作用

左様ですか

集合上の作用

集合上の左作用

集合 $𝐺$ を与える．

（集合上の）左 $𝐺$ -作用(left $𝐺$ -action over set)とは，以下の2つのデータからなる．

集合 $𝑋$
（これも左作用(left action)と呼ばれる）演算 $𝐺 \times 𝑋 \to 𝑋$

左作用を $act$ と表すと，各 $𝑔 \in 𝐺$ に対し， $act (𝑔, -)$ なる $𝑋$ 上の変換を誘導する．つまり，集合上の左作用は，単に $𝑋$ 上の変換を $𝐺$ の元でラベリングしたに過ぎない．

右作用も同様に定義できるが，ただの記法の問題で区別する意味はない．以下では基本的に左作用を考える．左作用を単に単に作用(action)と呼ぶこともある．

作用準同型

集合 $𝐺$
左 $𝐺$ -作用 $𝑋, 𝑌$

を与える．

写像 $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ が $\forall 𝑔 \in 𝐺, \forall 𝑥 \in 𝑋, 𝑓 (𝑔 𝑥) = 𝑔 𝑓 (𝑥)$ を満たすとき，集合上の左 $𝐺$ -作用準同型(homomorphism)と呼ぶ．

積の記号を省略しているためわかりづらいが， $𝑓$ は単に $𝑀$ の元を $𝑁$ に送るだけで無く， $𝑀$ の作用も， $𝑁$ の作用に送っている．

同型

全単射な集合上の左作用準同型を集合上の左作用同型(isomorphism)と呼ぶ．

部分作用

集合 $𝐺$
左 $𝐺$ -作用 $𝑋$

を与える．

部分集合 $𝑌 \subset 𝑋$ が $𝐺 𝑌 \subset 𝑌$ を満たす（つまり終域の制限により左 $𝐺$ -作用となる）とき，部分左 $𝐺$ -作用と呼ぶ．

応用上大切なのは， $𝐺$ が何らかの代数的構造を持っている場合で，このとき $𝐺$ の代数的構造を作用に写すような条件を付す．ともあれ，まずは集合上の左作用に関する用語を定義しておこう．

用語

安定部分集合

集合 $𝐺$
左 $𝐺$ -作用 $𝑋$

を与える．

部分集合 $𝑌 \subset 𝑋$ で， $𝐺 𝑌 \subset 𝑌$ を満たすものを安定と呼ぶ．

不変部分集合

集合 $𝐺$
左 $𝐺$ -作用 $𝑋$

を与える．

部分集合 $𝑌 \subset 𝑋$ で， $𝐺 𝑌 = 𝑌$ を満たすものを不変(invariant)と呼ぶ．

不動点

集合 $𝐺$
左 $𝐺$ -作用 $𝑋$

を与える．

$𝑥 \in 𝑋$ （からなる一元集合）が安定（ゆえに不変），つまり $𝐺 𝑥 = 𝑥$ を満たすとき， $𝑥$ を不動点(fixed point)と呼ぶ．不動点の集合を $𝑋^{𝐺} ≔ {𝑥 \in 𝑋 | 𝐺 𝑥 = 𝑥}$ と書く．

軌道

集合 $𝐺$
左 $𝐺$ -作用 $𝑋$

を与える．

$𝑥 \in 𝑋$ に対し， $𝐺 𝑥 = {𝑔 𝑥 | 𝑔 \in 𝐺}$ $𝑥$ の軌道(orbit)と呼ぶ．

安定化部分集合

集合 $𝐺$
左 $𝐺$ -作用 $𝑋$

を与える．

$𝑥 \in 𝑋$ に対し， $𝐺$ の部分集合 $𝐺_{𝑥} ≔ {𝑔 \in 𝐺 | 𝑔 𝑥 = 𝑥}$ を $𝑥$ の安定化部分集合(stabilizer subset)（または固定化部分集合，等方部分，小集合）と呼ぶ．

