モノイド

部分モノイド

モノイド$𝑀$を与える．

$𝑀$の部分集合$𝑁\subset 𝑀$が，$𝑀$の積に関してモノイドになる，つまり以下を満たすとき，$𝑁$を$𝑀$の部分モノイドと呼ぶ．

• $$𝑁𝑁\subset 𝑁$$
• $$1\in 𝑁$$

自明な部分モノイド

モノイド$𝑀$を与える．

$𝑀$と，単位元のみからなる集合$\left\{1\right\}$は，$𝑀$の部分モノイドとなる．これらを$𝑀$の自明な部分モノイド(trivial submonoid)と呼ぶ．

それ以外の部分モノイドを非自明と呼ぶ．

生成系

• モノイド$𝑀$
• 部分集合$𝑁\subset 𝑀$

を与える．

$$⟨𝑁⟩≔\bigcup _{𝑛=0}^{\infty }{𝑁}^{𝑛}$$ は$𝑁$を含む最小の$𝑀$の部分モノイドとなる．これを$𝑁$で生成される部分モノイドと呼ぶ．

特に， $𝑀=⟨𝑁⟩$ を満たすとき，$𝑁$を$𝑀$の生成系と呼ぶ．

正規部分モノイド

モノイド$𝑀$を与える．

部分モノイド$𝑁$で，以下を満たすものを正規部分モノイドと呼ぶ．

• $$\forall 𝑥\in 𝑁,\forall 𝑦\in 𝑀,\{\begin{array}{ccc}𝑥𝑦=1& \Rightarrow & 𝑦\in 𝑁\\ 𝑦𝑥=1& \Rightarrow & 𝑦\in 𝑁\end{array}$$
• $$\forall 𝑥,𝑦\in 𝑀,𝑥𝑁𝑦\cap 𝑁\ne \varnothing \Rightarrow 𝑥𝑁𝑦\subset 𝑁$$

自明な正規部分モノイド

モノイド$𝑀$を与える．

$𝑀$と，単位元のみからなる集合$\left\{1\right\}$は，$𝑀$の正規部分モノイドとなる．これらを$𝑀$の自明な正規部分モノイド(trivial normal submonoid)と呼ぶ．

それ以外の正規部分モノイドを非自明と呼ぶ．

モノイドの正規閉包

モノイド$𝑀$を与える．

また，部分集合$𝐴\subset 𝑀$に対し， $$\begin{array}{ccc}{𝐴}^{\prime }& ≔& 𝐴\cup \left\{𝑦\in 𝑀\right|\exists 𝑥\in 𝐴,𝑦𝑥=1\}\cup \left\{𝑦\in 𝑀\right|\exists 𝑥\in 𝐴,𝑥𝑦=1\}\\ {𝑋}_{𝐴}& ≔& \left\{\left(𝑥,𝑦\right)\in 𝑀\times 𝑀\right|𝑥𝐴𝑦\cap 𝐴\ne \varnothing \}\end{array}$$ $$\begin{array}{ccc}{𝐴}_1& ≔& {⟨𝐴⟩}^{\prime }\\ {𝐴}_{𝑛+1}& ≔& {⟨\bigcup _{\left(𝑥,𝑦\right)\in {𝑋}_{{𝐴}_{𝑛}}}𝑥{𝐴}_{𝑛}𝑦⟩}^{\prime }\end{array}$$ と定める．

$$\mathrm{ncl}\left(𝐴\right)≔\bigcup _{𝑛=1}^{\infty }{𝐴}_{𝑛}$$ を$𝐴$の正規閉包(normal closure)と呼ぶ．

正規部分モノイドが誘導する合同

• モノイド$𝑀$
• 正規部分モノイド$𝑁$

を与える．

$$\left\{1\right\}\times 𝑁\subset 𝑀\times 𝑀$$ をグラフとする関係の正規閉包を，$𝑁$が誘導する合同と呼ぶ．

商モノイド

モノイド$𝑀$を与える．

• $𝑀$の誘導する合同$\equiv$に対し， $$𝑀∕\equiv$$ は自然な積 $$\forall 𝑥,𝑦\in 𝑀,\left[𝑥\right]\cdot \left[𝑦\right]≔\left[𝑥\cdot 𝑦\right]$$ に対してモノイドをなす．これを$\equiv$による商モノイドと呼ぶ．
• 正規部分モノイド$𝑁$に対し，$𝑁$が誘導する合同$\sim$による商モノイドが，上の意味で定義できる．これを$𝑁$による商モノイドと呼び， $$𝑀∕𝑁≔𝑀∕\sim$$ と表す．

核

• モノイド$𝑀,𝑁$
• 準同型 $𝑓:𝑀\to 𝑁$

を与える．

$$\ker 𝑓≔{𝑓}^{-1}\left(1_{𝑁}\right)$$ を$𝑓$の核と呼ぶ．

零モノイド

零モノイド(zero monoid)（または自明なモノイド(trivial monoid)）とは，一元集合 ${\mathbb{Z}}_1≔\left\{0\right\}$ に積を $0+0≔0$ と定めたもので，明らかにモノイドとなる．

単純モノイド

零でないモノイド$𝑀$を与える．

$𝑀$が非自明な正規部分モノイドを持たないとき，単純(simple)と呼ぶ．

単純モノイドの直和で書けるモノイドを，半単純(semisimple)と呼ぶ．

既約モノイド

モノイド$𝑀$が非自明な部分モノイドの直和の形で書けないとき，既約(reducible)と呼ぶ．

既約でないとき，可約(irreducible)と呼ぶ．