単位的代数

準同型

可換環 $𝕂$ を与える．

• $𝕂$-単位的代数 $𝐴,{𝐴}^{\prime }$ に対し，
  • （$𝕂$-単位的代数）準同型(homomorphism)とは，写像 $𝑓:𝐴\to {𝐴}^{\prime }$ であって以下を満たすもの：
    • $𝑓$ は $𝕂$-線型写像
    • $$\forall 𝑥,𝑦\in 𝐴,𝑓\left(𝑥𝑦\right)=𝑓\left(𝑥\right)𝑓\left(𝑦\right)$$
  • $𝐴$ から ${𝐴}^{\prime }$ への自己準同型全体の集合を $\mathrm{hom}\left(𝐴,{𝐴}^{\prime }\right)$ と表す．
• $𝕂$-余単位的余代数 $𝐴,{𝐴}^{\prime }$ に対し，
  • （$𝕂$-余単位的余代数）準同型(homomorphism)とは，写像 $𝑓:𝐴\to {𝐴}^{\prime }$ であって以下を満たすもの：
    • $𝑓$ は $𝕂$-線型写像
    • $$\forall 𝑥\in 𝐴,{𝛥}_{{𝐴}^{\prime }}\left(𝑓\left(𝑥\right)\right)=𝑓\otimes 𝑓\left({𝛥}_{𝐴}\left(𝑥\right)\right)$$
• 全単射な準同型を同型(isomorphism)と呼ぶ．

部分単位的代数・部分余単位的余代数

可換環 $𝕂$ を与える．

• 単位的代数 $𝐴$ の単位的部分代数(unital subalgebra)とは，部分 $𝕂$-加群 $𝑆$ であって，以下を満たすものを言う：
  • $𝑆\cdot 𝑆\subseteq 𝑆$
  • $𝜂\left(𝕂\right)\subseteq 𝑆$
• 余単位的余代数 $\left(𝐴,𝛥\right)$ の余単位的部分余代数(counital subcoalgebra)とは，部分 $𝕂$-加群 $𝑆$ であって，以下を満たすものを言う：
  • $𝛥\left(𝑆\right)\subseteq 𝑆\otimes 𝑆$

自己準同型・同型

• 可換環 $𝕂$
• $𝕂$-代数 $𝐴$

を与える．

• $𝐴$ 上の代数準同型のことを，自己準同型(endomorphism)と呼ぶ．自己準同型の集合を$\mathrm{end}𝐴$と書く．
• $𝐴$ 上の代数同型のことを，自己同型(automorphism)と呼ぶ．自己同型の集合を$\mathrm{aut}𝐴$と書く．

自由単位的代数

可換環 $𝕂$ を与える．

自由単位的代数(free algebra)とは，以下のデータのこと：

テンソル代数

• 可換環 $𝕂$
• $𝕂$-加群 $𝑉$

を与える．

$𝑉$ のテンソル代数(tensor algebra)とは，以下のデータのこと：

• $𝑇\left(𝑉\right)≔\underset{𝑘\in {\mathbb{N}}_0}{⨁}{𝑉}^{\otimes 𝑘}$
• $𝕂$-双線型写像 ${𝑉}^{\otimes 𝑘}\Pi {𝑉}^{\otimes {𝑘}^{\prime }}\to {𝑉}^{\otimes \left(𝑘+{𝑘}^{\prime }\right)},\left(𝑣,𝑤\right)\mapsto 𝑣\otimes 𝑤$ を $𝑇\left(𝑉\right)$ 上に線型に拡張したもの．

対称代数

を与える．

対称代数(symmetric algebra)とは，以下のデータのこと：

単位的代数上の加群・表現

• 体 $𝕂$
• $𝕂$ 上の単位的代数 $𝐴$

を与える．

• $𝐴$ 上の加群(module over $𝐴$)，または $𝐴$-加群($𝔤$-module)とは，以下の組のこと：
  • $𝕂$-線型空間 $𝑉$
  • 双線型写像 $𝐴\otimes 𝑉\to 𝑉$ であって，以下を満たすもの：
    • $\forall 𝑥,𝑦\in 𝔤,\forall 𝑣\in 𝑉,\left(𝑥𝑦\right)𝑣=𝑥\left(𝑦𝑣\right)$
    • 単位元の作用は恒等写像．
• $𝐴$の表現(representation)とは，以下の組のこと：
  • $𝕂$-線型空間 $𝑉$ 上の線型変換の集合 $\mathrm{end}\left(𝑉\right)$
  • $𝕂$-単位的代数準同型 $𝜌:𝐴\to \mathrm{end}\left(𝑉\right)$

