線型代数

定義

線型空間

体 $𝕂$ を与える．

$𝕂$ 上の線型空間( $𝕂$ -linear space)（または $𝕂$ -ベクトル空間( $𝕂$ -vector space)）とは，環上の左 $𝕂$ -加群のこと．つまり以下のデータからなる：

可換群 $𝑉$
スカラー乗法と呼ばれる演算 $𝕂 Π 𝑉 \to 𝑉$

これらは以下を満たす：

$\forall 𝑎 \in 𝕂, \forall 𝑣, 𝑤 \in 𝑉, 𝑎 (𝑣 + 𝑦) = 𝑎 𝑣 + 𝑎 𝑦$
$\forall 𝑎, 𝑏 \in 𝕂, \forall 𝑣 \in 𝑉, (𝑎 + 𝑏) 𝑣 = 𝑎 𝑣 + 𝑏 𝑣$
$\forall 𝑎, 𝑏 \in 𝕂, \forall 𝑣 \in 𝑉, (𝑎 𝑏) 𝑣 = 𝑎 (𝑏 𝑣)$
$\forall 𝑣 \in 𝑉, 1_{𝕂} 𝑣 = 𝑣$

線型写像

体 $𝕂$
$𝕂$ -線型空間 $𝑉, 𝑊$

を与える．

写像 $𝑓 : 𝑉 \to 𝑊$ が以下を満たすとき， $𝑓$ を（ $𝕂$ -）線型写像( $𝕂$ -linear map)と呼ぶ： $\forall 𝑎, 𝑏 \in 𝕂, \forall 𝑣, 𝑣^{'} \in 𝑉, 𝑓 (𝑎 𝑣 + 𝑏 𝑣^{'}) = 𝑎 𝑓 (𝑣) + 𝑏 𝑓 (𝑣^{'})$

線型同型

全単射な線型写像を線型同型(linear isomorphism)と呼ぶ．
線型同型の始域と終域のことも互いに同型(linear isomorphic)呼ぶ．

線型空間の圏

体 $𝕂$ を与える．

全ての $𝕂$ -線型空間の集まりを対象
全ての $𝕂$ -線型写像の集まりを射

とする圏を $𝕂$ -線型空間の圏(the category of $𝕂$ -linear spaces)と呼び， $𝕂-𝐕𝐞𝐜𝐭$ と書く．

線型独立

体 $𝕂$
$𝕂$ -線型空間 $𝑉$
ベクトルの集合 $𝑆 \subseteq 𝑉$

を与える．

$𝑆$ が線型独立(linear independent)であるとは，任意の $𝑆$ の有限部分集合 ${𝑣_{1}, \dots, 𝑣_{𝑛}} \subseteq 𝑆$ に対し，以下を満たすことを言う： $\forall 𝑎_{1}, \dots, 𝑎_{𝑛} \in 𝕂, (𝑎_{1} 𝑣_{1} + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝑣_{𝑛} = 0 \Rightarrow 𝑎_{1} = \dots = 𝑎_{𝑛} = 0)$
$𝑆$ が線型従属(linear dependent)であるとは，線型独立でないことを言う．

線型空間の演算

直積

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
線型空間の集合 ${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$

与える．

{ 𝑉𝜆 } 𝜆∈𝛬 の直積(direct poduct)とは，以下のデータのこと：
- 可換群の直積 $\prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝑉_{𝜆}$ に，スカラー乗法を以下で定義することで得られる線型空間： $𝑎 {(𝑣_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬} ≔ {(𝑎 𝑣_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬}$
- 線型写像 $𝜋_{𝜆} : \prod_{𝜆^{'} \in 𝛬} 𝑉_{𝜆^{'}} \to 𝑉_{𝜆}, {(𝑣_{𝜆^{'}})}_{𝜆^{'} \in 𝛬} \mapsto 𝑣_{𝜆}$
線型空間 $𝑊$ を始域とする線型写像の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝑊 \to 𝑉_{𝜆}}$ の直積(direct poduct)とは，線型写像 $\prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝑓_{𝜆} : 𝑊 \to \prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝑉_{𝜆}, 𝑣 \mapsto {(𝑓_{𝜆} (𝑣))}_{𝜆 \in 𝛬}$ のこと．

