単位的マグマ

部分左単位的マグマ

左単位的マグマ$𝑆$を与える．

$𝑆$の部分集合$𝑇\subset 𝑆$が，$𝑆$の積に関して左単位的マグマになる，つまり以下を満たすとき，$𝑇$を$𝑇$の部分左単位的マグマと呼ぶ．

• $$𝑇𝑇\subset 𝑇$$
• $$1\in 𝑇$$

自明な部分左単位的マグマ

左単位的マグマ$𝑆$を与える．

自身，及び単位元のみからなる集合は，$𝑆$の部分左単位的マグマとなる．これらを$𝑆$の自明な部分左単位的マグマと呼ぶ．

それ以外の部分左単位的マグマを非自明と呼ぶ．

生成系

左単位的マグマ$𝑆$と部分集合$𝑇\subset 𝑆$を与える．

$$⟨𝑇⟩≔\bigcup _{𝑛=0}^{\infty }{𝑇}^{𝑛}$$ は$𝑇$を含む最小の$𝑆$の部分左単位的マグマとなる．これを$𝑇$で生成される部分左単位的マグマと呼ぶ．

特に， $𝑆=⟨𝑇⟩$ を満たすとき，$𝑇$を$𝑆$の生成系と呼ぶ．

正規部分左単位的マグマ

左単位的マグマ$𝑆$を与える．部分左単位的マグマ$𝑇$で，以下を満たすものを正規部分左単位的マグマと呼ぶ．

• $$\forall 𝑥\in 𝑇,\forall 𝑦\in 𝑆,\{\begin{array}{ccc}𝑥𝑦=1& \Rightarrow & 𝑦\in 𝑇\\ 𝑦𝑥=1& \Rightarrow & 𝑦\in 𝑇\end{array}$$
• $$\forall 𝑥,𝑦\in 𝑆,𝑥\left(𝑇𝑦\right)\cap 𝑇\ne \varnothing \Rightarrow 𝑥\left(𝑇𝑦\right)\subset 𝑇$$

自明な正規部分左単位的マグマ

左単位的マグマ$𝑆$を与える．

$𝑆$自身，及び単位元のみからなる集合は，$𝑆$の正規部分左単位的マグマとなる．これらを$𝑆$の自明な正規部分左単位的マグマ(trivial normal submonoid)と呼ぶ．

それ以外の正規部分左単位的マグマを非自明と呼ぶ．

左単位的マグマの正規閉包

左単位的マグマ$𝑆$を与える．

また，部分集合$𝐴\subset 𝑆$に対し， $$\begin{array}{ccc}{𝐴}^{\prime }& ≔& 𝐴\cup \left\{𝑦\in 𝑆\right|\exists 𝑥\in 𝐴,𝑦𝑥=1\}\cup \left\{𝑦\in 𝑆\right|\exists 𝑥\in 𝐴,𝑥𝑦=1\}\\ {𝑋}_{𝐴}& ≔& \left\{\left(𝑥,𝑦\right)\in 𝑆\times 𝑆\right|𝑥\left(𝐴𝑦\right)\cap 𝐴\ne \varnothing \}\end{array}$$ $$\begin{array}{ccc}{𝐴}_1& ≔& {⟨𝐴⟩}^{\prime }\\ {𝐴}_{𝑛+1}& ≔& {⟨\bigcup _{\left(𝑥,𝑦\right)\in {𝑋}_{{𝐴}_{𝑛}}}𝑥\left({𝐴}_{𝑛}𝑦\right)⟩}^{\prime }\end{array}$$ と定める．

$$\mathrm{ncl}\left(𝐴\right)≔\bigcup _{𝑛=1}^{\infty }{𝐴}_{𝑛}$$ を$𝐴$の正規閉包(normal closure)と呼ぶ．

正規部分左単位的マグマが誘導する合同

左単位的マグマ$𝑆$，正規部分左単位的マグマ$𝑇$与える．

$$\left\{1\right\}\times 𝑇\subset 𝑆\times 𝑆$$ をグラフとする関係の正規閉包を，$𝑇$が誘導する合同と呼ぶ．

商左単位的マグマ

左単位的マグマ$𝑆$を与える．

• $𝑆$の誘導する合同$\equiv$に対し， $$𝑆∕\equiv$$ は自然な積 $$\forall 𝑥,𝑦\in 𝑆,\left[𝑥\right]\cdot \left[𝑦\right]≔\left[𝑥\cdot 𝑦\right]$$ に対して左単位的マグマをなす．これを$\equiv$による商左単位的マグマと呼ぶ．
• 正規部分左単位的マグマ$𝑇$に対し，$𝑇$が誘導する合同$\sim$による商左単位的マグマが，上の意味で定義できる．これを$𝑇$による商左単位的マグマと呼び， $$𝑆∕𝑇≔𝑆∕\sim$$ と表す．

核

左単位的マグマ$𝑆,𝑇$と準同型 $𝑓:𝑆\to 𝑇$ を与える．

$$\ker 𝑓≔{𝑓}^{-1}\left(1_{𝑇}\right)$$ を$𝑓$の核と呼ぶ．

零左単位的マグマ

零左単位的マグマ(zero monoid)（または自明な左単位的マグマ(trivial monoid)）とは，一元集合 ${\mathbb{Z}}_1≔\left\{0\right\}$ に積を $0+0≔0$ と定めたもので，明らかに左単位的マグマとなる．

単純左単位的マグマ

零でない左単位的マグマ$𝑆$を与える．

$𝑆$が非自明な正規部分左単位的マグマを持たないとき，単純(simple)と呼ぶ．

単純左単位的マグマの直和で書ける左単位的マグマを，半単純(semisimple)と呼ぶ．

既約左単位的マグマ

左単位的マグマ$𝑆$が非自明な部分左単位的マグマの直和の形で書けないとき，既約(reducible)と呼ぶ．

既約でないとき，可約(irreducible)と呼ぶ．