代数

定義

代数・余代数と準同型

代数・余代数

可換環 $𝕂$ を与える．

𝕂上の代数（または多元環）(algebra)とは，以下のデータの組のこと：
- $𝕂$ -加群 $𝐴$
- $𝐴$ 上の $𝕂$ -双線型写像 $\cdot : 𝐴 \otimes 𝐴 \to 𝐴$
𝕂上の余代数(coalgebra)とは，以下のデータの組のこと：
- $𝕂$ -加群 $𝐴$
- $𝐴$ 上の $𝕂$ -余双線型写像 $𝛥 : 𝐴 \to 𝐴 \otimes 𝐴$

結合代数・余結合余代数

可換環 $𝕂$ を与える．

$𝕂$ 上の結合代数(associative algebra)とは， $𝕂$ 上の代数 $(𝐴, 𝑚)$ であって，以下を満たすものを言う： $𝑚 \circ (𝑚 \otimes {id}_{𝐴}) = 𝑚 \circ ({id}_{𝐴} \otimes 𝑚)$ 元を明記すれば以下： $\forall 𝑎, 𝑏, 𝑐 \in 𝐴, 𝑎 (𝑏 𝑐) = (𝑎 𝑏) 𝑐$ つまり，以下の図式を満たす：
$𝕂$ 上の余結合余代数(coassociative coalgebra)とは， $𝕂$ 上の余代数 $(𝐴, 𝛥)$ であって，以下を満たすものを言う： $(𝛥 \otimes {id}_{𝐴}) \circ 𝛥 = ({id}_{𝐴} \otimes 𝛥) \circ 𝛥$ つまり，以下の図式を満たす：

反対代数

可換環 $𝕂$
$𝕂$ -加群 $𝐴$ に対する置換 $𝜎 : 𝐴 \otimes 𝐴 \to 𝐴 \otimes 𝐴, \sum_{𝑖} 𝑎_{𝑖} \otimes 𝑏_{𝑖} \mapsto \sum_{𝑖} 𝑏_{𝑖} \otimes 𝑎_{𝑖}$

を与える．

代数 $(𝐴, 𝑚)$ の反対代数(opposite algebra)とは，代数 $(𝐴, 𝑚^{op} ≔ 𝑚 \circ 𝜎)$ のこと．
余代数 $(𝐴, 𝛥)$ の反対余代数(opposite coalgebra)とは，余代数 $(𝐴, 𝛥^{op} ≔ 𝜎 \circ 𝛥)$ のこと．

可換代数・余可換代数

可換環 $𝕂$
$𝕂$ -加群 $𝐴$ に対する置換 $𝜎 : 𝐴 \otimes 𝐴 \to 𝐴 \otimes 𝐴, \sum_{𝑖} 𝑎_{𝑖} \otimes 𝑏_{𝑖} \mapsto \sum_{𝑖} 𝑏_{𝑖} \otimes 𝑎_{𝑖}$

を与える．

$𝕂$ 上の可換代数(commutative algebra)とは，代数 $(𝐴, 𝑚)$ であって，以下を満たすものを言う： $𝑚 = 𝑚 \circ 𝜎$ 元を明記すれば以下： $\forall 𝑎, 𝑏 \in 𝐴, 𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑎$ つまり，以下の図式を満たす：
$𝕂$ 上の余可換余代数(cocommutative coalgebra)とは，余代数 $(𝐴, 𝛥)$ であって，以下を満たすものを言う： $𝛥 = 𝜎 \circ 𝛥$ つまり，以下の図式を満たす：