直積の普遍性

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上の線型空間の集合 ${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$
${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ の直積 $(\prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝑉_{𝜆}, {𝜋_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$
線型空間 $𝑊$ を始域とする線型写像の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝑊 \to 𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与えると，以下を満たす線型写像 $𝑓 : 𝑊 \to \prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝑉_{𝜆}$ は ${𝑓_{𝜆} : 𝑊 \to 𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ の直積 $\prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝑓_{𝜆}$ に限られる： $\forall 𝜆 \in 𝛬, 𝜋_{𝜆} \circ 𝑓 = 𝑓_{𝜆}$

直和

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
線型空間の集合 ${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$

与える．

{ 𝑉𝜆 } 𝜆∈𝛬 の直和(direct sum)とは，以下のデータのこと：
- 直積 $\prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝑉_{𝜆}$ の部分集合 $\underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑉_{𝜆} ≔ {{(𝑣_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬} \in \prod_{𝜆 \in 𝛬} 𝑉_{𝜆} | card ({𝜆 \in 𝛬 | 𝑣_{𝜆} \neq 0}) < \infty}$ に直積と同じ可換群の和とスカラー乗法を定義することで得られる線型空間
- 線型写像 $𝜄_{𝜆} : 𝑉_{𝜆} \to \underset{𝜆^{'} \in 𝛬}{∐} 𝑉_{𝜆^{'}}, 𝑣 \mapsto {(𝑣_{𝜆^{'}} ≔ {\begin{matrix} 𝑣 & 𝜆^{'} = 𝜆 \\ 0 & 𝜆^{'} \neq 𝜆 \end{matrix})}_{𝜆^{'} \in 𝛬}$
線型空間 $𝑊$ を終域とする線型写像の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝑉_{𝜆} \to 𝑊}$ の直和(direct sum)とは，線型写像 $\underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑓_{𝜆} : \underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑉_{𝜆} \to 𝑊, {(𝑣_{𝜆})}_{𝜆 \in 𝛬} \mapsto \sum_{𝜆 \in 𝛬} 𝑓_{𝜆} (𝑣_{𝜆})$ のこと．

直和の普遍性

体 $𝕂$
集合 $𝛬$
$𝕂$ 上の線型空間の集合 ${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$
${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ の直和 $(\underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑉_{𝜆}, {𝜄_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$
線型空間 $𝑊$ を終域とする線型写像の集合 ${𝑓_{𝜆} : 𝑉_{𝜆} \to 𝑊}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与えると，以下を満たす線型写像 $𝑓 : \underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑉_{𝜆} \to 𝑊$ は ${𝑓_{𝜆} : 𝑉_{𝜆} \to 𝑊}_{𝜆 \in 𝛬}$ の直和 $\underset{𝜆 \in 𝛬}{∐} 𝑓_{𝜆}$ に限られる： $\forall 𝜆 \in 𝛬, 𝑓 \circ 𝜄_{𝜆} = 𝑓_{𝜆}$

可換群の場合と同様，添字集合 $𝛬$ が有限なら，直積と直和は同型である：

双積

体 $𝕂$
有限集合 $𝛬$
線型空間の集合 ${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$

与える．

${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ の双積(biproduct)とは，以下のデータのこと：

直積線型空間（同じことだが直和線型空間） $⨁_{𝜆 \in 𝛬} 𝑉_{𝜆}$
線型写像の集合 $𝜋_{𝜆} : ⨁_{𝜆^{'} \in 𝛬} 𝑉_{𝜆^{'}} \to 𝑉_{𝜆}, {(𝑣_{𝜆^{'}})}_{𝜆^{'} \in 𝛬} \mapsto 𝑣_{𝜆}$
線型写像の集合 $𝜄_{𝜆} : 𝑉_{𝜆} \to ⨁_{𝜆^{'} \in 𝛬} 𝑉_{𝜆^{'}}, 𝑣 \mapsto {(𝑣_{𝜆^{'}} ≔ {\begin{matrix} 𝑣 & 𝜆^{'} = 𝜆 \\ 0 & 𝜆^{'} \neq 𝜆 \end{matrix})}_{𝜆^{'} \in 𝛬}$

