線型代数

直積

• 体$𝕂$
• 集合$𝛬$
• 線型空間の集合 ${\left\{{𝑉}_{𝜆}\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$

与える．

• ${\left\{{𝑉}_{𝜆}\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$ の直積(direct poduct)とは，以下のデータのこと：
  • 可換群の直積 $\prod _{𝜆\in 𝛬}{𝑉}_{𝜆}$ に，スカラー乗法を以下で定義することで得られる線型空間： $$𝑎{\left({𝑣}_{𝜆}\right)}_{𝜆\in 𝛬}≔{\left(𝑎{𝑣}_{𝜆}\right)}_{𝜆\in 𝛬}$$
  • 線型写像 $${𝜋}_{𝜆}:\prod _{{𝜆}^{\prime }\in 𝛬}{𝑉}_{{𝜆}^{\prime }}\to {𝑉}_{𝜆},{\left({𝑣}_{{𝜆}^{\prime }}\right)}_{{𝜆}^{\prime }\in 𝛬}\mapsto {𝑣}_{𝜆}$$
• 線型空間 $𝑊$ を始域とする線型写像の集合 ${\left\{{𝑓}_{𝜆}:𝑊\to {𝑉}_{𝜆}\right\}}_{}$ の直積(direct poduct)とは，線型写像 $$\prod _{𝜆\in 𝛬}{𝑓}_{𝜆}:𝑊\to \prod _{𝜆\in 𝛬}{𝑉}_{𝜆},𝑣\mapsto {\left({𝑓}_{𝜆}\left(𝑣\right)\right)}_{𝜆\in 𝛬}$$ のこと．

直和

• 体$𝕂$
• 集合$𝛬$
• 線型空間の集合 ${\left\{{𝑉}_{𝜆}\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$

与える．

• ${\left\{{𝑉}_{𝜆}\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$ の直和(direct sum)とは，以下のデータのこと：
  • 直積 $\prod _{𝜆\in 𝛬}{𝑉}_{𝜆}$ の部分集合 $$\coprod _{𝜆\in 𝛬}{𝑉}_{𝜆}≔\left\{{\left({𝑣}_{𝜆}\right)}_{𝜆\in 𝛬}\in \prod _{𝜆\in 𝛬}{𝑉}_{𝜆}|\mathrm{card}\left(\left\{𝜆\in 𝛬|{𝑣}_{𝜆}\ne 0\right\}\right)<\infty \right\}$$ に直積と同じ可換群の和とスカラー乗法を定義することで得られる線型空間
  • 線型写像 $${𝜄}_{𝜆}:{𝑉}_{𝜆}\to \coprod _{{𝜆}^{\prime }\in 𝛬}{𝑉}_{{𝜆}^{\prime }},𝑣\mapsto {\left({𝑣}_{{𝜆}^{\prime }}≔\{\begin{array}{cc}𝑣& {𝜆}^{\prime }=𝜆\\ 0& {𝜆}^{\prime }\ne 𝜆\end{array}\right)}_{{𝜆}^{\prime }\in 𝛬}$$
• 線型空間 $𝑊$ を終域とする線型写像の集合 ${\left\{{𝑓}_{𝜆}:{𝑉}_{𝜆}\to 𝑊\right\}}_{}$ の直和(direct sum)とは，線型写像 $$\coprod _{𝜆\in 𝛬}{𝑓}_{𝜆}:\coprod _{𝜆\in 𝛬}{𝑉}_{𝜆}\to 𝑊,{\left({𝑣}_{𝜆}\right)}_{𝜆\in 𝛬}\mapsto \sum _{𝜆\in 𝛬}{𝑓}_{𝜆}\left({𝑣}_{𝜆}\right)$$ のこと．

双積

• 体$𝕂$
• 有限集合$𝛬$
• 線型空間の集合 ${\left\{{𝑉}_{𝜆}\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$

与える．

${\left\{{𝑉}_{𝜆}\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$ の双積(biproduct)とは，以下のデータのこと：

