 Π 𝐵$ は一対一対応．特にこの対応において， $𝑑$ は直積の普遍性より一意的に定まる射 $𝑑_{0} Π 𝑑_{1}$ に等しく， $𝑑_{0} = 𝑝_{0} \circ 𝑑, 𝑑_{1} = 𝑝_{1} \circ 𝑑$
$𝐴$ から $𝐵$ への余関係 $(𝑅, (𝑑_{0}, 𝑑_{1}))$ と $𝐴 Π 𝐵$ の余部分対象 $𝑑 : 𝐴 ⨿ 𝐵 \to 𝑅$ は一対一対応．特にこの対応において， $𝑑$ は余直積の普遍性より一意的に定まる射 $𝑑_{0} ⨿ 𝑑_{1}$ に等しく， $𝑑_{0} = 𝑑 \circ 𝑝_{0}, 𝑑_{1} = 𝑑 \circ 𝑝_{1}$

証明

$𝐴$ から $𝐵$ への関係 $(𝑅, (𝑑_{0}, 𝑑_{1}))$ に対し，直積の普遍性より $\exists! 𝑑 \in hom (𝑅, 𝐴 Π 𝐵), 𝑑_{0} = 𝑝_{0} \circ 𝑑, 𝑑_{1} = 𝑝_{1} \circ 𝑑$ を満たす．射 $𝑔, 𝑔^{'} \in hom (-, 𝑅)$ が $𝑑 \circ 𝑔 = 𝑑 \circ 𝑔^{'}$ を満たすとき， $𝑑_{0} \circ 𝑔 = 𝑑_{0} \circ 𝑔^{'}, 𝑑_{1} \circ 𝑔 = 𝑑_{1} \circ 𝑔^{'}$ であり， $𝑑_{0}, 𝑑_{1}$ はjointlyモノだから $𝑔 = 𝑔^{'}$ ．つまり， $𝑑$ はモノ射．
モノ射 $𝑑 : 𝑅 \to 𝐴 Π 𝐵$ に対し，射 $𝑔, 𝑔^{'} \in hom (-, 𝑅)$ が $𝑝_{0} \circ 𝑑 \circ 𝑔 = 𝑝_{0} \circ 𝑑 \circ 𝑔^{'}, 𝑝_{1} \circ 𝑑 \circ 𝑔 = 𝑝_{1} \circ 𝑑 \circ 𝑔^{'}$ を満たすとき，直積の普遍性より， $𝑑 \circ 𝑔 = 𝑑 \circ 𝑔^{'}$ を満たす． $𝑑$ はモノ射だから， $𝑔 = 𝑔^{'}$ つまり， $𝑑_{0}, 𝑑_{1}$ はjointlyモノ．

反射関係

圏 $𝒜$
対象 $𝐴 \in hom (𝒜)$

を与える．

以下のデータのことを（内部）反射関係((internal) reflexivity)と呼ぶ：
- $𝐴$ 上の関係 $(𝑅, (𝑑_{0}, 𝑑_{1}))$
- $𝑑_{0}, 𝑑_{1}$ に共通の切断 $𝜌 : 𝐴 \to 𝑅$
つまり，これらは以下を満たす： 𝑑0 ∘ 𝜌 = 𝑑1 ∘ 𝜌 = id𝐴
以下のデータのことを（内部）反射余関係((internal) co-reflexive)と呼ぶ：
- $𝐴$ 上の余関係 $(𝑅, (𝑑_{0}, 𝑑_{1}))$
- $𝑑_{0}, 𝑑_{1}$ に共通のretraction $𝜌 : 𝑅 \to 𝐴$
つまり，これらは以下を満たす： 𝜌 ∘ 𝑑0 = 𝜌 ∘ 𝑑1 = id𝐴

対称関係

圏 $𝒜$
対象 $𝐴 \in hom (𝒜)$

を与える．

𝐴上の（内部）対称関係((internal) symmetry)とは以下のデータからなる：
- $𝐴$ 上の関係 $(𝑅, (𝑑_{0}, 𝑑_{1}))$
- 射 $𝜎 : 𝑅 \to 𝑅$
これらは以下を満たす： 𝑑0 ∘ 𝜎 = 𝑑1 , 𝑑1 ∘ 𝜎 = 𝑑0
𝐴上の（内部）対称余関係((internal) cosymmetry)とは以下のデータからなる：
- $𝐴$ 上の余関係 $(𝑅, (𝑑_{0}, 𝑑_{1}))$
- 射 $𝜎 : 𝑅 \to 𝑅$
これらは以下を満たす： 𝜎 ∘ 𝑑0 = 𝑑1 , 𝜎 ∘ 𝑑1 = 𝑑0

推移関係

圏 $𝒜$
対象 $𝐴 \in hom (𝒜)$

を与える．

𝐴上の（内部）推移関係((internal) transitivity)とは以下のデータからなる：
- $𝐴$ 上の関係 $(𝑅, (𝑑_{0}, 𝑑_{1}))$ で $𝑑_{0}, 𝑑_{1}$ が引き戻しを持つもの
- 射 $𝜏 : 𝑅 Π_{𝐴} 𝑅 \to 𝑅$
これらは 𝑑0 , 𝑑1 の引き戻し 𝑅 Π𝐴 𝑅 の射影 𝑝0 , 𝑝1 に対し，以下を満たす： 𝑑0 ∘ 𝜏 = 𝑑0 ∘ 𝑝0 , 𝑑1 ∘ 𝜏 = 𝑑1 ∘ 𝑝1
𝐴上の（内部）推移余関係((internal) cotransitivity)とは以下のデータからなる：
- $𝐴$ 上の余関係 $(𝑅, (𝑑_{0}, 𝑑_{1}))$ で $𝑑_{0}, 𝑑_{1}$ が押し出しを持つもの
- 射 $𝜏 : 𝑅 \to 𝑅 ⨿_{𝐴} 𝑅$
これらは 𝑑0 , 𝑑1 の押し出し 𝑅 ⨿𝐴 𝑅 の余射影 𝑝0 , 𝑝1 に対し，以下を満たす： 𝜏 ∘ 𝑑0 = 𝑝0 ∘ 𝑑0 , 𝜏 ∘ 𝑑1 = 𝑝1 ∘ 𝑑1

合同

圏 $𝒜$
対象 $𝐴 \in hom (𝒜)$

を与える．

𝐴上の（内部）同値関係((internal) equivalence relation)または合同(congruence)とは以下のデータからなる：
- $𝐴$ 上の関係 $(𝑅, (𝑑_{0}, 𝑑_{1}))$ で $𝑑_{0}, 𝑑_{1}$ が引き戻しを持つもの
- $𝑑_{0}, 𝑑_{1}$ 共通の切断 $𝜌 : 𝐴 \to 𝑅$
- 射 $𝜎 : 𝑅 \to 𝑅$
- 射 $𝜏 : 𝑅 Π_{𝐴} 𝑅 \to 𝑅$
これらは以下を満たす：
- $(𝑅, (𝑑_{0}, 𝑑_{1}), 𝜌)$ は反射関係
- $(𝑅, (𝑑_{0}, 𝑑_{1}), 𝜎)$ は対称関係
- $(𝑅, (𝑑_{0}, 𝑑_{1}), 𝜏)$ は推移関係
𝐴上の（内部）同値余関係((internal) equivalence co-relation)または余合同(cocongruence)とは以下のデータからなる：
- $𝐴$ 上の関係 $(𝑅, (𝑑_{0}, 𝑑_{1}))$ で $𝑑_{0}, 𝑑_{1}$ が押し出しを持つもの
- $𝑑_{0}, 𝑑_{1}$ 共通のretraction $𝜌 : 𝑅 \to 𝐴$
- 射 $𝜎 : 𝑅 \to 𝑅$
- 射 $𝜏 : 𝑅 \to 𝑅 ⨿_{𝐴} 𝑅$
これらは以下を満たす：
- $(𝑅, (𝑑_{0}, 𝑑_{1}), 𝜌)$ は反射余関係
- $(𝑅, (𝑑_{0}, 𝑑_{1}), 𝜎)$ は対称余関係
- $(𝑅, (𝑑_{0}, 𝑑_{1}), 𝜏)$ は推移余関係

商対象

圏 $𝒜$
対象 $𝐴 \in hom (𝒜)$

を与える．

$𝐴$ 上の合同の余等化子を（存在すれば）商対象(quotient object)と呼ぶ．
$𝐴$ 上の余合同の等化子を（存在すれば）余商対象(coquotient object)と呼ぶ．

核対は合同

圏 $𝒜$
対象 $𝐴 \in hom (𝒜)$

を与える．

射 $𝑓 : 𝐴 \to -$ に対し，核対は（存在すれば） $𝑓$ の合同．
射 $𝑓 : - \to 𝐴$ に対し，余核対は（存在すれば） $𝑓$ の余合同．

