線型代数

定義

線型空間

体 $𝕂$ を与える．

$𝕂$ 上の線型空間( $𝕂$ -linear space)とは，環上の左 $𝕂$ -加群のことである．つまり以下のデータからなる．

可換群 $𝑉$
スカラー乗法と呼ばれる演算 $𝕂 \times 𝑉 \to 𝑉$

これらは以下の条件を満たす．

$\forall 𝑎 \in 𝕂, \forall 𝑣, 𝑤 \in 𝑉, 𝑎 (𝑣 + 𝑦) = 𝑎 𝑣 + 𝑎 𝑦$
$\forall 𝑎, 𝑏 \in 𝕂, \forall 𝑣 \in 𝑉, (𝑎 + 𝑏) 𝑣 = 𝑎 𝑣 + 𝑏 𝑣$
$\forall 𝑎, 𝑏 \in 𝕂, \forall 𝑣 \in 𝑉, (𝑎 𝑏) 𝑣 = 𝑎 (𝑏 𝑣)$
$\forall 𝑣 \in 𝑉, 1_{𝕂} 𝑣 = 𝑣$

線型写像

体 $𝕂$
$𝕂$ -線型空間 $𝑉, 𝑊$

を与える．

写像 $𝑓 : 𝑉 \to 𝑊$ が以下を満たすとき， $𝑓$ を（ $𝕂$ -）線型写像( $𝕂$ -linear map)と呼ぶ： $\forall 𝑎, 𝑏 \in 𝕂, \forall 𝑣, 𝑣^{'} \in 𝑉, 𝑓 (𝑎 𝑣 + 𝑏 𝑣^{'}) = 𝑎 𝑓 (𝑣) + 𝑏 𝑓 (𝑣^{'})$

線型同型

全単射な線型写像を線型同型(linear isomorphism)と呼ぶ．

線型同型の始域と終域のことも互いに同型(linear isomorphic)呼ぶ．

線型空間の圏

体 $𝕂$ を与える．

全ての $𝕂$ -線型空間の集まりを対象
全ての $𝕂$ -線型写像の集まりを射

とする圏を $𝕂$ -線型空間の圏と呼び， $𝕂-𝐕𝐞𝐜𝐭$ と書く．