群

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定義

群

群(group)とは，以下の4つのデータからなる．

  • 集合𝐺
  • 積と呼ばれる𝐺の2項演算 ⋅ : 𝐺 × 𝐺 → 𝐺
  • 単位元 𝑒 ∈ 𝐺
  • 逆元を取る操作（𝐺上の変換 - − 1 : 𝐺 → 𝐺 , 𝑔 ↦ 𝑔 − 1 ）

これらは以下の条件を満たす．

  • 積は結合的．つまり， ∀ ⁡ 𝑔 , ℎ , 𝑖 ∈ 𝐺 , 𝑔 ⁢ ( ℎ ⁢ 𝑖 ) = ( 𝑔 ⁢ ℎ ) ⁢ 𝑖
  • 𝑒∈𝐺は𝐺の両側単位元．つまり， ∀ ⁡ 𝑔 ∈ 𝐺 , 𝑒 ⁢ 𝑔 = 𝑔 ⁢ 𝑒 = 𝑔
  • ∀ ⁡ 𝑔 ∈ 𝐺 に対し， 𝑔 − 1 は𝑔の両側逆元．つまり， ∃ ⁡ ℎ ∈ 𝐺 , 𝑔 ⁢ ℎ = ℎ ⁢ 𝑔 = 𝑒

準同型

群 𝐺 , 𝐺 ′ を与える．

写像 𝑓 : 𝐺 → 𝐺 ′ が以下を満たすとき，（群）準同型と呼ぶ： ∀ ⁡ 𝑔 , ℎ ∈ 𝐺 , 𝑓 ⁡ ( 𝑔 ⁢ ℎ ) = 𝑓 ⁡ ( 𝑔 ) ⁢ 𝑓 ⁡ ( ℎ )

準同型が暗に示す公理

を与えると，以下を満たす．

  • 𝑓 ⁡ ( 1 𝐺 ) = 1 𝐺 ′
  • ∀ ⁡ 𝑔 ∈ 𝐺 , 𝑓 ⁡ ( 𝑔 − 1 ) = 𝑓 ⁡ ( 𝑔 ) − 1

証明

𝑓 ⁡ ( 𝑔 ) 𝑓 ⁡ ( 𝑔 − 1 ) = 𝑓 ⁡ ( 𝑔 ⁢ 𝑔 − 1 ) = 1 𝐺 ′ を満たすので，逆元の一意性より， 𝑓 ⁡ ( 𝑔 − 1 ) は 𝑓 ⁡ ( 𝑔 ) の逆元． 𝑔 = 1 𝐺 とすると，単位元の逆元は単位元であったから， 𝑓 ⁡ ( 1 𝐺 ) は 𝐺 ′ の単位元．

同型

全単射な準同型を同型と呼ぶ．

群の圏

対象を全ての群，射を全ての準同型とする圏を群の圏と呼び，𝐆𝐫𝐩と表す．

群と対象が単一の圏

対象が一つだけ（𝐴とする）の小圏（つまり射が集合となる圏）を与える．すると全ての射は hom ⁡ ( 𝐴 , 𝐴 ) の元しかない．

群の演算

直積

を与える．

  • { 𝐺𝜆 } 𝜆∈𝛬 の直積(direct product)とは，以下のデータのこと：
    • 集合の直積 ∏ 𝜆∈𝛬 𝐺𝜆 に積を以下で定めた群： ( 𝑔𝜆 ) 𝜆∈𝛬 ⁢ ( 𝑔𝜆′ ) 𝜆∈𝛬 ≔ ( 𝑔𝜆 ⁢ 𝑔𝜆′ ) 𝜆∈𝛬
    • 自然な群準同型の集合 { 𝜋𝜆 : ∏ 𝜆′ ∈ 𝛬 𝐺 𝜆′ → 𝐺 𝜆′ , ( 𝑔 𝜆′ ) 𝜆′ ∈ 𝛬 ↦ 𝑔𝜆 } 𝜆∈𝛬
  • 群 𝐻 を始域とする群準同型の集合 { 𝑓𝜆 : 𝐻 → 𝐺𝜆 } 𝜆∈𝛬 の直積(direct product)とは，以下の群準同型のこと： ∏ 𝜆∈𝛬 𝑓𝜆 : 𝐻 → ∏ 𝜆∈𝛬 𝐺𝜆 , 𝑥 ↦ ( 𝑓𝜆 ⁡ (𝑥) ) 𝜆∈𝛬
直積の普遍性