証明

$𝑓$ の核対 $𝑅$ の射影 $𝑑_{0}, 𝑑_{1} : 𝑅 \to 𝐴$ に対し，核対の普遍性より，以下を満たす射 $𝜌 : 𝐴 \to 𝑅$ が一意的に存在する： $𝑑_{0} \circ 𝜌 = 𝑑_{1} \circ 𝜌 = {id}_{𝐴}$ 同様に，以下を満たす射 $𝜎 : 𝑅 \to 𝑅$ が一意的に存在する： $𝑑_{0} \circ 𝜎 = 𝑑_{1}, 𝑑_{1} \circ 𝜎 = 𝑑_{0}$ 最後に， $𝑑_{0}, 𝑑_{1}$ の引き戻しの射影 $𝑝_{0}, 𝑝_{1}$ とすると， $(𝑑_{0} \circ 𝑝_{0}) \circ 𝑓 = 𝑑_{0} \circ 𝑝_{1} \circ 𝑓 = 𝑑_{1} \circ 𝑝_{0} \circ 𝑓 = (𝑑_{1} \circ 𝑝_{1}) \circ 𝑓$ より，核対の普遍性から，以下を満たす射 $𝜏 : 𝑅 Π_{𝐴} 𝑅 \to 𝑅$ が一意的に存在する： $𝑑_{0} \circ 𝜏 = 𝑑_{0} \circ 𝑝_{0}, 𝑑_{1} \circ 𝜏 = 𝑑_{1} \circ 𝑝_{1}$

有効合同

圏 $𝒜$
対象 $𝐴 \in hom (𝒜)$

を与える．

ある射の核対となっている $𝐴$ 上の合同を有効(effective)と呼ぶ．
ある射の余核対となっている $𝐴$ 上の余合同を有効(effective)と呼ぶ．

持ち上げ性・直交性と分解系

射の分解

圏 $𝒜$
射 $𝑓 : 𝐴 \to 𝐴^{'}$

を与える．

$𝑓$ の射の分解()とは，以下のデータからなる：

対象 $𝑋 \in ob (𝒜)$
射の組 $𝑒 : 𝐴 \to 𝑋, 𝑚 : 𝑋 \to 𝐵$

これらは以下を満たす： $𝑓 = 𝑚 \circ 𝑒$

このとき， $𝑓$ は $𝑒$ （または $𝑚$ ）を通して分解する(factors through $𝑒$ (, $𝑚$ ))と呼ぶ．

（射の）持ち上げ性

圏 $𝒜$
対象 $𝐴, 𝐴^{'}, 𝑋, 𝑋^{'} \in ob (𝒜)$

を与える．

射の組 $(𝑖, 𝑝) \in hom (𝐴, 𝐴^{'}) \times {hom}_{𝒜} (𝑋, 𝑋^{'})$ が以下を満たすとき，持ち上げ性(lifting properties)を持つ，または

$𝑖$ を $𝑝$ に関する左持ち上げ性(left lifting properties)を持つ
$𝑝$ を $𝑖$ に関する右持ち上げ性(right lifting properties)を持つ

と呼ぶ：

$\forall (𝑓, 𝑓^{'}) \in hom (𝐴, 𝑋) \times {hom}_{𝒜} (𝐴^{'}, 𝑋^{'}), 𝑝 \circ 𝑓 = 𝑓^{'} \circ 𝑖 \Rightarrow \exists 𝑔 \in {hom}_{𝒜} (𝐴^{'}, 𝑋), 𝑔 \circ 𝑖 = 𝑓, 𝑝 \circ 𝑔 = 𝑓^{'}$ つまり，図式としては以下のように表される：

弱分解系

圏 $𝒜$ を与える．

$𝒜$ の弱分解系(weak factorization system)とは以下のデータからなる．

射の集まり $ℒ, ℛ$

これらは以下を満たす．

$\forall 𝑓 \in hom (𝐴, 𝐵), \exists 𝐶 \in ob (𝒜), \exists (𝑙 : 𝐴 \to 𝐶, 𝑟 : 𝐶 \to 𝐵) \in ℒ \times ℛ, 𝑓 = 𝑟 \circ 𝑙$
- $ℒ$ は $ℛ$ の各射に対する左持ち上げの集まり
- $ℛ$ は $ℒ$ の各射に対する右持ち上げの集まり

（射の）直交性

圏 $𝒜$
対象 $𝐴, 𝐴^{'}, 𝑋, 𝑋^{'} \in ob (𝒜)$

を与える．

射の組 $(𝑒, 𝑚) \in hom (𝐴, 𝐴^{'}) \times hom (𝑋, 𝑋^{'})$ が以下を満たすとき， $𝑒$ と $𝑚$ は直交する(orthogonal)と呼び $𝑒 ⊥ 𝑚$ と表す．

$\forall (𝑓, 𝑓^{'}) \in hom (𝐴, 𝑋) \times hom (𝐴^{'}, 𝑋^{'}), 𝑚 \circ 𝑓 = 𝑓^{'} \circ 𝑒 \Rightarrow \exists! 𝑔 \in hom (𝐴^{'}, 𝑋), 𝑔 \circ 𝑒 = 𝑓, 𝑚 \circ 𝑔 = 𝑓^{'}$ つまり，図式としては以下のように表される：

射の集まり $𝒮$ に対し， $𝒮$ の任意の射と直交する射の集まりを以下のように表す： $𝒮^{⊥} ≔ {𝑚 \in hom (𝒜) | 𝒮 ⊥ 𝑚}$ ${}^{⊥}𝒮 ≔ {𝑒 \in hom (𝒜) | 𝑒 ⊥ 𝒮}$

合成による直交の保存

圏 $𝒜$
射 $𝑒 : 𝐴 \to 𝐴^{'}, 𝑒^{'} : 𝐴^{'} \to 𝐴^{″}, 𝑚 : 𝐵 \to 𝐵^{'}, 𝑚^{'} : 𝐵^{'} \to 𝐵^{″}$

を与えると，以下が成り立つ： $𝑒, 𝑒^{'} ⊥ 𝑚 \Rightarrow 𝑒^{'} \circ 𝑒 ⊥ 𝑚$ $𝑒 ⊥ 𝑚, 𝑚^{'} \Rightarrow 𝑒 ⊥ 𝑚^{'} \circ 𝑚$

証明

射の組 $𝑓 : 𝐴 \to 𝐵, 𝑓^{″} \in 𝐴^{″} \to 𝐵^{'}$ が， $𝑚 \circ 𝑓 = 𝑓^{'} \circ 𝑒^{'} \circ 𝑒$ を満たすとき， $𝑒 ⊥ 𝑚$ ならば， $\exists! 𝑔 \in hom (𝐴^{'}, 𝐵), 𝑔 \circ 𝑒 = 𝑓, 𝑚 \circ 𝑔 = 𝑓^{'} \circ 𝑒^{'}$ を満たす．最後の等式より $𝑒^{'} ⊥ 𝑚$ ならば， $\exists! 𝑔^{'} \in hom (𝐴^{″}, 𝐵), 𝑔^{'} \circ 𝑒^{'} = 𝑔$ を満たすから $𝑔^{'} \circ 𝑒^{'} \circ 𝑒 = 𝑓$ ．よって， $𝑒, 𝑒^{'} ⊥ 𝑚 \Rightarrow 𝑒^{'} \circ 𝑒 ⊥ 𝑚$

直交分解系

圏 $𝒜$ を与える．

$𝒜$ の直交分解系(orthogonal factorization system)とは以下のデータからなる．

射の集まり $ℰ, ℳ$

これらは以下を満たす．

$\forall 𝑓 \in hom (𝐴, 𝐵), \exists 𝐶 \in ob (𝒜), \exists (𝑒 : 𝐴 \to 𝐶, 𝑚 : 𝐶 \to 𝐵) \in ℰ \times ℳ, 𝑓 = 𝑚 \circ 𝑒$
以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）
- $ℰ^{⊥} = ℳ$ かつ $ℰ = {}^{⊥}ℳ$
- - 任意の射の分解は同型を除いて一意．
  - $ℰ, ℳ$ は共に全ての同型射を含む．
  - $ℰ, ℳ$ は射の合成に関して閉じる．
- - $ℰ, ℳ$ はそれぞれ射圏 $𝒜 \Rightarrow 𝒜$ のあるreplete 部分圏の対象．
  - $ℰ ⊥ ℳ$

