マグマ

語源不明

定義

マグマ

マグマ(magma)とは，以下の2つのデータからなる．

集合 $𝑆$
積と呼ばれる $𝑆$ 上の2項演算 $\cdot : 𝑆 \times 𝑆 \to 𝑆$

ちなみに，マグマのことを亜群と呼ぶ文献もあるが，現代ではoidificationと呼ばれる操作で群から作られる構造のことを呼ぶのでやめた方が良い．

$\cdot$ の終域が自分自身（ $𝑆$ ）であることを閉じると呼ぶ．

準同型

マグマ $𝑆, 𝑇$ を与える．

写像 $𝑓 : 𝑆 \to 𝑇$ で以下を満たすものを，（マグマ）準同型と呼ぶ．

$\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝑆, 𝑓 (𝑥 𝑦) = 𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑦)$

積の記号を省略しているためわかりづらいが，準同型は $𝑆$ の元を $𝑇$ の元へ送るだけでなく， $𝑆$ の積を $𝑇$ の積へ送る．

同型

全単射な準同型を同型と呼ぶ．

同型の始域と終域の（組の）ことも同型(isomorphic)と呼ぶ．

マグマの圏

対象を全てのマグマ
射を全てのマグマ準同型

とする圏をマグマの圏(category of magmas)と呼び $𝐌𝐚𝐠$ と表す．

同型定理

マグマの圏 $𝐌𝐚𝐠$ の部分対象と商対象を確認し，同型定理を示す．

部分マグマ

マグマ $𝑆$ を与える．

部分集合 $𝑇 \subset 𝑆$ で， $𝑆$ の積に関してマグマをなす，つまり $𝑇 \cdot 𝑇 \subset 𝑇$ を満たすものを $𝑆$ の部分マグマ(submagma)と呼ぶ．

商マグマを定義する準備をする．

マグマと関係の積

マグマ $𝑆$
$𝑆$ 上の関係 $\sim$
$\sim$ のグラフ $𝐺 \subset 𝑆 \times 𝑆$

を与える．

$𝑥 \in 𝑆$ と $𝐺$ には自然な積は $𝑥 \cdot 𝐺 ≔ {(𝑥 \cdot 𝑎, 𝑥 \cdot 𝑏) \in 𝑆 \times 𝑆 | (𝑎, 𝑏) \in 𝐺}$ が定まる． $𝑥 \in 𝑆$ と $\sim$ の積を，グラフ $𝑥 \cdot 𝐺$ の誘導する関係として定義し，それを $𝑥 \cdot \sim$ と表す．

部分集合 $𝑇 \subset 𝑆$ と $\sim$ の積も同様に定まり， $𝑇 \cdot \sim$ と表す．

マグマと等号の積

マグマ $𝑆$ を与えると，以下が成り立つ．

$(𝑀 \cdot =) \subset =$

安定関係

マグマ $𝑆$ を与える．

$𝑆$ の関係 $\sim$ で，以下を満たすものを， $𝑆$ -（両側）安定関係(stable relation)と呼ぶ．

$𝑆 \cdot \sim, \sim \cdot 𝑆 \subset \sim$

忘れないうちに，閉包を定義しておく．

関係の安定閉包

マグマ $𝑆$
$𝑆$ 上の関係 $\sim$

を与え， $𝑓_{𝑆} (\sim) ≔ 𝑆 \cdot \sim \cup \sim \cdot 𝑆$ と定める．

$⋃_{𝑛 = 0}^{\infty} {𝑓_{𝑆}}^{𝑛} (\sim)$ で定義される関係を $\sim$ の $𝑆$ -安定閉包(stable closure)と呼ぶ．