これらは以下の対応によって同じ構造を持つ：

• $𝐴$-加群 $𝑉$ に対し， $𝐴\to \mathrm{end}\left(𝑉\right),𝑥\mapsto \left(𝑣\mapsto 𝑥𝑣\right)$ は表現．
• 表現 $𝜌$ に対し， $𝐴\otimes 𝑉\to 𝑉,𝑥\otimes 𝑣\mapsto 𝜌\left(𝑥\right)𝑣$ は $𝐴$-加群．

忠実表現

単射な表現のことを忠実(faithful)と呼ぶ．

$𝐴$-加群・表現準同型

• 体 $𝕂$
• $𝕂$上の単位的代数 $𝐴$
• $𝐴$-加群$𝑉,𝑊$
• $𝑉,𝑊$ それぞれに対応する表現 ${𝜌}_{𝑉},{𝜌}_{𝑊}$

を与える．

• 線型写像 $𝑓:𝑉\to 𝑊$ が$𝐴$-加群の準同型(homomorphism of $𝔤$-module)（または表現の準同型(homomorphism of representation)）であるとは，以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）を満たすことを言う：
  • $\forall 𝑥\in 𝐴,\forall 𝑣\in 𝑉,𝑓\left(𝑥𝑣\right)=𝑥𝑓\left(𝑣\right)$
  • $\forall 𝑥\in 𝐴,𝑓\circ {𝜌}_{𝑉}\left(𝑥\right)={𝜌}_{𝑊}\left(𝑥\right)\circ 𝑓$
• 全単射な準同型を同型(isomorphism)と呼ぶ．

部分Lie代数上の加群・商Lie代数上の加群

• 体 $𝕂$
• $𝕂$ 上の単位的代数 $𝐴$
• $𝐴$-加群 $𝑉$ と対応する表現 $𝜌:𝐴\to \mathrm{end}\left(𝑉\right)$

を与える．

• $𝐴$ の部分Lie代数 $𝑆$ が誘導する $𝑆$-加群() とは，包含写像 $𝑖:𝑆\hookrightarrow 𝐴$ に対する表現 $𝜌\circ 𝑖:𝑆\to \mathrm{end}\left(𝑉\right)$ のこと．
• $𝐴$ のイデアル $𝐼$ であって， $𝐼\subseteq \ker 𝜌$ を満たすものによる商（単位的）代数 $𝐴∕𝐼$ が誘導する $𝐴∕𝐼$-加群() とは，商単位的代数の普遍性により定まる表現 $\overline{𝜌}:𝐴∕𝐼\to \mathrm{end}\left(𝑉\right)$ のこと．

$𝐴$-加群の直和

• 体 $𝕂$
• 集合 $𝛬$
• $𝕂$ 上の 単位的代数 $𝐴$
• $𝐴$-加群の集合 ${\left\{{𝑉}_{𝜆}\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$

を与える．

• ${\left\{{𝑉}_{𝜆}\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$ の直和(direct sum)とは，以下のデータのこと：
  • 以下で定まる $𝐴$-加群：
    • 直和線型空間 $\coprod _{𝜆\in 𝛬}{𝑉}_{𝜆}$
    • 左 $𝐴$-作用 $$𝐴\otimes \coprod _{𝜆\in 𝛬}{𝑉}_{𝜆}\to \coprod _{𝜆\in 𝛬}{𝑉}_{𝜆},𝑥\otimes {\left({𝑣}_{𝜆}\right)}_{𝜆\in 𝛬}\mapsto {\left(𝑥{𝑣}_{𝜆}\right)}_{𝜆\in 𝛬}$$
  • $𝐴$-加群準同型 $${𝜄}_{𝜆}:{𝑉}_{𝜆}\to \coprod _{{𝜆}^{\prime }\in 𝛬}{𝑉}_{{𝜆}^{\prime }},𝑣\mapsto {\left({𝑣}_{{𝜆}^{\prime }}≔\{\begin{array}{cc}𝑣& {𝜆}^{\prime }=𝜆\\ 0& {𝜆}^{\prime }\ne 𝜆\end{array}\right)}_{{𝜆}^{\prime }\in 𝛬}$$
• $𝐴$-加群 $𝑊$ を終域とする $𝐴$-加群準同型の集合 ${\left\{{𝑓}_{𝜆}:{𝑉}_{𝜆}\to 𝑊\right\}}_{𝜆\in 𝛬}$ の直和(direct sum)とは，以下の $𝐴$-加群準同型のこと： $$\coprod _{𝜆\in 𝛬}{𝑓}_{𝜆}:\coprod _{𝜆\in 𝛬}{𝑉}_{𝜆}\to 𝑊,{\left({𝑣}_{𝜆}\right)}_{𝜆\in 𝛬}\mapsto \sum _{𝜆\in 𝛬}{𝑓}_{𝜆}\left({𝑣}_{𝜆}\right)$$