条件の同値性の証明

- 射 $𝑓 : 𝐴 \to 𝐵$ の分解 $(𝑒 : 𝐴 \to 𝐶, 𝑚 : 𝐶 \to 𝐵), (𝑒^{'} : 𝐴 \to 𝐶^{'}, 𝑚^{'} : 𝐶^{'} \to 𝐵)$ に対し，直交の定義より， $\exists! 𝑔 \in hom (𝐶, 𝐶^{'}), 𝑒^{'} = 𝑔 \circ 𝑒, 𝑚 = 𝑚^{'} \circ 𝑔$ $\exists! 𝑔^{'} \in hom (𝐶^{'}, 𝐶), 𝑒 = 𝑔^{'} \circ 𝑒^{'}, 𝑚^{'} = 𝑚 \circ 𝑔^{'}$ を満たす．よって， $𝑒 = 𝑔 \circ 𝑔^{'} \circ 𝑒, 𝑒^{'} = 𝑔^{'} \circ 𝑔 \circ 𝑒^{'}, 𝑚 = 𝑚 \circ 𝑔^{'} \circ 𝑔, 𝑚^{'} = 𝑚^{'} \circ 𝑔 \circ 𝑔^{'}$ となる．再び直交性の定義より $\exists! ℎ \in hom (𝐶, 𝐶), 𝑒 = ℎ \circ 𝑒, 𝑚 = 𝑚 \circ ℎ$ を満たすが，一意性よりこれは恒等射しかあり得ない．よって $𝑔$ と $𝑔^{'}$ は互いに逆射となる同型射．
- 任意の同型射は任意の射と直交するから， $ℰ, ℳ$ は全ての同型射を含む．
- 直交性は合成で保たれるから， $ℰ, ℳ$ は射の合成に関して閉じる．
- 射の組 $(𝑒 \in hom (𝐴, 𝐵), 𝑒^{'} \in hom (𝐴^{'}, 𝐵^{'}))$ が射圏 $𝒜 \Rightarrow 𝒜$ の対象として同型，つまり同型射 $𝑓 : 𝐴 \to 𝐴^{'}, 𝑔 : 𝐵 \to 𝐵^{'}$ が存在し， $𝑒^{'} \circ 𝑓 = 𝑔 \circ 𝑒$ を満たすとき， $𝑒^{'} = 𝑔 \circ 𝑒 \circ 𝑓^{- 1}$ であり， $𝑔, 𝑓^{- 1} \in ℰ$ かつ $ℰ$ は合成について閉じるから， $𝑒 \in ℰ$ ならば $𝑒^{'} \in ℰ$ ． $ℳ$ についても同様．
- - $(𝑒 : 𝐴 \to 𝐴^{'}, 𝑚 : 𝐵 \to 𝐵^{'}) \in ℰ \times ℳ$ を与え，射の組 $𝑓 \in 𝐴 \to 𝐵, 𝑓^{'} \in 𝐴^{'} \to 𝐵^{'}$ が $𝑚 \circ 𝑓 = 𝑓^{'} \circ 𝑒$ を満たすとする． $𝑓$ の分解 $(𝑒^{'} : 𝐴 \to 𝐶, 𝑚^{'} : 𝐶 \to 𝐵)$ と $𝑓^{'}$ の分解 $(𝑒^{″} : 𝐴^{'} \to 𝐶^{'}, 𝑚^{″} : 𝐶^{'} \to 𝐵^{'})$ に対し， $𝑒^{″} \circ 𝑒 \in ℰ, 𝑚^{'} \circ 𝑚 \in ℳ$ なので， $𝑚 \circ 𝑚^{'} \circ 𝑒^{'} = 𝑚^{″} \circ 𝑒^{″} \circ 𝑒$ は射の同型な分解になっている．よって同型射 $𝑔 : 𝐶^{'} \to 𝐶$ が存在し， $𝑚^{'} \circ 𝑔 \circ 𝑒^{″} \circ 𝑒 = 𝑓, 𝑚 \circ 𝑚^{'} \circ 𝑔 \circ 𝑒^{″} = 𝑓^{'}$ を満たす．
  - 射 $ℎ, ℎ^{'} : 𝐴^{'} \to 𝐵$ が $ℎ \circ 𝑒 = ℎ^{'} \circ 𝑒 = 𝑓, 𝑚 \circ ℎ = 𝑚 \circ ℎ^{'} = 𝑓^{'}$ を満たすとき， $ℎ$ の分解 $(𝑒^{'} : 𝐴^{'} \to 𝐶, 𝑚^{'} : 𝐶 \to 𝐵)$ と $ℎ^{'}$ の分解 $(𝑒^{″} : 𝐴^{'} \to 𝐶^{'}, 𝑚^{″} : 𝐶^{'} \to 𝐵)$ に対し， $𝑚^{'} \circ 𝑒^{'} \circ 𝑒 = 𝑚^{″} \circ 𝑒^{″} \circ 𝑒$ は $𝑓$ の分解になっているから，同型射 $𝑔 : 𝐶 \to 𝐶^{'}$ が存在し，以下を満たす： $ℎ = 𝑚^{'} \circ 𝑒^{'} = (𝑚^{″} \circ 𝑔^{- 1}) \circ (𝑔 \circ 𝑒^{″}) = 𝑚^{″} \circ 𝑒^{″} = ℎ^{'}$
  以上より，ℰ⊥ℳ
射 $𝑓 \in ℰ^{⊥}$ の分解 $(𝑒 : 𝐴 \to 𝐶, 𝑚 : 𝐶 \to 𝐵)$ に対し， $𝑚 \circ 𝑒 = 𝑓 \circ {id}_{𝐴}$ となるが， $𝑒 ⊥ 𝑓$ なので， $\exists! 𝑔 \in hom (𝐶, 𝐴), 𝑔 \circ 𝑒 = {id}_{𝐴}, 𝑓 \circ 𝑔 = 𝑚$ となる．さらに， $(𝑒 \circ 𝑔) \circ 𝑒 = 𝑒 \circ {id}_{𝐴} = 𝑒, 𝑚 \circ (𝑒 \circ 𝑔) = 𝑓 \circ 𝑔 = 𝑚$ となるが， $𝑒 ⊥ 𝑚$ より， $𝑒 \circ 𝑔 = {id}_{𝐶}$ となるので， $𝑒$ は同型射． $ℰ$ はrepleteだったから， $𝑚 \circ 𝑒 = 𝑓 \in ℰ$ となり， $ℰ^{⊥} = ℳ$ ．双対より $ℰ = {}^{⊥}ℳ$ ．

直交分解系の交叉

圏 $𝒜$ を与えると，以下が成り立つ：

$同型射 \Leftrightarrow 自分自身と直交する射$
$𝒜$ の直交分解系 $(ℰ, ℳ)$ に対し， $ℰ \cap ℳ$ は全ての同型射の集まりに等しい．

証明

- $𝑓 : 𝐴 \to 𝐵$ を自分自身と直交するとすると， $𝑓 \circ {id}_{𝐴} = {id}_{𝐵} \circ 𝑓$ より， $\exists! 𝑓^{- 1} \in hom (𝐵, 𝐴), 𝑓^{- 1} \circ 𝑓 = {id}_{𝐴}, 𝑓 \circ 𝑓^{- 1} = {id}_{𝐵}$ つまり同型射となる．
- 同型射は任意の射と直交する（後述）よりので，当然自分自身とも直交する．
ゆえに， $ℰ \cap ℳ$ に含まれる射は同型射のみ．直交分解系の定義より全ての同型射を含む．

モノ射・エピ射の種類

有効モノ・エピ射

圏 $𝒜$
射 $𝑓 : 𝐴 \to 𝐴^{'}$

を与える．

𝑓が有効モノ射(effective monomorphism)であるとは，以下を満たすことを言う：
- $𝑓$ は余核対を持つ．
- $𝑓$ は余核対の余射影 $𝑝_{𝐴^{'}}$ に関する等化子となる．
つまり，図式としては以下のように表される：
𝑓が有効エピ射(effective epimorphism)であるとは，以下を満たすことを言う：
- $𝑓$ は核対を持つ．
- $𝑓$ は核対の射影 $𝑝_{𝐴}$ に関する余等化子となる．
つまり，図式としては以下のように表される：

正則モノ・エピ射

圏 $𝒜$
射 $𝑓 : 𝐴 \to 𝐴^{'}$

を与える．

$𝑓$ が正則モノ射(regular monomorphism)であるとは，
- 対象 $𝐴^{″} \in ob (𝐴)$
- 射 $𝑔, 𝑔^{'} : 𝐴^{'} \to 𝐴^{″}$
が存在し， $𝑓$ が等化子の射影に等しいことを言う．
$𝑓$ が正則エピ射(regular monomorphism)であるとは，
- 対象 $𝐴^{″} \in ob (𝐴)$
- 射 $𝑔, 𝑔^{'} \in 𝐴^{″} \to 𝐴$
が存在し， $𝑓$ が余等化子の余射影に等しいことを言う．