準同型

可換環 $𝕂$ を与える．

$𝕂$ -代数 𝐴,𝐴′ に対し，
- （ $𝕂$ -代数）準同型(homomorphism)とは，写像 𝑓 : 𝐴→𝐴′ であって以下を満たすもの：
  - $𝑓$ は $𝕂$ -線型写像
  - $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝐴, 𝑓 (𝑥 𝑦) = 𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑦)$
- $𝐴$ から $𝐴^{'}$ への自己準同型全体の集合を $hom (𝐴, 𝐴^{'})$ と表す．
$𝕂$ -余代数 𝐴,𝐴′ に対し，
- （ $𝕂$ -余代数）準同型(homomorphism)とは，写像 𝑓 : 𝐴→𝐴′ であって以下を満たすもの：
  - $𝑓$ は $𝕂$ -線型写像
  - $\forall 𝑥 \in 𝐴, 𝛥_{𝐴^{'}} (𝑓 (𝑥)) = 𝑓 \otimes 𝑓 (𝛥_{𝐴} (𝑥))$
全単射な準同型を同型(isomorphism)と呼ぶ．

結合代数の冪

冪

可換環 $𝕂$
$𝕂$ -結合代数 $𝐴$

を与える．

半群 $𝐴$ としての冪のことを $𝐴$ の冪(exponentiation)と呼ぶ．

冪零

可換環 $𝕂$
$𝕂$ -結合代数 $𝐴$

を与える．

半群 $𝐴$ としての冪零元，つまり， $𝑥 \in 𝐴$ であって，以下を満たすもののことを $𝐴$ の冪零(nilpotent)と呼ぶ： $\exists 𝑛 \in ℕ_{0}, 𝑥^{𝑛} = 0$

直積等

同型定理

部分代数

可換環 $𝕂$ を与える．

代数 $𝐴$ の部分代数(subalgebra)とは，部分 $𝕂$ -加群 $𝑆$ であって，以下を満たすものを言う： $𝑆 \cdot 𝑆 \subseteq 𝑆$
余代数 $(𝐴, 𝛥)$ の部分余代数(subcoalgebra)とは，部分 $𝕂$ -加群 $𝑆$ であって，以下を満たすものを言う： $𝛥 (𝑆) \subseteq 𝑆 \otimes 𝑆$

イデアル・余イデアル

可換環 $𝕂$ を与える．

代数 𝐴 の
- 左側イデアル(left-ideal)とは，部分 $𝕂$ -加群 $𝑆$ であって，以下を満たすものを言う： $𝐴 𝑆 \subseteq 𝑆$
- 右側イデアル(right-ideal)とは，部分 $𝕂$ -加群 $𝑆$ であって，以下を満たすものを言う： $𝑆 𝐴 \subseteq 𝑆$
- （両側）イデアル((two-sided) ideal)とは，左イデアルかつ右イデアルであるものを言う．つまりイデアル $𝑆$ は以下を満たす： $𝐴 𝑆 + 𝑆 𝐴 \subseteq 𝑆$
余代数 $𝐴$ の余イデアル(coideal)とは，部分 $𝕂$ -加群 $𝑆$ であって，以下を満たすものを言う： $𝛥 (𝑆) \subseteq 𝑆 \otimes 𝐴 + 𝐴 \otimes 𝑆$

自己準同型

自己準同型・同型

可換環 $𝕂$
$𝕂$ -代数 $𝐴$

を与える．

$𝐴$ 上の代数準同型のことを，自己準同型(endomorphism)と呼ぶ．自己準同型の集合を $end 𝐴$ と書く．
$𝐴$ 上の代数同型のことを，自己同型(automorphism)と呼ぶ．自己同型の集合を $aut 𝐴$ と書く．

自由代数

可換環 $𝕂$ を与える．

自由代数(free algebra)とは，以下のデータのこと：

自由結合代数

可換環 $𝕂$
$𝕂$ -加群 $𝑉$

を与える．

$𝑉$ の自由結合代数(free associative algebra)とは，以下のデータのこと：

$𝑇 (𝑉) ≔ ⨁_{𝑘 \in ℕ} 𝑉^{\otimes 𝑘}$
$𝕂$ -双線型写像 $𝑉^{\otimes 𝑘} Π 𝑉^{\otimes 𝑘^{'}} \to 𝑉^{\otimes (𝑘 + 𝑘^{'})}, (𝑣, 𝑤) \mapsto 𝑣 \otimes 𝑤$ を $𝑇 (𝑉)$ 上に線型に拡張したもの．