を与えると，以下を満たす群準同型 𝑓‾ : 𝐻 → ∏ 𝜆∈𝛬 𝐺𝜆 は，直積 ∏ 𝜆∈𝛬 𝑓𝜆 に限られる： ∀ ⁡ 𝜆∈𝛬 , 𝜋𝜆 ∘ 𝑓‾ = 𝑓𝜆

同型定理

同型定理

まずは，群の圏の部分対象，正規対象，商対象を確認し，同型定理を示す．

部分群

群𝐺を与える．

𝐺の部分集合𝐻⊂𝐺が，𝐺の積に関して群になる，つまり以下を満たすとき，𝐻を𝐺の部分群と呼ぶ．

  • 𝐻 ⁢ 𝐻 ⊂ 𝐻
  • 1 ∈ 𝐻
  • ∀ ⁡ 𝑥 ∈ 𝐻 , 𝑥 − 1 ∈ 𝐻
自明な部分群

群𝐺を与える．

𝐺と，単位元のみからなる集合{1}は，𝐺の部分群となる．これらを𝐺の自明な部分群(trivial subgroup)と呼ぶ．

それ以外の部分群を非自明と呼ぶ．

生成系

群𝐺と部分集合𝐻⊂𝐺を与える．

⟨ 𝐻 ⟩ ≔ ⋃ 𝑛 = 0 ∞ 𝐻 𝑛 は𝐻を含む最小の𝐺の部分群となる．これを𝐻で生成される部分群と呼ぶ．

特に， 𝐺 = ⟨ 𝐻 ⟩ を満たすとき，𝐻を𝐺の生成系と呼ぶ．

正規部分群・商群を定義する準備をしよう．

安定関係

群𝐺を与える．

𝐺の関係∼が，安定関係である必要十分条件は， 𝐺 ⋅ ∼ ⋅ 𝐺 ⊂ ∼

安定閉包

群𝐺と𝐺上の関係∼を与える．

∼の安定閉包は，以下に等しい． 𝐺 ⋅ ∼ ⋅ 𝐺

関係の正規閉包

群𝐺と𝐺上の関係∼を与える．

∼の正規閉包 ∼ ncl に関して，以下が成り立つ． ∼ ncl = ⋃ 𝑛 = 0 ∞ ( 𝐺 ⋅ ( ∼ ∪ ∼ op ) ⋅ 𝐺 ) ∘ 𝑛

合同（正規関係）に関しては，マグマに同じ．

（左）単位的マグマと同様，合同に対する単位元の同値類を考えることが有用である．

正規部分群

群𝐺を与える．部分群𝑁で，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすものを正規部分群と呼ぶ．

  • ∀ ⁡ 𝑔 ∈ 𝐺 , 𝑔 ⁢ 𝑁 ⁢ 𝑔 − 1 ⊂ 𝑁
  • ∀ ⁡ 𝑔 ∈ 𝐺 , 𝑔 ⁢ 𝑁 ⁢ 𝑔 − 1 = 𝑁
  • ∀ ⁡ 𝑔 ∈ 𝐺 , 𝑔 ⁢ 𝑁 = 𝑁 ⁢ 𝑔
正規部分群の性質