強モノ・エピ射

圏 $𝒜$
射 $𝑓 \in hom (𝒜)$

を与える．

$𝑓$ が強モノ射(strong monomorphism)であるとは，モノ射であって，任意のエピ射 $𝑒$ に対し， $𝑒$ と $𝑓$ は直交することを言う．
$𝑓$ が強エピ射(strong epimorphism)であるとは，エピ射であって，任意のモノ射 $𝑚$ に対し， $𝑓$ と $𝑚$ は直交することを言う．

極値的モノ・エピ射

圏 $𝒜$
射 $𝑓 \in hom (𝒜)$

を与える．

$𝑓$ が極値的モノ射(extremal monomorphism)であるとは，モノ射であって，任意のエピ射 $𝑒$ が $𝑓$ を $𝑓 = 𝑔 \circ 𝑒$ と分解するならば， $𝑒$ は同型射となることを言う．
$𝑓$ が極値的エピ射(extremal epimorphism)であるとは，エピ射であって，任意のモノ射 $𝑚$ が $𝑓$ を $𝑓 = 𝑚 \circ 𝑔$ と分解するならば， $𝑚$ は同型射となることを言う．

$同型 \Rightarrow 分裂, 有効 \Rightarrow 正則 \Rightarrow 強 \Rightarrow 極値的 \Rightarrow *$

$同型射 \Rightarrow 分裂モノ射, 有効モノ射 \Rightarrow 正則モノ射 \Rightarrow 強モノ射 \Rightarrow 極値的モノ射 \Rightarrow モノ射$
$同型射 \Rightarrow 分裂エピ射, 有効エピ射 \Rightarrow 正則エピ射 \Rightarrow 強エピ射 \Rightarrow 極値的エピ射 \Rightarrow エピ射$

証明

$同型射 \Rightarrow 分裂モノ射$: 定義より自明．
$同型射 \Rightarrow 有効モノ射$: 逆射が余核対となり，その等化子は自分自身．
$分裂モノ射 \Rightarrow 正則モノ射$: 分裂モノ射 $𝑚 : 𝐴 \to 𝐴^{'}$ に対し，そのretractionを $𝑟$ とすると， $𝑚 \circ 𝑟 \circ 𝑚 = 𝑚 \circ {id}_{𝐴} = 𝑚 = {id}_{𝐴^{'}} \circ 𝑚$ を満たす．さらに任意の射 $𝑓 \in hom (-, 𝐴^{'})$ に対し， $𝑚 \circ 𝑟 \circ 𝑓 = {id}_{𝐴^{'}} \circ 𝑓 \Rightarrow 𝑚 \circ (𝑟 \circ 𝑓) = 𝑓$ を満たすので， $𝑚 = eq (𝑚 \circ 𝑟, {id}_{𝐴^{'}})$
$有効モノ射 \Rightarrow 正則モノ射$: 定義より自明．
$正則モノ射 \Rightarrow 強モノ射$: 正則モノ射 $𝑚 : 𝐴 \to 𝐴^{'}$ は射 $𝑓, 𝑓^{'}$ の等化子とすると，等化子の普遍性より $𝑓 \circ 𝑚 = 𝑓^{'} \circ 𝑚$ エピ射 $𝑒$ と射 $𝑔, 𝑔^{'}$ が $𝑚 \circ 𝑔 = 𝑔^{'} \circ 𝑒$ を満たすとすると， $𝑓 \circ 𝑔^{'} \circ 𝑒 = 𝑓 \circ 𝑚 \circ 𝑔 = 𝑓^{'} \circ 𝑚 \circ 𝑔 = 𝑓^{'} \circ 𝑔^{'} \circ 𝑒$ となるが， $𝑒$ はエピ射だから， $𝑓 \circ 𝑔^{'} = 𝑓^{'} \circ 𝑔^{'}$ となる．等化子の普遍性より $\exists! \lim_{eq} 𝑔^{'} \in hom (𝐴^{'}, eq (𝑔, 𝑔^{'})), 𝑓^{'} = 𝑚 \circ \lim_{eq} 𝑔^{'}$ となる．最後に， $𝑚 \circ \lim_{eq} 𝑔^{'} \circ 𝑒 = 𝑓^{'} \circ 𝑒 = 𝑚 \circ 𝑓$ だが，等化子はモノ射なので， $\lim_{eq} 𝑔^{'} \circ 𝑒 = 𝑓$ 以上より， $𝑒 ⊥ 𝑚$ ．
$強モノ射 \Rightarrow 極値的モノ射$: 強モノ射 $𝑚 : 𝐴 \to 𝐴^{'}$ を，あるエピ射 $𝑒 : 𝐴 \to 𝐵$ と射 $𝑚^{'} : 𝐵 \to 𝐴^{'}$ が分解するとする： $𝑚 = 𝑚 \circ {id}_{𝐴} = 𝑚^{'} \circ 𝑒$ $𝑒 ⊥ 𝑚$ より，ある射 $\exists 𝑔 : 𝐵 \to 𝐴$ に対し， $𝑔 \circ 𝑒 = {id}_{𝐴}$ を満たす．つまり， $𝑒$ は分裂モノ射かつエピ射なので同型射
$極値的モノ射 \Rightarrow モノ射$: 定義より自明．

逆が成立する十分条件

圏 $𝒜$ を与えると，以下を満たす：

- 余核対を持つ射に対し， $分裂モノ射 \Rightarrow (有効モノ射 \Leftrightarrow 正則モノ射)$
- 核対を持つ射に対し， $分裂エピ射 \Rightarrow (有効エピ射 \Leftrightarrow 正則エピ射)$
- $𝒜$ が余正則ならば， $正則モノ射 \Leftrightarrow 強モノ射$
- $𝒜$ が正則ならば， $正則エピ射 \Leftrightarrow 強エピ射$
- $𝒜$ が押し出しをもつならば， $強モノ射 \Leftrightarrow 極値的モノ射$
- $𝒜$ が引き戻しをもつならば， $強エピ射 \Leftrightarrow 極値的エピ射$

証明

$分裂, 有効 \Rightarrow 正則 \Rightarrow 強 \Rightarrow 極値的$ は一般に成り立つので逆を示す．

また， $分裂 \Rightarrow 有効$ は $正則 \Rightarrow 有効$ を満たせば， $分裂 \Rightarrow 正則$ より直ちに従う．

$有効モノ射 \Leftarrow 正則モノ射$: 正則モノ射 $𝑚 \in hom (-, 𝐴)$ が，射 $𝑓, 𝑓^{'}$ の等化子であるとする．また $𝑚$ が余核対を持つとし，その余射影を $𝑝, 𝑝^{'}$ とすると，余核対の普遍性（つまり押し出しの普遍性）より， $\exists! 𝑔 \in hom (𝒜), 𝑔 \circ 𝑝 = 𝑓, 𝑔 \circ 𝑝^{'} = 𝑓^{'}$ となる．また， $(eq (𝑓, 𝑓^{'}), 𝑚)$ の等化子の普遍性に注意すると， $\forall ℎ \in hom (-, 𝐴)$ に対し， $𝑝 \circ ℎ = 𝑝^{'} \circ ℎ \Rightarrow 𝑓 \circ ℎ = 𝑔 \circ 𝑝 \circ ℎ = 𝑔 \circ 𝑝^{'} \circ ℎ = 𝑓^{'} \circ ℎ \Rightarrow \exists \overline{ℎ} \in hom (𝒜), 𝑚 \circ \overline{ℎ} = ℎ$ を満たす．つまり， $(eq (𝑝, 𝑝^{'}), 𝑚)$ は等化子となるので，有効モノ射となる．
$正則モノ射 \Leftarrow 強モノ射$: 強モノ射 $𝑚$ の余核対の余射影を $𝑝, 𝑝^{'}$ とし，その等化子を $𝑚^{'}$ とする．等化子の普遍性より $\exists! \overline{𝑚} \in hom (𝒜), 𝑚^{'} \circ \overline{𝑚} = 𝑚$
$強モノ射 \Leftarrow 極値的モノ射$

直交とエピ・モノ射の関係

圏 $𝒜$ を与えると，以下が成り立つ：

射 𝑒,𝑚 ∈ hom ⁡ (𝒜) が以下のいずれかの条件を満たすとき，𝑒⊥𝑚：
- $𝑒$ がエピ射， $(𝑒, 𝑚)$ が持ち上げ性を持つ．
- $𝑚$ がモノ射， $(𝑒, 𝑚)$ が持ち上げ性を持つ．
- $𝑒$ が分裂エピ射（または有効エピ射，正則エピ射，強エピ射）かつ $𝑚$ がモノ射．
- $𝑒$ がエピ射かつ $𝑚$ が分裂モノ射（または有効モノ射，正則モノ射，強モノ射）．
- $𝑒$ が分裂エピ射で，その右逆射が一意．
- $𝑚$ が分裂モノ射で，その左逆射が一意．
- $𝑒$ または $𝑚$ のが同型射．
特に任意の射の集まりℰに対し， ℰ ⊥ , ℰ ⊥ は共に全ての同型射を含む．
$同型射 \Leftrightarrow 自分自身と直交する射$