• 直積線型空間（同じことだが直和線型空間） $\underset{𝜆\in 𝛬}{⨁}{𝑉}_{𝜆}$
• 線型写像の集合 $${𝜋}_{𝜆}:\underset{{𝜆}^{\prime }\in 𝛬}{⨁}{𝑉}_{{𝜆}^{\prime }}\to {𝑉}_{𝜆},{\left({𝑣}_{{𝜆}^{\prime }}\right)}_{{𝜆}^{\prime }\in 𝛬}\mapsto {𝑣}_{𝜆}$$
• 線型写像の集合 $${𝜄}_{𝜆}:{𝑉}_{𝜆}\to \underset{{𝜆}^{\prime }\in 𝛬}{⨁}{𝑉}_{{𝜆}^{\prime }},𝑣\mapsto {\left({𝑣}_{{𝜆}^{\prime }}≔\{\begin{array}{cc}𝑣& {𝜆}^{\prime }=𝜆\\ 0& {𝜆}^{\prime }\ne 𝜆\end{array}\right)}_{{𝜆}^{\prime }\in 𝛬}$$

部分線型空間

• 体$𝕂$
• $𝕂$-線型空間$𝑉$

を与える．

$𝑊\subset 𝑉$が部分線型空間(linear subspace)であるとは，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすことを言う：

• $𝑉$と同じ演算で線型空間となる
• $𝑊+𝑊,𝕂𝑊\subset 𝑊$

生成系・基底

• 体$𝕂$
• $𝕂$-線型空間$𝑉$
• ベクトルの集合 $𝑆\subset 𝑉$

を与える．

• $𝕂𝑆+𝕂𝑆$ は$𝑆$を含む最小の部分線型空間となる．これを$𝑆$で生成される部分線型空間()と呼ぶ．
• $𝑆$で生成される部分線型空間が$𝑉$に等しいとき，これを$𝑉$の生成系(generator)と呼ぶ．
• 線型独立な生成系を基底(basis)と呼ぶ．

線型変換

• 体$𝕂$
• $𝕂$-線型空間$𝑉$

を与える．

• 写像 $𝑓:𝑉\to 𝑉$ が $𝑉$ 上の（$𝕂$-）線型変換(($𝕂$-)linear transformation on $𝑉$)（または$𝑉$上の自己（線型）準同型(endmorhpism)）であるとは，$𝑉$から$𝑉$への線型写像であることを言う．
• $𝑉$上の線型変換の集合を $\mathrm{end}\left(𝑉\right)$ と書く．

可逆変換

• 体$𝕂$
• $𝕂$-線型空間$𝑉$

を与える．

線型変換 $𝑓$ が可逆(invertible)であるとは，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすことを言う：

• $𝑓$が全単射．
• $𝑓$が単射．
• $𝑓$が分裂全射．
• 基底の像は基底．

不変部分空間

• 体$𝕂$
• $𝕂$-線型空間$𝑉$
• 線型変換 $𝑓\in \mathrm{end}\left(𝑉\right)$

を与える．

$𝑉$の$𝕂$-線型空間$𝑊\subset 𝑉$ が $𝑓$ の不変部分空間(invariant subspace)であるとは，以下を満たすことを言う： $$𝑓\left(𝑊\right)\subset 𝑊$$

旗

• 体$𝕂$
• 有限次元$𝕂$-線型空間$𝑉$

を与える．

• $𝑉$の旗(flag)とは，部分線型空間の増大列 $${𝑉}_0≔\left\{0\right\}\subset {𝑉}_1\subset \cdots \subset {𝑉}_{\dim 𝑉}≔𝑉$$ であって，以下を満たすもののこと： $$\forall 𝑗\in {\mathbb{N}}_0^{\le \dim 𝑉},\dim {𝑉}_{𝑗}=𝑗$$
• 線型変換 $𝑥\in \mathrm{end}𝑉$ が旗を安定化する(stabilize)とは，以下を満たすことを言う： $$\forall 𝑗\in {\mathbb{N}}_0^{\le \dim 𝑉},𝑥\left({𝑉}_{𝑗}\right)\subset {𝑉}_{𝑗}$$