双積の基本性質

体 $𝕂$
有限集合 $𝛬$
線型空間の集合 ${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$
${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ の双積 $(⨁_{𝜆 \in 𝛬} 𝑉_{𝜆}, {𝜋_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}, {𝜄_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬})$

与えると，以下が成り立つ： $\forall 𝜆 \in 𝛬, 𝜋_{𝜆} \circ 𝜄_{𝜆} = {id}_{𝑉_{𝜆}}$

テンソル積

体 $𝕂$
有限集合 $𝛬$
線型空間の有限集合 ${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$

を与える．

${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ のテンソル積(tensor product)とは，以下のデータの組のこと：

テンソル積の普遍性

体 $𝕂$
有限集合 $𝛬$
線型空間の有限集合 ${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$
${𝑉_{𝜆}}_{𝜆 \in 𝛬}$ のテンソル積 $(⨂_{𝜆 \in 𝛬} 𝑉_{𝜆}, 𝜑)$
線型空間 $𝑊$ を終域とする写像 $𝑓 : ⨂_{𝜆 \in 𝛬} 𝑉_{𝜆} \to 𝑊$ であって， $\forall 𝜆 \in 𝛬$ と各 $𝜆^{'} \in 𝛬 ∖ {𝜆}$ に対する $𝑣_{𝜆^{'}} \in 𝑉_{𝜆^{'}}$ に対し， $𝑓 (𝑣_{𝜆^{'}}, -) : 𝑉_{𝜆} \to 𝑊$ が線型写像となるもの：

を与えると，．

双線型写像

体 $𝕂$
有限集合 $𝛬$
線型空間 $𝑉_{0}, 𝑉_{1}, 𝑊$
双積線型空間 $𝑉_{0} \oplus 𝑉_{1}$
テンソル積 $(𝑉_{0} \otimes 𝑉_{1}, 𝜑)$

を与える．

𝑉0,𝑉1 から 𝑊 への双線型写像(bilinear map)とは，本質的に等価な以下のいずれかのデータのことを指す：
- 写像 𝑓 : 𝑉0 ⊕ 𝑉1 → 𝑊 であって，以下を満たすもののこと：
  - $\forall 𝑣 \in 𝑉_{1}$ に対し， $𝑓 (-, 𝑣) : 𝑉_{0} \to 𝑊$ は線型写像．
  - $\forall 𝑣 \in 𝑉_{0}$ に対し， $𝑓 (𝑣, -) : 𝑉_{1} \to 𝑊$ は線型写像．
- $𝑉_{0} \otimes 𝑉_{1}$ から $𝑊$ への線型写像 $𝑔$
テンソル積の普遍性より，これらは 𝑓 = 𝜑∘𝑔 を満たすように一対一に対応する．
$𝑉_{0}, 𝑉_{1}$ から $𝑊$ への余双線型写像()とは， $𝑊$ から $𝑉_{0} \otimes 𝑉_{1}$ への線型写像のこと．

同型定理

部分線型空間

体 $𝕂$
$𝕂$ -線型空間 $𝑉$

を与える．

$𝑊 \subseteq 𝑉$ が部分線型空間(linear subspace)であるとは，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすことを言う：