証明

- $𝑒$ がエピ射，または $𝑚$ モノ射のとき， $𝑔 \circ 𝑒 = 𝑓, 𝑚 \circ 𝑔 = 𝑓^{'}$ を満たす射 $𝑔$ は（存在すれば）一意．
- 分裂,有効⇒正則⇒強であり，強モノ射とエピ射が直交することは，強モノ射の定義より自明．
- $𝑒$ が分裂エピ射で，その右逆射 $𝑒^{'}$ が一意的に存在するとき，射の組 $𝑓, 𝑓^{'} \in hom (𝒜)$ が， $𝑚 \circ 𝑓 = 𝑓^{'} \circ 𝑒$ を満たすとすると， $𝑔 ≔ 𝑓 \circ 𝑒^{'}$ に対し， $𝑔 \circ 𝑒 = 𝑓, 𝑚 \circ 𝑔 = 𝑚 \circ 𝑓 \circ 𝑒^{'} = 𝑓^{'} \circ 𝑒 \circ 𝑒^{'} = 𝑓^{'}$ を満たす．逆にこの等式を満たす $𝑔$ は $𝑒$ がエピ射だからこれに限られる．よって， $𝑒 ⊥ 𝑚$ ．
- 同型射の逆射の一意性より自明．
$𝑓 : 𝐴 \to 𝐵$ を自分自身と直交するとすると， $𝑓 \circ {id}_{𝐴} = {id}_{𝐵} \circ 𝑓$ より， $\exists! 𝑓^{- 1} \in hom (𝐵, 𝐴), 𝑓^{- 1} \circ 𝑓 = {id}_{𝐴}, 𝑓 \circ 𝑓^{- 1} = {id}_{𝐵}$ つまり同型射となる．

極値的モノ射かつエピ射は同型射

以下は同値：

同型射
極値的モノ射かつエピ射
モノ射かつ極値的エピ射

証明

同型射が，極値的モノ射かつ極値的エピ射かつモノ射かつエピ射になることは証明済み．また，同型射は任意の射と直交する．
$𝑓 : 𝐴 \to 𝐵$ に対し，恒等射により $𝑓 = {id}_{𝐵} \circ 𝑓$ と分解するから， $𝑓$ 極値的モノ射かつエピ射であれば，同型射となる．

エピ・モノ分解系

余像・像

圏 $𝒜$
射 $𝑓 : 𝐴 \to 𝐴^{'}$

を与える．

- エピ射の部分集まり $ℰ$
- 余スライス圏 $(𝐴 \Rightarrow ℰ), (𝐴 \Rightarrow 𝒜)$
- 包含函手 $𝐹 : (𝐴 \Rightarrow ℰ) \to (𝐴 \Rightarrow 𝒜)$
を与えたとき， 𝐹 から ( 𝐴′ , 𝑓 ) ∈ ( 𝐴⇒𝒜 ) への普遍射を $ℰ$ -余像( $ℰ$ -coimage)と呼ぶ．具体的には，
- これも余像(coimage)と呼ばれる対象 $coim (𝑓) \in 𝒜$
- エピ射 $𝑒 : 𝐴 \to coim (𝑓)$
- 射 $𝑚 : coim (𝑓) \to 𝐴^{'}$
の組であって以下を満たすもの：
- $(𝑒, 𝑚)$ は $𝑓$ を分解する： $𝑚 \circ 𝑒 = 𝑓$
- 余像の普遍性：エピ射 $𝑒^{'} : 𝐴 \to 𝑋 \in ℰ$ と射 $𝑚^{'} : 𝑋 \to 𝐴^{'}$ が $𝑓$ を分解するならば，以下を満たす： $\exists! \overline{𝑚^{'}} \in hom (𝑋, coim (𝑓)), \overline{𝑚^{'}} \circ 𝑒^{'} = 𝑒, 𝑚 \circ \overline{𝑚^{'}} = 𝑚^{'}$ つまり以下の図式を可換にする：
$ℰ$ が全てのエピ射の集まりとなるとき，単に余像(coimage)と呼ぶ．
- モノ射の部分集まり $ℳ$
- スライス圏 $ℳ \Rightarrow 𝐴^{'}, 𝒜 \Rightarrow 𝐴^{'}$
- 包含函手 $𝐹 : ℳ \Rightarrow 𝐴^{'} \to 𝒜 \Rightarrow 𝐴^{'}$
を与えたとき， ( 𝐴,𝑓 ) ∈ ( 𝒜 ⇒ 𝐴′ ) から 𝐹 への普遍射を $ℳ$ -像( $ℳ$ -image)と呼ぶ．具体的には，
- これも像(image)と呼ばれる対象 $im (𝑓) \in 𝒜$
- 射 $𝑒 : 𝐴 \to im (𝑓)$
- モノ射 $𝑚 : im (𝑓) \to 𝐴^{'}$
の組であって以下を満たすもの：
- $(𝑒, 𝑚)$ は $𝑓$ を分解する： $𝑚 \circ 𝑒 = 𝑓$
- 像の普遍性：射 $𝑒^{'} : 𝐴 \to 𝑋$ とモノ射 $𝑚^{'} : 𝑋 \to 𝐴^{'}$ が $𝑓$ を分解するとき，以下を満たす： $\exists! \overline{𝑒^{'}} \in hom (im (𝑓), 𝑋), 𝑚^{'} \circ \overline{𝑒^{'}} = 𝑚, \overline{𝑒^{'}} \circ 𝑒 = 𝑒^{'}$ つまり以下の図式を可換にする：
$ℳ$ が全てのモノ射の集まりとなるとき，単に像(image)と呼ぶ．
$𝑓$ の分解 $(𝑋, (𝑒, 𝑚))$ が像かつ余像となるとき，双像(biimage)と呼ぶ（ここでは）．

ちなみに $\overline{𝑚^{'}}, \overline{𝑒^{'}}$ の一意性は仮定せずとも，それぞれ $𝑒^{'}$ がエピ射， $𝑚^{'}$ モノ射であることから従う．

等化子を持つ圏における像

圏 $𝒜$
射 $𝑓 \in hom (𝒜)$

を与えると，以下を満たす：

$𝒜$ が等化子を持つとすると， $𝑓$ が像 $(im (𝑓), 𝑒, 𝑚)$ を持つとき， $𝑒$ は極値的エピ射．
$𝒜$ が余等化子を持つとすると， $𝑓$ が余像 $(coim (𝑓), 𝑒, 𝑚)$ を持つとき， $𝑒$ は極値的モノ射．

証明

まず，モノ射 $\overline{𝑒} \in hom (𝒜)$ と射 $\overline{𝑒} \in hom (𝒜)$ を用いて， $𝑒$ が分解したとする： $𝑒 = 𝑚^{'} \circ \overline{𝑒}$ となる．このとき $𝑓 = 𝑚 \circ 𝑒 = (𝑚 \circ 𝑚^{'}) \circ \overline{𝑒}$ となる． $𝑚$ は像の定義よりモノ射なので， $𝑚 \circ 𝑚^{'}$ はモノ射となる．よって像の定義より， $\exists! 𝑔 \in hom (𝒜), 𝑚 \circ 𝑚^{'} \circ 𝑔 = 𝑚$ となる． $𝑚$ はモノ射だから， $𝑚^{'} \circ 𝑔$ は恒等射．つまり， $𝑚^{'}$ はモノ射か分裂エピ射なので同型射となる．
さて射 $ℎ, ℎ^{'} \in hom (𝒜)$ が $ℎ \circ 𝑒 = ℎ^{'} \circ 𝑒$ を満たすとき， $ℎ, ℎ^{'}$ の等化子を $𝑚^{'}$ とすると，等化子の普遍性より $\exists! \overline{𝑒} \in hom (𝒜), 𝑒 = 𝑚^{'} \circ \overline{𝑒}$ となる．等化子はモノ射だったから， $𝑚^{'}$ は同型射となる． $𝑚^{'}$ は $ℎ, ℎ^{'}$ の等化子だったから， $ℎ \circ 𝑚^{'} = ℎ^{'} \circ 𝑚^{'}$ より $ℎ = ℎ^{'}$ となるから， $𝑒$ はエピ射．
以上より， $𝑒$ は極値的エピ射