関係の正規閉包

マグマ $𝑆$
$𝑆$ 上の関係 $\sim$

を与える．

$\sim$ の安定閉包の同値閉包，明示的には $\sim$ の安定閉包を $\sim^{'}$ としたときの $\sim_{ncl} ≔ ⋃_{𝑛 = 0}^{\infty} {(\sim^{'} \cup {\sim^{'}}^{op})}^{\circ 𝑛}$ を正規閉包(normal closure)と呼ぶ．

合同

マグマ $𝑆$ を与える．

$𝑆$ 上の同値関係 $\sim$ が，以下の同値な条件のいずれか（よって全て）を満たすとき， $\sim$ を合同(congruence)（または正規関係(normal relation)）と呼び，しばしば $\equiv$ と表す．

$\sim$ は安定関係
商集合 $𝑆 ∕ \sim$ に関して， $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝑆, [𝑥] \cdot [𝑦] \subset [𝑥 \cdot 𝑦]$

条件の同値性の証明

同値関係の反射律 $\forall 𝑥 \in 𝑆, 𝑥 \sim 𝑥$ に注意すると，どちらの合同の定義でも $\forall 𝑥, 𝑎, 𝑦, 𝑏 \in 𝑆, 𝑥 \sim 𝑎 \cap 𝑦 \sim 𝑏 \Rightarrow 𝑥 \cdot 𝑦 \sim 𝑎 \cdot 𝑦 \sim 𝑎 \cdot 𝑏$ が成り立つ．2つの $\sim$ より安定関係となり， $𝑥 \cdot 𝑦$ と $𝑎 \cdot 𝑏$ が関係があるから $[𝑥] \cdot [𝑦] \subset [𝑥 \cdot 𝑦]$ が成り立つ．

商マグマ

マグマ $𝑆$
$𝑆$ 上の合同 $\equiv$

を与える．

このとき商集合 $𝑆 ∕ \equiv$ 上に自然な積 $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝑆, [𝑥] \cdot [𝑦] ≔ [𝑥 \cdot 𝑦]$ が定まり，マグマをなす．これを商マグマと呼ぶ．

同型定理

マグマ $𝑆, 𝑇$ とマグマ準同型 $𝑓 : 𝑆 \to 𝑇$ に対し，以下が成り立つ．

$\sim : 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑦)$ で定義される関係は合同．
$𝑓$ の像 $𝑓 (𝑆)$ は $𝑇$ の部分マグマ．
商マグマ $𝑓 ∕ \sim$ と $𝑓$ の像 $𝑓 (𝑆)$ は同型．

マグマの圏

反対マグマ

マグマ $𝑆$ を与える．

集合 $𝑆$ に積を $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝑆, 𝑥 \cdot 𝑦 ≔ 𝑦 \cdot_{𝑆} 𝑥$ により定義したものを， $𝑆$ の反対マグマと呼び， $𝑆^{op}$ と表す．

特殊な元

二項演算の特殊な結果に対し，名前がついているのでひたすら紹介．

単位元・単位的マグマ

マグマ $𝑆$ を与える．

$\exists 𝑒 \in 𝑆, \forall 𝑥 \in 𝑆, 𝑒 \cdot 𝑥 = 𝑥$ を満たすとき， $𝑒$ を左単位元(left identy element)と呼ぶ．
$\exists 𝑒 \in 𝑆, \forall 𝑥 \in 𝑆, 𝑥 \cdot 𝑒 = 𝑥$ を満たすとき， $𝑒$ を右単位元(right identy element)と呼ぶ．
左単位的かつ右単位的な元を両側単位元，または単に単位元(identy element)と呼ぶ．
(左/右)単位元を一意的にもつマグマを(左/右)単位的((left/right) unital)と呼ぶ．

単位元の一意性

両側単位元は一意．

証明

任意の左単位元 $𝑒$ と任意の右単位元 $𝑒^{'}$ に対し， $𝑒 = 𝑒 𝑒^{'} = 𝑒^{'}$ となるから，全ての左/右単位元 $𝑒$ は（両側）右単位元．再びこの等式より単位元は全て等しい，つまり一意．