$𝑉$ と同じ演算で線型空間となる
$𝑊 + 𝑊, 𝕂 𝑊 \subseteq 𝑊$

生成系・基底

体 $𝕂$
$𝕂$ -線型空間 $𝑉$
ベクトルの集合 $𝑆 \subseteq 𝑉$

を与える．

$𝕂 𝑆 + 𝕂 𝑆$ は $𝑆$ を含む最小の部分線型空間となる．これを $𝑆$ で生成される部分線型空間()と呼ぶ．
$𝑆$ で生成される部分線型空間が $𝑉$ に等しいとき，これを $𝑉$ の生成系(generator)と呼ぶ．
線型独立な生成系を基底(basis)と呼ぶ．

基底の存在

以下は同値：

選択公理
ある体 $𝕂$ に対し，任意の $𝕂$ -線型空間は基底を持つ．
ある体 $𝕂$ に対し，任意の $𝕂$ -線型空間は整列可能な基底が存在する．
任意の線型空間は基底を持つ．

補空間

体 $𝕂$
$𝕂$ -線型空間 $𝑉$

を与える．

$𝑉$ の部分線型空間 $𝑊$ の補空間(complementary space)とは， $𝑉$ の部分線型空間 $𝑊^{c}$ であって， $𝑊 + 𝑊^{c}$ が直和であり，それが $𝑉$ に等しいものを言う．

補空間の存在

以下は同値：

選択公理
ある体 $𝕂$ と，任意の $𝕂$ -線型空間 $𝑉$ に対し，任意の $𝑉$ の部分線型空間は補空間を持つ．
ある体 $𝕂$ と，任意の $𝑉$ の基底付き $𝕂$ -線型空間 $𝑉$ に対し，任意の $𝑉$ の部分線型空間は補空間を持つ．

線型変換

体 $𝕂$
$𝕂$ -線型空間 $𝑉$

を与える．

写像 $𝑓 : 𝑉 \to 𝑉$ が $𝑉$ 上の（ $𝕂$ -）線型変換(( $𝕂$ -)linear transformation on $𝑉$ )（または $𝑉$ 上の自己（線型）準同型(endmorhpism)）であるとは， $𝑉$ から $𝑉$ への線型写像であることを言う．
$𝑉$ 上の線型変換の集合を $end (𝑉)$ と書く．

線型変換の集合は単位的結合代数

線型変換の集合は恒等変換を単位元とする単位的結合代数

可逆変換

体 $𝕂$
$𝕂$ -線型空間 $𝑉$

を与える．

線型変換 $𝑓$ が可逆(invertible)であるとは，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすことを言う：

$𝑓$ が全単射．
$𝑓$ が単射．
$𝑓$ が分裂全射．
基底の像は基底．

不変部分空間

体 $𝕂$
$𝕂$ -線型空間 $𝑉$
線型変換 $𝑓 \in end (𝑉)$

を与える．

$𝑉$ の $𝕂$ -部分線型空間 $𝑊 \subseteq 𝑉$ が $𝑓$ の不変部分空間(invariant subspace)であるとは，以下を満たすことを言う： $𝑓 (𝑊) \subseteq 𝑊$

固有ベクトル

体 $𝕂$
$𝕂$ -線型空間 $𝑉$
線型変換 $𝑓 \in end 𝑉$

を与える．

$𝑣 \in 𝑉$ が $𝑓$ の固有値(eigenvalue) $𝜆 \in 𝕂$ の固有ベクトル(eigenvector)であるとは，以下を満たすことを言う： $𝑓 (𝑣) = 𝜆 𝑣$
$𝑓$ の固有値 $𝜆 \in 𝕂$ の固有ベクトルの集合を，固有空間(eigenvector)と呼ぶ： $𝑉_{𝜆} ≔ {𝑣 \in 𝑉 | 𝑓 (𝑣) = 𝜆 𝑣}$
$𝑓$ が対角化可能(diagonalizable)であるとは， $𝑉$ が全ての固有空間の直和が $𝑉$ に等しいことを言う： $𝑉 = \sum_{𝜆 \in 𝕂} 𝑉_{𝜆}$

半単純

体 $𝕂$
$𝕂$ -線型空間 $𝑉$

を与える．

線型変換 $𝑓 \in end 𝑉$ が半単純(seimisimple)であるとは，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすことを言う：