群𝐺，𝐺の正規部分群𝑁を与えると，以下が成り立つ．

∀ ⁡ 𝑔 , ℎ ∈ 𝐺 , 𝑔 ⁢ ℎ ∈ 𝑁 ⇔ 𝑔 ⁢ 𝑁 ⁢ ℎ = 𝑁

証明

∀ ⁡ 𝑔 , ℎ ∈ 𝐺 , 𝑔 ⁢ 𝑁 ⁢ ℎ = 𝑁 ⁢ 𝑔 ⁢ ℎ より従う．

自明な正規部分群

群𝐺を与える．

𝐺と，単位元のみからなる集合{1}は，𝐺の正規部分群となる．これらを𝐺の自明な正規部分群(trivial normal subgroup)と呼ぶ．

それ以外の正規部分群を非自明と呼ぶ．

群の正規閉包

群𝐺を与える．

部分集合𝐴⊂𝐺に対し，以下を𝐴の正規閉包(normal closure)と呼ぶ．

ncl ⁡ ( 𝐴 ) ≔ ⋃ 𝑔 ∈ 𝐺 𝑔 ⁢ ( 𝐴 ∪ 𝐴 − 1 ) ⁢ 𝑔 − 1

モノイド，合同を与えることと，正規部分群を与えることは等価であるとわかる．

商群

群𝐺を与える．

  • 𝐺の誘導する合同≡に対し， 𝐺 ∕ ≡ は自然な積 ∀ ⁡ 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝐺 , [ 𝑥 ] ⋅ [ 𝑦 ] ≔ [ 𝑥 ⋅ 𝑦 ] に対して群をなす．これを≡による商群と呼ぶ．
  • 正規部分群𝐻に対し，𝐻が誘導する合同∼による商群が，上の意味で定義できる．これを𝐻による商群と呼び， 𝐺 ∕ 𝐻 ≔ 𝐺 ∕ ∼ と表す．
核

群𝐺,𝐻と準同型 𝑓 : 𝐺 → 𝐻 を与える．

ker ⁡ 𝑓 ≔ 𝑓 − 1 ⁡ ( 1 𝐻 ) を𝑓の核と呼ぶ．

同型定理
第一同型定理
群𝐺,𝐻と準同型 𝑓 : 𝐺 → 𝐻 を与えると，以下が成り立つ．
第二同型定理
群𝐺，𝐺の部分群𝐻，𝐺の正規部分群𝑁を与えると，以下が成り立つ．
第三同型定理
群𝐺，正規部分群𝑁,𝑀を与え，𝑀⊂𝑁⊂𝐺を満たすとすると，以下が成り立つ．

可換性

単純性

零群

零群(zero group)（または自明な群(trivial group)）とは，一元集合 ℤ1 ≔ {0} に積を 0+0 ≔ 0 と定めたもので，明らかに群となる．

単純群

零でない群𝐺を与える．

𝐺が非自明な正規部分群を持たないとき，単純(simple)と呼ぶ．

単純群の直和で書ける群を，半単純(semisimple)と呼ぶ．

既約群

群𝐺が非自明な部分群の直和の形で書けないとき，既約(reducible)と呼ぶ．

既約でないとき，可約(irreducible)と呼ぶ．

自己準同型

自由・忘却随伴と群の表示

群の考え方として見通しが良かったり悪かったりするのが，群の表示の方法．

自由群

  • （文字の）集合𝑋
  • 𝑋から作られる集合 𝑋 − 1 ≔ { 𝑥 − 1 | 𝑥 ∈ 𝑋 }
  • 自由モノイド 𝛺 𝑋 ⨿ 𝑋 − 1 ≔ ⋃ 𝑛 = 0 ∞ ( 𝑋 ⨿ 𝑋 − 1 ) 𝑛
  • 𝛺 𝑋 ⨿ 𝑋 − 1 上の集合 𝑅 ≔ { 𝑥 − 1 ⁢ 𝑥 ∈ 𝛺 𝑋 ⨿ 𝑋 − 1 | 𝑥 ∈ 𝑋 } ∪ { 𝑥 ⁢ 𝑥 − 1 ∈ 𝛺 𝑋 ⨿ 𝑋 − 1 | 𝑥 ∈ 𝑋 }