逆元

マグマ $𝑆$ を与える．

$𝑆$ が唯一の左単位元 $𝑒$ を持ち， $𝑥 \in 𝑆$ に対し， $\exists 𝑦 \in 𝑆, 𝑦 \cdot 𝑥 = 𝑒$ を満たすとき， $𝑦$ を $𝑥$ の左逆元(left inverse)と呼ぶ．
$𝑆$ が唯一の右単位元 $𝑒$ を持ち， $𝑥 \in 𝑆$ に対し， $\exists 𝑦 \in 𝑆, 𝑥 \cdot 𝑦 = 𝑒$ を満たすとき， $𝑦$ を $𝑥$ の右逆元(right inverse)と呼ぶ．
$𝑥$ が左逆元と右逆元をもつとき可逆(invertible)と呼ぶ．

結合則

マグマ $𝑆$ を与える．

$\forall 𝑎, 𝑏, 𝑐 \in 𝑆, (𝑎 \cdot 𝑏) \cdot 𝑐 = 𝑎 \cdot (𝑏 \cdot 𝑐)$ を満たすとき， $𝑆$ を結合的(associative)と呼ぶ．

結合的マグマを半群とも呼ぶ．

可換性

マグマ $𝑆$ を与える．

$\exists 𝑥, 𝑦 \in 𝑆, 𝑥 \cdot 𝑦 = 𝑦 \cdot 𝑥$ を満たすとき， $𝑥, 𝑦$ は互いに可換(commutative)と呼ぶ．
$𝑥 \in 𝑆$ が， $\forall 𝑦 \in 𝑆, 𝑥 \cdot 𝑦 = 𝑦 \cdot 𝑥$ を満たすとき， $𝑥$ を $𝑆$ の可換元(commutative element)と呼ぶ．
全ての可換元の集合のことを中心(centre)と呼び， $𝑍 (𝑆)$ と表す．
全ての元が可換，同じことだが中心が自分自身となるマグマを可換マグマと呼ぶ．

冪等

マグマ $𝑆$ を与える．

$𝑥 \in 𝑆$ が $𝑥 \cdot 𝑥 = 𝑥$ を満たすとき， $𝑥$ を冪等(idempotent)と呼ぶ．

冪等性の保存

マグマ $𝑆, 𝑇$
準同型 $𝑓 : 𝑆 \to 𝑇$

を与える．

$𝑥 \in 𝑆$ が冪等元なら， $𝑓 (𝑥) \in 𝑇$ も冪等元．

証明

$𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥 𝑥) = 𝑓 (𝑥)$

消約

マグマ $𝑆$ を与える．

$𝑥 \in 𝑆$ が

$\forall 𝑎, 𝑏 \in 𝑆, 𝑥 \cdot 𝑎 = 𝑥 \cdot 𝑏 \Rightarrow 𝑎 = 𝑏$ を満たすとき，左消約的(left cancellative)と呼ぶ．同様に
$\forall 𝑎, 𝑏 \in 𝑆, 𝑎 \cdot 𝑥 = 𝑏 \cdot 𝑥 \Rightarrow 𝑎 = 𝑏$ を満たすとき，右消約的(right cancellative)と呼ぶ．
左消約的かつ右消約的であれば，単に消約的(cancellative)と呼ぶ．

吸収元

マグマ $𝑆$ を与える．

$𝑥 \in 𝑆$ が $𝑥 \cdot 𝑆 = 𝑥$ を満たすとき， $𝑥$ を左吸収元(left absorbing element)または左零元(left zero)と呼ぶ．
$𝑥 \in 𝑆$ が $𝑆 \cdot 𝑥 = 𝑥$ を満たすとき， $𝑥$ を右吸収元(right absorbing element)または左零元(right zero)と呼ぶ．
左吸収元かつ右吸収元であるとき，単に吸収元(absorbing element)または零元(zero element)と呼ぶ．