任意の $𝑓$ -不変部分空間に対し， $𝑓$ -不変な補空間が存在する．
最小多項式が既約多項式の積で書ける．
$𝕂$ の代数閉包上対角化可能．

冪零

体 $𝕂$
$𝕂$ -線型空間 $𝑉$

を与える．

線型変換 $𝑓 \in end (𝑉)$ が冪零(nilpotent)であるとは，それが（単位的）結合代数としての冪零元であることを言う．つまり，以下を満たす： $\exists 𝑛 \in ℕ_{0}, 𝑓^{𝑛} (𝑉) = 0_{𝑉}$

冪零性の基本性質

体 $𝕂$
$𝕂$ -線型空間 $𝑉$
冪零変換 $𝑓 \in end 𝑉$

を与えると，以下が成り立つ：

$𝑓$ の取り得る固有値は $0$ のみ．
$𝑓$ は可逆でない．
$\forall 𝑡 \in 𝕂$ に対し， $id - 𝑡 𝑓$ は可逆で，その逆変換は $\sum_{𝑗 = 0}^{\infty} {(𝑡 𝑓)}^{𝑗}$ ．

Jordan-Chevalley分解

体 $𝕂$
$𝕂$ -線型空間 $𝑉$
線型変換 $𝑓 \in end (𝑉)$

を与える．

$𝑓$ のJordan-Chevalley分解(Jordan–Chevalley decomposition)とは，以下のデータからなる：

半単純な線型変換 $𝑓_{s} \in end 𝑉$
冪零な線型変換 $𝑓_{s} \in end 𝑉$

これらは以下を満たす：

$𝑓 = 𝑓_{s} + 𝑓_{n}$
$𝑓_{s} 𝑓_{n} = 𝑓_{n} 𝑓_{s}$

有限次元線型空間

自己準同型

旗

体 $𝕂$
有限次元 $𝕂$ -線型空間 $𝑉$

を与える．

$𝑉$ の旗(flag)とは，部分線型空間の増大列 $𝑉_{0} ≔ {0} \subset 𝑉_{1} \subset \dots \subset 𝑉_{\dim 𝑉} ≔ 𝑉$ であって，以下を満たすもののこと： $\forall 𝑗 \in ℕ_{0}^{\leq \dim 𝑉}, \dim 𝑉_{𝑗} = 𝑗$
線型変換 $𝑥 \in end 𝑉$ が旗を安定化する(stabilize)とは，以下を満たすことを言う： $\forall 𝑗 \in ℕ_{0}^{\leq \dim 𝑉}, 𝑥 (𝑉_{𝑗}) \subseteq 𝑉_{𝑗}$

有限次元におけるJordan-Chevalley分解の存在条件

体 $𝕂$
有限次元 $𝕂$ -線型空間 $𝑉$

を与えると，以下が成り立つ：

線型変換 $𝑓 \in end 𝑉$ がJordan-Chevalley分解を持つ必要十分条件は $𝑓$ の最小多項式が分離的であること．
このとき，Jordan-Chevalley分解は一意．
特に $𝕂$ が完全体のとき，任意の線型変換はJordan-Chevalley分解を持つ．

初学時のメモ

内積空間
ノルム空間
双対空間
基底の取替
線型写像・変換の行列表示
線型写像のrank
正規直交系
Schmidtの直交化法
不変部分空間
補空間・直交補空間
計量同型
基底の取替とユニタリ，直交行列
随伴変換
正規変換
射影
スペクトル分解
Hermite変換
実計量空間・対称変換
二次形式
二次形式の符号
Lagrangeの方法
二次曲面・曲線
x-行列（多項式行列? 一般的な呼び名あるのでは?）
標準系

参考文献

James Edward Humphreys, "Introduction to Lie Algebras and Representation Theory", doi:10.1007/978-1-4612-6398-2
高間俊至，奥山竜司，過去に書いた表言論のノート