エピ・モノ分解系

圏 $𝒜$
直交分解系 $(ℰ, ℳ)$

を与える．

$ℰ$ の任意の射がエピ射であり， $ℳ$ の任意の射がモノ射であるとき，エピ・モノ分解系(epi-mono factorization system)と呼ぶ．

エピ・モノ分解系における像

圏 $𝒜$
エピ・モノ分解系 $(ℰ, ℳ)$

を与えると，任意の射は，

$ℰ$ -余像
$ℳ$ -像

を持つ．

証明

射 $𝑓$ の $(ℰ, ℳ)$ による分解 $𝑓 = 𝑚 \circ 𝑒$ と， $(ℰ, 𝒜)$ による分解 $𝑓 = 𝑔 \circ 𝑒^{'}$ を与えると， $𝑒^{'} ⊥ 𝑚$ より $\exists! \overline{𝑔} \in hom (𝒜), \overline{𝑔} \circ 𝑒^{'} = 𝑒, 𝑚 \circ \overline{𝑔} = 𝑔$ を満たす．これは $ℰ$ -余像の普遍性に他ならない．

正則圏

有限完備圏𝒜が以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすとき，正則(regular)と呼ぶ：
- - 射 $\forall 𝑓 : 𝐴 \to 𝐴^{'}$ に対し， $𝑓$ の核対 $𝐴 Π_{𝐴^{'}} 𝐴$ の射影 $𝑝_{1}, 𝑝_{2}$ は余等化子 $coeq (𝑝_{1}, 𝑝_{1})$ を持つ
  - $𝒜$ の任意の射と正則エピ射の引き戻しは，正則エピ射の対面が正則エピ．
- - $𝒜$ の正則エピ射の集まり $ℰ$ とモノ射の集まり $ℳ$ が存在し， $(ℰ, ℳ)$ は直交分解系をなす．
  - 射の分解は，引き戻しによって保たれる．
有限余完備圏𝒜が以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすとき，余正則(coregular)と呼ぶ：
- - 射 $\forall 𝑓 : 𝐴 \to 𝐴^{'}$ に対し， $𝑓$ の余核対 $𝐴^{'} ⨿_{𝐴} 𝐴^{'}$ の余射影 $𝑝_{1}, 𝑝_{2}$ は等化子 $eq (𝑝_{1}, 𝑝_{1})$ を持つ
  - $𝒜$ の任意の射と正則モノ射の押し出しは，正則モノ射の対面が正則モノ．
- - $𝒜$ のエピ射の集まり $ℰ$ と正則モノ射の集まり $ℳ$ が存在し， $(ℰ, ℳ)$ は直交分解系をなす．
  - 射の分解は，押し出しによって保たれる．

条件の同値性の証明

- 任意の射 $𝑓 : 𝐴 \to 𝐵$ に対し， $𝑓$ の核対の余等化子を $𝑒$ とすると，余等化子の普遍性より $\exists! 𝑚 \in hom (𝒜), 𝑚 \circ 𝑒 = 𝑓$ を満たす． $𝑒$ は正則エピ射の定義より自明に正則エピ射．次に $𝑚$ がモノ射であることを示すが，それには $𝑚$ の核対の射影が相等しいことを示せばよい．ここで，
  - $𝑚$ の核対の射影を $𝑝, 𝑝^{'}$
  - $𝑒, 𝑝$ の引き戻しの射影を $𝑞, 𝑟$
  - $𝑝^{'}, 𝑒$ の引き戻しの射影を $𝑟^{'}, 𝑞^{'}$
  - $𝑞, 𝑞^{'}$ の引き戻しの射影を $𝑠, 𝑠^{'}$
  とする．𝑒は正則エピ射だったから，正則圏の定義より， 𝑞 , 𝑞′ , 𝑠 , 𝑠′ も正則エピ射．さらに， 𝑟∘𝑠 , 𝑟′ ∘ 𝑠′ は 𝑓 = 𝑚∘𝑒 の核対であり，その余等化子が𝑒であったから， 𝑒∘𝑟∘𝑠 = 𝑒 ∘ 𝑟′ ∘ 𝑠′ となる．引き戻しの可換図式と合わせると， 𝑝 ∘ ( 𝑞∘𝑠 ) = 𝑒∘𝑟∘𝑠 = 𝑒 ∘ 𝑟′ ∘ 𝑠′ = 𝑝′ ∘ 𝑞′ ∘ 𝑠′ = 𝑝′ ∘ ( 𝑞∘𝑠 ) となり，𝑞∘𝑠はエピ射なので， 𝑝 = 𝑝′ つまり，𝑚はモノ射．
  
  直交分解系の残りの条件については，射の分解は同型を除いて一意等を示す：
  - 正則エピ射は強エピ射だから， $𝑓$ の正則エピ・モノ分解 $𝑓 = 𝑚 \circ 𝑒 = 𝑚^{'} \circ 𝑒^{'}$ に対し， $𝑒 ⊥ 𝑚^{'}$ となる．よって， $\exists! 𝑔 \in hom (𝒜), 𝑔 \circ 𝑒 = 𝑒^{'}, 𝑚^{'} \circ 𝑔 = 𝑚$ を満たす．（合成のあれを後で示す）ゆえに， $𝑔$ は正則モノ射かつ正則エピ射より同型射となる．
  - 同型射は正則エピ射かつモノ射なので， $ℰ, ℳ$ は全ての同型射を含む．
  - まず，モノ射の合成はモノ射（あとで示す）である．次に …（あとで示す）… より正則エピ射と強エピ射は同値．強エピ射は合成で保存する（あとで示す）ので，正則エピ射も合成で保存する．
- 自明．
- $𝑓$ の正則エピモノ分解を $𝑓 = 𝑚 \circ 𝑒$ とする． $𝑓$ の核対の射影を $𝑝, 𝑝^{'}$ とすると， $𝑚 \circ 𝑒 \circ 𝑝 = 𝑓 \circ 𝑝 = 𝑓 \circ 𝑝^{'} = 𝑚 \circ 𝑒 \circ 𝑝^{'}$ を満たすが， $𝑚$ はモノ射なので， $𝑒 \circ 𝑝 = 𝑒 \circ 𝑝^{'}$ となる．つまり， $𝑝, 𝑝^{'}$ は $𝑒$ の核対の射影にもなっている． $𝑒$ は正則エピ射なので， $𝑝, 𝑝^{'}$ の余等化子に等しい．
- 自明らしい．

零射・零対象と正規性

零射と核

零射

圏 $𝒜$ を与える．

対象 𝐴,𝐵 ∈ ob ⁡ (𝒜) に対し，射 𝑓 ∈ hom𝒜 ⁡ ( 𝐴,𝐵 ) で
- 以下を満たすものを， $𝐴$ から $𝐵$ への定値射(constant morphism)と呼ぶ： $\forall 𝐶 \in ob (𝒜), \forall 𝑔, ℎ \in {hom}_{𝒜} (𝐶, 𝐴), 𝑓 \circ 𝑔 = 𝑓 \circ ℎ$
- 以下を満たすものを， $𝐴$ から $𝐵$ への余定値射(coconstant morphism)と呼ぶ： $\forall 𝐶 \in ob (𝒜), \forall 𝑔, ℎ \in {hom}_{𝒜} (𝐵, 𝐶), 𝑔 \circ 𝑓 = ℎ \circ 𝑓$
- 定値射かつ余定値射であるものを， $𝐴$ から $𝐵$ への零射(zero morphism)と呼ぶ．
- 対象 $𝐵 \in ob (𝒜)$ に対し，射の集まり $0_{-, 𝐵} \in {hom}_{𝒜} (-, 𝐵)$ が存在し以下を満たすとき， $𝐵$ への定値射(constant morphism)と呼ぶ． $\forall 𝐴, 𝐶 \in ob (𝒜), \forall 𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐶, 𝐴), 0_{𝐶, 𝐵} = 0_{𝐴, 𝐵} \circ 𝑓$
- 対象 $𝐴 \in ob (𝒜)$ に対し，射の集まり $0_{𝐴, -} \in {hom}_{𝒜} (𝐴, -)$ が存在し以下を満たすとき， $𝐴$ からの余定値射(coconstant morphism)と呼ぶ． $\forall 𝐵, 𝐶 \in ob (𝒜), \forall 𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐵, 𝐶), 0_{𝐴, 𝐶} = 𝑓 \circ 0_{𝐴, 𝐵}$
∀ ⁡ 𝐴 , 𝐵 ∈ ob ⁡ ( 𝒜 ) に対し，射 0 𝐴 , 𝐵 ∈ hom 𝒜 ⁡ ( 𝐴 , 𝐵 ) が存在し，
- 射の集まり ${0_{-, 𝐵}}$ が $𝐵$ への定値射となるとき， $0_{𝐴, 𝐵}$ （の集まり）を定値射(constant morphisms)と呼び， $𝒜$ を定値射を持つ圏(category with constant morphisms)と呼ぶ．
- 射の集まり ${0_{𝐴, -}}$ が $𝐴$ からの余定値射となるとき， $0_{𝐴, 𝐵}$ （の集まり）を余定値射(coconstant morphisms)と呼び， $𝒜$ を余定値射を持つ圏(category with coconstant morphisms)と呼ぶ．
- 射の集まり ${0_{𝐴, 𝐵}}$ が $𝒜$ の定値射かつ余定値射となるとき， ${0_{𝐴, 𝐵}}$ を零射(zero morphisms)と呼び， $𝒜$ を零射を持つ圏(category with zero morphisms)と呼ぶ．