作用の付加的な性質

自明な作用

集合 $𝐺$ を与える．

$𝑋$ を左 $𝐺$ -作用で， $𝐺$ 全体が $𝑋$ の恒等変換を誘導する，つまり $\forall 𝑥 \in 𝑋, 𝐺 𝑥 = 𝑥$ を満たすとき，自明な作用(trivial action)と呼ぶ．

推移的

集合 $𝐺$ を与える．

左 $𝐺$ -作用 $𝑋 \neq \emptyset$ が $\forall 𝑥 \in 𝑋, 𝐺 𝑥 = 𝑋$ を満たすとき，作用 $𝑋$ は推移的(transitive)と呼ぶ．

鋭推移的

集合 $𝐺$ を与える．

左 $𝐺$ -作用 $𝑋 \neq \emptyset$ が $\forall 𝑥, 𝑦 \in 𝑋, \exists! 𝑔 \in 𝐺, 𝑔 𝑥 = 𝑦$ を満たすとき，作用 $𝑋$ は鋭推移的(sharply transitive)と呼ぶ．

平行移動とか．

マグマ上の作用

作用に代数構造を入れていこう．まずは最も基本的な閉じた代数的構造であるマグマ上の作用を見る．

マグマ上の左作用

マグマ $𝐺$ を与える．

（マグマ上の）左 $𝐺$ -作用(left $𝐺$ -action over magma)とは，以下の2つのデータからなる．

集合 $𝑋$
（これも左作用(left action)と呼ばれる）演算 $𝐺 \times 𝑋 \to 𝑋$

これらは以下を満たす．

$\forall 𝑔, ℎ \in 𝐺, \forall 𝑥 \in 𝑋, 𝑔 (ℎ 𝑥) = (𝑔 ℎ) 𝑥$

マグマ上の右作用

マグマ $𝐺$ を与える．

（マグマ上の）右 $𝐺$ -作用(right $𝐺$ -action over magma)とは，以下の2つのデータからなる．

集合 $𝑋$
（これも右作用(right action)と呼ばれる）演算 $𝐺 \times 𝑋 \to 𝑋$

これらは以下を満たす．

$\forall 𝑥 \in 𝑋, \forall 𝑔, ℎ \in 𝐺, (𝑥 𝑔) ℎ = 𝑥 (𝑔 ℎ)$

集合上の作用と異なり，直ちに左作用と右作用がそのまま対応することはないが，定義より明らかに，マグマ $𝐺$ 上のマグマ上の左作用は，反対マグマ $𝐺^{op}$ 上のマグマ上の右作用と対応する．

準同型，同型，部分作用は集合上の作用と同様に定義される．

左作用は右結合

マグマ $𝐺$ を与える．

左 $𝐺$ -作用 $𝑋$ を与えると，以下を満たす． $\forall 𝑓, 𝑔, ℎ \in 𝐺, \forall 𝑥 \in 𝑋, 𝑓 (𝑔 (ℎ 𝑥)) = (𝑓 (𝑔 ℎ)) 𝑥$
右 $𝐺$ -作用 $𝑋$ を与えると，以下を満たす． $\forall 𝑓, 𝑔, ℎ \in 𝐺, \forall 𝑥 \in 𝑋, ((𝑥 𝑓) 𝑔) ℎ = 𝑥 ((𝑓 𝑔) ℎ)$

証明

左 $𝐺$ -作用 $𝑋$ の方を示す： $𝑓 (𝑔 (ℎ 𝑥)) = 𝑓 ((𝑔 ℎ) 𝑥) = (𝑓 (𝑔 ℎ)) 𝑥$

もちろん， $𝐺$ が結合則を満たす，つまり半群であれば，左結合と右結合は一致するので， $()$ で囲む必要が無くなる．

性質

安定化部分マグマ

マグマ $𝐺$
左 $𝐺$ -作用（または右 $𝐺$ -作用） $𝑋$

を与える．

$\forall 𝑥 \in 𝑋$ に対する任意の安定化部分集合 $𝐺_{𝑥}$ は， $𝐺$ の部分マグマになっている．これを安定化部分マグマ(stabilizer submagma)と呼ぶ．