双単位的双代数

可換環 $𝕂$ を与える．

• 双単位的双代数(biunital bialgebra)とは，以下のデータからなる：
  • $𝕂$-加群 $𝐴$
  • $𝐴$ 上の $𝕂$-双線型写像 $\cdot :𝐴\otimes 𝐴\to 𝐴$
  • 単位(unit)と呼ばれる $𝕂$-線型写像 $𝜂:𝕂\to 𝐴$
  • $𝐴$ 上の $𝕂$-余双線型写像 $𝛥:𝐴\to 𝐴\otimes 𝐴$
  • 余単位(counit)と呼ばれる $𝕂$-線型写像 $𝜀:𝐴\to 𝕂$
  これらは以下を満たす：
  • $\left(𝐴,\cdot ,𝜂\right)$ は単位的代数
  • $\left(𝐴,𝛥,𝜀\right)$ は余単位的余代数
  • 以下の同値な条件のいずれか（ゆえに全て）：
    • $\cdot ,𝜂$ は余単位的余代数準同型
    • $𝛥,𝜀$ は単位的代数準同型
• 双単位的双代数 $\left(𝐴,𝑚,𝜂,𝛥,𝜀\right)$ が，
  • 結合的かつ余結合的なとき，双結合的(biassociative)と呼ぶ．
  • 可換的かつ余可換的なとき，双可換的(bicommutative)と呼ぶ．

Hopf代数

可換環 $𝕂$ を与える．

• Hopf代数(Hopf algebra)とは，以下のデータからなる：
  • 双単位的双結合的双代数 $\left(𝐴,𝑚,𝜂,𝛥,𝜀\right)$
  • 対蹠(antipode)と呼ばれる $𝕂$-線型写像 $𝑆:𝐴\to 𝐴$
  これらは以下を満たす： $$𝑚\circ \left(\mathrm{id}\otimes 𝑆\right)\circ 𝛥=𝜂\circ 𝜀=𝑚\circ \left(𝑆\otimes \mathrm{id}\right)\circ 𝛥$$
• Hopf代数 $\left(𝐴,𝑚,𝜂,𝛥,𝜀,𝑆\right)$ が対合的(involutive)であるとは， $𝑆\circ 𝑆=\mathrm{id}$ を満たすことを言う．

準三角双代数

• 可換環 $𝕂$

を与える．

• 準三角双代数(quasitriangular bialgebra)とは，以下のデータからなる：
  • 双単位的双結合的双代数 $\left(𝐴,𝑚,𝜂,𝛥,𝜀\right)$
  • 普遍 $𝑅$-元(universal $𝑅$-element)と呼ばれる可逆元 $𝑅\in 𝐴\otimes 𝐴$
  これらは以下を満たす：
  • $\forall 𝑎\in 𝐴,𝜎\circ 𝛥\left(𝑎\right)=𝑅𝛥\left(𝑎\right){𝑅}^{-1}$
  • $\left(𝛥\otimes {\mathrm{id}}_{𝐴}\right)\left(𝑅\right)={𝑅}_{1,3}{𝑅}_{2,3}$
  • $\left({\mathrm{id}}_{𝐴}\otimes 𝛥\right)\left(𝑅\right)={𝑅}_{1,3}{𝑅}_{1,2}$
• 三角双代数(triangular bialgebra)とは，準三角双代数 $\left(𝐴,𝑚,𝜂,𝛥,𝜀,𝑅\right)$ であって， $𝜎\left(𝑅\right)={𝑅}^{-1}$ を満たすものを言う．