$0$ と書いているものは，対象が一つだけだった場合（つまりモノイド）は吸収元となる．吸収元の一意性に対応するのは以下：

零射の一意性

圏 $𝒜$ を与えると，以下が成り立つ．

対象 $𝐴, 𝐵 \in ob (𝒜)$ に対し， $𝐵$ への定値射 $0_{-, 𝐵}$ と $𝐴$ からの余定値射 $0_{𝐴, -}$ を持つとき， $0_{𝐴, 𝐵} = {0^{'}}_{𝐴, 𝐵}$ ゆえに $𝐴$ から $𝐵$ への零射．
$𝒜$ が定値射と余定値射を持つとき，それらは等しい．特に零射は一意．

証明

$\forall 𝐶 \in ob (𝒜), 0_{𝐴, 𝐵} = 0_{𝐶, 𝐵} \circ {0^{'}}_{𝐴, 𝐶} = {0^{'}}_{𝐴, 𝐵}$ より前者の主張が言える．後者の仮定では，任意の $𝐴, 𝐵$ で成り立つ．ゆえに $0 = 0^{'}$ は零射である．同じことを零射 $0, 0^{'}$ に対して考えることで，零射は一意であることが言える．

核

零射 $0$ をもつ圏 $𝒜$
射 $𝑓 : 𝐴 \to 𝐵$

を与える．

𝑓の核(kernel)とは，𝑓と 0 𝐴,𝐵 の等化子のこと： ker⁡𝑓 ≔ eq ⁡ ( 𝑓 , 0 𝐴,𝐵 ) 具体的には，
- 対象 $\ker (𝑓) \in ob (𝒜)$
- 射影 $𝑝 : \ker (𝑓) \to 𝐴$ （ $𝑓 \circ 𝑝 = 0_{\ker (𝑓), 𝐵}$ を満たす）
の組であって，以下の普遍性を満たすもの： ∀ ⁡ 𝐶 ∈ ob ⁡ (𝒜) , ∀ ⁡ 𝑔 ∈ hom ⁡ ( 𝐶,𝐴 ) , 𝑓∘𝑔 = 0 𝐶,𝐵 ⇒ ∃! ⁡ ℎ ∈ hom ⁡ ( 𝐶 , ker ⁡ (𝑓) ) , 𝑝∘ℎ = 𝑔 つまり以下の図式を可換にする：
𝑓の余核(cokernel)とは，𝑓と 0 𝐴,𝐵 の余等化子のこと： coker ⁡ (𝑓) ≔ coeq ⁡ ( 𝑓 , 0 𝐴,𝐵 ) 具体的には，
- 対象 $coker (𝑓) \in ob (𝒜)$
- 余射影 $𝑝 : 𝐵 \to coker (𝑓)$ （ $𝑓 \circ 𝑝 = 0_{\ker (𝑓), 𝐵}$ を満たす）
の組であって，以下の普遍性を満たすもの： ∀ ⁡ 𝐶 ∈ ob ⁡ (𝒜) , ∀ ⁡ 𝑔 ∈ hom ⁡ ( 𝐵,𝐶 ) , 𝑔∘𝑓 = 0 𝐴,𝐶 ⇒ ∃! ⁡ ℎ ∈ hom ⁡ ( coker ⁡ (𝑓) , 𝐶 ) , ℎ∘𝑝 = 𝑔 つまり以下の図式を可換にする：

モノ射の合成による核の保存

零射 $0$ をもつ圏 $𝒜$
射 $𝑓 : 𝐴 \to 𝐵, 𝑔 : 𝐵 \to 𝐶$

を与える．

$𝑔$ がモノ射のとき， $𝑓$ の核と $𝑔 \circ 𝑓$ の核は一方が存在すれば他方も存在し，両者は等しい： $\ker (𝑓) = \ker (𝑔 \circ 𝑓)$
$𝑓$ がエピ射のとき， $𝑔$ の余核と $𝑔 \circ 𝑓$ の余核は一方が存在すれば他方も存在し，両者は等しい： $coker (𝑔) = coker (𝑔 \circ 𝑓)$

証明

$𝑔$ の核 $\ker (𝑓)$ が存在するとし，その射影を $𝑝$ とする．また，射 $ℎ : 𝐷 \to 𝐴$ が $(𝑔 \circ 𝑓) \circ ℎ = 0_{𝐷, 𝐶}$ を満たすとする．このとき，零射の定義より， $𝑔 \circ 𝑓 \circ ℎ = 0_{𝐷, 𝐶} = 𝑔 \circ 0_{𝐷, 𝐵}$ を満たすが， $𝑔$ がモノ射だから， $𝑓 \circ ℎ = 0_{𝐷, 𝐵}$ となる．ゆえに核の普遍性から $\exists! \overline{ℎ} \in hom (𝐷, \ker (𝑔)), ℎ = 𝑝 \circ \overline{ℎ}$ を満たす．よって， $\ker (𝑓)$ は $\ker (𝑔 \circ 𝑓)$ の普遍性も満たす．
$𝑔 \circ 𝑓$ の核 $\ker (𝑔 \circ 𝑓)$ が存在するとし，その射影を $𝑝$ とする．まず，零射の定義より， $𝑔 \circ 𝑓 \circ 𝑝 = 0_{\ker (𝑔 \circ 𝑓), 𝐶} = 𝑔 \circ 0_{\ker (𝑔 \circ 𝑓), 𝐵}$ を満たすが， $𝑔$ はモノ射なので， $𝑓 \circ 𝑝 = 0_{\ker (𝑔 \circ 𝑓), 𝐵}$ を満たす．次に，射 $ℎ : 𝐷 \to 𝐴$ が $𝑓 \circ ℎ = 0_{𝐷, 𝐵}$ を満たすとする．零射の定義より， $(𝑔 \circ 𝑓) \circ ℎ = 0_{𝐷, 𝐶}$ を満たす．ゆえに核の普遍性から $\exists! \overline{ℎ} \in hom (𝐷, \ker (𝑔)), ℎ = 𝑝 \circ \overline{ℎ}$ を満たす．よって， $\ker (𝑔 \circ 𝑓)$ は $\ker (𝑓)$ の普遍性も満たす．

核の余核の核は核

零射 $0$ をもつ圏 $𝒜$
射 $𝑓 \in hom (𝐴, 𝐵)$

を与える．

$𝑓$ の核 $(\ker (𝑓), 𝑝)$ が存在し，さらにその余核 $(coker (\ker (𝑓)), 𝑝^{'})$ も存在するとき，さらにその核が存在し，それは $𝑓$ の核に等しい： $\ker (coker (\ker (𝑓))) = \ker (𝑓)$
$𝑓$ の余核 $(coker (𝑓), 𝑝)$ が存在し，さらにその核 $(\ker (coker (𝑓)), 𝑝^{'})$ も存在するとき，さらにその余核が存在し，それは $𝑓$ の余核に等しい： $coker (\ker (coker (𝑓))) = coker (𝑓)$

証明

まず， $𝑓 \circ 𝑝 = 0_{\ker (𝑓), 𝐵}$ より，余核 $coker (\ker (𝑓))$ の普遍性より以下をを満たす： $\exists! \overline{𝑓} \in hom (coker (\ker (𝑓)), 𝐵), \overline{𝑓} \circ 𝑝^{'} = 𝑓$ 次に，射 $𝑔 : 𝐶 \to 𝐴$ が $𝑝^{'} \circ 𝑔 = 0_{𝐶, coker (\ker (𝑓))}$ を満たすとする．このとき， $𝑓 \circ 𝑔 = \overline{𝑓} \circ 𝑝^{'} \circ 𝑔 = 0_{𝐶, 𝐵}$ を満たすから，核 $\ker (𝑓)$ の普遍性より以下をを満たす： $\exists! \overline{𝑔} \in hom (𝐶, \ker (𝑓), 𝐵), 𝑝 \circ \overline{𝑔} = 𝑔$ つまり， $(\ker (𝑓), 𝑝)$ は核 $\ker (coker (\ker (𝑓)))$ の普遍性を満たす．

正規モノ射

圏 $𝒜$
対象 $𝐴, 𝐴^{'} \in ob (𝒜)$

正規モノ射(normal monomorphism)とは，モノ射 $𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴^{'})$ で，射 $𝑔 \in {hom}_{𝒜} (𝐴^{'}, 𝐴^{″})$ が存在し， $𝑔$ の核に等しいもののこと： $𝑓 = \ker (𝑔)$ ．
正規エピ射(normal epimorphism)とは，エピ射 $𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 𝐴^{'})$ で，射 $𝑔 \in {hom}_{𝒜} (𝐴^{'}, 𝐴^{″})$ が存在し， $𝑔$ の余核に等しいもののこと： $𝑓 = \ker (𝑔)$ ．

