可換環

可換環

可換環(commutative ring)とは以下のデータからなる．

• 集合$𝑅$
• 和と呼ばれる$𝑅$上の2項演算 $+:𝑅\times 𝑅\to 𝑅$
• 積と呼ばれる$𝑅$上の2項演算 $\cdot :𝑅\times 𝑅\to 𝑅$

これらは以下の条件を満たす．

• $𝑅$は$+$を積とする可換群．
• $𝑅$は$\cdot$を積とする可換モノイド．
• $$\forall 𝑎,𝑏,𝑐\in 𝑅,\{\begin{array}{ccc}𝑎\cdot \left(𝑏+𝑐\right)& =& 𝑎\cdot 𝑏+𝑎\cdot 𝑐\\ (𝑎+𝑏)\cdot 𝑐& =& 𝑎\cdot 𝑐+𝑏\cdot 𝑐\end{array}$$