を与える．

（集合）𝑋上の自由群(free group)とは，以下のモノイドの表示のこと．

𝐹𝑋 ≔ ⟨ 𝑋 ⨿ 𝑋 −1 | 𝑅 ⟩

自由群は群

集合𝐴上の自由群は，空文字列∅を単位元， ∀ ⁡ 𝑎 = 𝑎 1 ⁢ ⋯ ⁢ 𝑎 𝑛 ∈ 𝐹 𝐴 , 𝑎 − 1 ≔ ( 𝑎 𝑛 − 1 , … , 𝑎 1 − 1 ) （ただし， ∀ ⁡ 𝑥 ∈ 𝑋 , ( 𝑥 − 1 ) − 1 ≔ 𝑥 ）を逆元とする群をなす．

簡約表示

集合𝐴，𝐴上の自由群 𝐹 𝐴 を与える．

𝑤 ∈ 𝐹 𝐴 は，𝐴の積としての表示を複数持つが，このうち𝐴の積の個数として最も少ないものを，𝑤の簡約表示と呼ぶ．

群の表示

集合𝐴，𝐴上の自由群 𝐹 𝐴 を与える．

以下の（本質的に等価な）いずれかの方法で表される群を，群の表示と呼ぶ．

  • 𝐹 𝐴 上の関係∼に対し，∼の正規閉包 ∼ ncl による商群 ⟨ 𝐴 | ∼ ⟩ ≔ 𝐹 𝐴 ∕ ∼ ncl
  • 部分集合 𝑅 ⊂ 𝐹 𝐴 に対し，𝑅の正規閉包による商群 ⟨ 𝐴 | 𝑅 ⟩ ≔ 𝐹 𝐴 ∕ ncl ⁡ ( 𝑅 )

このとき（群の生成系と同じ意味で）𝑋を生成系(generators)と呼ぶ．また，関係∼や𝑅のことを関係（式）(relation)と呼ぶ．

群の表示の性質

  • 任意の群は，（無限個の）群の表示を持つ．
  • 異なる有限表示を持つ群が等しいかは，（計算可能性の意味で）決定不能．

群の表示はよく現れるが，これにより構造を分析するのは難しい．

その原因の一つとして非自明な関係が現れることがあるためである．例えばConwayの"Murder Weapon"と呼ばれる定理から ⟨ { 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 } | 𝑎 2 = 𝑏 3 = 𝑐 5 = ( 𝑎 ⁢ 𝑏 ⁢ 𝑐 ) − 1 ⟩ は非自明な関係 𝑐 610 = 1 を持つ．

長さ函数の性質

𝑊を群，𝑆をその生成系とすると，長さ函数に関して以下が成り立つ．

  • ∀ ⁡ 𝑤 ∈ 𝑊 , 𝑙 ⁡ ( 𝑤 ) = 𝑙 ⁡ ( 𝑤 − 1 )
  • ∀ ⁡ 𝑤 ∈ 𝑊 , 𝑙 ⁡ ( 𝑤 ) = 1 ⇔ 𝑤 ∈ 𝑆
  • ∀ ⁡ 𝑤 , 𝑤 ′ ∈ 𝑊 , | 𝑙 ⁡ ( 𝑤 ) − 𝑙 ⁡ ( 𝑤 ′ ) | ≤ 𝑙 ⁡ ( 𝑤 ⁢ 𝑤 ′ ) ≤ 𝑙 ⁡ ( 𝑤 ) + 𝑙 ⁡ ( 𝑤 ′ )
  • ∀ ⁡ 𝑤 ∈ 𝑊 , ∀ ⁡ 𝑠 ∈ 𝑆 , | 𝑙 ⁡ ( 𝑤 ) − 1 | ≤ 𝑙 ⁡ ( 𝑤 ⁢ 𝑠 ) ≤ 𝑙 ⁡ ( 𝑤 ) + 1

群の表現

有限群・位相群(?)