左単位的マグマの作用

群作用は軌道に著しい性質を持つため，目標はその確認となる．

左単位的マグマ上の左作用

左単位的マグマ（左単位元をもつマグマ） $𝐺$ を与える．

（左単位的マグマ上の）左 $𝐺$ -作用(left $𝐺$ -action over left-unital magma)とは，以下の2つのデータからなる．

集合 $𝑋$
（これも左作用(left action)と呼ばれる）演算 $𝐺 \times 𝑋 \to 𝑋$

これらは以下を満たす．

$\forall 𝑔, ℎ \in 𝐺, \forall 𝑥 \in 𝑋, 𝑔 (ℎ 𝑥) = (𝑔 ℎ) 𝑥$
全ての $𝐺$ の左単位元 $1_{𝐺} \in 𝐺$ に対し， $\forall 𝑥 \in 𝑋, 1_{𝐺} 𝑥 = 𝑥$

右作用も同様に定義される．準同型，同型，部分作用も同様．

左単位元によるマグマ上の左作用は恒等変換を誘導する必要はなかったが，それを要求している．

左単位元マグマ上の作用の特徴付け

$𝐺$ を左単位的マグマ， $𝑋$ をマグマ上の左作用とすると， $(𝑋 は左単位的マグマ上の左作用) \Leftrightarrow (𝐺 𝑋 = 𝑋)$

証明

$𝐺 𝑋 \subset 𝑋$ は明らか．また $𝑋 = 1_{𝐺} 𝑋 \subset 𝐺 𝑋$ より， $𝐺 𝑋 = 𝑋$
$\forall 𝑥 \in 𝑋, \exists 𝑔 \in 𝐺, \exists 𝑦 \in 𝑋, 1_{𝐺} 𝑥 = 1_{𝐺} (𝑔 𝑦) = (1_{𝐺} 𝑔) 𝑦 = 𝑔 𝑦 = 𝑥$ より左単位的マグマ上の左作用となる．

性質

安定化部分単位的マグマ

左単位的マグマ（または右単位的マグマ） $𝐺$
左 $𝐺$ -作用（または右 $𝐺$ -作用） $𝑋$

を与える．

$\forall 𝑥 \in 𝑋$ に対する任意の安定化部分集合 $𝐺_{𝑥}$ は， $𝐺$ の部分マグマになっている．これを安定化部分マグマ(stabilizer submagma)と呼ぶ．

群作用

群上の左作用

群 $𝐺$ を与える．

群を左単位的マグマと見たときの左作用を（群上の）左 $𝐺$ -作用(left $𝐺$ -action over group)と呼ぶ．

群作用の性質

まず，安定化部分マグマと同様，安定化部分群となる．

群 $𝐺$ 上の左作用 $𝑋$ に対し， $\forall 𝑔 \in 𝐺, 𝑔 𝑋 = 𝑋$

軌道の類別

群 $𝐺$ 上の左作用 $𝑋$ に対し， $𝑋$ 上の二項関係 $𝑥 \sim 𝑦 \Leftrightarrow 𝑦 \in 𝐺 𝑥$ は，軌道が等しいという同値関係 $𝑥 \sim 𝑦 \Leftrightarrow 𝐺 𝑥 = 𝐺 𝑦$ に等しい．

軌道空間

軌道が等しいという同値関係 $𝑥 \sim 𝑦 \Leftrightarrow 𝐺 𝑥 = 𝐺 𝑦$ による商集合を $𝑋_{𝐺} = 𝑋 ∕ 𝐺$ と表し，軌道空間と呼ぶ．

軌道の類別が可能だから，軌道空間の任意の元 $𝑌 \in 𝑋_{𝐺}$ は， $\forall 𝑦 \in 𝑌$ を用いて， $𝑌 = 𝐺 𝑦$ の形に書ける．