$正規 \Rightarrow 正則$

$正規モノ射 \Rightarrow 正則モノ射$
$正規エピ射 \Rightarrow 正則エピ射$

証明

定義より自明．

分裂モノ・エピ射と正規モノ・エピ射は，一般には無関係．

正規モノ射の余核の核は自分自身

零射 $0$ をもつ圏 $𝒜$
射 $𝑓 : 𝐴 \to 𝐵$

を与える．

$𝑓$ が正規モノ射で，その余核 $coker (𝑓)$ も存在するとき，さらにその核が存在し，それは $𝑓$ の始域に等しい： $\ker (coker (𝑓)) ≅ 𝐴$
$𝑓$ が正規エピ射で，その核 $\ker (𝑓)$ も存在するとき，さらにその余核が存在し，それは $𝑓$ の終域に等しい： $coker (\ker (𝑓)) ≅ 𝐵$

証明

核の余核の核は核であることと，正規モノ射の定義より自明．

正規圏

任意のモノ射が正規モノ射であるような圏を正規圏(normal category)と呼ぶ．
任意のエピ射が正規エピ射であるような圏を余正規圏(conormal category)と呼ぶ．
正規かつ余正規な圏を双正規圏(binormal category)と呼ぶ．

余核の核は像

付点圏

付点圏の零射

圏 $𝒜$ を与えると，以下が成り立つ：

$𝒜$ が終対象 $1$ をもつとき， $\forall 𝐵 \in ob (𝐴)$ と $\exists!!_{𝐴} \in {hom}_{𝒜} (𝐴, 1), \forall 𝑓 \in {hom}_{𝒜} (1, 𝐵)$ に対し， ${(𝑓 \circ!_{𝐴})}_{𝐴 \in ob (𝒜)}$ は $𝐵$ への定値射．
$𝒜$ が始対象 $\emptyset$ をもつとき， $\forall 𝐴 \in ob (𝐴)$ と $\exists! 𝑔_{𝐵} \in {hom}_{𝒜} (\emptyset, 𝐵), \forall 𝑓 \in {hom}_{𝒜} (𝐴, \emptyset)$ に対し， ${(𝑔_{𝐵} \circ 𝑓)}_{𝐵 \in ob (𝒜)}$ は $𝐴$ からの余定値射．
$𝒜$ が付点圏のとき， $𝒜$ は唯一の零射をもつ．

証明

終対象をもつとき， $\forall 𝐶 \in ob (𝒜), \forall 𝑔 \in {hom}_{𝒜} (𝐶, 𝐴), (𝑓 \circ!_{𝐴}) \circ 𝑔 = 𝑓 \circ (!_{𝐴} \circ 𝑔) = 𝑓 \circ!_{𝐶}$ より $𝐵$ への定値射．始対象をもつ場合も同様．

ゆえに付点圏は零射をもつ．（零対象の有無にかかわらず，）零射は唯一である．

双積

圏 $𝒜$
対象 $𝐴, 𝐵 \in ob (𝒜)$

を与える．

$𝐴$ と $𝐵$ の双積(biproduct)とは，以下のデータからなる：

対象 $𝐴 \oplus 𝐵 \in ob (𝒜)$
射の組 $𝑝_{𝐴} : 𝐴 \oplus 𝐵 \to 𝐴, 𝑝_{𝐵} : 𝐴 \oplus 𝐵 \to 𝐵$
射の組 $𝑖_{𝐴} : 𝐴 \to 𝐴 \oplus 𝐵, 𝑖_{𝐵} : 𝐵 \to 𝐴 \oplus 𝐵$

これらは以下を満たす：

$(𝐴 \oplus 𝐵, 𝑝_{𝐴}, 𝑝_{𝐵})$ は $𝐴$ と $𝐵$ の直積
$(𝐴 \oplus 𝐵, 𝑖_{𝐴}, 𝑖_{𝐵})$ は $𝐴$ と $𝐵$ の余直積
$\forall 𝐽 \in {𝐴, 𝐵}, 𝑝_{𝐽} \circ 𝑖_{𝐽} = {id}_{𝐽}$
$𝑖_{𝐴} \circ 𝑝_{𝐴} \circ 𝑖_{𝐵} \circ 𝑝_{𝐵} = 𝑖_{𝐵} \circ 𝑝_{𝐵} \circ 𝑖_{𝐴} \circ 𝑝_{𝐴}$

双積による零射

圏 $𝒜$
対象 $𝐴, 𝐵 \in ob (𝒜)$
双積 $(𝐴 \oplus 𝐵, (𝑝_{𝐴}, 𝑝_{𝐵}), (𝑖_{𝐴}, 𝑖_{𝐵}))$

を与えると， $𝑝_{𝐵} \circ 𝑖_{𝐴}, 𝑝_{𝐴} \circ 𝑖_{𝐵}$ は零射．

証明

任意の射 $𝑓, 𝑔 : 𝐶 \to 𝐴$ に対し，直積の普遍性より以下を満たす： $\exists! ℎ \in hom (𝐶, 𝐴 \oplus 𝐵), 𝑝_{𝐴} \circ ℎ = 𝑓, 𝑝_{𝐵} \circ ℎ = 𝑝_{𝐵} \circ 𝑖_{𝐴} \circ 𝑔$ すると， $(𝑝_{𝐵} \circ 𝑖_{𝐴}) \circ 𝑓 = {id}_{𝐵} \circ 𝑝_{𝐵} \circ 𝑖_{𝐴} \circ 𝑝_{𝐴} \circ ℎ = 𝑝_{𝐵} \circ 𝑖_{𝐵} \circ 𝑝_{𝐵} \circ 𝑖_{𝐴} \circ 𝑝_{𝐴} \circ ℎ = 𝑝_{𝐵} \circ 𝑖_{𝐴} \circ 𝑝_{𝐴} \circ 𝑖_{𝐵} \circ 𝑝_{𝐵} \circ ℎ = 𝑝_{𝐵} \circ 𝑖_{𝐴} \circ 𝑝_{𝐴} \circ 𝑖_{𝐵} \circ 𝑝_{𝐵} \circ 𝑖_{𝐴} \circ 𝑔 = 𝑝_{𝐵} \circ 𝑖_{𝐵} \circ 𝑝_{𝐵} \circ 𝑖_{𝐴} \circ 𝑝_{𝐴} \circ 𝑖_{𝐴} \circ 𝑔 = (𝑝_{𝐵} \circ 𝑖_{𝐴}) \circ 𝑔$ を満たす．つまり， $𝑝_{𝐵} \circ 𝑖_{𝐴}$ は定置射．双対より，余定置射にもなるので，零射となる．

参考文献

Tom Leinster, "Basic Category Theory", arXiv:1612.09375
Saunders Mac Lane, "Categories for the Working Mathematician, doi:10.1007/978-1-4757-4721-8
alg-d, 圏論 | 壱大整域
高間俊至，位相的場の理論ノート

圏

公理

圏

圏

始域・終域

𝑛項結合律

反対圏

分裂モノ・エピ射，同型射

同型射のretraction・切断は逆射・逆射の一意性の証明

モノ射・エピ射

分裂モノ射はモノ射

証明

分裂モノかつエピ射は同型射

証明

均衡圏

離散圏

空圏

終圏

圏の演算

積圏

函手

函手

反変函手

反対函手

空函手

終圏への函手

双函手

函手の基本性質

圏の圏

函手の合成

恒等函手

函手による可逆性の保存

証明

埋め込みとか

忠実函手，充満函手，埋め込み

本質的単射・全射

分裂本質的全射

分裂本質的全射と本質的全射の関係

埋め込みと可逆性の関係

証明

部分圏，充満部分圏，replete 部分圏

自然変換

自然変換

函手圏

自然変換の合成

恒等自然変換

空自然変換

対角函手

定函手

自然変換の水平合成

自然変換の水平合成

自然変換と函手の水平合成

函手圏の積圏

函手となることの証明

自然同型と圏同値

自然同型

条件の同値性の証明

反対圏の函手圏

証明

圏同値

条件の同値性の証明

圏同値と埋め込み

証明

双対

随伴

普遍構成と随伴

終対象・始対象・零対象

終対象・始対象・零対象の普遍性

証明

コンマ圏

コンマ圏の普遍性

対象上の(?)コンマ圏

スライス圏

射圏

普遍射

普遍射の普遍性

条件の同値性の証明

随伴

条件の同値性証明

随伴の忠実・充満性と余単位・単位の関係

$𝑛$ 項結合律