自由結合代数の普遍性

可換環 $𝕂$
$𝕂$ -加群 $𝑉$
$𝑉$ の自由結合代数 $𝑇 (𝑉)$

を与える．

微分代数

可換環 $𝕂$
$𝕂$ -代数 $𝐴$

を与える．

$𝐴$ 上の微分とは，（ $𝕂$ -加群 $𝐴$ としての）線型変換 $𝑑 : 𝐴 \to 𝐴$ であって以下のLeibniz則を満たすもの： $𝑑 (𝑥 𝑦) = 𝑥 𝑑 (𝑦) + 𝑑 (𝑥) 𝑦$
$𝐴$ の微分全体がなす集合を $der 𝐴$ と書き，これはLie代数をなす．

微分代数の性質

可換環 $𝕂$
$𝕂$ -代数 $𝐴$
$𝐴$ の微分代数 $der 𝐴$
$𝐴$ の線型変換の集合 $end 𝐴$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝛿 \in der 𝐴$ が $end 𝐴$ 内にJordan-Chevalley分解 $𝛿 = 𝛿_{s} + 𝛿_{n}$ を持つならば， $𝛿_{s}, 𝛿_{n} \in der 𝐴$

証明

まず， $𝛿_{n}$ は冪零なので， $\exists 𝑛 \in ℕ_{0}$ に対し， ${𝛿_{n}}^{𝑛} = 0$ となる．ここで， $𝕂$ は代数閉包 $\overline{𝕂}$ にしておき， $𝐴$ なども適宜自然に拡大してあるものとする．このとき， $𝛿_{s}$ に関して $𝐴$ は固有空間分解が可能： $𝐴 = ⨁_{𝜆 \in \overline{𝕂}} 𝐴_{𝜆}$ このとき， $\forall 𝜆 \in \overline{𝕂}, {(𝛿 - 𝜆)}^{𝑛} 𝐴_{𝜆} = {(𝛿 - 𝛿_{s})}^{𝑛} 𝐴_{𝜆} = {𝛿_{n}}^{𝑛} 𝐴_{𝜆} = 0$ を満たすから， $𝐴_{𝜆}$ は $𝛿$ の固有値 $𝜆$ の広義固有空間でもある． $\forall 𝜆, 𝜆^{'} \in \overline{𝕂}$ と $\forall 𝑥 \in 𝐴_{𝜆}, \forall 𝑦 \in 𝐴_{𝜆}$ に対し， ${(𝛿 - 𝜆 - 𝜆^{'})}^{2 𝑛 - 1} (𝑥 𝑦) = \sum_{𝑖 = 0}^{2 𝑛 - 1} (\begin{matrix} 2 𝑛 - 1 \\ 𝑖 \end{matrix}) ({(𝛿 - 𝜆)}^{𝑖} 𝑥) ({(𝛿 - 𝜆^{'})}^{2 𝑛 - 𝑖 - 1} 𝑦) = 0$ を満たすから， $𝐴_{𝜆} 𝐴_{𝜆^{'}}$ は $𝛿$ の固有値 $𝜆 + 𝜆^{'}$ の広義固有空間の部分線型空間．よって， $𝐴_{𝜆} 𝐴_{𝜆^{'}} \subseteq 𝐴_{𝜆 + 𝜆^{'}}$ ．ゆえに， $𝛿_{s} (𝑥 𝑦) = (𝜆 + 𝜆^{'}) (𝑥 𝑦) = (𝜆 𝑥) 𝑦 + 𝑥 (𝜆^{'} 𝑦) = (𝛿_{s} 𝑥) 𝑦 + (𝛿_{s} 𝑥) 𝑦$ を満たすから， $𝛿_{s} \in der 𝐴$ ．また， $𝛿_{n} = 𝛿 - 𝛿_{s} \in der 𝐴$ となる．