環

定義

環(ring)とは，以下の3つのデータからなる．

これらは以下の条件を満たす．

$𝑅$ は $+$ を積とする可換群．
$𝑅$ は $\cdot$ を積とするモノイド．
$\forall 𝑎, 𝑏, 𝑐 \in 𝑅, {\begin{matrix} 𝑎 \cdot (𝑏 + 𝑐) & = & 𝑎 \cdot 𝑏 + 𝑎 \cdot 𝑐 \\ (𝑎 + 𝑏) \cdot 𝑐 & = & 𝑎 \cdot 𝑐 + 𝑏 \cdot 𝑐 \end{matrix}$

環 $𝑅, 𝑅^{'}$ を与える．

写像 $𝑓 : 𝑅 \to 𝑅^{'}$ が以下を満たすとき，（環）準同型((ring) homomorphism)と呼ぶ．

全単射な環準同型を同型と呼ぶ．

環 $𝑅$ を与える．

部分集合 $𝑆 \subset 𝑅$ が $𝑅$ と同じ積で環となる，つまり以下を満たすとき，部分環(subring)と呼ぶ．

環 $𝑅$ と，和 $+$ に関する $𝑅$ の部分（可換）群 $𝐼$ を与える．つまり， $𝐼$ は以下を満たす．

上に加えて，以下を満たすものを左イデアル(left ideal)と呼ぶ． $𝑅 \cdot 𝐼 \subset 𝐼$

同様に，以下を満たすものを右イデアル(right ideal)と呼ぶ． $𝐼 \cdot 𝑅 \subset 𝐼$

左イデアルかつ右イデアルであるものを（両側）イデアル((two–sided) ideal)と呼ぶ．

イデアルは環の正規対象であり，これが導く同値関係は $𝑎 \sim_{𝐼} 𝑏 ≔ 𝑏 - 𝑎 \in 𝐼$

環 $𝑅$ とイデアル $𝐼$ を与える．

商可換群 $𝑅 ∕ 𝐼$ は，自然な積 $(𝑎 + 𝐼) (𝑏 + 𝐼) = 𝑎 𝑏 + 𝐼$ に関して環をなす．これを商環(quotient ring)と呼ぶ．

環 $𝑅, 𝑆$ と環準同型 $𝑓 : 𝑅 \to 𝑆$ を与えると，以下が成り立つ．