環上の加群

定義

環上の左加群

環𝑅を与える．

環上の左𝑅加群(left 𝑅-module)とは，以下のデータからなる．

  • 可換群𝑀
  • スカラー乗法と呼ばれる演算 𝑅 × 𝑀 → 𝑀

これらは以下の条件を満たす．

  • ∀ ⁡ 𝑟 ∈ 𝑅 , ∀ ⁡ 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑀 , 𝑟 ⁢ ( 𝑥 + 𝑦 ) = 𝑟 ⁢ 𝑥 + 𝑟 ⁢ 𝑦
  • ∀ ⁡ 𝑟 , 𝑠 ∈ 𝑅 , ∀ ⁡ 𝑥 ∈ 𝑀 , ( 𝑟 + 𝑠 ) ⁢ 𝑥 = 𝑟 ⁢ 𝑥 + 𝑠 ⁢ 𝑥
  • ∀ ⁡ 𝑟 , 𝑠 ∈ 𝑅 , ∀ ⁡ 𝑥 ∈ 𝑀 , ( 𝑟 ⁢ 𝑠 ) ⁢ 𝑥 = 𝑟 ⁢ ( 𝑠 ⁢ 𝑥 )
  • ∀ ⁡ 𝑥 ∈ 𝑀 , 1 𝑅 ⁢ 𝑥 = 𝑥

環上の左加群

環𝑅を与える．

環上の右𝑅加群(right 𝑅-module)とは，以下のデータからなる．

  • 可換群𝑀
  • スカラー乗法と呼ばれる演算 𝑀 × 𝑅 → 𝑀

これらは以下の条件を満たす．

  • ∀ ⁡ 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑀 , ∀ ⁡ 𝑟 ∈ 𝑅 , ( 𝑥 + 𝑦 ) ⁢ 𝑟 = 𝑥 ⁢ 𝑟 + 𝑦 ⁢ 𝑟
  • ∀ ⁡ 𝑥 ∈ 𝑀 , ∀ ⁡ 𝑟 , 𝑠 ∈ 𝑅 , 𝑥 ⁢ ( 𝑟 + 𝑠 ) = 𝑥 ⁢ 𝑟 + 𝑥 ⁢ 𝑠
  • ∀ ⁡ 𝑟 , 𝑠 ∈ 𝑅 , ∀ ⁡ 𝑥 ∈ 𝑀 , 𝑥 ⁢ ( 𝑟 ⁢ 𝑠 ) = ( 𝑥 ⁢ 𝑟 ) ⁢ 𝑠
  • ∀ ⁡ 𝑥 ∈ 𝑀 , 𝑥 ⁢ 1 𝑅 = 𝑥

環𝑅の左𝑅-加群とその反対環 𝑅 op の右 𝑅 op 加群は一対一に対応する．よって以下では基本的に左加群を考える．

特に可換環の反対環は自分自身に同型だから，これらの区別は記法の問題のみになる:

可換環上の加群

𝑅が可換環の場合， 𝑟 ⁢ 𝑥 = 𝑥 ⁢ 𝑟 と対応させることで左R-加群と右R-加群が一対一に対応する．よって，このとき単に𝑅-加群と呼ぶ．

環上の加群準同型

2つの左𝑅-加群𝑀,𝑁に対し，写像 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 が ∀ ⁡ 𝑟 , 𝑠 ∈ 𝑅 , ∀ ⁡ 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑀 , 𝑓 ⁡ ( 𝑟 ⁢ 𝑚 + 𝑠 ⁢ 𝑛 ) = 𝑟 ⁢ 𝑓 ⁡ ( 𝑚 ) + 𝑠 ⁢ 𝑓 ⁡ ( 𝑛 ) を満たすとき，𝑓を（左𝑅-加群）準同型と呼ぶ．

部分左𝑅-加群

部分𝑅-加群と呼ぶ．

基本的な性質

環上の加群の零元・逆元

𝑅を環，𝑀を左𝑅-加群とすると以下が成り立つ． ∀ ⁡ 𝑟 ∈ 𝑅 , ∀ ⁡ 𝑥 ∈ 𝑀 ( − 𝑟 ) ⁢ 𝑥 = − ( 𝑟 ⁢ 𝑥 ) また，𝑅の零元 0 𝑅 と群𝑀の単位元 0 𝑀 に対し，以下が成り立つ． 0 𝑅 ⁢ 𝑥 = 0 𝑀

𝑟 ⁢ 𝑥 + ( − 𝑟 ) ⁢ 𝑥 = ( 𝑟 − 𝑟 ) ⁢ 𝑥 = 0 𝑅 ⁢ 𝑥 0 𝑀 0 𝑀 = 0 𝑅 ⁢ 𝑥 − 0 𝑅 ⁢ 𝑥 = ( 0 𝑅 + 0 𝑅 ) ⁢ 𝑥 − 0 𝑅 ⁢ 𝑥 = 0 𝑅 ⁢ 𝑥 + 0 𝑅 ⁢ 𝑥 − 0 𝑅 ⁢ 𝑥 = 0 𝑅 ⁢ 𝑥 + 0 𝑀 = 0 𝑅 ⁢ 𝑥

単純

非自明な部分加群をもたないとき，単純(simple)または既約(irreducible)と呼ぶ．