環上の加群

定義

環 $𝑅$ を与える．

環上の左 $𝑅$ -加群(left $𝑅$ -module)とは，以下のデータからなる：
- 可換群 $𝑀$
- スカラー乗法と呼ばれる演算 $𝑅 Π 𝑀 \to 𝑀$
これらは以下の条件を満たす．
- $\forall 𝑟 \in 𝑅, \forall 𝑥, 𝑦 \in 𝑀, 𝑟 (𝑥 + 𝑦) = 𝑟 𝑥 + 𝑟 𝑦$
- $\forall 𝑟, 𝑠 \in 𝑅, \forall 𝑥 \in 𝑀, (𝑟 + 𝑠) 𝑥 = 𝑟 𝑥 + 𝑠 𝑥$
- $\forall 𝑟, 𝑠 \in 𝑅, \forall 𝑥 \in 𝑀, (𝑟 𝑠) 𝑥 = 𝑟 (𝑠 𝑥)$
- $\forall 𝑥 \in 𝑀, 1_{𝑅} 𝑥 = 𝑥$
環上の右 $𝑅$ -加群(right $𝑅$ -module)とは，以下のデータからなる：
- 可換群 $𝑀$
- スカラー乗法と呼ばれる演算 $𝑀 Π 𝑅 \to 𝑀$
これらは以下の条件を満たす．
- $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝑀, \forall 𝑟 \in 𝑅, (𝑥 + 𝑦) 𝑟 = 𝑥 𝑟 + 𝑦 𝑟$
- $\forall 𝑥 \in 𝑀, \forall 𝑟, 𝑠 \in 𝑅, 𝑥 (𝑟 + 𝑠) = 𝑥 𝑟 + 𝑥 𝑠$
- $\forall 𝑥 \in 𝑀, \forall 𝑟, 𝑠 \in 𝑅, 𝑥 (𝑟 𝑠) = (𝑥 𝑟) 𝑠$
- $\forall 𝑥 \in 𝑀, 𝑥 1_{𝑅} = 𝑥$
$𝑅$ が可換環の場合， $𝑟 𝑥 \leftrightarrow 𝑥 𝑟$ と対応させることで左 $𝑅$ -加群と右 $𝑅$ -加群が一対一に対応する．このとき左 $𝑅$ -加群のことを単に $𝑅$ -加群と呼ぶ．

環 $𝑅$ の左 $𝑅$ -加群とその反対環 $𝑅^{op}$ の右 $𝑅^{op}$ -加群は一対一に対応する．よって以下では基本的に左加群を考える．

を与える．

写像 $𝑓 : 𝑀 \to 𝑁$ が $\forall 𝑟, 𝑠 \in 𝑅, \forall 𝑥, 𝑦 \in 𝑀, 𝑓 (𝑟 𝑚 + 𝑠 𝑛) = 𝑟 𝑓 (𝑚) + 𝑠 𝑓 (𝑛)$ を満たすとき， $𝑓$ を（左 $𝑅$ -加群）準同型と呼ぶ．

左 $𝑅$ -加群 $𝑀, 𝑁$ の左 $𝑅$ -加群準同型が全単射なとき，これを（左 $𝑅$ -加群）同型と呼ぶ．

左 $𝑅$ -加群同型をもつ左 $𝑅$ -加群 $𝑀, 𝑁$ のことも（左 $𝑅$ -加群）同型呼ぶ．

とする圏を左 $𝑅$ -加群の圏と呼び， $𝑅-𝐌𝐨𝐝$ と書く．

部分 $𝑅$ -加群と呼ぶ．

非自明な部分加群をもたないとき，単純(simple)または既約(irreducible)と呼ぶ．

を与えると，以下が成り立つ：

𝑟 𝑥 + (- 𝑟) 𝑥 = (𝑟 - 𝑟) 𝑥 = 0_{𝑅} 𝑥 0_{𝑀}

0_{𝑀} = 0_{𝑅} 𝑥 - 0_{𝑅} 𝑥 = (0_{𝑅} + 0_{𝑅}) 𝑥 - 0_{𝑅} 𝑥 = 0_{𝑅} 𝑥 + 0_{𝑅} 𝑥 - 0_{𝑅} 𝑥 = 0_{𝑅} 𝑥 + 0_{𝑀} = 0_{𝑅} 𝑥